Speciale relativiteitstheorie
|
|
- Edith Adam
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist
2 Programma 1 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
3 Oplossing klokken paradox Situatie die we (dachten te) begrijpen: Kijken op het perron (K) naar klok in trein Hoe kijkt men vanuit K (de trein) naar onze klok? Tijdsduur: In K: t In K : t A B Conclusie: Als één klok beweegt ten opzichte van een rij onderling gelijklopende klokken, dan loopt hij trager. l A C m P Lijn van zelfde tijd in K We hadden: B5 tweeling t tijdsverschil A en C in K Klokje op wagen loopt langzamer Maar vergeleken met klokken op verschillende plekken op het perron! 3
4 Transformatie van tijdsintervallen Samenvatting van vorige slide: Het tijdsinterval t in K van een gegeven interval t in K: Bewegend klokje loopt trager. Ons klokje staat op een vaste plaats in K. Voor K beweegt het en loopt dus trager. 4
5 Einstein 1905: Lorentz transformatie t-as We hebben een gebeurtenis P A P B In een coördinaten stelsel K heeft dit coordinaten x en t We hebben een stelsel K met coördinaten x en t K beweegt met een snelheid v tov K (zeg naar rechts) zodat het punt met x =0 in K de vergelijking x=vt heeft. Wat zijn nu de coördinaten (x,t ) in K van P? x-as In volle glorie: In K is afstand tussen A en P:. K heeft kortere meetlat dus: In K is het tijdsinterval tussen B en P:. In K dan: 5
6 Optellen snelheden Stelsel K (de trein) Stelsel K (het perron) Op wagon (K ) een snelheid van w : T.o.v. perron (K) een snelheid w (klassiek: w=v+w ) 2.1 Alternatief: In feite hebben we hier De inverse transformatie Gebruikt: Einstein 1905: In volgende slide gaan we hier nog even op in. 6
7 Inverse van de Lorentz transformatie We verwachten dat we de inverse transformatie krijgen door v te vervangen door v: Directe check: Leerzaam om dit ook via matrix rekening te doen: 2.2 Deze check maakt een einde aan alle (vermoedens van) inconsistenties. (Bedenk dat ook γ afhangt van v, maar γ(-v)= γ(v) ) 7
8 Alternatieve afleiding Lorentz transformatie Alternatief, tikkie abstracter, in wezen eenvoudiger en meer inzicht biedend! Eis 1: Lineair 2.3 d.w.z. van de vorm: In wezen een goede technische vertaling van éénparige beweging t.o.v. elkaar Immers: (Galilei en Lorentz voldoen beide hieraan) Eis 2: Lichtsnelheid c is gelijk Eis 3: Omkeerbaar!??? Via v -v 8
9 Programma 2 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
10 Transformatie van Maxwell vergelijkingen Niet met (1) beginnen
11 Transformatie van Elektromagnetische velden Transformatie van de Elektromagnetische velden: Einstein 1905: We moeten nog checken of 1, 2, 5 en 6 ook kloppen. Dit is rechttoe rechtaan Staat in bijlage 1 B1 Voor een interpretatie in simpel geval zie B6 Zie ook: B7 11
12 De cirkel is rond! Maxwell wetten zijn invariant Slide 10 en 11 Deel 1 Slide 15 en 16 Lorentz coördinaten transformatie Slide 5 of 8 Lichtsnelheid is constant 12
13 Programma 3 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
14 Rotatie in platte vlak y-as Q We hebben (x,y) coördinaten voor het platte vlak We creëeren nieuwe coördinaten (x,y ) door de assen over een hoek te draaien (met de klok mee) Transformatie is lineair. Matrix : P x-as Rechtlijnige coördinaten 14
15 Vergelijken met Lorentztransformatie Rotatie platte vlak 2.5 Lorentz transformatie ConClusie: De lorentz transformatie is een soort van rotatie in ruimte tijd. 15
16 Invariantie onder rotatie in platte vlak Q Stel we hebben twee punten P en Q in het platte vlak. In een orthonormaal coördinaten stelsel kan hun afstand worden berekend: P Als het goed is moet er in een ander orthonormaal stelsel hetzelfde uitkomen: 16
17 Invariantie onder Lorentz transformatie? Q Stel we hebben twee gebeurtenissen P en Q in de ruimte-tijd. Neem eerst eens het geval dat Q vanuit P door een lichtstraal wordt bereikt: P Lichtsnelheid altijd c als I ergens 0 is dan overal. Misschien is I wel een invariant: (ook als I niet 0 is) 2.6 Einstein 1916(!): B3 Dus onafhankelijk van de coördinaat keuze hebben we 3 gevallen: I > 0 I = 0 I < 0 Voor interpretatie zie volgende paragraaf. 17
18 Programma 4 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
19 Bilineaire en kwadratische vormen Voorbeeld: inproduct Upper indexen Einstein sommatie conventie Dus zelfs 16 functies van 4 variabelen 19
20 Diagonaliseren Dus mooiere coördinaten: Klopt, want Dit diagonaliseren kan altijd! 20
21 Minkowski ruimte Minkowski ( ) gaf een mooie interpretatie aan het voorafgaande: De verzameling van alle gebeurtenissen vormt een 4-dimensionale reëele ruimte met daarop een zogenaamde bilineaire vorm van karakteristiek (1, -1,-1,-1) (ongeveer hetzelfde als (-1,1,1,1). Vanuit één gebeurtenis P (bijvoorbeeld het hier en nu) zijn er voor een gebeurtenis Q 5 mogelijkheden afhankelijk van de invariant I en teken van Δt: Bereikbare toekomst Beseinbare toekomst Ruimte achtig; P en Q tegelijkertijd In een zeker stelsel Te zien in het verleden Hermann Minkowski Bereikbaar vanuit verleden NB. Als I 0, dan is het teken van Δt een invariant. Zie B2 21
22 4-vectoren: plaats vector gebeurtenis Bijvoorbeeld: Plaatsvector van een (punt-) gebeurtenis in 4-dimensionale tijd-ruimte Voor twee 4-vectoren kunnen we ook het Minkowski inproduct definiëren: Dan ook: Dit ( x ) noemen we de Minkowski lengte van de 4-vector x. Gebruik: meestal in het kwadraat: ( x 2 ) Even vooruitblikken op toekomstige notatie: 22
23 Programma 5 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
24 Punt verzamelingen Platte vlak Ruimte tijd Elementen: punten (punt-)gebeurtenissen Losse verzameling: Willekeurige verzameling: rijdende (lange) trein Één dimensionale kromme: Wereldlijn Baan voorwerp door ruimte tijd 24
25 Geparametriseerde kromme Mooie Niet zo boeiend Parameter = booglenge 25
26 4-vectoren: kinematica t Kromme in tijd-ruimte. Zou baan van een object (deeltje) kunnen zijn. Wereldlijn 4-snelheid: zouden kunnen doen: Normale klassieke snelheid B8 NEEN! v hoeft dus nu niet meer constant te zijn! Beter idee: niet t nemen maar τ, waarbij τ de eigentijd van het deeltje is: 2.7 z y x 26
27 Optellen snelheden (revisited) Ten opzichte het perron heeft karretje een snelheid van: (klassiek). Relativistisch (al eerder gezien): Nog een keer afleiden (onhandig maar leerzaam): 2.8 Stelsel K (het perron) ZZZZZzzzzzz 4-snelheid: Effe checken:?? invullen? Lorentz trafo:? omkeren en kwadraat Inverse:?! maal uitwerken Ook Maar 27
28 Programma 6 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
29 Relativistische mechanica We hadden al gezien: (trage) massa wordt groter bij beweging Klassiek Newton: Immers m is constant The Feynman Lectures on Physics II Maar nu met m variabel. Dus: 29
30 Relativistische mechanica via 4-vectoren Variabel (1) Hoe groter de impuls hoe groter de massa 2.9 Constante Variabel Invullen in (1): Kinetische Energie? Gevolg 1: Gevolg 2:!! (+constante Maar die nemen we =0) Centrale Formule SRT Photon!! 30
31 4-Kracht; het overleven van Newton In feite overleeft het klassieke van Newton: We gebruiken een kleine letter f, omdat we F voor de elektromagnetische tensor willen gebruiken. De laatste 3 componenten vormen samen dus: waarbij de semi-klassieke kracht en semi-klassiek want is De 0-de component is dus: de relativistische impuls Gaan volgende keer kijken hoe zich dit verhoudt tot de Lorentz kracht: 31
32 Programma Klaar 1. Lorentz transformatie 2. Elektromagnetische velden 3. Rotatie in ruimte en tijd 4. Minkowski ruimte 5. Bewegingsleer 6. Mechanica
33 Opgave toelichting; Doppler effect Z O O Z Toon is hoger Licht is blauwer Klassieke formule Zender staat stil t.o.v. medium Relativistische formule Voor licht (soort compromis) Klassieke formule Ontvanger staat stil t.o.v. medium Einstein
34 Bijlage 1: Check van de overige vergelijkingen a. c. b. d. 34
35 Bijlage 2: Teken van Δt invariant als I 0 Lorentz transformatie Bewering: Als I 0 (dus interval is tijdachtig), dan is het teken van Δt invariant onder de Lorentztransformatie. Bewijs: QED Dus: de begrippen toekomst en verleden zijn invariant! (gelukkig) 35
36 Bijlage 3: Invariantie onder rotaties Vanuit alle orthonormale coördinaatstelsels is men het erover eens dat dit cirkels zijn. Ook is men het over de straal daarvan eens. Het middelpunt heeft wel in elk stelsel andere coördinaten (maar is wel hetzelfde punt). 36
37 Bijlage 4: Invariantie onder Lorentz rotatie Vanuit alle orthonormale coördinaatstelsels Lorentz frames is men het eens over lichtkegels (I=0). Ook is men het eens over de eigentijd van iets dat van A naar B reist. 37
38 Bijlage 5: Tweeling paradox Lichtstraal Jan Aarde Paul Alpha Centauri 38
39 Bijlage 6: Interpretatie Transformatie EM velden Legenda: Apparaat dat vanuit de wagon boven het perron de magnetische en elektrische velden kan meten. Elektrisch geladen plaat op het perron. Perron referentiekader: Boven het perron heerst een elektrisch veld, waarvan alleen. Verder: De wagon rijdt (zoals altijd) met een snelheid v in de x-richting. Wagon referentiekader: Dus hier wordt ook een magnetisch veld gemeten! Transformatie van de Elektromagnetische velden: Logisch, want hier wordt een stroom ervaren! 39
