z x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 rij rij rij rij

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "z x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2 s 3 rij rij rij rij"

Rosalia van der Berg
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 ENGLISH VERSION SEE PAGE 3 Tentamen Lineaire Optimalisering, 0 januari 0, tijdsduur 3 uur. Het gebruik van een eenvoudige rekenmachine is toegestaan. Geef bij elk antwoord een duidelijke toelichting. Als een algoritme wordt gebruikt geef dan ook alle tussenstappen.. (5 punten) Beschouw het LP probleem: Minimaliseer αx + x o.d.v. 3x + 5x 5, 5x + 3x 5, x 0, x 0. a. Teken het toegelaten gebied. b. Bepaal alle basisoplossingen. c. Welke basisoplossingen zijn toegelaten? d. Voor welke waarden van α is het LP probleem oplosbaar? e. Bepaal voor de gevonden waarden van α een optimale oplossing.. (5 punten) Een bedrijf heeft een korte-termijn financieel planningsprobleem voor de productie van vier producten (genummerd t/m 4) uit drie grondstoffen (genummerd t/m 3) gemodelleerd als een LP-probleem. Bij de oplossing van het LP-probleem met het simplexalgoritme ontstaat op een bepaald moment het onderstaande tableau. z x x x 3 x 4 s s s 3 rij rij rij rij a. Maak het simplexalgoritme af. b. Bepaal een optimale productie en de schaduwprijzen van de grondstoffen. c. Is de in b gegeven optimale oplossing de enige? (Vergeet de toelichting niet.) 3. (0 punten) Het toegelaten gebied T van een LP probleem met drie variabelen is gegeven door de ongelijkheden: x + 5x + x 3 4, x + x 3, x x + x 3, x 0, x 0, x 3 0. Formuleer het bijbehorende feasibility probleem (oplossen hoeft niet). Hoe groot moet de optimale objectwaarde van het feasibility probleem zijn, om te concluderen dat T niet leeg is? 4. (0 punten) Een optimaliseringsprobleem bevat de volgende niet-lineaire voorwaarden: (i) 5(x )(x + ) + 7x 3 5, (ii) x 4 x 3, or x 4 = 0 (of beide), (iii) max{ 5+7 x 5, 5x +8x } + x 4 +x + x 7, x {0,}, x {0,}, x 3 0, x 4 0. De objectfunctie en de overige voorwaarden zijn lineair. Herformuleer de voorwaarden (i), (ii), en (iii) als equivalente LINEAIRE voorwaarden.

2 5. (5 punten) Een bedrijf heeft vijf machines A, B, C, D en E, en maakt vijf producten P, Q, R, S en T. Elke machine kan gebruikt worden voor elk product, maar de kosten varieren volgend de onderstaande tabel. P Q R S T A x B C D E a. Als machine A product P maakt, wat is dan een optimale toewijzing, en wat zijn de totale kosten (als functie van x)? b. Als machine A product P NIET maakt, wat is dan een optimale toewijzing, en wat zijn dan de totale kosten (als functie van x)? 6. (5 punten) Beschouw het volgende ILP probleem: Maximaliseer x + x o.d.v. x + x 3, x + 3x 5, x 0, x 0, x,x Z. Bepaal een optimale oplossing door middel van Gomory s cutting plane algoritme. 7. (0 punten) Geef een ILP formulering voor het bepalen van een maximale matching in de onderstaande graaf. Verklaar waarom de LP relaxatie van dit probleem een grotere oplossing heeft (0 punten) Voor een graaf met knooppunten a, b, c, d, e en f, zijn de verbindingen met hun gewichten gegeven in de onderstaande tabel. Bepaal met Dijkstra s algoritme een kortste pad vanuit b naar elk ander knooppunt. a b c d e f a b 4 3 c 3 4 d 4 e 3 4 f 3

