Vectoranalyse voor TG

Transcriptie

1 college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : september Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag

2 Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld op R n is een afbeelding v:d R n R n. Als v() (v 1 ( 1,..., n ),..., v n ( 1,..., n )), dan heten de functies v i de componentfuncties van v. Als D R 2 dan teenen we v() als een pijl met beginpunt. Om een indru te rijgen van het vectorveld teen je een aantal pijlen. ( ) v(, y) y, cos y 1 y v() 2 vv/1 VA Definitie Een vectorveld op R 3 is een afbeelding v: D R 3 R 3. Als v(, y, z) ( P(, y, z), Q(, y, z), R(, y, z) ), dan heten P, Q en R de componentfuncties van v. 3 vv/2 VA

3 Voorbeeld Het vectorveld v is gegeven door v(, y) (y, ). Schets het vectorveld. Bereen v(, y) voor enele punten (, y): v() v() (1, ) (, 1) ( 1, ) (, 1) (2, 2) (2, 2) ( 2, 2) ( 2, 2) (3, ) (, 3) ( 3, ) (, 3) (, 1) (1, ) (, 1) ( 1, ) ( 2, 2) (2, 2) (2, 2) ( 2, 2) (, 3) (3, ) (, 3) ( 3, ) y Iedere vector v() raat een cirel met middelpunt : v() (, y) ( y, ) y + y dus v(). De straal van de cirel is gelij aan de lengte van v(): v() ( y) y vv/3 VA in R 3 Voorbeeld Beschrijf Newton s gravitatiewet met een vectorveld. De gravitatiewet van Newton luidt: Twee lichamen treen elaar aan met een racht die rechtevenredig is met de massa van de lichamen en omgeeerd evenredig met het wadraat van de afstand tussen de lichamen. Als de racht gelij is aan F, dan geldt F mmg m r 2. F Hierbij zijn m en M de massa s, en r is de afstand tussen m en M M. De constante G is de gravitatieconstante. 5 vv/4 VA

4 Voorbeeld (vervolg) Gebrui de positie van M als de oorsprong van het assenstelsel. De positie van m is. De racht die M op m uitoefent is F(). De vector F() is gericht naar de oorsprong, dus F() α voor zeere α >. Uit de gravitatiewet volgt α F() mmg 1 2 mmg 3. Hieruit volgt F() mmg ( F(, y, z) mmg ( 2 +y 2 +z 2 ) , mmgy M ( 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 z m F() ) mmgz,. ( 2 +y 2 +z 2 ) 2 3 y 6 vv/5 VA Het gradiëntveld Definitie De gradiënt f van een functie f naar R n is een vectorveld op R n. Dit vectorveld heet het gradiëntveld van f. Een vectorveld v op R n is conservatief als er een functie f naar R n bestaat zodat v f. De functie f waarvoor v f heet een potentiaal(functie) van v. Als f een potentiaal is van v, en c is een constante, dan is f + c oo een potentiaal van v. 7 vv/6 VA

5 vector Het gravitatie vectorveld is F() mmg 3. Definieer f : R 3 \ {} R door f () mmg. Schrijf (, y, z), dan f (, y, z) mmg ( 2 + y 2 + z 2) 1 2. f 1 mmg 2 ( 2 + y 2 + z 2) 3 2 mmg 2 ( 2 + y 2 + z 2). 2 3 ( f f, f y, f ) z ( ) mmg mmgy mmgz ( 2 + y 2 + z 2, ) 2 3 ( 2 + y 2 + z 2, ) 3 2 ( 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 F(, y, z), dus het gravitatie vectorveld F is conservatief. 8 vv/7 VA 4.1 stelsels zijn alternatieve coördinatenstelsel die je rijgt door 1 de oorsprong te verschuiven, 2 de coördinaatassen te draaien. stelsels unnen soms handig zijn om vector mee te beschrijven. De basisvectoren van een loaal coördinatenstelsel noteren we met een daje: ê, ê y, ê z, ê ρ, enzovoort. Loale basisvectoren staan onderling loodrecht op elaar, en hebben lengte 1. De oriëntatie is gelij aan de oriëntatie van e, e y en e z in R 2 of R 3. 9 lc/1 VA