40 Bijlage 7: Componenten vector Componenten of coördinaten Vraag is steeds: Hoeveel componenten gelijk 0? Antwoord: 1 Antwoord: 0 Antwoord: 0!! Of toch (??): 1!? Conclusie: Het aantal componenten ongelijk 0, of beter zelfs: de waarden van de componenten, is/zijn afhankelijk van: - Het gekozen coördinaten stelsel, of ook, - De coördinaten beheerder, of ook, - De waarnemer, of ook, - Het referentie stelsel Wel is iedereen het eens over de lengte van een vector. Dat noemen we daarom een invariant. 40
41 Wereldlijn die ergens een keer harder gaat dan het licht. Bijlage 8: Waarom niet sneller dan het licht? Stelling: Als een object niet op twee plaatsen tegelijkertijd kan zijn En Als de Lorentz tranformatie correct is Dan kan een object niet sneller dan het licht gaan Bewijs: Dus in dit nieuwe stelsel is het object op twee plekken tegelijk! Tegenstraak! QED. 41
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieElementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieE = m c 2. Massa. Energie. (licht-) Snelheid. Wetenschappers en denkers. E=mc 2 HOVO. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1.
Energie Massa E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma
Nadere informatieMassa. Energie. E = m c 2. (licht-) Snelheid. en hoe u het zelf had kunnen bedenken. Dr. Harm van der Lek. Natuurkunde hobbyist
Massa Energie E = m c 2 en hoe u het zelf had kunnen bedenken. (licht-) Snelheid Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist 2 Wetenschappers en denkers 1500 1600 1700 1800 1900 2000 Galileo
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Nadere informatieRelativiteit. Relativistische Mechanica 1
Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie
Nadere informatieRelativiteitstheorie met de computer
Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen
Nadere informatieBewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Nadere informatieDe speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding
De speciale relativiteitstheorie 1. Inleiding In de fysica zijn er waarschijnlijk weinig theorieën die de vorige eeuw zoveel tot de verbeelding van de mensen gesproken hebben als de relativiteitstheorie
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop
Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende
Nadere informatieFormule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Nadere informatie1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002
1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.
Nadere informatieDeeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober
Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 3 oktober 013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 060 539 484 / 00 59 000
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieLengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte
Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Bekijk een willekeurig pad van naar. Verdeel het pad in kleine stukjes die elk voor zich als rechtlijnig beschouwd kunnen worden. De lengte
Nadere informatieDocentencursus relativiteitstheorie
Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Nadere informatieTentamen - uitwerkingen
Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen
Nadere informatieUit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005
Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Nadere informatieBewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Nadere informatieHoofdstuk 1 Beweging in beeld. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 1 Beweging in beeld Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 1.1 Beweging vastleggen Het verschil tussen afstand en verplaatsing De verplaatsing (x) is de netto verplaatsing en de
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieHoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl
Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een
Nadere informatieHet Quantum Universum. Cygnus Gymnasium
Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk
Nadere informatieEinstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam
Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieDidactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor
Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor?
Nadere informatieAfstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding.
Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal ---------------------------------------------------------------------- Inleiding. Wanneer men nu aanneemt dat het heelal stabiel is, dus dat alles in
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Goniometrie 1.1 Sinus tot de derde.........................
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieSpeciale Relativiteitstheorie
NS106b/2014-2015 Versie 31/07/2014 Speciale Relativiteitstheorie Stefan Vandoren Instituut voor Theoretische Fysica Universiteit Utrecht Dictaat Dit is een collegedictaat in voorbereiding. De tekst is
Nadere informatieDe Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox. Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde
De Speciale Relativiteits Theorie (SRT) en Klok- en Tweelingparadox Metius Werkgroep Theoretische Weer- en Sterrenkunde Juli 2010 Inhoud Inleiding SRT postulaten en Lorentz transformatie Tijddilatatie
Nadere informatieTopic: Fysica. Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen Assistent: Erik Lambrechts
Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen 25 29 Augustus 2014 Topic: Fysica Dr. Pieter Neyskens Monitoraat Wetenschappen pieter.neyskens@wet.kuleuven.be Assistent: Erik Lambrechts
Nadere informatieFormuleblad relativiteit (deel 1)
Formuleblad relativiteit (deel 1), www.roelhendriks.eu 1 Formuleblad relativiteit (deel 1) c v β en 1 1 β γ 1 c v t t o 1 c v L L o ) ( ct β x γ x ) ( x β ct γ ct ) ( ct β x γ x + ) ( x β ct γ ct + Δx
Nadere informatieHOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1
HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van
Nadere informatieEinstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet!
Einstein (6) n de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene).
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieCursus deeltjesfysica
Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park 105-1098 XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl
Nadere informatierelativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Nadere informatieRelativiteit. N.G. Schultheiss
1 Relativiteit N.G. Shultheiss 1 Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel
Nadere informatieVectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Laura van der Schaaf Differentiaaltopologie: 15 september 2014 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieEen series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S.
Speciale relativiteit Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S. Bentvelsen 1 Even voorstellen S. Bentvelsen
Nadere informatie12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieInleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke
Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 009 Vincent Icke icke@strw.leidenuniv.nl. Speciale relativiteitstheorie Bij nader inzien blijkt de Galilei-Huygens symmetrie niet exact te zijn. Daarvoor
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatieStevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8
Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatiewordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
Nadere informatieElektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen
Elektromagnetische veldtheorie (121007) Proeftentamen Tijdens dit tentamen is het gebruik van het studieboek van Feynman toegestaan, en zelfs noodzakelijk. Een formuleblad is bijgevoegd. Ander studiemateriaal
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieSpeciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer
Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie 2 1.1 Een paraboolbaan...................................
Nadere informatieRELATIVITEIT. 1. Inleiding. 2. Lorentz en Poincaré
RELATIVITEIT N.G. SCHULTHEISS. Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel
Nadere informatieEinstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde
Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Albert Einstein en Euclides Geboren te Ulm op 14 maart 1879 Als kind geinteresseerd in Wiskunde en wetenschappen:magneten,electromotoren, wiskundige
Nadere informatieRELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen
RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op
Nadere informatieTWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1. 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur
TWEEDE RONDE NATUURKUNDE OLYMPIADE 2014 TOETS 1 23 APRIL 2014 10.30 12.30 uur 1 RONDDRAAIENDE MASSA 5pt Een massa zit aan een uiteinde van een touw. De massa ligt op een wrijvingloos oppervlak waar het
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatieEquivalentie en tijddilatatie bij plaatsbepaling met het Global Positioning System
Equivalentie en tijddilatatie bij plaatsbepaling met het Global Positioning System Jiri Oen (5814685) Jacinta Moons (5743206) 1 juli 2009 Samenvatting Om de positie van een ontvanger op aarde te bepalen
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieKrommen in de ruimte
Krommen in de ruimte z Een ruimtekromme is de baan van een tijd-plaatsfunctie van een bewegend deeltje in de ruimte Na keuze van een rechthoekig assenstelsel Oxyz wordt die functie f gegeven door zijn
Nadere informatieMechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie.
MechRela voor TW Hertentamen - uitwerkingen mei 015, 14:00-17:00h 1 Kennisvragen (10 pt) (a) Formuleer de drie wetten van Newton die de basis vormen van de klassieke mechanica. (b) Formuleer de postulaten
Nadere informatieGravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6
1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatie