compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
|
|
- Guido Smet
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf expliciet de vergelijkingen op die worden voorgesteld door de uitdrukking y i a r i x r. Antwoord: Stel dat i 3 per conventie gaan indices als i, j en k over 1, 2 en 3. Stel verder r 4 hiervoor is geen conventie, dan geldt y i a r ix r y 1 a 1 1 x 1 + a 2 1 x 2 + a 3 1 x 3 + a 4 1 x 4, y 2 a 1 2 x 1 + a 2 2 x 2 + a 3 2 x 3 + a 4 2 x 4, y 3 a 1 3 x 1 + a 2 3 x 2 + a 3 3 x 3 + a 4 3 x 4. 1 b Verklaar waarom een uitdrukking als a ii x i zonder enige betekenis is. Antwoord: In het algemeen geldt a ij ji. In het geval van uitdrukking a ii x i is het niet duidelijk of we over de rij- of de kolomindex dienen te sommeren. Ook zouden we nog kunnen bedoelen dat we over de diagonale elementen van de matrix a ij sommeren. c Gebruik de sommatieconventie om compact weer te geven ken ook een waarde toe aan n. Antwoord: Er geldt met n 4 a 11 b 11 + a 21 b 12 + a 31 b 13 + a 41 b 14 2 a i1 b 1i a 11 b 11 + a 21 b 12 + a 31 b 13 + a 41 b d Idem voor a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 13 b 13 + a 14 b 14 + a 15 b Antwoord: Er geldt met n 5 a 1i b 1i a 11 b 11 + a 12 b 12 + a 13 b 13 + a 14 b 14 + a 15 b e Idem voor c 1 i1 + c 2 i2 + c 3 i3 + c 4 i4 + c 5 i5 + c 6 i6 + c 7 i7 + c 8 i8. 6 Antwoord: We hebben met n 8 de i vergelijkingen c j ij c1 i1 + c 2 i2 + c 3 i3 + c 4 i4 + c 5 i5 + c 6 i6 + c 7 i7 + c 8 i8. 7 Opgave 2: Als a ij constanten zijn, bereken dan de partiële afgeleiden x k a ijx i x j. 8 Hint: het antwoord is a x k ij x i x j a ki x i + a ik x i a ik + a ki x i. Antwoord: Als we de -notatie gebruiken, vinden we i,j a ijx i x j i k a ij x i x j + ik a ij x i x j + i k a ij x i x j + ik a ij x i x j j k j k jk jk C + j k a kjx j x k + i k a ikx i x k + a kk x k 9 2,
2 2 met C onafhankelijk van x k. Dierentiëren naar x k levert x k a ij x i x j + a kj x j + a ik x i + 2a kk x k i,j j k i k j Als we gebruikmaken van de sommatieconventie, vinden we a kj x j + i a ik x i. 1 x k a ijx i x j a ki x i + a ik x i a ik + a ki x i. 11 Opgave 3: Beschouw het parabolische coördinatensysteem p, q zoals gegeven in de guur. De transformatiefuncties van gewone cartesische coördinaten x, y naar deze coördinaten zijn met c een constante. De inverse transformatiefuncties zijn px, y x en qx, y y cx 2, 12 xp, q p en yp, q cp 2 + q. 13 a Laat zien dat vergelijking 13 inderdaad de correcte inverse transformaties voorstelt. Antwoord: Dat is een kwestie van triviaal invullen: x p p x en y cp 2 + q q y cp 2 y cx 2. b Bereken alle acht partiële afgeleiden x µ /x ν en x µ /x ν. Antwoord: We vinden x µ p p x ν x y q x q y We veriëren ook direct dat xµ x ν 1 2cx 1 xµ x 1. ν en x µ x ν x p y p x q y q 1 2cp c De metrische tensor voor cartesische coördinaten x, y is ds 2 dx 2 + dy 2, en hiermee kunnen we de metrische tensor voor deze Euclidische coördinaten schrijven als 1 g αβ. 15 1
3 3 De metrische tensor transformeert volgens Bereken de metrische tensor voor het p, q systeem. Antwoord: Gebruik van bovenstaande relatie levert 1 + 4c g µ ν 2 p 2 2cp 2cp 1 g µν xα x µ x β x ν g αβ Bijvoorbeeld als we voor de coördinaten-indices µ p en ν q kiezen, dan vinden we g pq xα p x β q g αβ x x p q g xx + x p y q g xy + y x p q g yx + y y p q g yy cp 1 2cp. 18 d Stel dat vector A in het systeem p, q de componenten A p 1, A q heeft. Bepaal voor deze vector de componenten in het x, y systeem. Begrijp je waarom deze componenten er zó uit dienen te zien? teken e p en e q op een typisch punt. Toon verder aan dat A 2 A A van deze vector dezelfde waarde heeft in beide systemen. Antwoord: Vectorcomponenten transformeren als Dit levert A α xα 1 x µ Aµ 2cp 1 Dit had je kunnen verwachten, omdat we hebben: A α xα x µ Aµ cp. 2 dp 1 en dq 21 dx dp 1 22 dy dq + 2cpp 2cp 23 In het {xy} systeem vinden we voor het inproduct A 2 A A A α A α 1 1 2cp 1 + 4c 2 p cp Merk op dat er geen verschil is tussen de componenten A α van de vector en de A α van de 1-vorm. In het {pq} systeem vinden voor de componenten van de 1-vorm A µ g µ ν A ν 1 + 4c 2 p 2 2cp c 2 p cp 1 2cp Voor het inproduct vinden we nu A 2 A A A µ A µ 1 + 4c 2 p 2 2cp c 2 p 2 26 en dat is inderdaad gelijk aan de waarde van het inproduct in het {xy} systeem.