6 in R e y y ê y e v() ê v() Schrijf een twee-dimensionaal vectorveld v met behulp van eenheids basisvectoren: v() (v 1 (, y), v 2 (, y)) v 1 (, y) e + v 2 (, y) e y. Van een vectorveld v teenen we het beginpunt van de vector v() in. Door de basisvectoren e en e y oo te verschuiven naar un je oo schrijven v() v 1 (, y) ê + v 2 (, y) ê y. De vectoren ê en ê y heten loale basisvectoren. Loele- en gewone basisvectoren zijn identie: e i ê i! 1 lc/2 VA Loale poolcoördinaten y v θ (r, θ) v() e y ê θ θ e r ê r v r (r, θ) Schrijf in poolcoördinaten: r e r + θ e θ. Definieer de loale basisvectoren ê r en ê θ door ê r (cos θ, sin θ) en ê θ ( sin θ, cos θ). Ontbind v() in het nieuwe coördinatensysteem met oorsprong en basisvectoren ê r en ê θ : v(r, θ) v r (r, θ) ê r + v θ (r, θ) ê θ. We noemen v r (r, θ) de de radiële component van v en v θ (r, θ) de tangentiële component van v. 11 lc/3 VA

7 Voorbeeld Blz. 85 Definieer het vectorveld v op R 2 door v() (y, ). Bepaal de loale componenten van v in Cartesische- en in poolcoördinaten. Teen v met MATLAB: > [X,Y] meshgrid(-1:.2:1); > quiver(x,y,y,-x) Voor Cartesische loale coördinaten geldt: v() y ê ê y. Voor loale poolcoördinaten geldt: v()(y, )(r sin θ, r cos θ) r( sin θ, cos θ) r ê θ ê r r ê θ. De tangentiële component van v is r, de radiële component is. 12 lc/4 VA Loale poolcoördinaten y v θ (r, θ) v() e y ê θ θ e r ê r v r (r, θ) De component v r en v θ bereen je met projecties: v r ê r proj êr v v ê r ê r ê r ê r (v ê r ) ê r, dus v r v ê r (v 1, v 2 ) (cos θ, sin θ) v 1 cos θ+v 2 sin θ. Voor v θ geldt v θ v ê θ (v 1, v 2 ) ( sin θ, cos θ) v 1 sin θ + v 2 cos θ, dus v r v 1 cos θ + v 2 sin θ v θ v 1 sin θ + v 2 cos θ 13 lc/5 VA

8 Radiële en tangentiële component Voorbeeld Blz. 85 Definieer het vectorveld v op R 2 door v() (y, ). Bereen de radiële- en de tangentiële component van v. r cos θ en y r sin θ. v r v 1 cos θ + v 2 sin θ y cos θ sin θ r sin θ cos θ r cos θ sin θ. De radiële component van v is. v θ v 1 sin θ + v 2 cos θ y sin θ cos θ r sin θ sin θ r cos θ cos θ r(sin 2 θ + cos 2 θ) r. De tangentiële component van v is r. 14 lc/6 VA Loale poolcoördinaten De basisvectoren ê r en ê θ hangen af van. In feite zijn ê r en ê θ vector! ( ê r () (cos θ, sin θ) r, y ) r ( ) 2 + y, y y 2 en ê θ () ( sin θ, cos θ) ( y 2 + y, 2 ( y r, ) r ). 2 + y 2 De basisvectoren voor poolcoördinaten e r en e θ zijn symbolisch. De loele basisvectoren ê r en ê θ zijn echte vectoren! 15 lc/8 VA

9 Loale poolcoördinaten ê r ê θ Loale poolcoördinaten in R lc/9 VA Loale poolcoördinaten en het gradiëntveld Stelling Blz. 86, vergelijing (4.6) Stel G is een differentieerbaar scalarveld op R 2. Definieer Ĝ(r, θ) G(r cos θ, r sin θ) dan geldt G(r cos θ, r sin θ) Ĝ r êr + 1 r Ĝ θ êθ. (4.6) Let op de etra factor 1 r in de tangentiële component! Bewijs: Ĝ r G r + G y y r G G cos θ+ y sin θ Ĝ r Ĝ θ [ cos θ r sin θ zelfstudie Ĝ θ G θ + G y y θ G G r sin θ+r ] [ G ] sin θ r cos θ G y y cos θ 17 lc/1 VA

10 Loale poolcoördinaten en het gradiëntveld Ĝ r Ĝ θ [ ] [ G ] cos θ sin θ r sin θ r cos θ G y [ ] [ 1 cos( θ) sin( θ) r sin( θ) cos( θ) [ ] [ G ] 1 R r θ G y met R θ een rotatiematri. en [ G G y ] ([ ] ) 1 1 R r θ Ĝ r Ĝ θ zelfstudie ] [ G G y ([ ] ) 1 [ ] 1 [ ] 1 R r θ R θ R r θ. 1/r ] 18 lc/11 VA Loale poolcoördinaten en het gradiëntveld G [ G G y ] [ cos θ sin θ sin θ cos θ [ cos θ 1 r sin θ sin θ 1 r cos θ Ĝ r [ cos θ sin θ R θ [ 1 1/r ] + 1 r Ĝ r êr + 1 Ĝ r θ êθ. ] [ 1 1/r ] Ĝ r Ĝ θ Ĝ θ ] Ĝ r Ĝ θ ] Ĝ r Ĝ θ [ sin θ cos θ ] zelfstudie 19 lc/12 VA

11 Loale poolcoördinaten en het gradiëntveld Voorbeeld Definieer de functie f op R 2 \ {} door f () 1. Bereen de radiële- en de tangentiële component van f. Voor poolcoördinaten geldt: r, dus f f (r cos θ, r sin θ) 1 r. f r 1 r 2 en f θ. f f r êr + 1 f r θ êθ 1 (cos θ, sin θ) r (r cos θ, r sin θ) r 3 3. Toepassing: voor het gravitatieveld F geldt F mmg 3 mmg f. 2 lc/14 VA van een vectorveld F 2 F F 1 L r (t) ˆt r(t) F ˆt Stel heeft gladde parametrisering r: [a, b]. De vector r (t) is de raavector in r(t). De eenheids raavector is de vector ˆt r (t) r (t). Een vector F is te ontbinden in een component F 1 langs de raalijn L en een component F 2 loodrecht op L. De component F 1 is de projectie van F op L. De grootte van deze projectie is F ˆt, en wordt de component van F langs genoemd. 21 lv/1 VA

12 van een vectorveld Definitie Stel F is een continu vectorveld gedefinieerd op een reguliere romme. De lijnintegraal van F langs is gedefinieerd als de lijnintegraal van de component van F langs : F dr F ˆt ds. Stelling Blz. 91, vergelijing (4.16) Stel de romme heeft een gladde parametrisering r: [a, b], dan F dr b a F ( r(t) ) r(t) dt. Dit volgt uit F ˆt F r (t) r (t) en ds r (t) dt. 22 lv/2 VA Georiënteerde rommen Definitie Het teen van F ˆt hangt af van de richting van r (t). Daarom hangt F dr af van de richting waarin een romme wordt doorlopen. De doorlooprichting heet de oriëntatie van, en hangt af van de geozen parametrisering. Stel r: [a, b] is een gladde parametrisering van, met a < b. De oriëntatie van loopt van r(a) naar r(b). r(a) r(b) De oriëntatie un je aangeven met een pijltje. Voor integralen van een functie over (integralen van de vorm f ds) is de oriëntatie niet van belang, omdat daarin de lengte van de raavector vooromt. 23 lv/3 VA

13 Stusgewijs reguliere rommen Definitie Een romme heet stusgewijs regulier als er reguliere rommen 1, 2,..., n zijn en waarbij n zodanig dat het eindpunt van i het beginpunt is van i+i. Het vierant V met hoepunten (, ), (1, ), (1, 1) en (, 1) is stusgewijs regulier. Verdeel V in vier lijnstuen: V V 1 V 2 V 3 V 4. De oriëntatie van V bepaalt de oriëntatie van de delen V i. F dr V V 1 F dr + V 2 F dr + 1 V 4 y V 3 V 1 V 3 F dr + 1 V 2 V 4 F dr 24 lv/4 VA Arbeid A F() B Stel F is een vectorveld op R 2, en is een vlae romme, georiënteerd van A naar B. Iedere vector F() an worden geïnterpreteerd als de racht die op plaats op een puntmassa wordt uitgeoefend. De integraal van F langs is de arbeid die wordt verricht als een puntmassa langs van A naar B wordt gevoerd. 25 lv/5 VA

14 van een vectorveld Voorbeeld $4.2.5 Gegeven is het vectorveld F(, y) ( 2, 3y). Bepaal de arbeid die door F wordt verricht als een puntmassa wordt verplaatst langs een het lijnstu c van (, ) naar (1, 2). y 2 c 1 De oriëntatie van c is van (, ) naar (1, 2). 26 lv/6 VA Voorbeeld (vervolg) F(, y) ( 2, 3y). r(t) t(1, 2) (t, 2t) met t 1. r (t) d (t, 2t) (1, 2). d t F ( r(t) ) (t 2, 3t (2t)) (t 2, 6t 2 ). F ( r(t) ) r (t) t t 2 13 t 2. c F dr 1 1 F ( r(t) ) r (t) dt 13 t 2 dt 13 3 t ( 1 3 3) lv/7 VA

15 van vector in R 3 Voorbeeld Gegeven is F(, y, z) (y, yz, z). Bereen F dr, waarbij de ruimteromme is gegeven door de parametrisering r(t) ( t, t 2, t 3) met t 1. Zelfstudie r (t) d d t ( t, t 2, t 3) ( 1, 2t, 3t 2). F ( r(t) ) ( t t 2, t 2 t 3, t 3 t ) ( t 3, t 5, t 4). F ( r(t) ) r (t) t 3 + 2t 6 + 3t 6 t 3 + 5t 6. 1 F dr t 3 + 5t 6 dt 1 4 t t lv/8 VA van vector in R 2 over en y Stel F is gedefinieerd op een vlae romme R 2 met gladde parametrisering r: [a, b]. Stel r(t) ( (t), y(t) ), dan r (t) ( (t), y (t) ). Stel F(, y) ( M (, y), N (, y) ), dan F dr b a b a b a F ( r(t) ) r (t) dt ( ) M ((t), y(t)), N ((t), y(t)) ( (t), y (t) ) dt M ( (t), y(t) ) (t) + N ( (t), y(t ) )y (t) dt M d + N dy. 29 lv/1 VA

16 van vector in R 3 over, y en z Stel F is gedefinieerd op een ruimteromme R 3 met gladde parametrisering r: [a, b]. Stel r(t) ( (t), y(t), z(t) ), dan r (t) ( (t), y (t), z (t) ). Stel F(, y, z) (M (, y, z), N (, y, z), P(, y, z)), dan b F dr b a b a a F ( (t), y(t), z(t) ) ( (t), y (t), z (t) ) dt ( M (r(t)), N (r(t)), P(r(t)) ) ( (t), y (t), z (t) ) dt M (r(t)) (t) + N (r(t))y (t) + P(r(t))z (t) dt M d + N dy + P dz. 3 lv/11 VA over, y of z De notatie M d + N dy voor de lijnintegraal van F over an leiden tot vergissingen. Voorbeeld: in de integraal y d + cos y dy is het niet de bedoeling dat je direct over en y primitiveert. [ ] y d + cos y dy y + sin y.??? 31 lv/12 VA

17 over en y Voorbeeld Bereen Fout: C dy, waarbij C de eenheidscirel is. C dy y C. Goed: parametriseer C: definieer r(t) (cos t, sin t) met t 2π. 2π dy d + dy (, ) r (t) dt C 2π 2π C (, cos t) ( sin t, cos t) dt cos 2 t dt 2π [ ] 2π 1 2 t sin(2t) π cos(2t) dt 32 lv/13 VA De hoofdstelling voor lijnintegralen Section Stelling Blz., vergelijing (4.21) Stel F is een conservatief vectorveld met potentiaalfunctie G, en c is een gladde romme van A a naar B b, dan F dr G(b) G(a). c Bewijs variant voor vlae rommen Stel r: [a, b] c is een gladde parametrisering van c met r(t) ( (t), y(t) ). b F dr G ( r(t) ) r (t) dt c a b [ G ( )d r(t) a d t + G ] ( )d y r(t) dt y d t b d a d t G( r(t) ) dt G ( r(t) ) b a G ( r(b) ) G ( r(a) ) G(b) G(a). ettingregel 33 hs/1 VA

18 De hoofdstelling voor lijnintegralen De hoofdstelling voor lijnintegralen geldt zowel voor vector in R 2 als voor vector in R 3. De hoofdstelling voor lijnintegralen geldt oo voor stusgewijs gladde, continue rommen. B b c 2 A a c 1 C c c F dr F c 1 dr + F c 2 dr ( G(b) G(a) ) + ( G(c) G(b) ) G(c) G(a). 34 hs/2 VA Pad-onafhanelijheid Gevolg Stel c 1 en c 2 zijn beide gladde rommen van A naar B, dan geldt voor ieder conservatief vectorveld F F c 1 dr F c 2 dr. Definitie Als F conservatief is hangt de waarde van de integraal c F dr alleen af van de waarde van f in de eindpunten van de romme, en niet van het geozen pad. Men zegt oo wel: de lijnintegraal van een conservatief vectorveld is pad-onafhanelij. Stel F is een vectorveld. De lijnintegraal F dr heet pad-onafhanelij als voor ieder punt A en B en voor ieder tweetal rommen c 1 en c 2 van A naar B geldt F c 1 dr F c 2 dr. 35 hs/4 VA

19 Gesloten rommen Definitie Een gesloten romme is een romme waarvan beginen eindpunt hetzelfde zijn. Een ringintegraal is en lijnintegraal over een gesloten romme. Een ringintegraal mag je noteren met het symbool. Stelling Section 16.3, theorem 3 Stel F is een vectorveld. De integraal c F dr is pad-onafhanelij dan en slechts dan als iedere ringintegraal gelij is aan. 36 hs/5 VA vector Stelling vector hebben pad-onafhanelije lijnintegralen. Het omgeeerde geldt oo: Stel D is een open samenhangend gebied in R 2 of R 3, en stel F is een continu vectorveld op D. Als c F dr pad-onafhanelij is dan is F conservatief. Het bewijs verloopt ruwweg als volgt: (1) Kies een punt A in D. (2) Definieer de functie G() c F dr waarbij c een romme is met beginpunt A en eindpunt. De definitie hangt niet van de euze van c af. (3) Toon aan dat F G. Het bewijs is moeilij! Zie oo het bewijs van theorem 2 van section 16.3 in Thomas Calculus. 37 hs/6 VA

20 vector in R 2 Stelling Stel F() ( M (), N () ) is een conservatief vectorveld op R 2 en stel dat M en N continue partiële afgeleiden hebben, dan geldt M y N. Stel F G, dan geldt M G en N G y. Gebrui de stelling van Clairaut: Sec. 14.3, thm. 2 M y ( ) G 2 G y y Clairaut 2 G y ( ) G N y. 38 hs/7 VA Enelvoudig samenhangende rommen en gebieden Definitie Een enelvoudige gesloten romme is een continue gesloten romme die zichzelf niet snijdt. Een samenhangend gebied is een deelverzameling D R 2 waar met de eigenschap dat bij ieder tweetal punten P D en Q D een continue romme C van P naar Q bestaat die geheel in D ligt. Een enelvoudig gebied is een deelverzameling D R 2 met de eigenschap dat iedere enelvoudig geloten romme C D alleen punten van D omsluit. In de pratij beteent samenhangend dat het gebied uit één stu bestaat. En enelvoudig beteent dat er in het gebied geen gaten zitten. 39 hs/8 VA

21 Enelvoudig samenhangende rommen en gebieden enelvoudig, niet gesloten niet enelvoudig, niet gesloten niet enelvoudig, gesloten enelvoudig en gesloten enelvoudig samenhangend niet samenhangend 4 hs/9 niet enelvoudig VA De componententest Stelling Stel F() ( M (), N () ) is een vectorveld op een open, enelvoudig samenhangend gebied D R 2. Stel dat M en N continue partiële afgeleiden hebben, en stel d M d y () d N d () voor alle D. Dan is F conservatief. Stelling Section 16.3, equation (2) Stel F() ( M (), N (), P() ) is een vectorveld op een open, enelvoudig samenhangend gebied D R 3. Stel dat M en N continue partiële afgeleiden hebben, en stel d M d y d N d, d M d z d P d en voor alle D. Dan is F conservatief. d N d z d P d y 41 hs/1 VA

