Lijnenspel. Remco van Groesen ( ) & Ellen Houbiers ( )

Transcriptie

1 Lijnenspel Remco van Groesen ( ) & Ellen Houbiers ( ) Technische Universiteit Eindhoven Opdrachtgever: Benne de Weger Begeleider: Cor Hurkens 18 januari

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Probleemomschrijving 3 3 Basisspel 4 4 Algoritme 5 5 Uitbreidingen Een gemeenschappelijk holletje Vaste bewegingsvolgorde Vast holletje Afgebakend gebied Meerdere kevers Meerdere dimensies Algoritme voor spel in 3D Conclusie 10 2

3 Samenvatting The game of lines is a game where 3 bugs want to reach for their holes. Unfortunately, they re limited in their freedom of movement, because a single bug can only move parallel to the line through the other 2 bugs. We wanted to find the starting conditions so we can make sure the bugs will reach their holes. Also, we created an algorithm to solve this problem, which is severely depending on the surface of the triangle formed bij the bugs. This surface has to be exactly the same as the surface of the triangle formed bij the holes. Although, the value of this surface cannot be equal to 0. We also thought of some variants: For example, what happens if we add another bug, or we add a dimension. All together, we managed to check and discuss the solvability of 6 interesting variants. Most of the solutions were based on the surface of triangles formed by the bugs and holes, but nevertheless were they all (a little) different from the solution of the original problem. 1 Inleiding Het lijnenspel is een spel over drie kevertjes. Deze kevers zitten samen met drie holletjes in een plat vlak en iedere kever hoopt een van de holletjes te bereiken. Ze hebben alleen weinig bewegingsvrijheid. Ze mogen namelijk alleen parallel aan de verbindingslijn tussen de twee andere kevers bewegen. Voor dit spel zijn veel varianten/uitbreidingen te bedenken, namelijk: een afgebakend vlak een gemeenschappelijk holletje in plaats van een eigen holletje iedere kever een vast holletje een vaste bewegingsvolgorde meer dan 3 kevers hogere dimensies 2 Probleemomschrijving Het is natuurlijk leuk wanneer alle kevers een holletje kunnen bereiken en het lijnenspel uitgespeeld kan worden. Maar wanneer is dat dan mogelijk? Om dit uit te zoeken gaan wij opzoek naar de basiscondities die dan moeten gelden. Allereerst zullen we dit doen voor het basisspel, waarbij de kevers apart in een willekeurige volgorde bewegen. Nadat we een bewering voor de begincondities van het basisspel gevonden hebben, gaan we kijken of diezelfde bewering ook geldt voor de verschillende varianten. Zo niet, dan gaan we 3

4 opzoek naar nieuwe begincondities. Als een spel vervolgens aan deze basiscondities voldoet, dan is het natuurlijk ook leuk om te weten welke stappen je moet zetten om het spel te kunnen oplossen. Hiervoor gaan we opzoek naar een algoritme dat op iedere oplosbaar spel toegepast kan worden. 3 Basisspel Het spel is natuurlijk nooit oplosbaar als de drie kever op één lijn liggen en de holletjes niet. Omdat de kevers dan alleen maar op deze lijn kunnen bewegen en er nooit af kunnen komen. Hierdoor zullen ze nooit een van de holletjes kunnen bereiken die niet op deze lijn liggen. Als de drie holletjes op één lijn liggen en de kevers niet, dan geldt natuurlijk hetzelfde en is het spel ook niet oplosbaar. En het is triviaal dat als de kevers en de holletjes op één lijn liggen, dat het spel oplosbaar is. Maar omdat deze condities bij alle uitbreiding gelden, zullen we deze niet meer herhalen. Figuur 1: Gelijke oppervlakte De drie kevers vormen samen een driehoek in het platte vlak. De drie hoekpunten zijn dan de drie verschillende kevers. Stel je wilt kever 2 gaan bewegen, dan beweegt deze kever parallel aan de verbindingslijn van kever 1 en 3. Maar dan blijkt dat de oppervlakte van de driehoek, opgespannen door de drie kevers, gelijk blijft. Dit zullen we nu nader gaan uitleggen. De oppervlakte van een driehoek wordt berekend door: Oppervlakte = 1 Zijde Hoogte (1) 2 Neem dan als zijde de afstand tussen kever 1 en kever 3, deze blijft namelijk gelijk als je kever 2 gaat bewegen. De hoogte is dan de kortste afstand van kever 2 tot de lijn door kever 1 en 3. Maar aangezien kever 2 parallel aan de verbindingslijn tussen kever 1 en 3 beweegt, blijft de hoogte gelijk (zie figuur 1 op pagina 4). Dus bij iedere beweging zal de oppervlakte gelijk blijven. Maar als de kevers alle drie hun holletje willen bereiken, moet de 4

