W i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT

Transcriptie

1 W i s k u n d e voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN UTEUR: JOHNNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM MSTERDM, 200

2

3 Inhoudsopgave Getallen. Van de één naar de nul De Getallenlijn Rekenen met pijlen Het optellen van pijlen Het aftrekken van pijlen De vermenigvuldiging Optellen en vermenigvuldigen van breuken De deling De volgorde van berekeningen en haakjes Rekenen met samengestelde breuken Machtsverheffen lgoritmes Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen Vermenigvuldigen van decimale gebroken getallen (kommagetallen) Delingen van natuurlijke getallen Deling met decimale, gebroken uitkomst Delen van decimale gebroken getallen Decimale getallen, breuken en benaderen Getaltheorie Natuurlijke, gehele en rationele getallen Deelbaarheid Priemgetallen Som, verschil, product, quotiënt Deficiënte, excessieve en volmaakte getallen De grootste gemene deler Het kleinste gemene veelvoud Nog eens machten Toepassing van GGD en KGV Gemengde opgaven i

4 ii INHOUDSOPGVE 2 Meetkundige constructies 5 2. Inleiding: ouwstenen van de meetkunde Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken Loodlijnen Hoeken Regelmatige veelhoeken Pseudoconstructies lgebra Inleiding asiskennis De getallenlijn Symbolen, tekens en getallen fspraken Eigenschappen Variabelen Inleiding Vermenigvuldigen met variabelen Optellen met variabelen Delen met variabelen Machten lles door elkaar Meten en berekenen 9 4. Hoeken meten en tekenen met de geodriehoek ijzondere driehoeken ijzondere vierhoeken Spiegelen Symmetrie erekening met hoeken en oppervlakten Het ssenstelsel Het ssenstelsel Lijnsymmetrie en puntsymmetrie Het verband tussen x en y in een formule Verbanden Tabellen Grafieken Gemengde opgaven lgebra vervolg Herhaling Haakjes wegwerken lles door elkaar Toepassingen van de algebra Snelrekentrucs

5 INHOUDSOPGVE iii Merkwaardige uitkomsten? Delingen Rekenraadsels Gemengde opgaven

6

7 Hoofdstuk Getallen

8 2 Getallen. Van de één naar de nul Opgave a) CCLXIV + LXXVII Schrijf CCLXIV als CCLXIIII, dan CCLXIV + LXXVII = CCLXIIII + LXXVII = CCLLXXXVIIIIII = CCLLXXXXI = CCCXLI of: In decimalen: CC L X IIII L XX V II + CC LL XXX V IIIIII = CCCXLI CCLXIV staat voor (5 ) = 264 (.) LXXVII staat voor = 77 Dus = 34, in Romeinse cijfers: CCCXLI. b) CDLXXVI + MCCXLIII Schrijf CDLXXVI als CCCCLXXVI en MCCXLIII als MCCXXXXIII, dan CDLXXVI + MCCXLIII = CCCCLXXVI + MCCXXXXIII = MCCCCCCLXXXXXXVIIII = MDCLLXIX = MDCCXIX of: CCCC L XX V I M CC XXXX III + M CCCCCC L XXXXXX V IIII = MDCCXIX In decimalen: CDLXXVI staat voor (.2) (500 00) = 476 (.3) MCCXLIII staat voor (.4) (50 0) = 243 Dus = 79, in Romeinse cijfers: MDCCXIX.

9 Van de één naar de nul 3 c) MDCXXVIII CCCXLI Schrijf MDCXXVIII = MCCCCCCXXVIII = MCCCCCLXXXXXXXVIII en CCCXLI = CCCXXXXI, dan MDCXXVIII CCCXLI = MCCCCCLXXXXXXXVIII CCCXXXXI = MCCLXXXVII of: M CCCCC L XXXXXXX V III CCC XXXX I M CC L XXX V II = MCCLXXXVII In decimalen: MDCXXVIII staat voor (.5) = 628 (.6) CCCXLI staat voor (50 0) + = 34 Dus: = 287, in Romeinse cijfers MCCLXXXVII. d) X CLXXXIV = X CLXXXIIII = C C 0 keer L L 0 keer In decimalen: X X 3 0 = 30 keer I I = MDCCCXXXX = MDCCCXL 4 0 = 40 keer X staat voor 0 (.7) CLXXXIV staat voor (5 ) = 84 Dus: 0 84 = 840, in Romeinse cijfers MDCCCXL. Opgave 2 a) 03 = = b) 9.00 = = c) = =

10 4 Getallen Opgave 3 VIJFTLLIG DECIML INIR OCTL HEXDECIML (0-tallig) (2-tallig) (8-tallig) (6-tallig) C D E F C D E 3 37 F

11 Van de één naar de nul 5 Opgave 4 00 (bin) = = = (bin) = = = 33 (bin) = = = 3 Opgave 5 2 = = = = = = = = = = 024 Opgave 6 a) 000 binair = = 8 b) binair = + 2 = 3 c) 000 binair = = = 02 d) 0 0 binair, eerst de breuk: 0 binair = 2 decimaal, en dus binair = decimaal. Opgave 7 a) 2 = = = = 00 binair b) 00 = = = = 0000 binair 256 = = binair