3 VOOR DE NEDERLANSE VERSIE ZIE PAGINA Exam Linear Optimization, January 0, 0; time span 3 hours. Except for paper and writing material, it is only allowed to use a simple calculator. Every answer must be explained. If an algorithm is used then all steps should be made clear.. (5 points) Consider the following LP problem: Minimize αx + x subject to 3x + 5x 5, 5x + 3x 5, x 0, x 0. a. Draw the feasible region. b. Determine all basic solutions. c. Which basic solutions are feasible? d. For which values of α does the LP problem have a solution. e. Determine an optimal solution for the values of α just found.. (5 points) A company has a short term financial planning problem for the production of four products (numbered to 4) out of three resources (numbered to 3). The problem has been formulated as an LP problem, and is solved by use of the Simplex algorithm. At a certain stage of this algorithm the following tableau is obtained. z x x x 3 x 4 s s s 3 row row row row a. Finish the simplex algorithm. b. Determine an optimal production and the shadow prices of the resources. c. Is the solution found in b the only one? (Don t forget to explain.) 3. (0 points) The feasible region T of an LP problem with three variables is give by the following constraints: x + 5x + x 3 4, x + x 3, x x + x 3, x 0, x 0, x 3 0. Formulate the corresponding feasibility problem (it is not required to solve it). How large should be the objective value of the feasibility problem in order to conclude that T is not empty? 4. (0 points) An optimization problem contains the following non-linear constraints: (i) 5(x )(x + ) + 7x 3 5, (ii) x 4 x 3, or x 4 = 0 (or both), (iii) max{ 5+7 x 5, 5x +8x } + x 4 +x + x 7, x {0,}, x {0,}, x 3 0, x 4 0. The objective function and other constraints of this problem are linear. Reformulate constraints (i), (ii), and (iii) into equivalent LINEAR constraints. 3

4 5. (5 points) A company has five machines: A, B, C, D and E, and produces five products P, Q, R, S and T. Each machine can be used for each product, but the costs vary as given in the cost matrix below. P Q R S T A x B C D E a. If machine A produces product P, then what is an optimal assignment, and what are the total costs (as a function of x)? b. If machine A does NOT produce P, then what is an optimal assignment, and what are the total costs (as a function of x)? 6. (5 points) Consider the following ILP problem: Maximize x + x, subject to x + x 3, x + 3x 5, x 0, x 0, x,x Z. Determine an optimal solution by use of Gomory s cutting plane algorithm. 7. (0 points) Give an ILP formulation for the problem of finding a maximum matching in the graph below. Explain why the LP relaxation of this problem has a larger solution (0 points) For a graph with nodes a, b, c, d, e and f, the edges with their weights are given in the table below. Determine a shortest path from b to every other node by use of Dijkstra s algorithm. a b c d e f a b 4 3 c 3 4 d 4 e 3 4 f 3 4

5 Answers exam of January 0, 0.. b. (0,0), (0,3), (0,5), (3,0), (5,0), (5/8,5/8); c. (5,0), (0,5), (5/8,5/8); d. α 0; e. (5,0) if α 3/5, (5/8,5/8) if 3/5 α 5/3, (0, 5) if α 5/3.. a. z x x x 3 x 4 s s s 3 row row / /3 row 0 0 3/ /3 4/3 row /3 0 /3 8/3 b. z = 9, x = 4/3, x = 8/3, x 3 = 0; shadow prices 0,5,. c. No (one can make x 3 into a basic variable without changing z). 3. a. Maximize z = x + x + x 3 a a subject to x + 5x + x 3 4, x + x a 3, x x + x 3 a, x,x,x 3,a,a 0. b. If z = 4 then T is not empty. 4. i. 5y 5x + 5x + 7x 3 0, y x, y x, y x + x, y 0; ii. x 4 x 3 Mz, x 4 M( z), z {0,}; iii x 5 + x 4 7( + x + x ), 5 7x 5 + x 4 7( + x + x ), 5x + 8x + x 4 7( + x + x ). 5. a. Delete first row and column and solve the optimal assignment problem. A P, B T, C Q, D R, E S; value 5 + x. b. Make x very large and solve. A R, B T, C P, D Q, E S; value Simplex for the LP relaxation gives an optimal solution x = 3, x = 0, z = 6. This is an integral solution, so it is also an optimal solution for the ILP problem, and Gomory s algorithm stops. 7. Maximize x +x +x 3 +x 4 +x 5 +x 6, subject to x +x, x +x 3, x 4 +x 6, x 5 + x 6. x + x 3 + x 4 + x 5, x i {0,} for i =,...,6. The optimal value is. The LP relaxation can get a larger value, for example 5/ when x = x 6 = 3/4, x = x 3 = x 4 = x 5 = /4. 8. b to a: bcdfa length 7/; b to c: bc length ; b to d: bcd length 3/; b to e: be length ; b to f: bcdf length 5/.

Vergelijkbare documenten

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel