Speciale relativiteitstheorie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Speciale relativiteitstheorie"

Transcriptie

1 Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

2 Programma 1 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

3 Oplossing klokken paradox Situatie die we (dachten te) begrijpen: Kijken op het perron (K) naar klok in trein Hoe kijkt men vanuit K (de trein) naar onze klok? Tijdsduur: In K: t In K : t A B Conclusie: Als één klok beweegt ten opzichte van een rij onderling gelijklopende klokken, dan loopt hij trager. l A C m P Lijn van zelfde tijd in K We hadden: B5 tweeling t tijdsverschil A en C in K Klokje op wagen loopt langzamer Maar vergeleken met klokken op verschillende plekken op het perron! 3

4 Transformatie van tijdsintervallen Samenvatting van vorige slide: Het tijdsinterval t in K van een gegeven interval t in K: Bewegend klokje loopt trager. Ons klokje staat op een vaste plaats in K. Voor K beweegt het en loopt dus trager. 4

5 Einstein 1905: Lorentz transformatie t-as We hebben een gebeurtenis P A P B In een coördinaten stelsel K heeft dit coordinaten x en t We hebben een stelsel K met coördinaten x en t K beweegt met een snelheid v tov K (zeg naar rechts) zodat het punt met x =0 in K de vergelijking x=vt heeft. Wat zijn nu de coördinaten (x,t ) in K van P? x-as In volle glorie: In K is afstand tussen A en P:. K heeft kortere meetlat dus: In K is het tijdsinterval tussen B en P:. In K dan: 5

6 Optellen snelheden Stelsel K (de trein) Stelsel K (het perron) Op wagon (K ) een snelheid van w : T.o.v. perron (K) een snelheid w (klassiek: w=v+w ) 2.1 Alternatief: In feite hebben we hier De inverse transformatie Gebruikt: Einstein 1905: In volgende slide gaan we hier nog even op in. 6

7 Inverse van de Lorentz transformatie We verwachten dat we de inverse transformatie krijgen door v te vervangen door v: Directe check: Leerzaam om dit ook via matrix rekening te doen: 2.2 Deze check maakt een einde aan alle (vermoedens van) inconsistenties. (Bedenk dat ook γ afhangt van v, maar γ(-v)= γ(v) ) 7

8 Alternatieve afleiding Lorentz transformatie Alternatief, tikkie abstracter, in wezen eenvoudiger en meer inzicht biedend! Eis 1: Lineair 2.3 d.w.z. van de vorm: In wezen een goede technische vertaling van éénparige beweging t.o.v. elkaar Immers: (Galilei en Lorentz voldoen beide hieraan) Eis 2: Lichtsnelheid c is gelijk Eis 3: Omkeerbaar!??? Via v -v 8

9 Programma 2 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

10 Transformatie van Maxwell vergelijkingen Niet met (1) beginnen

11 Transformatie van Elektromagnetische velden Transformatie van de Elektromagnetische velden: Einstein 1905: We moeten nog checken of 1, 2, 5 en 6 ook kloppen. Dit is rechttoe rechtaan Staat in bijlage 1 B1 Voor een interpretatie in simpel geval zie B6 Zie ook: B7 11

12 De cirkel is rond! Maxwell wetten zijn invariant Slide 10 en 11 Deel 1 Slide 15 en 16 Lorentz coördinaten transformatie Slide 5 of 8 Lichtsnelheid is constant 12

13 Programma 3 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

14 Rotatie in platte vlak y-as Q We hebben (x,y) coördinaten voor het platte vlak We creëeren nieuwe coördinaten (x,y ) door de assen over een hoek te draaien (met de klok mee) Transformatie is lineair. Matrix : P x-as Rechtlijnige coördinaten 14

15 Vergelijken met Lorentztransformatie Rotatie platte vlak 2.5 Lorentz transformatie ConClusie: De lorentz transformatie is een soort van rotatie in ruimte tijd. 15

16 Invariantie onder rotatie in platte vlak Q Stel we hebben twee punten P en Q in het platte vlak. In een orthonormaal coördinaten stelsel kan hun afstand worden berekend: P Als het goed is moet er in een ander orthonormaal stelsel hetzelfde uitkomen: 16

