Algemene relativiteitstheorie

Transcriptie

1 Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015

2 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek / Kamer: T.69 Rooster informatie Hoorcollege: dinsdag 13:30 15:15, HG-0G30 (totaal 5 keer) Boek en website Dictaat: in ontwikkeling Zie website URL: Response op college

3 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe Ruimtetijd Minkowski ruimtetijd Tensoren Gekromde ruimtetijd Algemene coördinaten Covariante afgeleide Algemene relativiteitstheorie Einsteinvergelijkingen Newton als limiet Toepassingen ART Zwarte gaten Kosmologie Gravitatiestraling Copyright (C) Vrije Universiteit 009

4 Relatieve beweging Einstein 1905: Alle natuurwetten blijven dezelfde (zijn invariant) voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig t.o.v. elkaar bewegen. De lichtsnelheid is invariant heeft voor alle waarnemers dezelfde waarde. Einstein 191 Inertiaalsysteem: objecten bewegen in rechte lijnen als er geen krachten op werken (Newtons eerste wet). Indien een systeem met constante snelheid t.o.v. een inertiaalsysteem beweegt, dan is het zelf ook een inertiaalsyteem. 4

5 Lorentztransformaties Transformaties laten lichtsnelheid invariant Lorentz 190 Waarnemers in O en O bewegen met snelheid v t.o.v. elkaar. Systemen vallen samen op t = t = 0. Waarnemer in S kent (x, y, z, t) toe aan het event. Waarnemer in S kent (x, y, z, t ) toe aan hetzelfde event Wat is het verband tussen de coördinaten voor dit zelfde event?

6 Lorentztransformaties Lorentztransformatie Inverse transformatie (snelheid v verandert van teken)

7 Relativiteit van gelijktijdigheid Stel dat in systeem O twee events, A en B, op dezelfde tijd, t A = t B, gebeuren, maar op verschillende plaatsen, x A x B. Invullen levert Events vinden niet simultaan plaats in systeem O Waarnemers O en O hebben verschillend besef van wat het nu is In 1905 werkt Einstein nog met verschillende tijden en 3D ruimten voor beide waarnemers en gebruikt de Lorentztransformaties om de ervaringen (meetgegevens) van beide waarnemers te relateren Er bestaan oneindig veel van deze inertiale waarnemers en evenveel tijden en 3D ruimten

8 Er is één enkele ruimtetijd in de SRT In 1908 introduceerde Minkowski het begrip ruimtetijd: een vierdimensionale wereld Het belang van fotonen m.b.t. structuur van ruimtetijd: empirisch vastgestelde universaliteit van de voortplanting in vacuum Onafhankelijk van bewegingstoestand van de bron golflengte intensiteit polarisatie van EM golven ct deeltje in rust deeltje met willekeurige snelheid deeltje naar rechts bewegend met constante snelheid deeltje met lichtsnelheid 45 o x

9 Minkowskiruimte inproduct O waarnemer We kennen de vector PQ toe aan de geordende events P en Q Q Definitie: ( PQ, PQ) c 1 P Afspraak: tijden voor P negatief tijden na P positief 1 E Dankzij het bestaan van een metriek (inproduct) kunnen we nu afstanden bepalen. Ruimtetijd heeft een metriek P Q P 1 Q 0 1 Q 0 c P P 1 0 Q 0 1 P 0 Q P en Q gelijktijdig als 1

10 Lorentzinvariantie Minkowski-metriek Dat wil zeggen ( PQ, PQ) is onafhankelijk van de inertiele waarnemer door P Volgens A: Volgens B: Er geldt ( PQ, PQ) c Definitie: 1 Met afspraak over het teken! ( PQ, PQ) c 1 ( PQ, PQ) c PA 1 1 1' ' k k 1 1 PB 1 1' k k PA PB ' P A Waarnemer A Waarnemer B ' B Q 1 1' ' 1 Scalair product is Lorentzinvariant A 1 1' B 1