22 vector in R 2 Voorbeeld 4.2.1, voorbeeld 1 Bepaal of het vectorveld v(, y) (y, ) conservatief is. Stel M (, y) y en N (, y). M y 1. N 1. Er geldt M y N, dus v is niet conservatief. 42 hs/11 VA vector in R 2 Voorbeeld 4.2.1, voorbeeld 2 Bepaal of het vectorveld v(, y) (y, + y) conservatief is. Stel M (, y) y en N (, y) + y. M y 1. N 1. Er geldt M y N, dus v is conservatief. 43 hs/12 VA

23 vector in R 3 Voorbeeld , voorbeeld 2 Bepaal of het vectorveld F(, y, z) (, z, 2y) conservatief is. Stel M (, y, z), N (, y, z) z en P(, y, z) 2y. M y N. M z N z 2y P. 1 2 P y. Conclusie: F is niet conservatief. 44 hs/13 VA vector in R 3 Voorbeeld , voorbeeld 1 Bepaal of het vectorveld F(, y, z) ( + y, z, z y) conservatief is. Stel M (, y, z) + y, N (, y, z) z en P(, y, z) z y. M y 1 N. M z P. N z 1 P y. Conclusie: F is conservatief. 45 hs/14 VA

24 vector in R 2 Voorbeeld 4.2.1, voorbeeld 2 (a) Bepaal een potentiaalfunctie van het vectorveld v(, y) (y, + y). (b) Bepaal v dr waarbij het lijnstu is van a (1, 1) naar b (2, 3). Definieer M (, y) en N (, y) + y. 3 y b M y N 1. Vectorveld v is conservatief, zie oo slide a hs/15 VA Voorbeeld (vervolg) (a) Bepaal een functie G zodat G/ y (1) en G/ y + y. (2) Uit (1) volgt G(, y) y + ϕ(y) (3) Partieel differentiëren naar y van (3) levert G/ y + ϕ (y). (4) Uit (2) en (4) volgt ϕ (y) y, dus ϕ(y) 1 2 y2 + C. Uit (3) volgt tenslotte (ies C ): G(, y) y y2. 47 hs/16 VA

25 Voorbeeld (vervolg) (b) Het beginpunt van is a (1, 1). Het eindpunt van is b (2, 3). v dr G(b) G(a) G(2, 3) G(1, 1) ( ) ( ) Of met parametrisering r(t) (1 + t, 1 + 2t), t [, 1]: r (t) (1, 2). v ( r(t) ) (1 + 2t, 2 + 3t). v ( r(t) ) r (t) 5 + 8t. 1 [ v ] dr 5 + 8t dt 5t + 4t hs/17 VA vector in R 3 Voorbeeld , voorbeeld 1 Gegeven is het vectorveld F(, y, z) ( + y, z, z y) op R 3. Bepaal een potentiaalfunctie. Bepaal daarna de lijnintegraal van F over het lijnstu c met beginpunt a (1,, 1) en eindpunt b (, 2, 3). Vectorveld F is conservatief, zie slide 45. Stel G is een potentiaalfunctie van F, dan G/ + y, (1) G/ y z, (2) G/ z z y. (3) Integreer (1) naar : G(, y, z) y + ϕ(y, z). (4) Differentieer (4) partieel naar y: G/ y + ϕ/ y. (5) 49 hs/18 VA

26 Voorbeeld (vervolg) Uit (2) en (5) volgt ϕ/ y z. Integreren naar y levert ϕ(y, z) yz + ψ(z). (6) Uit (4) en (6) volgt G(, y, z) y yz + ψ(z). (7) Vergelijing (7) partieel differentiëren naar z geeft G/ z y + ψ (z). (8) Uit (3) en (8) volgt ψ (z) z, dus ψ(z) 1 2 z2 + C. Kies C, dan volgt uit (7) G(, y, z) y yz z2. 5 hs/19 VA Voorbeeld (vervolg) Voor de lijnintegraal geldt F dr G(b) G(a) c G(, 2, 3) G(1,, 1) Alternatieve methode: parametriseer c: r(t) a + t(b a) (1 t, 2t, 1 + 4t), met t [, 1]. r (t) ( 1, 2, 4). F ( r(t) ) (1 3t, 2 5t, 1 + 6t). F ( r(t) ) r (t) t. 1 F dr t dt c [ ] 9t t hs/2 VA