Project Management (H H 22 op CD-ROM)

Transcriptie

1 Project Management (H H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program Evaluation and Review Technique) Houdt rekening met onzekerheden in duur. Met PERT kunnen bv. kansen op tijdoverschrijding worden berekend. Beide methoden zijn van eind Representatie van een project als netwerk kan als Activity On Arc (AOA) netwerk Een activiteit correspondeert met een tak. Activity On Node (AON) netwerk Een activiteit correspondeert met een knoop. AON AOA Beide netwerken modelleren de afhankelijkheden: B na A, D na B, C na B, E na C en D, F na A, G na C en F, H na E en G. Een projectnetwerk is op beide manieren te representeren. Eventueel zijn dummy takken (gestippeld) nodig om de juiste afhankelijkheden te krijgen.

2 Voorbeeld: Reliable Construction Co. (8.9) Bouwproject als AON netwerk

3 CPM methode Forward sweep: Bepaal de Earliest Start Times (ES) en Earliest Finish Times (EF) van Start naar Finish Backward sweep: Bepaal Latest Start Times (LS) en Latest Finish Times (LF) van Finish naar Start

4

5 Resultaat van het CPM algoritme: Activiteiten met ES = LS liggen op het kritieke pad. Zo n pad bepaalt de minimale tijdsduur van een project. Activiteiten op het kritieke pad moeten op een vast tijdstip beginnen en als zo n activiteit uitloopt, loopt het project uit. Kritieke pad is in dit voorbeeld: ABCEFJLN Alle paden door het project moeten toelaatbaar zijn, dus ook het langste. Een kritiek pad is dus automatisch een langste pad in het netwerk van Start naar Finish. Er kunnen meer kritieke paden zijn.

6 Crashen van projecten Alle mogelijke paden door het project Het verkorten van een taak met kosten

7 Verkorten van 44 naar 40 weken kan door per week de goedkoopste taak in het kritieke pad te crashen: Dit levert: Activiteit J en F beide met 2 weken verkorten. Kosten zijn dan $ Als je nóg een week wil verkorten moet je drie kritieke paden verkorten: ABCDGHM, ABCEFJLN en ABCIJLN. Dit kan door één taak te verkorten: B is dan het goedkoopst, kosten $ Als crashen van B en C $ zou kosten, dan kun je B of C verkorten ($ ), maar beter L en (D of G) ($ $40.000). Het hoeft dus niet optimaal te zijn om telkens één activiteit te crashen

8 Project na crashen van 2 weken J en 2 weken F, nu met 3 kritieke paden.

9 Crashen met lineair programmeren x j is de reductie in tijd van activiteit j. y j is de starttijd van activiteit j. F is de opvolger van E (F na E) De duur van E na reductie met x E is 4 x E. F komt na E: y F y E + (4 x E ) Maximale crashduur: x j x j, max Project moet binnen 40 weken: y finish 40 Niet-negativiteit: x j, y j 0 Minimaliseer de crashkosten: Min Z = 100x A + 50x B x B N Alle voorwaarden zijn lineair, dus dit is een LP model. De LP formulering levert als oplossing: x F = x J = 2, rest = 0, Z = $

10 Nadeel van de LP aanpak t.o.v. CPM is dat er één oplossing uit komt en het langste pad niet gevonden kan worden. Een kritiek pad kan worden gevonden m.b.v. het duale probleem. Voorbeeld: 5 activiteiten op de takken met benodigde tijd t 12, t 13, t 23, t 24, t 34 Tijdstippen waarop je in de knopen bent: x 1, x 2, x 3, x 4 Min x 4 x 1 z.d.d. x 2 x 1 t x 3 x 2 t x 3 x 1 t x 4 x 2 t x 4 x 3 t en x j 0 Duale probleem (schaduwprijzen x 12, x 23, x 13, x 24, x 34 ): Max t 12 x 12 + t 23 x 23 + t 13 x 13 + t 24 x 24 + t 34 x 34 z.d.d. x 12 x x 12 x 23 x x 23 + x 13 x x 24 + x en x ij 0 Tel alle ongelijkheden op: 0 0. Dit betekent dat alle ongelijkheden gelijkheden moeten zijn:

11 Max t 12 x 12 + t 23 x 23 + t 13 x 13 + t 24 x 24 + t 34 x 34 z.d.d. x 12 x 13 = 1 x 12 x 23 x 34 = 0 x 23 + x 13 x 34 = 0 x 23 +x 13 x 34 = 0 x 24 + x 34 = 1 en x ij 0 Dit is een netwerkstromingsprobleem in het bovenstaande netwerk, waarbij x ij over tak i j stroomt, 1 eenheid in knoop 1 in gaat en bij knoop 4 eruit komt. Vanwege de geheeltalligheidseigenschap (coëfficiëntmatrix is unimodulair) is er een binaire optimale oplossing, dat is een pad van 1 naar 4. Gemaximaliseerd wordt de totale tijdsduur langs dit pad. De optimale oplossing is dus een langste pad. De schaduwprijzen x ij geven aan of tak i j in dit langste pad zit (1) of niet (0). Je vindt zo één mogelijk kritiek pad. Voordeel van de LP aanpak is dat het altijd werkt en je niet hoeft na te denken over hoe je moet crashen, en dat je niet telkens alle langste paden hoeft te bepalen.

12 CPM Methode met Excel Solver

13 PERT Tijdsduren worden geschat met drie parameters: o = optimistische (minimale) schatting voor tijdsduur m = meest waarschijnlijke tijdsduur p = pessimistische schatting Er wordt uitgegaan van een Betaverdeling: Verwachtingswaarde: Variantie: μ = σ 2 o + 4m + p 6 = p o 6 2 De verwachte tijdsduur is een gewogen gemiddelde van m, o en p, waarin de meest waarschijnlijke waarde m (top van de verdeling) het zwaarst telt.

14 Met de meest pessimistische schatting duurt het project 69 weken, i.p.v. 44.

15 Aangenomen dat de activiteiten op het kritieke pad onafhankelijk zijn kun je de variantie van de doorlooptijd berekenen als som van de varianties van de onderdelen. Met de aanname dat de projectduur normaal verdeeld is (wet van de grote aantallen) kun je de kans schatten dat het project binnen de deadline van 47 weken blijft: De afwijking is 1 standaarddeviatie. De kans om hoogstens één standaarddeviatie boven het gemiddelde te zitten is: P(T d) = P(standaard normaal μ + 1 σ) = = 1 P(standaard normaal > μ + 1 σ) = = 1 0,1587 = 0,8413

16 Bandbreedte in de kosten tijdens het doorlopen van het project als gevolg van taken die kunnen schuiven