4 4 Opgave 4: De metrische tensor η µν voor de minkowski-ruimte voor coördinaten x µ ct, x, y, z wordt gegeven door 1 η µν De elektromagnetische veldtensor gegeven wordt door F µν E x E y E z E x B z B y E y B z B x E z B y B x, 28 met E x, E y, E z de componenten van de elektrische veldvector E en B x, B y, B z de componenten van de magnetische veldvector B. Lorentztransformaties Λ ν µ geven het verband tussen systeem x µ en x µ die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen als x ν Λ ν µx µ a Toon aan dat geldt η αβ η µν Λ µ αλ ν β. 29 Antwoord: Het ruimtetijd-interval is een scalar en dus systeem invariant. Er geldt ds 2 η µν dx µ dx ν η µ ν dx µ dx ν. 3 We gebruiken nu de denitie van de Lorentz transformaties en schrijven η µν dx µ dx ν η µν Λ µ αdx α Λ ν β dxβ η µν Λ µ αλ ν β dxα dx β. 31 De laatste stap volgt uit het feit dat vermenigvuldiging commutatief is voor de factoren in elke gegeven term van de geïmpliceerde sommatie. Vervolgens herlabelen we de indices aan de rechterzijde, zodat µ α, ν β, α µ en β ν. Dit levert η µν dx µ dx ν η αβ Λ α µλ β µdx µ dx ν. 32 We trekken nu de linkerzijde af van de rechter en halen de gemeenschappelijke factor dx µ dx ν buiten haakjes. Dan vinden we η µν η αβ Λ α µλ β µ dx µ dx ν. 33 Dit moet gelden voor elke mogelijke vierverplaatsing, waarvan de componenten dx µ volledig willekeurig zijn. Dat kan alleen gelden wanneer de grootheid tussen haakjes gelijk is aan nul. Hieruit volgt dan η µν η αβ Λ α µλ β µ dx µ dx ν η µν η αβ Λ α µλ β µ. 34 De gevraagde uitdrukking kunnen we weer vinden door indices te herlabelen. b Toon aan dat geldt F µν η µα η νβ u α u β. 35 Antwoord: Een fundamentele eigenschap van de elektromagnetische veldtensor is dat F µν F νµ. Dan geldt F µν η µα η νβ u α u β F νµ η µα η νβ u α u β. 36
5 5 We herlabelen nu indices aan de rechterzijde, zodat µ ν en α β. Dan vinden we F µν η µα η νβ u α u β F µν η νβ η µα u β u α F µν η µα η νβ u α u β. 37 De laatste stap volgt weer uit de commutativiteit van vermenigvuldiging. We zien dat beide zijden gelijk zijn, afgezien van het minteken. Omdat er geen vrije indices zijn, is het resultaat een scalair getal. De enige scalar die gelijk is aan het negatieve van zichzelf is nul. Daarom impliceert de structuur van de elektromagnetische veldtensor F µν η µα η νβ u α u β. 38 Opgave 5: We bevinden ons in de minkowski-ruimte en hebben tensor X µν en vector V µ met componenten X µν , en V µ 1, 2,, Bepaal de componenten van a X µ ν Antwoord: We gebruiken de metriek om een index omhoog te halen. We geven het resultaat in matrixnotatie, waarbij de eerste index de rij en de tweede index de kolom aangeeft. We vinden X µ ν η µα X αν b X ν µ Antwoord: We gebruiken weer de metriek om een index omhoog te halen en vinden Xµ ν η αν X µα c Merk op dat we voor een gegeven tensor elk willekeurig aantal indices kunnen symmetriseren. We geven dit aan door deze indices tussen ronde haakjes te plaatsen, zoals X µν. Om te symmetriseren nemen we de som over alle permutaties van de relevante indices en delen door het aantal termen. Bepaal X µν. Antwoord: Hiertoe zullen we eerst X µν moeten bepalen. Hiervoor gebruiken we nogmaals de metriek om een index omhoog te halen van het bij a verkregen antwoord: Er geldt X µν η αν X µ α X µν 1 2 Xµν + X νµ
6 6 d We kunnen ook antisymmetriseren, waarbij in de som elke term die een oneven aantal permutaties vereist een minteken krijgt. We geven dat aan met vierkante haakjes [..]. Bepaal X [µν]. Antwoord: Er geldt X [µν] 1 2 X µν X νµ e X λ λ Antwoord: Dit komt overeen met het spoor van X µ ν en we vinden X λ λ 4. f V µ V µ Antwoord: We gebruiken de metriek en vinden V µ 1, 2,, 2. De contractie levert g V µ X µν Antwoord: Uitwerken levert V µ V µ V µ V µ A ν V µ X µν Opgave 6: We bekijken nu wat lineaire algebra met tensoren. a Toon aan dat geldt Antwoord: Er geldt x 1, x 2, x 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 a ij x i x j. 47 a 11 a 12 a 13 x 1 a 1j x j x 1, x 2, x 3 a 21 a 22 a 23 x 2 x 1, x 2, x 3 a 2j x j [ x i a ij x j ] a ij x i x j. a 31 a 32 a 33 x 3 a 3j x j 48 b Schrijf de kwadratische vorm 3x 2 + y 2 2z 2 5xy 6yz 1 door gebruik te maken van een symmetrische matrix. Antwoord: Bovenstaande kwadratische vorm wordt gegeven door de niet-symmetrische matrix 3 5 A
7 7 We vinden de symmetrische equivalente matrix door elk niet-diagonaal element te vervangen door de halve som van dat element en haar spiegelbeeld in de diagonaal van de matrix. De gevraagde representatie wordt dus 3 5/2 x x, y, z 5/2 1 3 y z Uitwerken hiervan levert weer 3x 2 + y 2 2z 2 5xy 6yz 1. c In een orthonormaal coördinatenstelsel wordt de afstand d x, y tussen de punten met plaatsvectoren x en y gegeven door d x, y x y x y T x y. 51 We voeren de coördinatentransformatie x A x of x B x met B A 1 uit. Wat is de formule voor de afstand d x, y in het getransformeerde systeem? Hint, het antwoord is d x, y met G B T B A 1 T A 1 A T 1 A 1 AA T 1. Antwoord: Het is een kwestie van invullen. Dit levert x y T G x y d x, y 52 d x, y x y T x y B x B y T B x B y B x y T B x y x y T B T B x y x y T G x y d x, y, 53 met G B T B A 1 T A 1 A T 1 A 1 AA T 1. We kunnen tensornotatie gebruiken en de productregel voor matrices om te bewijzen dat geldt AB T B T A T. Het bewijs gaat als volgt Stel dat A [a ij ] mn dus m rijen en n kolommen, B [b ij ] nk, en AB [c ij ] mk. Voor alle i en j hebben we a ij a ji, b ij b ji, c ij c ji. 54 [ ] [ ] [ ] Er geldt dus A T a ij, nm BT b ij, en kn ABT c ij. We moeten laten zien dat [ ] km [ ] B T A T c ij. De denitie van het matrixproduct geeft km BT A T b ir a rj, en omdat vinden we het gewenste resultaat. b ira rj b ri a jr a jr b ri c ji c ij 55 km
HOVO Het quantum universum donderdag 19 februari 2009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen
HOVO Het quantum universum donderdag 9 februari 009 OPGAVEN WEEK 3 - Oplossingen Naam: Opgave : Ga uit van vergelijking 53) op bladzijde 34. Maak gebruik van een grove benadering waarbij we de afgeleide
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Laura van der Schaaf Differentiaaltopologie: 15 september 2014 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Nadere informatieOpgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatie1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand Les 2: 8 september 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Joris van Heijningen Email: jo@nikhef.nl,
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde.........................
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieElementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Nadere informatieFuncties van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieBijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieDeeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober
Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 3 oktober 013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 060 539 484 / 00 59 000
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: woensdag 28 juni 26. Tijd: 4: 7:. Plaats: HG. C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieDidactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor
Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor?
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieOpgaven voor ART. collegejaar Laat T een of andere matrix voorstellen. Vorm nu het object
Opgaven voor ART collegejaar 009-010 1 College 1 1.1 Exponentiatie van operatoren Laat T een of andere matrix voorstellen. Vorm nu het object B = (1+ a ) N N T waarbij a een niet-infinitesimaal getal is,
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieVectoren en Tensoren; Algemene relativiteitstheorie HOVO Utrecht Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek. 1 Inleiding 3
Vectoren en Tensoren; Algemene relativiteitstheorie HOVO Utrecht Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Differentieerbare ruimten 3 2.1 Inleiding..............................
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieRelativistische quantummechanica
Chapter 6 Relativistische quantummechanica 6. De Klein-Gordon vergelijking 6.. Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieLIEGROEPEN OPGAVEN. Gerard t Hooft
LIEGROEPEN OPGAVEN Gerard t Hooft Spinoza Instituut Postbus 80.195 3508 TD Utrecht e-mail: g.thooft@phys.uu.nl internet: http://www.phys.uu.nl/~thooft/ Opgaven behorende bij het college Liegroepen 003.
Nadere informatie1 OPGAVE. 1. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier
OPGAVE. Opgave. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier : ρ = φ φ, waarin φ de Klein-Gordonfunctie is. De stroom j van kansdichtheid wor in Schrödingers
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatieextra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Nadere informatie15 Uitwerkingen Lineaire Algebra
5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatierelativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieSolid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 4
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 4 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 15:45 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Naam student: Ident. nr.: Deze toets bestaat uit 20 vragen. Elke vraag dient beantwoord te
Nadere informatie