5 oppervlakte van de driehoek opgespannen door de holletjes gelijk zijn aan de oppervlakte van de driehoek opgespannen door de kevers. In hoofdstuk 4 op pagina 5 staat het algoritme waarmee het spel opgelost kan worden. Maar dit algoritme werkt natuurlijk alleen als de oppervlakte groter dan nul is. Want als de oppervlakte nul is, dan liggen de kevers alle drie op een lijn. Ze kunnen dan ook alleen maar op deze lijn bewegen, maar de holletjes kunnen dan alle drie op een andere lijn liggen. Maar dan kunnen de kevers nooit hun holletje bereiken en dan is het spel dus niet oplosbaar. Dus de conclusie voor het basisspel is: Gelijke oppervlakten 0 Oplosbaar (2) 4 Algoritme De manier van oplossen is bij elk (oplosbaar) spel hetzelfde, er staat in het begin van het spel alleen nog niet vast welke kever naar welk holletje moet. Maar als er eenmaal één kever in een holletje zit, dan staat altijd vast naar welk holletje de andere twee kevers moeten. Om te beginnen kiezen we één van de kevers die we als eerste naar een holletje gaan verplaatsen. Stel we kiezen hiervoor kever 1, dan verplaatsen we kever 2 of 3 zodanig dat de bewegingslijn van kever 1 door een van de holletjes gaat. Vervolgens verplaatsen we kever 1 in dit holletje, die we voor het gemak even holletje 1 noemen. Nu moeten we eerst gaan bepalen naar welk holletje kever 2 en naar welke kever 3 moet. Hiervoor trekken we een lijn van holletje 1 tussen de twee andere holletjes in, in de richting van de twee holletjes. Als we dan vanaf holletje 1 over deze lijn gaan lopen, noemen we het holletje dat links van deze lijn ligt h links en het holletje dat aan de rechterkant ligt h rechts. Vervolgens trekken we ook een lijn van holletje 1 tussen de twee kevers door. Dan noemen we de kever die aan de linkerkant van deze lijn ligt, gezien vanuit holletje 1, k links en de kever aan de rechterkant k rechts. Er geldt nu dat k links in h links moet en k rechts in h rechts moet. Dus nu verplaatsen we k rechts zodanig dat de verbindingslijn van k links door h links gaat en dan verplaatsen we k links in het holletje. Als laatste hoeven we alleen k rechts nog maar in zijn holletje te verplaatsen. Ter verduidelijking van de benoeming van kevers en de holletjes, zie afbeelding 2 op pagina 6. 5 Uitbreidingen Hieronder staan de uitwerkingen van de bedachte uitbreidingen. 5.1 Een gemeenschappelijk holletje Als we in plaats van drie holletjes één gemeenschappelijk holletje nemen, dan geldt natuurlijk de bewering van het basisspel niet meer. Er kan namelijk geen driehoek gevormd 5

6 Figuur 2: Benoeming van de kevers en holletjes voor algortime worden en er kunnen dus ook geen oppervlaktes vergeleken worden. Er kan altijd één kever het holletje bereiken. Hierbij doen de beginposities er niet toe, want men kan twee kevers zodanig verplaatsen dat de andere kever het holletje kan bereiken. Maar vervolgens kan geen enkele kever het holletje meer bereiken, dit zou namelijk alleen mogelijk zijn als ze dan alle drie op dezelfde lijn lagen. Maar dan lagen de kevers al voordat het spel begon op één lijn, maar die beginposities hadden we uitgesloten. Dus is deze uitbreiding nooit oplosbaar. 5.2 Vaste bewegingsvolgorde Als we eisen dat de kevers in een vaste volgorde moeten bewegen, dan verandert er vrij weinig. Als een kever aan de beurt is om te bewegen, kan het zijn dat men eigenlijk niet wil dat deze kever beweegt. Maar dan zou men de kever met een afstand van nul kunnen bewegen en dus verplaatst de kever niet. Maar dan gelden dus dezelfde basiscondities als bij het basisspel (zie bewering 2 op pagina 5). 6

7 5.3 Vast holletje Bij deze uitbreiding staat al vast welke kever naar welk holletje moet, dus we kunnen nu niet meer een kever naar een willekeurig holletje brengen. Er geldt nu natuurlijk weer dat het spel niet oplosbaar is als de oppervlaktes niet gelijk zijn. Maar het is logisch dat het spel nu ook niet oplosbaar kan zijn terwijl de oppervlaktes toch gelijk zijn. In hoofdstuk 4 op pagina 5 staat namelijk dat wanneer er een kever in een holletje zit, dat er dan vast staat naar welk holletje de overige twee kevers moeten. Dus het kan zijn dat als kever 1 al in zijn holletje zit dat volgens het algoritme in hoofdstuk 4 kever 2 naar het holletje van kever 3 moet en andersom. Dus dan is het niet oplosbaar terwijl de oppervlaktes wel gelijk zijn. Maar dat betekent dus dat er meer basiscondities moeten gelden. De oriëntatie van de drie kevers is de richting waarin we draaien als we van kever 1 via kever 2 naar kever 3 gaan. Dus de oriëntatie van de kevers kan met de klok mee zijn of tegen de klok in. Nu blijkt dat als we een van de kevers over zijn bewegingslijn verplaatsen dat dan de oriëntatie hetzelfde blijft. Dus tijdens het hele spel verandert de oriëntatie niet. Dus als de oriëntatie van de holletjes niet hetzelfde is als de oriëntatie van kevers dan is deze uitbreiding niet oplosbaar. Maar stel dat de oriëntaties wel hetzelfde zijn, is het spel dan wel oplosbaar (als de oppervlaktes gelijk zijn)? We noemen nu voor het gemak het holletje waar kever 1 in moet holletje 1, die van kever 2 holletje 2 en die van kever 3 holletje 3. We kunnen dan natuurlijk altijd één van de kevers in zijn holletje krijgen. Stel we willen kever 1 als eerste in zijn holletje krijgen, dan verplaatsen we kever 2 of kever 3 zodanig dat de bewegingslijn van kever 1 door holletje 1 gaat. Vervolgens kun je kever 1 dan in zijn holletje plaatsen. Met behulp van het algoritme in hoofdstuk 4 op pagina 5 bepalen we dan welke kever k links is en welke k rechts is. Stel kever 2 is k rechts en kever 3 k links, dan is de oriëntatie dus tegen de klok in. Maar omdat de oriëntatie van de holletjes hetzelfde is als die van de kevers, is holletje 2 h rechts en holletje 3 h links. Dus dan kunnen alle kevers in hun eigen holletje komen. Dit geldt natuurlijk ook als de oriëntatie met de klok mee is en kever 2 dus k links is en kever 3 k rechts. Dus voor deze uitbreiding, waarbij iedere kever een eigen holletje heeft, geldt het volgende: (Gelijke oppervlakten 0 en gelijke oriëntatie) Oplosbaar (3) 5.4 Afgebakend gebied In een afgebakend gebied is een kever beperkt in zijn beweging. Zo kan een kever niet op elke willekeurige plek in het omrande gebied staan. De oppervlakte is namelijk al bepaald door de holletjes in het vlak, en de kevers moeten een oppervlakte opspannen die hieraan gelijk is. Als 2 van die 3 kevers heel erg dicht bij elkaar staan, dan moet de 3 e kever heel ver van de andere vandaan staan, om dezelfde oppervlakte op te spannen. Het zou daarom kunnen dat de derde kever buiten het gebied valt. Dit is niet toegestaan. Dus de kevers mogen in het afgebakende gebied niet te dicht bij elkaar staan. Dit is ook te zien in figuur 3 op pagina 8. 7

8 Figuur 3: De middelste kever is weggezet, daarna zijn willekeurige plekken gegenereerd waar de tweede kever zou kunnen staan, op voorwaarde dat de derde kever binnen het speelvlak zou vallen. 5.5 Meerdere kevers Als er meerdere kevers in een vlak zitten, heeft een kever meer bewegingsmogelijkheden. Neem bijvoorbeeld 4 kevers. Kever 1 mag nu evenwijdig lopen aan één van de 3 lijnen die door de andere 3 kevers lopen. Als deze 3 andere kevers niet op dezelfde lijn liggen, dan zijn er dus verschillende plaatsen waar kever 1 naartoe mag. Kever 1 kan dus in principe het hele vlak aflopen, en dus kan kever 1 ook zijn holletje bereiken. Als de 3 andere kevers wel op dezelfde lijn liggen, dan beweeg je niet met kever 1, maar kies je één van de andere kevers om mee te bewegen. Hierdoor kun je ze van deze lijn afhalen en dan kunnen vervolgens alle kevers weer evenwijdig aan 3 verschillende lijnen bewegen. Als alle vier de kevers op dezelfde lijn liggen, heeft dit geen zin. Het spel is dan niet oplosbaar, behalve als de holletjes ook op dezelfde lijn liggen als de kevers. Voor 5 of meer kevers gelden dezelfde regels, maar zijn er nog meer lijnen mogelijk om over te bewegen. Over het algemeen zijn er bij n kevers ( ) n 1 2 verschillende bewegingslijnen. De situatie met meerdere kevers is de enige oplosbare situatie waarbij de oppervlakte tussen de kevers en holletjes geen rol speelt. 5.6 Meerdere dimensies Om het spel in drie dimensies te kunnen spelen, moeten we eerst een paar aanpassingen maken. Ten eerste moeten we het aantal kevers met 1 ophogen, want 3 kever in drie dimensies vormen samen een vlak waar ze nooit meer uit kunnen en als de holletjes ook in dit vlak liggen dan is dat weer gewoon het basisspel. Dus we hebben 4 kevers nodig. Ten tweede moet een kever nu parallel aan het vlak door de andere drie kevers bewegen. De vier kevers vormen samen een onregelmatig viervlak in drie dimensies, waarbij de vier 8

9 hoekpunten de vier kevers zijn. Als we dan een van de kevers gaan bewegen, we noemen deze kever voor het gemak kever 1, dan beweegt hij parallel aan het vlak opgespannen door kever 2, 3 en 4. Maar dan blijkt dat de inhoud van het viervlak, opgespannen door de vier kevers, gelijk blijft. We zullen dit nu nader gaan uitleggen. De inhoud van een viervlak wordt berekend met behulp van de volgende formule: Inhoud = 1 Oppervlakte grondvlak Hoogte (4) 3 Omdat kever 2, 3 en 4 op hun plek blijven als we kever 1 gaan bewegen, nemen we als grondvlak de driehoek opgespannen door de kevers 2, 3 en 4. De oppervlakte van het grondvlak, die we berekenen met behulp van formule 1 op pagina 4, zal dus gelijk blijven als kever 1 beweegt. De hoogte is nu de kortste afstand van kever 1 tot het vlak opgespannen door de andere 3 kevers. Maar aangezien kever 1 parallel beweegt aan het vlak door de andere drie kevers, blijft de hoogte gelijk. Dus dan blijft inhoud ook gelijk. Dit geldt natuurlijk ook als we in plaats van kever 1 kever 2, 3 of 4 bewegen. Dus dan blijft de inhoud bij iedere beweging gelijk. Maar als alle 4 de kevers hun holletje willen bereiken, dan moet dus de inhoud van het viervlak opgespannen door de holletjes even groot zijn als de inhoud van het viervlak opgespannen door de kevers. Voor de manier van oplossen zie dan paragraaf Net zoals bij het basisspel moeten we uitsluiten dat de inhoud nul is. Dan liggen alle vier de kevers namelijk in één vlak en kunnen ze ook alleen maar in dit vlak bewegen. Maar dan kan het zijn dat de holletjes alle vier in een ander vlak liggen waardoor de kevers nooit hun holletje zullen bereiken en dus is het spel niet oplosbaar. Dus de conclusie voor het spel in 3 dimensies is: Gelijke inhouden 0 Oplosbaar (5) Algoritme voor spel in 3D De manier van oplossen is bij elk (oplosbaar) spel in 3D hetzelfde, maar er staat in het begin nog niet vast welke kever naar welk holletje moet. Dit staat pas vast zodra er twee kevers in een holletje zitten. We beginnen met het kiezen van één van de kevers die we als eerste naar een holletje gaan verplaatsen. Stel we kiezen hiervoor kever 1, dan kunnen we de andere drie kevers zodanig verplaatsen dat het bewegingsvlak van kever 1 door een holletje gaat. Vervolgens kunnen we kever 1 dan in dit holletje verplaatsen. Dit holletje noemen we voor het gemak weer holletje 1. Nu kiezen we een andere kever die we in een leeg holletje willen krijgen, stel we kiezen kever 2. Dan moeten we kever 3 of 4 zodanig verplaatsen dat het bewegingsvlak van kever 2 door een leeg holletje gaat. Verplaatst dan kever 2 in dit holletje, dat we holletje 2 noemen. Nu kiezen we een van de holletje waar een kever in zit, stel holletje 1. De twee lege holletjes vormen dan samen met holletje 1 een vlak wat we het holletjesvlak noemen. Er geldt nu dat het vlak dat de kevers 1, 2 en 4 vormen niet evenwijdig is aan het holletjesvlak, want holletje 2 zit niet in het holletjesvlak en natuurlijk wel in het vlak gevormd door kever 1, 9

10 2 en 4, maar holletje 1 zit in beide vlakken. Dus is het bewegingsvlak van kever 3 ook niet evenwijdig aan het holletjesvlak waardoor deze vlakken elkaar dus snijden. Maar dan kunnen we kever 3 verplaatsen zodat hij in het holletjesvlak zit. Hetzelfde geldt voor kever 4 die we dus ook in het holletjesvlak kunnen zetten. De bewegingslijn van kever 3 in het holletjesvlak is de snijlijn tussen het holletjesvlak en het bewegingsvlak. Het vlak gevormd door kever 1, 2 en 4 snijdt het holletjesvlak in de lijn door kever 1 en 4. Maar omdat het bewegingsvlak van kever 3 evenwijdig is aan het vlak gevormd door kever 1, 2 en 4, is de bewegingslijn van kever 3 in het holletjesvlak evenwijdig aan de verbindingslijn van kever 1 en 4 in het holletjesvlak. Net zo is de bewegingslijn van kever 4 in het holletjesvlak evenwijdig aan de verbindingslijn van kever 1 en 3 in het holletjesvlak. Maar dan hebben we in het holletjesvlak het basisspel in 2D, waarin we dus het algoritme van hoofdstuk 4 op pagina 5 kunnen toepassen. Dus samengevat verplaatsen we eerst kever 1 en kever 2 in een holletje. Vervolgens verplaatsen we kever 3 en 4 in een van de twee holletjesvlakken, natuurlijk wel beide kevers in hetzelfde holletjesvlak. Vervolgens kunnen we dan in dit holletjesvlak het algoritme van hoofdstuk 4 op pagina 5 toepassen en zo alle kevers in een holletje plaatsen. 6 Conclusie Om het lijnenspel te kunnen uitspelen, moeten er dus basiscondities gelden. De eerste basisconditie, die voor zowel het basisspel als de uitbreidingen geldt, is dat de kevers niet op één lijn mogen liggen en holletjes niet. Hier hoort ook bij dat de holletjes geen lijn mogen vormen als een van de kevers niet op deze lijn ligt. De conditie die moeten gelden voor het basisspel is dat de oppervlakte opgespannen door de kevers gelijk moet zijn aan de oppervlakte opgespannen door de holletjes. Ook mag deze oppervlakte niet gelijk zijn aan nul. Vervolgens kan met behulp van het algoritme in hoofdstuk 4 op pagina 5 het spel worden opgelost. Dus voor het basisspel geldt bewering 2 op pagina 5. Het spel waarbij er een gemeenschappelijk holletje is, is nooit oplosbaar. En als de kevers een vaste bewegingsvolgorde hebben, dan is er geen verschil met het basisspel. Bij de uitbreiding waarbij de kevers een vaste holletje hebben, geldt er een extra beginconditie. Behalve dat de oppervlaktes gelijk moeten zijn, moeten nu ook de oriëntaties gelijk zijn. Het algoritme is hetzelfde als het algoritme van het basisspel. Het afgebakend gebied zorgt ervoor dat de kevers niet heel dicht op elkaar kunnen staan. De afstand die er minimaal tussen twee kevers moet zijn, is afhankelijk van de oppervlakte opgespannen door de holletjes. Met meerdere kevers is er zo veel vrijheid dat vrijwel alle situaties oplosbaar zijn, behalve waarbij de kevers of holletjes op 1 lijn staan. Dit is ook de enige variant op het spel waarbij de oppervlakte tussen kevers en holletjes er niet toe doen. Voor het spel in 3D zijn er 4 kevers nodig en in plaats van gelijke oppervlakten moeten de inhouden gelijk zijn. Ook mogen de inhouden niet gelijk zijn aan nul, tenzij de kevers en de holletjes allemaal in hetzelfde vlak liggen. Als er aan deze basiscondities voldaan is dan 10

11 kan het spel worden opgelost met behulp van het algoritme is paragraaf op pagina 9. Dus voor het spel in 3D geldt bewering 5 op pagina 9. Dus bij ieder spel zijn er begincondities waaraan het spel moet voldoen om oplosbaar te zijn en als hieraan voldaan is dan kan men het spel met behulp van het bijbehorende algoritme oplossen. 11