17 Invariantie onder Lorentz transformatie? Q Stel we hebben twee gebeurtenissen P en Q in de ruimte-tijd. Neem eerst eens het geval dat Q vanuit P door een lichtstraal wordt bereikt: P Lichtsnelheid altijd c als I ergens 0 is dan overal. Misschien is I wel een invariant: (ook als I niet 0 is) 2.6 Einstein 1916(!): B3 Dus onafhankelijk van de coördinaat keuze hebben we 3 gevallen: I > 0 I = 0 I < 0 Voor interpretatie zie volgende paragraaf. 17

18 Programma 4 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

19 Bilineaire en kwadratische vormen Voorbeeld: inproduct Upper indexen Einstein sommatie conventie Dus zelfs 16 functies van 4 variabelen 19

20 Diagonaliseren Dus mooiere coördinaten: Klopt, want Dit diagonaliseren kan altijd! 20

21 Minkowski ruimte Minkowski ( ) gaf een mooie interpretatie aan het voorafgaande: De verzameling van alle gebeurtenissen vormt een 4-dimensionale reëele ruimte met daarop een zogenaamde bilineaire vorm van karakteristiek (1, -1,-1,-1) (ongeveer hetzelfde als (-1,1,1,1). Vanuit één gebeurtenis P (bijvoorbeeld het hier en nu) zijn er voor een gebeurtenis Q 5 mogelijkheden afhankelijk van de invariant I en teken van Δt: Bereikbare toekomst Beseinbare toekomst Ruimte achtig; P en Q tegelijkertijd In een zeker stelsel Te zien in het verleden Hermann Minkowski Bereikbaar vanuit verleden NB. Als I 0, dan is het teken van Δt een invariant. Zie B2 21

22 4-vectoren: plaats vector gebeurtenis Bijvoorbeeld: Plaatsvector van een (punt-) gebeurtenis in 4-dimensionale tijd-ruimte Voor twee 4-vectoren kunnen we ook het Minkowski inproduct definiëren: Dan ook: Dit ( x ) noemen we de Minkowski lengte van de 4-vector x. Gebruik: meestal in het kwadraat: ( x 2 ) Even vooruitblikken op toekomstige notatie: 22

23 Programma 5 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

24 Punt verzamelingen Platte vlak Ruimte tijd Elementen: punten (punt-)gebeurtenissen Losse verzameling: Willekeurige verzameling: rijdende (lange) trein Één dimensionale kromme: Wereldlijn Baan voorwerp door ruimte tijd 24

25 Geparametriseerde kromme Mooie Niet zo boeiend Parameter = booglenge 25

26 4-vectoren: kinematica t Kromme in tijd-ruimte. Zou baan van een object (deeltje) kunnen zijn. Wereldlijn 4-snelheid: zouden kunnen doen: Normale klassieke snelheid B8 NEEN! v hoeft dus nu niet meer constant te zijn! Beter idee: niet t nemen maar τ, waarbij τ de eigentijd van het deeltje is: 2.7 z y x 26

27 Optellen snelheden (revisited) Ten opzichte het perron heeft karretje een snelheid van: (klassiek). Relativistisch (al eerder gezien): Nog een keer afleiden (onhandig maar leerzaam): 2.8 Stelsel K (het perron) ZZZZZzzzzzz 4-snelheid: Effe checken:?? invullen? Lorentz trafo:? omkeren en kwadraat Inverse:?! maal uitwerken Ook Maar 27

28 Programma 6 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

29 Relativistische mechanica We hadden al gezien: (trage) massa wordt groter bij beweging Klassiek Newton: Immers m is constant The Feynman Lectures on Physics II Maar nu met m variabel. Dus: 29

30 Relativistische mechanica via 4-vectoren Variabel (1) Hoe groter de impuls hoe groter de massa 2.9 Constante Variabel Invullen in (1): Kinetische Energie? Gevolg 1: Gevolg 2:!! (+constante Maar die nemen we =0) Centrale Formule SRT Photon!! 30

31 4-Kracht; het overleven van Newton In feite overleeft het klassieke van Newton: We gebruiken een kleine letter f, omdat we F voor de elektromagnetische tensor willen gebruiken. De laatste 3 componenten vormen samen dus: waarbij de semi-klassieke kracht en semi-klassiek want is De 0-de component is dus: de relativistische impuls Gaan volgende keer kijken hoe zich dit verhoudt tot de Lorentz kracht: 31

32 Programma Klaar 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica

33 Opgave toelichting; Doppler effect Z O O Z Toon is hoger Licht is blauwer Klassieke formule Zender staat stil t.o.v. medium Relativistische formule Voor licht (soort compromis) Klassieke formule Ontvanger staat stil t.o.v. medium Einstein

34 Bijlage 1: Check van de overige vergelijkingen a. c. b. d. 34

35 Bijlage 2: Teken van Δt invariant als I 0 Lorentz transformatie Bewering: Als I 0 (dus interval is tijdachtig), dan is het teken van Δt invariant onder de Lorentztransformatie. Bewijs: QED Dus: de begrippen toekomst en verleden zijn invariant! (gelukkig) 35

36 Bijlage 3: Invariantie onder rotaties Vanuit alle orthonormale coördinaatstelsels is men het erover eens dat dit cirkels zijn. Ook is men het over de straal daarvan eens. Het middelpunt heeft wel in elk stelsel andere coördinaten (maar is wel hetzelfde punt). 36

37 Bijlage 4: Invariantie onder Lorentz rotatie Vanuit alle orthonormale coördinaatstelsels Lorentz frames is men het eens over lichtkegels (I=0). Ook is men het eens over de eigentijd van iets dat van A naar B reist. 37

38 Bijlage 5: Tweeling paradox Lichtstraal Jan Aarde Paul Alpha Centauri 38

39 Bijlage 6: Interpretatie Transformatie EM velden Legenda: Apparaat dat vanuit de wagon boven het perron de magnetische en elektrische velden kan meten. Elektrisch geladen plaat op het perron. Perron referentiekader: Boven het perron heerst een elektrisch veld, waarvan alleen. Verder: De wagon rijdt (zoals altijd) met een snelheid v in de x-richting. Wagon referentiekader: Dus hier wordt ook een magnetisch veld gemeten! Transformatie van de Elektromagnetische velden: Logisch, want hier wordt een stroom ervaren! 39

40 Bijlage 7: Componenten vector Componenten of coördinaten Vraag is steeds: Hoeveel componenten gelijk 0? Antwoord: 1 Antwoord: 0 Antwoord: 0!! Of toch (??): 1!? Conclusie: Het aantal componenten ongelijk 0, of beter zelfs: de waarden van de componenten, is/zijn afhankelijk van: - Het gekozen coördinaten stelsel, of ook, - De coördinaten beheerder, of ook, - De waarnemer, of ook, - Het referentie stelsel Wel is iedereen het eens over de lengte van een vector. Dat noemen we daarom een invariant. 40

41 Wereldlijn die ergens een keer harder gaat dan het licht. Bijlage 8: Waarom niet sneller dan het licht? Stelling: Als een object niet op twee plaatsen tegelijkertijd kan zijn En Als de Lorentz tranformatie correct is Dan kan een object niet sneller dan het licht gaan Bewijs: Dus in dit nieuwe stelsel is het object op twee plekken tegelijk! Tegenstraak! QED. 41

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme

Nadere informatie

Elementaire Deeltjesfysica

Elementaire Deeltjesfysica Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

E = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1.

E = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1. Energie Massa E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma

Nadere informatie

Massa. Energie. E = m c 2. (licht-) Snelheid. en hoe u het zelf had kunnen bedenken. Dr. Harm van der Lek. Natuurkunde hobbyist

Massa. Energie. E = m c 2. (licht-) Snelheid. en hoe u het zelf had kunnen bedenken. Dr. Harm van der Lek. Natuurkunde hobbyist Massa Energie E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht-) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist 2 Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen

Nadere informatie

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1 Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

De speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding

De speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding De speciale relativiteitstheorie 1. Inleiding In de fysica zijn er waarschijnlijk weinig theorieën die de vorige eeuw zoveel tot de verbeelding van de mensen gesproken hebben als de relativiteitstheorie

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende

Nadere informatie

Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.

Nadere informatie

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.

Nadere informatie

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober

Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 3 oktober 013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 060 539 484 / 00 59 000

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk

Nadere informatie

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n). 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf

Nadere informatie

Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte

Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Bekijk een willekeurig pad van naar. Verdeel het pad in kleine stukjes die elk voor zich als rechtlijnig beschouwd kunnen worden. De lengte

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd

Nadere informatie

Tentamen - uitwerkingen

Tentamen - uitwerkingen Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Hoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een

Nadere informatie

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk

Nadere informatie

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor

Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor?

Nadere informatie

Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding.

Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding. Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal ---------------------------------------------------------------------- Inleiding. Wanneer men nu aanneemt dat het heelal stabiel is, dus dat alles in

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde.........................

Nadere informatie

V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding

V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,

Nadere informatie

Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie NS106b/2014-2015 Versie 31/07/2014 Speciale Relativiteitstheorie Stefan Vandoren Instituut voor Theoretische Fysica Universiteit Utrecht Dictaat Dit is een collegedictaat in voorbereiding. De tekst is

Nadere informatie

De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox. Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde

De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox. Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde Juli 2010 Inhoud Inleiding SRT postulaten en Lorentz transformatie Tijddilatatie

Nadere informatie

Topic: Fysica. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen Assistent: Erik Lambrechts

Topic: Fysica. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen Assistent: Erik Lambrechts Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen 25 29 Augustus 2014 Topic: Fysica Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be Assistent: Erik Lambrechts

Nadere informatie

Formuleblad relativiteit (deel 1)

Formuleblad relativiteit (deel 1) Formuleblad relativiteit (deel 1), www.roelhendriks.eu 1 Formuleblad relativiteit (deel 1) c v β en 1 1 β γ 1 c v t t o 1 c v L L o ) ( ct β x γ x ) ( x β ct γ ct ) ( ct β x γ x + ) ( x β ct γ ct + Δx

Nadere informatie

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van

Nadere informatie

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet!

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet! Einstein (6) n de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene).

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Cursus deeltjesfysica

Cursus deeltjesfysica Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park 105-1098 XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl

Nadere informatie

relativiteitstheorie

relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe

Nadere informatie

Relativiteit. N.G. Schultheiss

Relativiteit. N.G. Schultheiss 1 Relativiteit N.G. Shultheiss 1 Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Laura van der Schaaf Differentiaaltopologie: 15 september 2014 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S.

Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S. Speciale relativiteit Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S. Bentvelsen 1 Even voorstellen S. Bentvelsen

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke

Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 009 Vincent Icke icke@strw.leidenuniv.nl. Speciale relativiteitstheorie Bij nader inzien blijkt de Galilei-Huygens symmetrie niet exact te zijn. Daarvoor

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8 Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen

Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Tijdens dit tentamen is het gebruik van het studieboek van Feynman toegestaan, en zelfs noodzakelijk. Een formuleblad is bijgevoegd. Ander studiemateriaal

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.

Nadere informatie

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009

Uitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009 Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer

Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie 2 1.1 Een paraboolbaan...................................

Nadere informatie

RELATIVITEIT. 1. Inleiding. 2. Lorentz en Poincaré

RELATIVITEIT. 1. Inleiding. 2. Lorentz en Poincaré RELATIVITEIT N.G. SCHULTHEISS. Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel

Nadere informatie

Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde

Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Albert Einstein en Euclides Geboren te Ulm op 14 maart 1879 Als kind geinteresseerd in Wiskunde en wetenschappen:magneten,electromotoren, wiskundige

Nadere informatie

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op

Nadere informatie

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur

TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde

Nadere informatie

Equivalentie en tijddilatatie bij plaatsbepaling met het Global Positioning System

Equivalentie en tijddilatatie bij plaatsbepaling met het Global Positioning System Equivalentie en tijddilatatie bij plaatsbepaling met het Global Positioning System Jiri Oen (5814685) Jacinta Moons (5743206) 1 juli 2009 Samenvatting Om de positie van een ontvanger op aarde te bepalen

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Krommen in de ruimte

Krommen in de ruimte Krommen in de ruimte z Een ruimtekromme is de baan van een tijd-plaatsfunctie van een bewegend deeltje in de ruimte Na keuze van een rechthoekig assenstelsel Oxyz wordt die functie f gegeven door zijn

Nadere informatie

MechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie.

MechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie. MechRela voor TW Hertentamen - uitwerkingen mei 015, 14:00-17:00h 1 Kennisvragen (10 pt) (a) Formuleer de drie wetten van Newton die de basis vormen van de klassieke mechanica. (b) Formuleer de postulaten

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6

Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6 1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie