Met passer en liniaal

Transcriptie

1 Met passer en liniaal Deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal, oo wel construeren genoemd. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor oo je geodriehoe gebruien, maar je mag er niet mee meten. In oude culturen vind je al voorbeelden van wisundig denen, bijvoorbeeld in China, Egypte, abylonië. Maar de Grieen paten (vanaf de zesde eeuw voor Christus) de wisunde heel systematisch en streng aan. Ele bewering die je deed, moest je oo unnen bewijzen, dat wil zeggen terug unnen voeren op door iedereen geaccepteerde uitgangspunten, de axioma's. Oo hadden de Grieen strenge eisen wat betreft het teenen van meetundige figuren. Dat mocht niet op het oog, maar moest met passer en liniaal gebeuren. In dit lesmateriaal staan verschillende voorbeelden van zule passer-en-liniaal-constructies. Thales van Milete die omstrees 580 voor Christus leefde, wordt beschouwd als de eerste Griese wisundige. Voorbeeld De middelloodlijn van twee punten teenen Gegeven zijn de punten en. Teen met passer en liniaal de middelloodlijn van en. Constructie 1. Teen een cirel met middelpunt en straal groter dan de helft van de afstand van tot. (Zie hieronder.) 2. Teen een cirel met middelpunt en dezelfde straal. De snijpunten van deze cirels noemen we en Q. 3. Teen de lijn door de punten en Q. Dat is de middelloodlijn van en Q Q 1 Kies twee punten en en construeer de middelloodlijn van en. 2 Het midden van een lijnstu Gegeven is het lijnstu. Construeer met passer en liniaal het midden van lijnstu. In opgave 2 un je de constructie van de middelloodlijn gebruien. Dat an oo in de volgende opgave. Met passer en liniaal 1

2 3 Een loodlijn neerlaten Gegeven zijn een lijn en een punt dat niet op ligt. Teen met passer en liniaal een lijn door die loodrecht staat op lijn. Tip. Teen een cirel met middelpunt die in twee punten snijdt. 4 Een loodlijn oprichten Gegeven zijn een lijn en daarop een punt. Teen met passer en liniaal een lijn door die loodrecht staat op lijn. 5 Spiegelen Gegeven zijn een lijn m en een punt dat niet op ligt. Teen hiernaast met passer en liniaal het punt zó, dat lijn m de middelloodlijn is van en. is het spiegelbeeld van in de lijn m. m 6 Een hoe overbrengen Gegeven is een hoe en een halve lijn met beginpunt. Teen met passer en liniaal een hoe met hoepunt, die even groot is als. moet één van de benen van de hoe worden. In hoofdstu 1, opgave 11 heb je gezien hoe je de geodriehoe unt gebruien om lijnen evenwijdig aan een gegeven lijn te teenen. 7 Een lijn door een punt evenwijdig aan een gegeven lijn Teen met passer en liniaal een lijn door evenwijdig aan. Tip. Laat vanuit een loodlijn m neer op. Richt in de loodlijn op m op. Opmering Door op onderling gelije afstanden een serie evenwijdige lijnen te teenen, ontstaat een "liniëring". Zie de applet Liniëring 8 In opgave 2 heb je gezien hoe je een lijnstu in twee gelije stuen unt verdelen. Schrijf op hoe je een lijnstu in vier gelije stuen unt verdelen. Met passer en liniaal 2

3 Voorbeeld Een lijnstu in drie gelije stuen verdelen Verdeel het lijnstu in drie gelije stuen. 1. Teen een halve lijn met beginpunt (in een andere richting dan ) en pas hierop met de passer drie gelije stuen af, te beginnen in. Zie hieronder lins. (Hoe ver je de passer open maat, is niet belangrij.) Noem de verdeelpunten 1, 2 en Teen 3 en door 1 en 2 lijnen evenwijdig aan 3, zie hieronder Deze lijnen verdelen lijnstu in drie gelije stuen. Opmering Je weet hoe de evenwijdige lijnen in punt 2 met passer en liniaal geteend moeten worden, zie opgave 7. Je mag die lijnen nu oo wel met de geodriehoe teenen, anders wordt het wel erg omslachtig en saai. elangrij is dat je weet dat het met passer en liniaal an. 9 Verdeel het lijnstu hieronder in vijf gelije stuen. (Evenwijdige lijnen mag je met de geodriehoe teenen.) Met passer en liniaal 3

4 10 Een hoe in twee gelije hoeen verdelen Gegeven is een hoe. De halve lijn met beginpunt die de hoe in twee even grote hoeen verdeelt is de deellijn of bissectrice van hoe. Teen een hoe Construeer de bissectrice van die hoe. Tip. Teen met de passer twee punten, op el been één, die evenver van afliggen. De Grieen hebben vergeefs geprobeerd met passer en liniaal een hoe in drie gelije stuen te verdelen. ls je googelt op driedeling van een hoe, un je hierover meer te weten omen. 11 Ingeschreven cirel Teen een driehoe. a. Construeer met passer en liniaal het middelpunt van de ingeschreven cirel van de driehoe. b. Construeer met passer en liniaal de ingeschreven cirel van de driehoe. 12 Gegeven zijn twee lijnen die aan een cirel raen in de aangegeven punten Zoe met passer en liniaal het middelpunt van de cirel en teen de cirel. 13 Teen een cirel. Zoe met passer en liniaal het middelpunt van de cirel. 14 a. Teen een scherphoeige driehoe en construeer de omgeschreven cirel van de driehoe. b. Teen een stomphoeige driehoe en construeer de omgeschreven cirel van de driehoe. Met passer en liniaal 4

5 15 Gegeven is een hoe en een lijnstu met lengte R. R Zoe het middelpunt van de cirel met straal R die beide benen van de hoe met hoepunt raat. 16 Teen (zonder geodriehoe!) a. een hoe van 60, b. een hoe van 45, c. een hoe van 15. Opmering Er zijn programma's op internet te vinden (bijvoorbeeld GeoGebra en asser en Liniaal), waarmee je bovenstaande constructies op het computerscherm uit unt voeren. Met passer en liniaal 5