Wiskundig valt er veel in de plooi

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Wiskundig valt er veel in de plooi"

Krista Verlinden
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Wiskundig valt er veel in de plooi Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel Leuven, 13 mei / 54

2 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de eeuw Japan 6de eeuw, Europa in 12de eeuw 2 / 54

3 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de eeuw Japan 6de eeuw, Europa in 12de eeuw 1797: Hiden Senbazuru Orikata 1880: Oru (plooien) Kami (papier) 1935: Yoshizawa voert symbolen en diagrammen in 3 / 54

4 Hoe maken we...? 4 / 54

5 Waarom ik? 5 / 54

6 Waarom ik? 5 / 54

7 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen 6 / 54

8 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs 7 / 54

9 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte 8 / 54

10 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte 9 / 54

11 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte 10 / 54

12 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte Interessant in de geneeskunde 11 / 54

13 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte Interessant in de geneeskunde 12 / 54

14 WAT KAN GECONSTRUEERD WORDEN? 13 / 54

15 Meetkundige constructies Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomen zijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal. 14 / 54

Meetkundige constructies Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomen zijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal. 1.

16 Meetkundige constructies Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomen zijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal. 1. Tussen twee verschillende punten kan men steeds een rechte lijn trekken. 2. Elke eindige rechte lijn kan steeds oneindig verlengd worden op een continue wijze. 3. Men kan steeds een cirkel tekenen indien zijn middelpunt en een straal gegeven zijn. 14 / 54

17 We kunnen tweedegraadsvergelijkingen oplossen y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = R 2 15 / 54

18 Onmogelijke constructies Drie problemen waarvoor men eeuwenlang tevergeefs naar een oplossing zocht: 1. De duplicatie van de kubus = de constructie van de zijde van een kubus die een volume heeft gelijk aan het dubbele van dat van een gegeven kubus. 2. De trisectie van de hoek = de verdeling van een gegeven willekeurige hoek in drie evengrote hoeken. 3. De kwadratuur van de cirkel = de constructie van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. 16 / 54

19 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 17 / 54

20 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking : cos3θ = 4 cos 3 θ 3 cosθ. 17 / 54

21 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking : cos3θ = 4 cos 3 θ 3 cosθ. 3. De kwadratuur van de cirkel : construeer π. 17 / 54

22 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking : cos3θ = 4 cos 3 θ 3 cosθ. 3. De kwadratuur van de cirkel : construeer π. Galoistheorie = geen van deze drie problemen heeft een oplossing met passer en liniaal. 17 / 54

23 Met passer en geijkte liniaal 18 / 54

24 Eerste stappen 19 / 54

25 Eerste stappen 19 / 54

26 Eerste stappen 19 / 54

27 Eerste stappen 19 / 54

28 Binaire breuken We kunnen alle breuken 1 2 n construeren! 20 / 54

29 Binaire breuken We kunnen alle breuken 1 2 n construeren! We kunnen dus ook de m 2 n maken, in 2 n 1 vouwen. 20 / 54

30 Binaire schrijfwijze van getallen 384 = / 54

31 Binaire schrijfwijze van getallen 384 = = / 54

32 Binaire schrijfwijze van getallen = = / 54

33 Binaire schrijfwijze van getallen = = / 54

34 Binaire schrijfwijze van getallen = = We kunnen dus binaire breuken m 2 n met m < 2 n schrijven als binaire kommagetallen. 21 / 54

35 Binaire schrijfwijze van getallen = = We kunnen dus binaire breuken m 2 n met m < 2 n schrijven als binaire kommagetallen..111= = / 54

36 Binaire breuken = = = 1 2 ( ) = 1 2 ( ( ( ( (1))))) We kunnen 25 berekenen door van rechts naar links te lezen 32 en, afhankelijk van wat er staat, 1. plus 0, maal plus 1, maal / 54

37 Deze twee bewerkingen met papier r 23 / 54

38 Deze twee bewerkingen met papier r r 1(0 + r) 2 23 / 54

39 Deze twee bewerkingen met papier r r 1(0 + r) 2 r 23 / 54

40 Deze twee bewerkingen met papier r r 1(0 + r) 2 r r 1(1 + r) 2 23 / 54

41 Efficientie! Hier slechts n vouwen nodig!!! = = / 54

42 Benaderingen 1 3 = / 54

43 Benaderingen 1 3 = Dus vouw bovenkant naar benden, onderkant naar boven bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar benden, onderkant naar boven bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar benden, onderkant naar boven bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, / 54

44 Willekeurige breuken w y y z x 26 / 54

45 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w y+z X = w + (x w)x 26 / 54

