Gravitatie en kosmologie

Transcriptie

1 Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica Galileo, Newton Lagrange foralise Quantufenoenen Neutronensterren Wiskunde I Tensoren Speciale relativiteitstheorie Minkowski Ruitetijddiagraen Lagrangiaan en EM Wiskunde II Algeene coördinaten Covariante afgeleide Algeene relativiteitstheorie Einsteinvergelijkingen Newton als liiet Kosologie Friedann Inflatie Gravitatiestraling Theorie Experient Najaar 2009 Jo van den Brand 1

2 Foralise van Lagrange Lagrangiaan van een deeltje Voor de actie geldt Deeltje volgt het pad waarvoor de waarde van S een extree waarde is We beschouwen een deeltje dat beweegt onder invloed van een kracht Voor de kinetische energie geldt et Lagrangiaan We zoeken het pad waarvoor geldt Odat klein is, benaderen we L et een Taylor expansie rond en Dat geeft Foralise van Lagrange We hebben dus Dit levert Partieel integreren levert Merk op dat geldt en Hieree vinden we de Euler-Lagrange vergelijkingen Toegepast op onze Lagrangiaan geeft De ipuls volgt uit de Lagrangiaan als De energie volgt uit de Lagrangiaan als 2

3 Lagrangiaan en actie in SRT Lagrangiaan van een vrij deeltje Klassieke echanica We kunnen dit schrijven als (et i = 1, 2, 3) We kunnen dit niet gebruiken in de SRT odat zowel de dx i als dt systee afhankelijk zijn We proberen Merk op: dit is een aannae en dus geen bewijs van de geldigheid van deze uitdrukking Voor de actie geldt We zoeken het pad van het deeltje Lagrangiaan en actie in SRT Euler-Lagrange vergelijkingen Dit zijn vier gekoppelde partiële differentiaalvergelijkingen Invullen van onze Lagrangiaan Dit lijkt op de tweede wet van Newton voor een vrij deeltje Newton geeft inforative over drie plaatscoordinaten. We hebben nu vier vergelijkingen d 2 t Voor = 0 vinden we Dit betekent dat een constante is. Het verschil is de Lorentzfactor d 2 x Voor = i vinden we d 2 x d 2 x d 2 x d 2 x We vinden voor relatief lage snelheden weer de tweede wet van Newton 3

4 Lagrangiaan en actie in SRT Relativistische ipuls Contraheer beide zijden et Voor de 0 coponent geldt Voor lage snelheden vinden we Voor geldt Covariante Lagrangiaan en actie in SRT Eisen die we stellen aan de actie van een relativistisch systee - een scalaire grootheid: zodat hij invariant is onder Lorentztransforaties - een integraal waarvan de integrand een eerste-orde differentiaal is De enige grootheid die aan beide criteria voldoet is het ruitetijd-interval ds We schrijven de actie dus als Voor de eigentijd geldt We inialiseren het ruitetijd interval Het pad dat we op deze wijze vinden noeen we een geodeet We herschrijven het nu als een integraal over de eigentijd PS. Hoe hebben we hier de Minkowski-etriek gedefinieerd? 4

5 Elektrodynaica in SRT Kracht in SRT We eisen covariantie in SRT: dat de natuurkundige wetten (e.g. Maxwellvergelijkingen) dezelfde vor hebben in alle inertiaalsysteen Vieripuls Vierkracht Kracht drievector f Transforeert als Merk op: v en V 5

6 Behoud van lading in SRT Continuiteitsvergelijking Vierstroodichtheid Coulobkracht Elektrisch veld Magnetische kracht Magnetisch veld Cobineren levert de Lorentzkracht In coponenten We willen dit nu in anifest covariante vor schrijven Lorentzkracht in SRT We hadden Introduceer elektroagnetisch tensor, of veld tensor, of ookwel Faraday tensor genaad Ook geldt Beschouw Eerste rij levert de arbeid die verricht wordt door de Lorentzkracht 6

7 Elektrodynaica Maxwellvergelijkingen Faraday tensor Stroo viervector Maxwellvergelijkingen Continuiteitsvergelijking Volgt uit Elektrodynaica Lorentztransforaties We vinden onveranderd, terwijl Vierkracht Nul-coponent: arbeid verricht door deze kracht per tijdseenheid Ruitelijke-coponenten: Lorentzkracht Schrijf Dan geldt et Energie-ipulstensor van elektroagnetisch veld Energie-ipulstensor is syetrisch Energiedichtheid 7

8 Energie-ipuls tensor Energie-ipuls tensor De energie-ipuls tensor beschrijft de distributie en stroing van energie- en ipulsdichtheid (et eenheid J / 3 ) in een klein gebiedje van ruitetijd Definitie et is de lokale energiedichtheid inclusief rustassa is de energiestroo per 2 loodrecht op i gedeeld door c is de ipulsstroo van coponent i per 2 loodrecht op j Voorbeeld: deeltjes et assa en snelheid Ipuls Totale energie Deeltjesdichtheid n zonder interactie Energiedichtheid Snelheid (i = 1) Stroo door A in tijd t 8

9 Voorbeeld van energie-ipuls tensor Evenzo En is de lokale energiedichtheid inclusief rustassa is de energiestroo per 2 loodrecht op i gedeeld door c is de ipulsstroo van coponent i per 2 loodrecht op j Op tijd t gaan deeltjes et y-coponent ipuls op de x richting et een flow van door oppervlak A loodrecht De ipulsstroo van coponent y per oppervlakte-eenheid door een oppervlak loodrecht op de x richting is Aldus vinden we Dit soort aterie noeen we dust In de uitdrukking herken je de dichtheid r = n en het product van snelheden Energie-ipuls tensor: `stof Beschouw `stof (engels: dust) Verzaeling deeltjes in rust ten opzichte van elkaar Constant viersnelheidsveld U (x) Flux viervector N nu Rustsystee n en zijn 0-coponenten van viervectoren deeltjesdichtheid in rustsystee assadichtheid in rustsystee energiedichtheid in rustsystee r n 2 rc 2 rc Bewegend systee is de N 0 is deeltjesdichtheid N i deeltjesflux in x i richting 0, 0 coponent van de tensor p N N n p U c T stof p N nu U ru U Er is geen gasdruk! 9

10 Energie-ipuls tensor: perfecte vloeistof Perfecte vloeistof (in rustsystee) r Energiedichtheid Isotrope druk P In rustsystee T diagonaal, et T 11 T 22 T 33 In tensorvor (geldig in elke systee) We hadden Probeer T T stof ru U stof r 2 P U c U We vinden T stof r 2 P U c U Pg Verder geldt Groeptheorie en de Lorentzgroep 10

11 Groeptheorie Groep G We onderscheiden Eindige (of discrete) groep Kleinste groep (triviale groep) et n = 1 heeft enkel eleent g = 1 G et oneindig aantal eleenten gespecificeerd door N paraeters: Copacte groep G: paraeters zijn eindig Lie groep G: de afgeleiden naar paraeters bestaan Definitie: het identiteits-eleent is de oorsprong van paraeterruite Definitie: de generatoren spannen vectorruite op Vectorproduct levert eleent Structuurconstante(n) Lorentzgroep Lorentztransforatie in atrixvor Invariantie scalair product In atrixnotatie Unieke inverse bestaat Achtereenvolgende transforaties leveren ook weer een eleent De groep is niet-abels Eleenten (de transforaties) voren de Lorentzgroep De etriek behandelt de 3 ruitelijke diensies anders de 1 tijddiensie 4 x 4 reële atrices hebben 16 reële paraeters Er zijn echter 10 relaties vanwege Merk op De groep wordt beschreven door 6 = paraeters We laten in de proper Lorentzgroep geen reflecties toe, en eisen ook 11

12 Generatoren Lorentzgroep 6 paraeters: 3 Euler rotatiehoeken (orthogonale transforaties die lengte 3-vector behouden) 3 boosts (hyperbolische rotaties die lengte 4-vector behouden) Rotatie o z-as Boost langs z-as We schrijven transforatie als Generator L wordt geïtereerd tot volledige transforatie; L is reële 4 x 4 atrix We staan enkel proper transforaties toe L is traceless en reëel. Ook geldt Generatoren Lorentzgroep Inverse Nee logarite en gebruik Dus gl spoorloos en L spoorloos en ixed syetry Boosts en rotaties We kiezen als basis in paraeterruite In de eerste rij herkennen we de rotatieatrices 12

13 Rotatie o z-as Kies paraeters We hadden et Dan Verder Exponentiatie Dit levert Dit levert de bekende rotatie L o de z-as Boost langs z-as Kies paraeters We hadden et Dan Verder Exponentiatie Dit levert Dit levert de bekende boost L langs de z-as 13

14 Connectie et quantuechanica We hebben voor Lorentzgroep gevonden Niet-Abelse groep Relateer generatoren aan fysische observabelen: Heritische operatoren Definieer Dan geldt Heritische operatoren J i van ipulsoent Generatoren Lie algebra Noether theorea, Casiiroperatoren 14