11 Lorentzcoördinaten Definieer basisvector e0 OE ( e, e ) 1 Er geldt 0 0 E is verzameling puntgebeurtenissen die gelijktijdig zijn met O (t.o.v. A) Dat is de 3-dim euclidische ruimte op M 0 E is verzameling puntgebeurtenissen die gelijktijdig zijn met t.o.v. A s 1 s 0 s 1 s O E e 0 Waarnemer A (inertieel) e 1 Er geldt Q OE, OQ 0 ( l A ) Orthonormaal stelsel vectoren in E met beginpunt O Er geldt En ook 0 e1, e, e3 en ( e, e ) ( e, e ) ( e, e i ) 0 i j ij s l A

12 e Minkowski meetkunde Basisvectoren met 0,1,,3 1 als 0 We hebben gevonden dat ( e, e) 1 als i 0 overige gevallen Nieuw symbool Minkowskimetriek ( e, e ) Het invariante lijnelement Notatie bevat metriek en coordinaten Voor cartesische coordinaten Inverse Lijnelement uitschrijven Dezelfde tijd: Ruimtelijke termen: Stelling van Pythagoras Dezelfde plaats: het lijnelement is een maat voor de tijd verstreken tussen twee gebeurtenissen voor een waarnemer die in rust is ten opzichte van deze gebeurtenissen Dan geldt

13 Minkowskiruimte ct Ruimtetijd geometrie ( s) ( ct) x C C Welke zijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Wat zijn de lengten? AB = 5, BC = 3, AC = wortel( ) = 4 A B A B x Wat is het kortste pad tussen punten A en C? De rechte lijn tussen A en C, of het pad ABC? Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C Idem voor driehoek A B C A B = B C = wortel(-3 +3 ) = 0 en A C = 6 Pad is A B C met lengte 0. ( s) ( ct) x 0 x t c Tweelingparadox ( s) ( ct) x ( c )

14 Tweelingparadox ct Smith en Jones zijn tweelingen, beiden 30 jaar oud. Jones vliegt naar Sirius en reist met 8/10 van de lichtsnelheid. Als hij Sirius bereikt, komt hij meteen terug. Jones, gaat snel, maar Sirius is ver. Jones is 0 jaar weg en als hij terugkeert is Smith 50. Hoe oud is Jones? C=(0,0) B=(10,8) S J A=(0,0) x ( s) ( ct) x ( c )

15 Minkowskiruimte: causale structuur tijdachtig: ds negatief lichtachtig: ds = 0 toekomst P ruimteachtig: ds positief verleden Binnen de lichtkegel kunnen gebeurtenissen causaal verbonden zijn met gebeurtenis P. Er buiten kan geen causaal verband bestaan.

16 Minkowskiruimte Bewegende waarnemers s c t x v ct' ( ct x) c x' ( x vt) Voor de x as: stel ct =0. Dan volgt ct = bx. Voor de schaal op de x as: stel x =1 en ct =0. Dan volgt x=. Voor de ct as: stel x =0. Dan volgt ct = x/b. Voor de schaal op de ct as: stel ct =1 en x =0. Dan volgt ct=.

17 Minkowski ruimtetijd Gebeurtenis (event) 1 heeft coöordinaten Waarnemer O: (ct 1, x 1 ) Waarnemer O : (ct 1, x 1 ) Lees (ct 1, x 1 ) in O af door lijnen // aan ct en x assen te trekken Voor waarnemer O gebeurt event 1 op dezelfde tijd als event en op dezelfde plaats als event 3 Voor waarnemer O is de volgorde van de events: 0,, 3, 1 event 0 op (0,0) Volgorde voor gebeurtenissen en 3 is verschillend voor beide waarnemers Dit lijkt schokkend: het kan ons begrip van causaliteit omver werpen ct event event 3 event 1 Voor waarnemer O is de volgorde van de events: 0 en 3 gelijktijdig, dan 1 en gelijktijdig De SRT respecteert causaliteit mits we geen signalen met snelheden > c toestaan! Lichtkegels zijn van groot belang: event in kegel van 0, en 1 in kegel van 3 ct 1 x 1 x