46 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y 26 / 54

47 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w 26 / 54

48 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w z = 1 y = 1 x 1 x+w 26 / 54

49 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w z = 1 y = 1 x 1 x+w Zij p = 2 n en stel w = m en x = n met m,n < p p p 26 / 54

50 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w z = 1 y = 1 x 1 x+w Zij p = 2 n en stel w = m p en x = n p Dan y = m p+m n en z = p n p+m n. met m,n < p 26 / 54

51 Constructie van a/b Dan y = m p n en z =. p+m n p+m n m := a, n = a b + p met p = 2 n zó dat p a en p b a. 27 / 54

52 Constructie van a/b Dan y = m p n en z =. p+m n p+m n m := a, n = a b + p met p = 2 n zó dat p a en p b a. Voorbeeld: voor 1 nemen we p = 2, m = 1 en n = / 54

53 Constructie van a/b Dan y = m p n en z =. p+m n p+m n m := a, n = a b + p met p = 2 n zó dat p a en p b a. Voorbeeld: voor 1 nemen we p = 2, m = 1 en n = / 54

54 Origami axioma s Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. 28 / 54

55 Origami axioma s p 1 en p 2 zó plooien dat p 1 op p 2 terecht komt. 29 / 54

56 Origami axioma s Twee rechten l 1 en l 2 die op elkaar vouwen. 30 / 54

57 Origami axioma s Punt p 1 en een rechte l 1 loodlijn op l 1 door p 1 construeren. 31 / 54

58 Origami axioma s p 1 en p 2 samen met een rechte l 1 een vouw maken door p 2 zo dat p 1 op l 1 terecht komt. 32 / 54

59 Origami axioma s 1. Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. 2. p en q zó plooien dat p op q terecht komt. 3. Twee rechten L en M die op elkaar vouwen. 4. Punt p en een rechte L loodlijn op L door p construeren. 5. p en q samen met een rechte L een vouw maken door q zo dat p op L terecht komt. De meetkunde der spiegelingen! 33 / 54

60 Trisectie 34 / 54

61 Trisectie 35 / 54

62 Trisectie 36 / 54

63 Trisectie 37 / 54

64 Origami axioma s Twee punten p 1,p 2 en twee rechten l 1,l 2 een vouw maken zó dat p 1 op l 1 komt en p 2 op l / 54

65 Zonder instrumenten? 1. Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. 2. p en q zó plooien dat p op q terecht komt. 3. Twee rechten L en M die op elkaar vouwen. 4. Punt p en een rechte L loodlijn op L door p construeren. 5. p en q samen met een rechte L een vouw maken door q zo dat p op L terecht komt. 6. Twee punten p,q en twee rechten L,M een vouw maken zó dat p op L komt en q op M. 39 / 54

66 Plooien is beter dan Euklides! Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen! Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met passer en geijkte liniaal. 40 / 54

67 Plooien is beter dan Euklides! Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen! Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met passer en geijkte liniaal. 7de axioma : Gegeven p en l 1, l 2, kunnen we een vouw maken, loodrecht op l 2, die p afbeeldt op l / 54

68 Duplicatie van de kubus 41 / 54

69 Duplicatie van de kubus 41 / 54

70 Erik Demaine Geboren op 28 februari 1981 in Canada. Werd op 20-jarige leeftijd prof op MIT. Uiterst multidisciplinair! Meer dan 100 publicaties! Werkt veel op gebied van origami en wiskundige veralgemeningen van vouwen. Houdt ook van computers / 54

71 Pasen 43 / 54

72 Verpakkingsprobleem De kubus: 2 2z Mozartkugel = eenheidssfeer 1.6π 2 < 2π 2 44 / 54

73 Er valt veel in de plooi En er valt nog veel meer in de plooi! 45 / 54

74 Modulaire origami 46 / 54

75 Modulaire origami 47 / 54

76 Modulaire origami 48 / 54

77 Modulaire origami 49 / 54

78 Modulaire origami 50 / 54

79 Modulaire origami 51 / 54

80 Modulaire origami 52 / 54

81 Modulaire origami 53 / 54

82 Modulaire origami 54 / 54

Vergelijkbare documenten

Wiskundig vouwen. Philippe Cara. Vrije Universiteit Brussel. Nationale Wiskunde Dagen. Noordwijkerhout, 28 januari / 61

Wiskundig vouwen. Philippe Cara. Vrije Universiteit Brussel. Nationale Wiskunde Dagen. Noordwijkerhout, 28 januari / 61 Wiskundig vouwen Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, 28 januari 2011 1 / 61 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de