Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen

Transcriptie

1 Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen

2 Albert Einstein ( ) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale rela*viteitstheorie Ruimte en *jd, E=mc 2 Het foto elektrisch effect Start kwantumtheorie Brownse beweging Aantonen bestaan moleculen Deze publica*es hebben verstrekkende gevolgen! Leven is ingrijpend veranderd TV, computer, WWW, magnetron, Gezondheidszorg, communica*e, militair,... Veel veranderingen zijn terug te voeren op de ontwikkeling van de fundamentele natuurkunde. Met name de invloed van Einstein is enorm. P 2

3 De Klassieke Mechanica Wetenschappelijke revolu*e *jdens de gouden 17 e eeuw Klassieke mechanica gee\ kwan*ta*ef recept voor de beschrijving van bewegende objecten. Ik gooi een steen omhoog met snelheid van 10 m/s. Hoe hoog komt de steen? Hoe is de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel? Galilei ( ) Helden van de klassieke mechanica: Galileo Galilei, Isaac Newton Newton ( ) P 3

4 Galilei transforma*es Bekijk een kogel die wordt afgeschoten vanuit een rijdende trein. Wat is de snelheid van de kogel t.o.v. De rijdende trein? Uw vriend op het perron die de trein voorbij ziet komen? Stel de kogel vliegt met snelheid V kogel weg tov trein Rela*e tussen de snelheden is vanzelfsprekend: V kogel =V kogel +v trein Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen P 4

5 Principe van rela*viteit De grooce van je snelheid kun je niet voelen Een rijdende trein, of sta je s*l en de rest van de wereld beweegt? Astronauten in het ISS voelen niet dat zij met km/uur rond de aarde razen Alle natuurwe(en (ook die van de mechanica) zijn hetzelfde in coördinatenstelsels die een constante snelheid tov elkaar hebben. In de Klassieke Mechanica wordt dit beschreven door de 3 hoofdwecen van Newton Voor versnelde coördinatenstelsels hee\ Einstein de Algemene Rela*viteitstheorie ontwikkeld (Einstein 1915) Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etcetera! P 5

6 Snelheid van het licht Eind 19 e eeuw stelt Maxwell de theorie van elektriciteit en magne*sme op. Licht (fotonen) is een con*nue buiteling van elektrische en magne*sche velden Maxwell vergelijkingen: de lichtsnelheid is een natuurconstante, ona.ankelijk van het coördinatenstelsel! Snelheid van het licht, c, in vacuüm is c= m/s Ongeveer km/s = m/s Hoe kan dit nu? We hadden gezien dat de snelheid van dingen amankelijk is van hoe je observeert? Poincare ( ) Maxwell ( ) Lorentz ( ) P 6

7 Perplex met licht Sta even s*l bij de consequen*e hiervan Stel u ontsteekt een zaklantaarn in een rijdende trein. De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c, dwz, ~ km/s. Uw vriend bevind zich op het perron en ziet de voorbijsnellende trein. Hij kan de snelheid van het licht uit de zaklamp bepalen, tov het perron: Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten! Duidelijke tegenspraak met de Galilei transforma@es. P 7

8 Gelijk*jdigheid Volgende gedachten experiment: Neem lange trein sta in het midden en ontsteek een lampje A B Het duurt een *jdje en dan komt het licht aan bij de voor en achterkant van de trein (A en B) A B Licht bereikt voor en achterkant van de trein tegelijker*jd Het licht bereikt A en B gelijk*jdig P 8

9 Gelijk*jdig, of niet? Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit alles: A B In de *jd dat het licht nodig hee\ om de uiteinden te bereiken, is de trein een stukje opgeschoven. De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (konstant!) A B Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B! Het licht bereikt A en B niet gelijk*jdig voor de vriend op perron. P 9

10 De lichtklok Stel u maakt een klok op de volgende manier: Lampje en spiegel en elke keer dat licht heen en weer gaat een volgende *k van de klok spiegel L 0 lampje De *jdsduur ΔT tussen twee *kken is hiermee gelijk aan: Deze klok gee\ uiterst regelma*g *kken. Hoewel prak*sch gezien het maken van de klok best las*g is. Hiermee wordt de voortgang van de *jd bekeken Het is gemakkelijk te analyseren! P 10

11 P 11 De lichtklok op de trein Zet nu de lichtklok op een trein. De waarnemer op het perron ziet de klok *kken met snelheid Δt B L 0 Snelheid van de trein v A C De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras De snelheid van het licht is constant, en de totale afstand ABC wordt afgelegd in een *jd cδt 2 ( L v t ) 2 = ABC = c t 2

12 P 12 Tijds uitrekking (dilata*e) We hebben nu een vergelijking met Δt, die kunnen we oplossen: Voor de s*lstaande klok (in de trein dus) hadden we Δt : 4 Hiermee zijn de *kken niet meer gelijk voor de man in de trein en de vriend op het perron: t = t 1 v2 c 2 De man op het perron ziet de *jd in de trein anders verlopen! Gevolg van constante lichtsnelheid

13 Tijdsdilata*e We hebben nu laten zien dat: Δt : s*lstaande klok: *jd in de trein zelf Δt : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron Stel een ruimteschip beweegt met een snelheid v = 0.8c = (4/5)c Een seconde voor een reiziger het ruimteschip ziet de vriend vanaf de aarde als Man op aarde ziet alle bewegingen trager verlopen in het ruimteschip, met een factor 1.66!

14 Dilata*e Bij lage snelheden is het effect van *jdsvertraging klein Voor een trein met v=100 km/uur zijn de *jden Δt en Δt hetzelfde tot op % nauwkeurig Toch blij\ u iets jonger in de rijdende trein tov de thuisblijver! Bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid is *jdsdilata*e heel groot Lichtsnelheid v=c is de maximum snelheid Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug lopen Gelukkig! Anders problemen met oorzaak en gevolg Bv: U kunt niet uw eigen ouders vermoorden voordat u geboren bent! Effect in elementaire deeltjes onmiskenbaar Voor posi*e bepaling met GPS systeem is rela*viteit onmisbaar P 14

15 Invariant interval Een ruimteschip met lichtklok van 3m hoog beweegt met snelheid 0.8c tov de aarde Tov aarde: Klok *kt anders, maar hee\ ook een afstand afgelegd Is er een grootheid invariant? Interval tussen twee gebeurtenissen Onamankelijk van de beweging snelheid van de klok! 15

16 Bewegende coördinatenstelsels Hoe kun je coördinaten beschrijven tov twee bewegende stelsels Galilei transforma*es Klassieke mechanica Vergelijk beschrijving vanuit trein en vanuit het perron Gebruik schrijfwijze Lorentz transforma*es (geen afleiding hier) Enige mogelijkheid die interval s invariant laat Modifica*e van Galilei bij hoge snelheden Mixen van ruimte en *jd Naar links bewegend coördinatenstelsel 16

17 Opdracht Laat zien dat de Lorentztransforma*es de grootheid invariant laat. Maw, laat zien dat geldt: gebruik de defini*es: P 17

18 Optellen van snelheden Optellen van snelheden Stel trein beweegt met snelheid v 1 Kogel in de trein beweegt met snelheid v 2 tov de trein Wat is de snelheid van de kogel tov het perron? Klassiek: Met Lorentz transforma*es Hierdoor kan snelheid niet groter worden dan c Voorbeeld: snelheid licht op trein, bezien vanaf perron: v = v 1 + v 2 1+ v 1v 2 c 2 18

19 Invariant interval Invariante interval speelt centrale rol in rela*viteitstheorie Interval tussen twee gebeurtenissen bepaalt of deze causaal verbonden zijn Kunnen zij elkaar beinvloeden? Voortgang in *jd beschrijven mbv (ct,x) diagram: ct Stilstaand object ct Konstant bewegend object ct Bewegend object x x UvA Mastercourse P maart 2009 x

20 Visualisa*e Lorentz transforma*e P 20

21 Vier dimensionale vectoren Gebeurtenis wordt beschreven door vier vector Vergelijk drie en vier vectoren Klassieke drie vector: Vier vector Tijd coördinaat, uitgedrukt in [m]: ct Lengte van de vectoren Lengte van drie vector: De lengte is invariant onder rota*es van het coördinatenstelsel Lengte van vier vector: Deze lengte is invariant onder 3d rota*es van het ruimtelijk coördinatenstelsel Maar bovendien is deze lengte invariant voor bewegende coördinatenstelsels 21

22 De vier impuls vector Voor de Klassieke Mechanica Impuls wordt gegeven door Impuls is behouden gebruik analyse van bv botsingen Vier dimensionale equivalent: Kunt niet differen*ëren naar de *jd t In plaats daarvan gebruik eigen*jd t *jd van eigen horloge Voor s*lstaande waarnemer is *kken van klok gelijk aan eigen*jd Verder is eigen*jd invariant, dwz hetzelfde tov iedere waarnemer Enige mogelijke vier vector: 22

23 Rela*vis*sche impuls De eigen*jd t kan worden geschreven als Vergelijk de situa*e met s*lstaande en bewegende klok, eigen*jd werd daar t genoemd. Bekijk het ruimtelijk gedeelte van vier impuls De rela*vis*sche impuls wordt nu De wiskundige expansie van γ rond kleine snelheden Hiermee vinden we terug voor lage snelheden γ 1+ v2 2c v 4 c 4 + p x mv x + m v3 x 2c 2 + mv x P 23

24 Rela*vis*sche energie Impuls vier vector componenten De ruimtelijke componenten zijn de rela*vis*sche impuls De nul component kunnen we met de energie iden*ficeren. Dimensies zijn correct als vier vector gelijk is aan Hiermee is de rela*vis*sche energie gelijk aan Met de ontwikkeling van γ wordt dit Rela*vis*sche energie gee\ klassieke uitdrukking voor kine*sche energie, plus rust energie, plus kleine correc*es P 24

25 Energie impuls vergelijking We hebben nu een vier impuls De componenten voldoen aan de Lorentz transforma*es Uit de eerdere discussie volgt: De lengte van de vier impuls is invariant: Waarmee we uiteindelijk vinden Een vergelijking voor op je t shirt! Aanzet tot bestaan an* materie als nega*eve energie oplossing P 25

26 Verstrooiingstheorie Voor Na Analyse van verstrooiing: Teken een diagram met alle deeltjes voor en na de botsing Schrijf behoud van energie op Schrijf behoud van impuls op Probeer dit systeem op te lossen Gebruik m 2 c 4 = E 2 c 2 p 2 Gebruik niet de snelheid v want die ligt vaak heel dicht bij lichtsnelheid c Vul zo laat mogelijk de getallen in de uitdrukkingen in Check resultaat en de dimensie van je antwoord! Kun je een algemene conclusie uit het resultaat trekken? 26

27 Behouden *jdens botsingen Botsingen tussen (willekeurig aantal) deeltjes: Toestand in? Toestand uit Alle componenten van de vier impuls zijn behouden bij de botsing Invariante massa van de botsing ook behouden en bovendien hetzelfde in elk coördinatenstelsel P 27

28 Voorbeeld van deeltjesversneller In LEP deeltjesversneller werden elektronen en an* elektronen op elkaar geschoten Elk met energie E=45.5 GeV verwaarloos de massa van elektron, die is De invariante energie van dit systeem wordt dan: O\ewel: precies genoeg voor de produc*e van het Z 0 deeltje! P 28

29 Waarom botsende bundels? Stel je wilt het Z deeltje maken met botsingen op een trefplaatje: Welke energie moet bundel an* elektronen hebben om Z deeltje te creëren? De massa van het systeem wordt nu: Om Z deeltje te maken hebben we een bundelenergie nodig van Dit is heel ver buiten technologische mogelijkheden! P 29

30 Vergelijk LEP met LHC Twee grote versnellers op Cern, bij Geneve: LEP ( ) Versnellen van elektronen op positronen, elk met een energie van maximaal MeV. Rustmassa van deze deeltjes is MeV/c 2 Hiermee is de Lorentzfactor γ E γ = Invariante massa mc 2 = Limiet van de bundelenergie M inv = 205 GeV/c 2 wordt gegeven door de synchrotron straling: Hoeveel energie kun je per rondje maximaal in de bundel inpompen LHC ( ) Versnellen van protonen op protonen, elk met een energie van maximaal MeV. Rustmassa van deze deeltjes is plm 938 MeV/c 2 Hiermee is de Lorentzfactor γ E γ = Invariante massa mc 2 = Limiet van de bundelenergie M inv = GeV/c 2 wordt gegeven door de sterkte van de a{uigingsmagneten Bij hogere energie schieten de protonen hun baan uit Synchrotron straling bij protonen verwaarloosbaar

31 Produc*e van nieuwe deeltjes (E 1,p 1 ) (E 4,p 4 ) m a m b m H a Voor Of een deeltje H wordt gemaakt hangt af van de natuurwecen Het deeltje H zal vrijwel al*jd weer onmiddellijk uiteen vallen in een serie andere deeltjes met kleinere massa Als je de energie en impulsen van al deze vervalsproducten meet, kun je de massa van deeltje H bepalen. De invariante massa van dit systeem kun je uitrekenen: Hiermee kun je de massa van deeltje H bepalen De massa van dit deeltje H is maximaal b Hoe groter de energie van de versneller, hoe zwaarder het nieuwe deeltje H Tussen (E 2,p 2 ) M 2 c 4 =(E a + E b ) 2 c 2 p a + p b 2 = (2E) 2 Na (E 3,p 3 ) m H =2E/c 2 31

32 Een Higgs deeltje Higgs Z 0 Z 0 µ + µ µ + µ Heel duidelijk signaal: 4 muonen in detector Erg kleine kans Veel storing van extra deeltjes Maar weinig gebeurtenissen die hierop lijken Dit kan alleen van een Higgs deeltje a oms*g zijn! P 32

33 Ontdekking en massa van het Higgs Invariante massa Higgs: Gelijk aan invariante massa 4 muonen m µµµµ Na een paar jaar LHC (100 fb -1 ) Ongeacht de Higgs massa: Atlas gaat het vinden P 33