12 6 Getallen Opgave 8 a) = = = = 0 binair 22 = = = = 00 binair 44 = = = = 000 binair 88 = = = = = 0000 binair b) Een binair getal is even als het op een nul eindigt. Het getal is dan de som van de getallen 2, 2 2, 2 3,... angezien dit allemaal even getallen zijn, is de som van deze getallen dus ook even. c) Een binair getal is deelbaar door acht als de laatste drie cijfers van dat getal gelijk zijn aan nul. Het getal is dan de som van de getallen 2 3 = 8, 2 4 = 6, 2 5 = 32,..., die stuk voor stuk deelbaar zijn door acht. Opgave 9 a) + = = 000 b) binair = + 2 = 3 decimaal, dus = 6 = = = = 0 binair 0 binair = = = decimaal. binair = = = 3 decimaal, dus + 3 = 42 = = = = 000 binair

13 Van de één naar de nul 7 Opgave 0 a) b) binair is gelijk aan 3 decimaal, dus 3 3 = 9 = 8 + = = = 00 binair binair is gelijk aan decimaal, en binair is gelijk aan 3 decimaal (zie vorige opgave), dus 3 = 34 = = = = 0000 binair Opgave a) 0 binair = 6 octaal = 6 hexadecimaal b) 0 binair Het octale equivalent:. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van drie: 0 2. Schrijf van ieder groepje het octale equivalent op: = 3 0 = binair = 33 octaal Het hexadecimale equivalent:. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van vier: 0

14 8 Getallen 2. Schrijf van ieder groepje het hexadecimale equivalent op: = c) 000 binair 0 = 3. 0 binair = hexadecimaal Het octale equivalent:. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van drie: Schrijf van ieder groepje het octale equivalent opg: = 00 = 2 0 = binair = 26 octaal Het hexadecimale equivalent:. Verdeel het getal van rechts naar links in groepjes van vier: Schrijf van ieder groepje het hexadecimale equivalent op: 0 = 5 00 = binair = 56 hexadecimaal Opgave 2 a) 2 dec = = 25 oct b) 00 dec = = = 44 oct c) 256 dec = 4 64 = = 400 oct Opgave 3 a) = 2. Controle: 0 (octaal) = (decimaal) = 8 en 0 (octaal) = (decimaal) = 72.

15 Van de één naar de nul 9 De som (in decimalen) is dus: = 80 = = 2 (octaal). Dus het klopt. b) Controle: Het product (in decimalen) van 8 en 72 is gelijk aan 8 72 = 576 = = = 00 (octaal). Dus het klopt.

16 0 Getallen.2 De Getallenlijn Opgave 5 a) Teken een rechte lijn van 0 tot : 0 Verdeel het stuk van 0 tot in drie gelijke delen en duid de positie van 2 3 aan: Verwijder de verticale lijnen die niet benoemd zijn: Verdeel het stuk van 0 tot in vier gelijke delen en duid de positie van 3 4 aan: 0 Verwijder de verticale lijnen die niet benoemd zijn: Verdeel het stuk van 0 tot in vijf gelijke delen en duid de positie van 4 aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet benoemd 5 zijn:

17 De Getallenlijn Verdeel het stuk van 0 tot in acht gelijke delen en duid de positie van 5 aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet benoemd 8 zijn: Verdeel het stuk van 0 tot in negen gelijke delen en duid de positie van 6 aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet 9 benoemd zijn: Verdeel het stuk van 0 tot in tien gelijke delen en duid de positie van 8 aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet benoemd 0 zijn:

18 2 Getallen Verdeel het stuk van 0 tot in twaalf gelijke delen en duid de positie van 9 2 benoemd zijn: aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet Verdeel het stuk van 0 tot in vijftien gelijke delen en duid de positie van 2 5 benoemd zijn: aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet Verdeel het stuk van 0 tot in twintig gelijke delen en duid de positie van 6 20 benoemd zijn: aan; verwijder daarna de verticale lijnen die niet

19 De Getallenlijn Verdeel het stuk van 0 tot in vier-en-twintig gelijke delen en duid de positie van 8 24 die niet benoemd zijn: aan; verwijder daarna de verticale lijnen Uit de laatste figuur zien we dat de volgende getallen dezelfde positie hebben op de getallenlijn: en , 9 8 en , 8 0, 2 6 en 5 20

20 4 Getallen b) Op dezelfde manier als hierboven verkrijgen we het onderstaande figuur = 0 = We zien dan dat de volgende getallen dezelfde positie hebben op de getallenlijn: 0, 0 en 0 2 2, en Opgave 6 a) Teken een rechte lijn tussen 0 en. Verdeel het stuk tussen 0 en in twaalf gelijke delen en duid de positie van 2 aan: 2 0 Verdeel nu het stuk tussen 0 en in acht gelijke delen en duid de positie van 3 8 aan:

21 De Getallenlijn 5 b) Schrijf de getallen 6 3 en 7 4 eerst als samengestelde breuken, dus 6 3 = = 2 en 7 4 = 3. Teken nu een rechte lijn 4 tussen en 2. Verdeel het stuk tussen en 2 in vier gelijke delen en duid de positie van 7 4 aan: c) Schrijf = 9 59 en = 29. eide getallen liggen dus tussen 30 en 2. Teken nu een rechte lijn tussen en 2. Verdeel het stuk tussen en 2 in twintig gelijke delen en duid de positie van = 9 20 aan: Verdeel het stuk tussen en 2 in dertig gelijke stukken en duid de positie van = aan: d) Teken een rechte lijn tussen 0 en. Verdeel het stuk tussen 0 en in vijf-en-twintig gelijke delen en duid de positie van 2 25 aan:

22 6 Getallen Verdeel het stuk tussen 0 en in vijf-en-dertig gelijke delen en duid de positie van 8 35 aan Opgave 7 In deze opgave volgen we dezelfde werkwijze als in de voorgaande opgaven. We krijgen dan de volgende figuren: a) b) c)

23 Rekenen met pijlen 7.3 Rekenen met pijlen.3. Het optellen van pijlen Opgave 8 a) = = = = = = = = 45 b) = = = 2000 Opgave 9 a) = 3 b) = 5 c) = 5 d) = 3

24 8 Getallen Opgave 20 a) = 9 want de eerste pijl gaat van 0 naar 2 en de tweede van 2 naar 9 b) = 9 want de eerste pijl gaat van 0 naar 3 en de tweede van 3 naar 2 c) = 5 want de eerste pijl gaat van 0 naar 3 en de tweede van 3 naar 5 Opgave 2 a) 8 = b) 3 5 = c) 3 5 = d) = = 6 Opgave 22 a) = = 0 b) = = 2 c) = = + = 2 d) = = = = Het aftrekken van pijlen Opgave 23 a) 2 = + 2 = b) 0 5 = =

25 Rekenen met pijlen 9 c) 3 2 = = b) 4 3 = = 7 3 ( = 2 3 ) Opgave 24 a) 5 = 6 want de eerste pijl gaat van 0 naar 5 en de tweede van 5 naar 6 b) 5 = 6 want de eerste pijl gaat van 0 naar en de tweede van naar 6 c) 5 = 6 want de eerste pijl gaat van 0 naar 5 en de tweede van 5 naar 6 Opgave 25 a) 8 = 0 2 b) 3 5 = = c) 3 5 = = d) = 4 2 = 6 Opgave 26 a) = = = 0 b) + 2 = = = 2 2 c) + = = = 3 + = 2 d) = = = = 5

26 20 Getallen.3.3 De vermenigvuldiging Opgave 27 a) = 4 3 b) = 5 c) = 5 d) = 8 e) = 7 f) = 2 5

27 Rekenen met pijlen 2 Opgave 28 a) 7 3 = 2 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar 3 wordt 7 keer zo lang b) 2 = 22 want de pijl van 0 naar 2 wordt keer zo lang c) 5 6 = 30 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar 6 wordt 5 keer zo lang Opgave 29 a) = = = 2 + = 2 b) = 8 5 = 40 c) = 00 4 = 00 4 = 4400 d) = = = 42 5 e) = = 8 9 = 9 = Optellen en vermenigvuldigen van breuken Opgave 30 a) 6 = 6 = b) 5 = c) 5 = 6 5 = d) 0, 35 = 3, 5 0 = 2 60 e) 0 = 0 60 f), = 0 = Opgave 3 a) 7 7 = 50 7 b) = 43 0 c) 4, 3 = 43 0 d) = 26 3 e) 9, 75 = = 39 4 f) 2, = Opgave 32 a) 5 54 = 5 8 c) = e) 3, 5 = = b), 4 = 4 0 = 7 5 d) = f) =

28 22 Getallen Opgave 33 a) = = 6 2 b) = = = 49 8 = 6 8 c) = = = = = d) = 2 3 = 7 e) = = = f) = = = 92 9 = Opgave 34 a) = = = = 7 28 b) = = = = = c) = = = 37 4 = d) = = = 6 2 = 5 2 e) = = 35 2 = 2 2 f) = = = = Opgave 35 a) = = = 89 2 = = 68 4 b) = = 6 72 = c) = = = 3 32 d) = = = 4 34 = 7 34 e) = = 0

29 Rekenen met pijlen 23 f) = = = Opgave 36 a) = = = b) c) = = = 0 24 = = = 0 2 = 0 d) = = = = 85 6 = 4 6 e) = = = 2 72 f) = = = 5 6 Opgave 37 a), = = = = 64 5 = b) 0, 25 3 of ook: c) , 5 = = = = 5 2 0, , 5 = = = 5 2 of ook: d) of ook: , 25 = = = = = , 25 = = = = , 5 = = = , 5 = = = 47 4 = = 47 4 = e) 0, = = = = 87 00

30 24 Getallen f) 2, = of ook: 2, = = = = = 5 2 = 60 8 = 5 2 = 7 2 = 7 2 Opgave 38 a) 3 9 = 3 c) = 3 7 e) = 5 6 g) 99 2 = 9 b) 6 32 = 2 d) = 2 f) = 5 6 h) 7 5 = 3 Opgave 39 a) b) c) = 3 2 = = 3 = = = 4 49 d) = = = e) = = = 4 = f) = = 5 7 = 7 5 = Opgave 40 a) = = ( ) = = 7 28 b) = = ( ) = ( ) = 24 5 = c) = = = 3 22 = 22 3 = 7 3 d) = = 85 = 85 e) = = 3 = 3 f) = = = 32 = 32

31 Rekenen met pijlen 25 Opgave 4 a) = = = 5 9 b) = ( ) = ( ) = 5 2 c) = = = 2 7 = 7 2 = 3 2 d) , 0 = = ( ) = ( 0 ) = 0 e) = = 7 = 7 f) , 75 = = = 2 = 2 Opgave 42 a) = = ( ) 23 2 = 7 23 = 2 7 = 2 7 = 5 7 b) = = = 7 3 = 77 3 = c) = = 3 8 = 3 8 d) = = ( ) = = = 34 5 = e) = = = = = 6 5 = 5 f) = = = = 20 7 = Opgave 43 a) = ( ) = = 6 = 6 = 6 b) = = = = 24 7 = c) = = = = = 396

32 26 Getallen d) = = ( ) = = 09 2 = 09 2 = 54 2 e) = = = 4 9 = 36 = 36 f) = = 8 = 7 3 = 2 = 2 Opgave 44 a) = = ( ) = 45 4 = 45 4 = 36 4 b) = = = = 70 9 = c) = = = = 2 = 2 = 2 d) = = = = = e) = = = = 33 2 f) = = = = 30 5 = 20 5 Opgave 45 a) = = = 65 4 = 6 4 b) = = 4 = 4

33 Rekenen met pijlen De deling Opgave 46 a) 2 36 = 2 36 = 3 b) 2 24 = 2 24 = 2 k) 2 l) = 2 2 = 24 = 2 4 = 48 c) 2 2 = 2 2 = m) 2 00 = 2 00 =.200 d) 2 6 = 2 6 = 2 n) = = e) 2 5 = 2 5 o) 2 0 = 2 0 is onbepaald. f) 2 4 = 2 4 g) 2 3 = 2 3 = 3 p) 2 2 = 2 2 = 4 q) 2 2 = 2 2 = 6 = 6 h) 2 2 = 2 2 i) 2 = 2 = 6 r) = 2 s) 2 2 = 2 2 = = 2 2 = 6 j) = = 48 3 t) = = 4 36 = 9 Opgave 47 a) 3 7 = 3 7 b) 8 5 = 8 5 d) 8 54 = 8 54 = 3 e) 99 = 99 = 99 c) 0 00 = 0 00 = 0 f) 2 0 = 2 0 is onbepaald. Opgave 48 a) = = 4 6 = 2 3 b) = = 42 2 = 2

34 28 Getallen c) = = 4 8 = 7 4 = 3 4 d) = = 8 27 = 2 3 e) = = = 9 = 2 9 f) 4 9 = 4 9 = 9 4 = 2 4 Opgave 49 a) 8 2 = = = 8 8 = 9 4 = 2 4 b) = = ( ) = 6 0 = 3 5 c) = = 2 5 = 7 5 = 2 5 d) = = = = 28 5 = 3 5 e) = = = = f) = = = 7 40 = Opgave 50 a) 5 2 = 5 2 = 0 b) 2 5 = 2 5 = 0 c) 3 0, 6 = = = = 5 3 = 5 d) = = = 6 25 e) = = ( ) = = 3 f) 2, = = = = 2 0 = 2 0

35 Rekenen met pijlen De volgorde van berekeningen en haakjes.3.7 Rekenen met samengestelde breuken Opgave 5 Eerst de vermenigvuldiging uitrekenen: = = 7 25, dus de tweede berekening is juist. Opgave 52 a) 9 3 (5 ) = = 27 4 = 23 b) = = 23 c) (7 + 5) 6 = 2 6 = 72 d) = = 3 Opgave 53 a) = = = 26 b) 3 ( 4 + 5) 45 5 = 3 9 = 6 c) (5 45) 5 = = = 20 d) 3 ( ) 5 = = = 32 5 = Opgave 54 a) (27 9) + 2 = = 3 b) 27 (9 + 2) = = 57 c) ( ) 9 = 27 9 = 3 d) (3 + 5) 8 9 = 8 2 = 20 Opgave 55 a) ( ) 5 = (6 28) 5 = 34 5 = 70 b) 2 3 (7 4 3) = 6 ( 28 3) = 6 3 = 25 c) 2 (3 7) 4 3 = = 8 2 = 20 d) (2 3 7) = (6 7) + 8 = + 8 = 9 e) (4 + 3 ) = 6 7 (4 + 3) = 6 7 = 3 f) 2 (3 (4 5 + ) 7) = 2 (3 (20 + ) 7) = 2 (3 2 7) = 2 25 = 50

36 30 Getallen.3.8 Machtsverheffen Opgave 56 a) 3 4 = = 8 b) ( 2 )2 = ( 3 2 )2 = = = 9 4 c) = = = 5000 d) ( ) 0 = = = 00 keer =... = 50 keer e) 0 9 = = f) = = = 4000 Opgave 57 a) = 2 9 c) = 2 3 b) = 3 3 d) = 2 7 Opgave 58 a) = 2 c) = 2 4 b) = 2 5 d) = 3 2 Opgave 59 a) ( 3 )2 = 3 3 = = 9 b) ( 2 7 )3 = = = c) ( 5 )3 = = = d) ( ( 2 3 )2 ) 3 = ( )3 = ( )3 = ( 4 9 )3 = = = Opgave 60 a) ( ( ( 2) 2 ) 2 ) 2 = ( ( 2 2) 2 ) 2 = (4 2 ) 2 = 6 2 = 256 b) ( 3) 3 = = 27

37 Rekenen met pijlen 3 c) ( ( 3) 2 ) 3 = ( 3 3) 3 = 9 3 = 729 d) ( ( 3 )2 ) 3 = ( 3 3 )3 = ( )3 = ( 9 )3 = = = 729 Opgave 6 a) b) c) 0000 = 4 0 4, dus ( 0 )4 = 6 8 = 24, dus 3 ( )4 = = 8 2 8, dus ( 2 )8 =

38 32 Getallen.4 lgoritmes.4. Vermenigvuldigen van natuurlijke getallen Opgave 62 a) 23 b) c) 20 d) Vermenigvuldigen van decimale gebroken getallen (kommagetallen) Opgave 63 a), b) 2, 5, 2, , 22 30, 025 c) 3, 8 d) 0, 99 0, 02 0, , 076 0, 980

39 lgoritmes Delingen van natuurlijke getallen.4.4 Deling met decimale, gebroken uitkomst.4.5 Delen van decimale gebroken getallen.4.6 Decimale getallen, breuken en benaderen Opgave 64 a) 6 = 6 óf: 6 /, /0, Dus 6 =, /6 (als repeterend breuk). b) 3 9 = 3 9 óf: 9 /3, /, Dus 3 9 =, /4 (als repeterend breuk).

40 34 Getallen c) 00 7 = 00 7 óf: 7 /00, /4, Zo doorgaande vindt men 00 7 = 4, /2/8/5/7//4 (als repeterend breuk). d) = = óf: 50 /98,00/, Dus =, 96 (in decimalen).

41 lgoritmes 35 Opgave 65 a) 6 0, 2 in éen decimaal 0, 7 in twee decimalen 0, 67 in drie decimalen b) 3 9, 4 in éen decimaal, 44 in twee decimalen, 444 in drie decimalen c) , 3 in éen decimaal 4, 29 in twee decimalen 4, 286 in drie decimalen d) , 0 in éen decimaal, 96 in twee decimalen, 960 in drie decimalen Opgave 66 a) , 3 = , dus 3 /36830 / b) /,353 /0,

42 36 Getallen Opgave 67 a) Stel breuk = 0, /2, dan 0 breuk = 2, breuk = 0, breuk = 2 dus breuk = 2 9 b) Stel breuk = 0, /6, dan 0 breuk = 6, breuk = 0, breuk = 6 dus breuk = 6 9 = 2 3 c) Stel breuk = 0, /0/9, dan dus breuk = 9 99 = d) Stel breuk =, //2, dan dus breuk = = breuk = 9, breuk = 0, breuk = breuk = 2, breuk =, breuk = 0

43 lgoritmes 37 lles door elkaar Opgave 69 a) = 3 want de eerste pijl gaat van 0 naar 7 en de tweede van 7 naar 3 b) = 3 want de eerste pijl gaat van 0 naar 7 en de tweede pijl gaat van 7 naar 3 c) 5 3 = 8 want de eerste pijl gaat van 0 naar 5 en de tweede pijl gaat van 5 naar 8 Opgave 70 a) 5 2 = 0 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar 2 wordt 5 keer zo lang b) 5 3 = 5 want de pijl van 0 naar 3 wordt 5 keer zo lang c) 5 4 = 20 want het tegengestelde van de pijl van 0 naar 4 wordt 5 keer zo lang Opgave 7 a) b) c) = = = = = = 7 = 7 2 d) = = = 4 = 4 = e) = = = 9 7 = 9 7 = 2 7 f) = = = = g) = = ( ) = 4 5 h) = = = = = 28 5 = 3 5 Opgave 72 a) (9 5) 4 = 4 4 = 6 b) = = 2

44 38 Getallen c) (9 + 5) 4 = 4 4 = 56 d) 9 3 ( 7 + 4) = = 9 Opgave 73 a) = = = 8 b) = = 6 c) = = = = d) 3 (2 4 3) = 3 (2 2) = 3 0 = 3 e) = = 0 f) (3 5) + (3 5) = = 4 g) = = 7 h) is onbepaald, want 2 0 is onbepaald. i) = 64 6 = 4 j) = = = 8 63 = = = 5 7 Opgave 74 a) = = b) = = 20 = = 6 63 c) 3 = 3 = 3 = 4 = 3 d) = = 2 e) 2 (2 4 3) = 2 (2 2) = 2 0 is onbepaald.

45 lgoritmes 39 f) ( 8 + 9) 8 9 = = 2 9 = = 9 2 = 9 2 g) ( ) 5 = ( ) 5 = = 49 h) ( 4 8) 3 = = 5 36 = 5

46 40 Getallen.5 Getaltheorie.5. Natuurlijke, gehele en rationele getallen.5.2 Deelbaarheid.5.3 Priemgetallen Opgave = 3, de delers van 43 zijn dus,, 3 en 43, 43 is dus géen priemgetal. De delers van 49 zijn en zichzelf, 49 is dus een priemgetal. De zeef van Eratosthenes Opgave 76 zeef de getallen die deelbaar zijn door 2 uit het vierkant: zeef de getallen die deelbaar zijn door 3 uit het vierkant:

47 Getaltheorie 4 zeef de getallen die deelbaar zijn door 5 uit het vierkant: zeef de getallen die deelbaar zijn door 7 uit het vierkant: De priemgetallen onder 00 zijn dus: 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89 en 97. Opgave 77 De getallen die deelbaar zijn door 4 zijn ook deelbaar door 2 en deze zijn al uit het vierkant gezeefd. Opgave 78 De getallen die deelbaar zijn door zijn, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, en 99. Deze getallen zijn deelbaar door respectievelijk 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2 en 3 en zijn dus al uit het vierkant gezeefd.

48 42 Getallen Opgave 79 ij het zeven van de veelvouden van een priemgetal uit het vierkant zijn zeker alle veelvouden die kleiner zijn dan het kwadraat van dat priemgetal gezeefd. Nu is 900 = 30 30, het kleinste priemgetal onder 30 is 29, dit is dus het grootste priemgetal waarmee gezeefd moet worden..5.4 Som, verschil, product, quotiënt Opgave 80 a) Voorbeelden: 9 = = = b) Voorbeelden: 4 = 5 4 = = c) Voorbeelden: 24 = = = 4 6 d) Voorbeelden: 4 = = = Opgave 8 90 = = + 79 = = = = = = = = = = = = = + 83 = = = = = = = = = = = = = + 89 = = = = Het vermoeden van Goldbach klopt voor de even getallen van 90 t/m 00. Opgave 82 a) 2 = c) 82 = 2 4 e) 35 = b) 75 = d) 83 is een priemgetal. f) 936 =

49 Getaltheorie 43 Opgave 83 a) 2 = De delers van 2 zijn: Het getal. De twee priemfactoren: 2 en 3. Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 2 2 = 4 en 2 3 = 6. Het getal 2 zelf. Conclusie: de delers van 2 zijn:, 2, 3, 4, 6 en 2. Op systematische wijze: b) 75 = De delers van 75 zijn: Het getal De twee priemfactoren: 3 en 5. Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 3 3 = 9 en 3 5 = 5. Het getal 75 zelf. Conclusie: de delers van 75 zijn:, 3, 5, 9, 5 en 75. Op systematische wijze:

50 44 Getallen c) 82 = 2 4 De delers van 82 zijn: Het getal. De twee priemfactoren: 2 en 4. Het getal 82 zelf. Conclusie: de delers van 82 zijn:, 2, 4 en 82. Op systematische wijze: d) Omdat 83 zelf een priemgetal is, zijn en 83 de delers van 83. e) 35 = De delers van 35 zijn: Het getal. De twee priemfactoren: 3 en 3. Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 3 3 = 9 en 3 3 = 39. Delers opgebouwd uit drie priemfactoren: = 27 en = 7. Het getal 35 zelf. Conclusie: de delers van 35 zijn:, 3, 9, 3, 27, 39, 7 en 35. Op systematische wijze:

51 Getaltheorie 45 f) 936 = De delers van 936 zijn: Het getal. De drie priemfactoren: 2, 3 en 3. Delers opgebouwd uit twee priemfactoren: 2 2 = 4, 2 3 = 6, 2 3 = 26, 3 3 = 9 en 3 3 = 39. Delers opgebouwd uit drie priemfactoren: = 8, = 2, = 52, = 8, = 78 en = 7. Delers opgebouwd uit vier priemfactoren: = 24, = 04, = 36, = 56 en = 234. Delers opgebouwd uit vijf priemfactoren: = 72, = 32 en = 468. Het getal 936 zelf. Conclusie: de delers van 936 zijn:, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 2, 3, 24, 26, 36, 39, 52, 72, 78, 04, 7, 56, 234, 32, 468 en 936. Op systematische wijze:

52 46 Getallen.5.5 Deficiënte, excessieve en volmaakte getallen Opgave = 2 2 5, de delers van 20 zijn dus, 2, 4, 5 en 0, en de som der delers is = 22. Omdat 22 groter is dan 20 is 20 een excessief getal. 2 = 3 7, de delers van 2 zijn dus, 3 en 7, en de som der delers is =. Omdat kleiner is dan 2 is 2 een deficiënt getal. 22 = 2, de delers van 22 zijn dus, 2 en, en de som der delers is = 4. Omdat 4 kleiner is dan 22 is 22 een deficiënt getal. Omdat 23 een priemgetal is, is de som der delers gelijk aan en dus is 23 een deficiënt getal. 24 = 2 3 3, de delers van 24 zijn dus, 2, 3, 4, 6, 8 en 2, en de som der delers is = 36. Omdat 36 groter is dan 24 is 24 een excessief getal. 25 = 5 2, de delers van 25 zijn dus en 5, en de som der delers is + 5 = 6. Omdat 6 kleiner is dan 25 is 25 een deficiënt getal. 26 = 2 3, de delers van 26 zijn dus, 2 en 3, en de som der delers is = 6. Omdat 6 kleiner is dan 26 is 26 een deficiënt getal. 27 = 3 3, de delers van 27 zijn dus, 3 en 9, en de som der delers is = 3. Omdat 3 kleiner is dan 27 is 27 een deficiënt getal. 28 = 2 2 7, de delers van 28 zijn dus, 2, 4, 7 en 4, en de som der delers is = 28. Het getal 28 is dus volmaakt. Omdat 29 een priemgetal is, is de som der delers gelijk aan en dus is 29 een deficiënt getal. 30 = 2 3 5, de delers van 30 zijn dus, 2, 3, 5, 6, 0 en 5, en de som der delers is = 42. Omdat 42 groter is dan 30 is 30 een excessief getal.

53 Getaltheorie De grootste gemene deler Opgave 85 a) 8 = en 28 = 2 2 7, ggd van 8 en 28 is dus 2 2 = 4. b) 5 = 3 5 en 25 = 5 5, ggd van 5 en 25 is dus 5. c) 6 = 2 3 en 27 = 3 3 3, ggd van 6 en 27 is dus 3. d) Ggd van 02 en 02 is natuurlijk 02 zelf. Opgave 86 a) 84 = en 92 = , ggd van 84 en 92 is dus = 2. b) 2 = 3 7 en 40 = , ggd van 2 en 40 is dus. c) 40 = en 392 = , ggd van 40 en 392 is dus = 28 d) 42 = 2 3 7, 05 = en 23 = 3 7, ggd van 42, 05 en 23 is dus 3 7 = Het kleinste gemene veelvoud Opgave 87 Deel 320 door 60. Het resultaat is het product van het kleinste aantal priemfactoren van 264 dat niet in de priemfactoren van 60 zit. Dit geldt andersom ook, dus 320 is het kgv van 60 en 264. Opgave 88 a) 6 = 2 3 en 27 = 3 3 3, kgv van 6 en 27 is dus = 54. b) 2 = 3 7 en 40 = omdat 2 en 40 geen gemeenschappelijke delers hebben is het kgv simpelweg het product van deze twee getallen, dus 2 40 = 840. c) 40 = en 392 = , kgv van 40 en 392 is dus = 960 d) 42 = 2 3 7, 05 = en 23 = 3 7, kgv van 42, 05 en 23 is dus = 230

54 48 Getallen Opgave 89 De dag waarop Zus en Jet voor het eerst weer samen thuis zijn is het kgv van 4 en 30. Nu is 4 = 2 7 en 30 = 2 3 5, kgv is dus = 20, dit is dus de dag waarop Zus en Jet voor het eerst weer samen thuis zijn..5.8 Nog eens machten Opgave = 3 = = = = = 243 Opgave 9 2 = = = = = = = = = = 024 Opgave 92 2 = 5 2 = = = = = = = = = = = 49 2 = = = = = = = = Toepassing van GGD en KGV Opgave 93 a) b) c) d) e) f) = = = = = = = = = = = = = = = 3 5

55 Getaltheorie 49 Opgave 94 a) Het kgv van 2 en 40 is 840 (zie Opgave 88b), dus = = b) Het kgv van 6 en 27 is 54 (zie opg. 88a), dus = = 65 54

56 50 Getallen.6 Gemengde opgaven Opgave 96 a) googol + googol = = b) 2 googol 00 = = = c) googol 2000 = 0 00 (0 3 2) = = d) 00 0 = (0 2 ) 0 = 0 20 e) = (0 2 ) 00 = f) het kwadraat van googol = (0 00 ) 2 = 0 200

57 Hoofdstuk 2 Meetkundige constructies

58 52 Meetkundige constructies 2. Inleiding: ouwstenen van de meetkunde Opgave m E n F D C l a) Snijpunt van l en m: C Snijpunt van l en n: Snijpunt van m en n: b) C: wel getekend EC: E: F: FC: D: wel getekend niet getekend wel getekend niet getekend wel getekend D c) Driehoeken die wel getekend zijn: CD, F en DEF. d) Vier notaties voor vierhoek DE die niet correct zijn: DE, ED, DE en ED. e) D: wel getekend D: D: CD: DC: F: DE: wel getekend niet getekend wel getekend wel getekend wel getekend wel getekend f) EC = CE. E is geen goede notatie omdat hiermee ook éen van de hoeken DEF of EF bedoeld kan worden.

59 Inleiding: ouwstenen van de meetkunde 53 Opgave 2 Enkele voorbeelden: : (C, C) : (, ) : (, C) C C C

60 54 Meetkundige constructies 2.2 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken Opgave 3 C M D Figuur 2.: Lijnstuk en de constructie van het midden M van. Opgave 4 a) Het gaat vooral mis bij twee cirkels met een te kleine straal, want dan kan het gebeuren dat de cirkels geen snijpunten hebben waardoor het midden van het gegeven lijnstuk niet te bepalen is. Twee cirkels met een te grote straal kunnen een probleem vormen als de cirkels zodanig groot zijn dat de snijpunten van de twee cirkels niet meer zichtbaar zijn of buiten de schrift vallen, waardoor het bepalen van het midden van het lijnstuk niet meer mogelijk is. Het beste is om twee cirkels te tekenen met een straal iets kleiner dan de lengte van het gegeven lijnstuk. De cirkels zullen elkaar zeker in twee punten snijden en het midden van het lijnstuk kan dan makkelijk bepaald worden. b) Zie volgende bladzijde.

61 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken 55 Voorbeelden: C M D E M F G M H

62 56 Meetkundige constructies Opgave 5 a) C D Figuur 2.2: Lijnstuk en de constructie van de gelijkzijdige driehoeken C en D. b) R P Q Figuur 2.3: Lijnstuk PQ en de constructie van de gelijkzijdige driehoek PQR. Hierbij zijn alleen kleine stukjes van de cirkels (P, PQ) en (Q, PQ) getekend.

63 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken 57 Opgave 6 De constructie van het midden van een lijnstuk Neem het lijnstuk over. Teken (, r) en (, r), met straal r iets kleiner dan de lengte van snijpunten C en D. Teken CD M is het snijpunt van CD met. M is het midden van het lijnstuk. Opgave 7 a) Voorbeeld: C Figuur 2.4: Lijnstuk en de constructie van de gelijkbenige driehoek C b) Zie volgende bladzijde.

64 58 Meetkundige constructies b) Voorbeeld: R P Q Figuur 2.5: Lijnstuk PQ en de constructie van de gelijkbenige driehoek PQR. Hierbij zijn alleen kleine stukjes van de cirkels (P, r) en (Q, r) getekend. c) In de figuren hieronder worden alleen stukjes van cirkels (, C) en (, C) getekend. We zijn immers alleen geïnteresseerd in snijpunt C van deze twee cirkels. C Figuur 2.6: Constructies van C met gegeven zijden, C en C C

65 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken 59 d) Voorbeeld: P Q Q R P R De drie gegeven zijden PQ, QR en PR R P Q P Q R Figuur 2.7: Constructies van PQR met gegeven zijden PQ, QR en PR e) Stel dat we beginnen met een zijde. In de volgende twee gevallen is het dan niet mogelijk om een driehoek te tekenen: ls de totale lengte van de zijden C en C gelijk is aan de lengte van. Voorbeeld: C C ls men een driehoek probeert te construeren met de drie bovenstaande zijden dan ziet het er bijvoorbeeld als volgt uit:

66 60 Meetkundige constructies ls de totale lengte van de zijden C en C kleiner is dan de lengte van. Voorbeeld: C C Een poging om een driehoek te construeren met de drie bovenstaande zijden kan er dan als volgt uitzien:

67 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken 6 Opgave 8 (Voorbeelduitwerking) a) F E M D C Figuur 2.8: Cirkel (M, r) en de straal M 6 keer afgepast op de cirkel b) F E M D C c) F E M D Er zijn 2 gelijkzijdige driehoeken. C

68 62 Meetkundige constructies Opgave 9 De constructie van de regelmatige zeshoek Teken (M, r). Kies een willekeurig punt op de cirkel. Pas zes keer de straal M af op de cirkel snijpunten, C, D, E en F. De punten,, C, D, E en F vormen samen een regelmatige zeshoek. Opgave 0 a) Er zijn een heleboel vierhoeken die men kan tekenen met de vier gegeven zijden. Hieronder worden drie voorbeelden gegeven.

69 Gelijkzijdige driehoeken en regelmatige zeshoeken 63 b) ls de totale lengte van de drie gegeven zijden kleiner of gelijk is aan de lengte van de vierde gegeven zijde is het niet mogelijk om met deze vier gegeven zijden een vierhoek te tekenen. c) Om een niet-regelmatige zeshoek met zes gelijke zijden te construeren begint men eerst met het tekenen van de eerste vier zijden (wel aan elkaar vast). Daarna gebruikt men de passer om de laatste twee zijden te tekenen. Let wel goed op de keuze van de hoeken waarmee twee zijden aan elkaar vast worden getekend! Hieronder wordt een voorbeeld gegeven. egin met de eerste vier zijden. Teken (delen) van twee cirkels, éen met het beginpunt van de figuur als middelpunt en éen met het eindpunt van de figuur als middelpunt, maar beiden met stralen gelijk aan de lengte van de zijde. Men krijgt dan twee snijpunten. Verbind nu het begin- en het eindpunt van de figuur met éen van de twee snijpunten. De verkregen figuren zijn niet-regelmatige zeshoeken met zes gelijke zijden. Op de volgende bladzijde worden de twee figuren zonder de hulpcirkels afgebeeld.

70 64 Meetkundige constructies Figuur 2.9: Twee voorbeelden van niet-regelmatige zeshoeken met zes gelijke zijden

71 Loodlijnen Loodlijnen Opgave (Voorbeelduitwerking) Teken een lijn l en niet op l. l Teken een cirkel met middelpunt met een straal die iets groter is dan de afstand van tot l. Deze cirkel snijdt l in de punten en C. Construeer nu het midden van lijnstuk C (zie Opgave 3 voor deze constructie). De lijn door het midden van C en is de gevraagde loodlijn! C l Laten we de hulpcirkels en hulplijnen weg, dan ziet de loodlijn vanuit op l er als volgt uit: l

72 66 Meetkundige constructies Opgave 2 a), b) (Voorbeelduitwerking) De constructie van het oprichten van een loodlijn vanuit op l: Teken l en een punt op l. Teken (, r) met een straal r zodanig dat de cirkel twee snijpunten heeft met l. Noem de twee snijpunten en C. Construeer nu het midden van C. De lijn door het midden van C is het gevraagde loodlijn door op l. Zie de figuur hieronder voor een illustratie van de bovenstaande constructie: C l Laten we de hulpcirkels en de hulplijnen weg, dan ziet de loodlijn op l opgericht vanuit er als volgt uit:

73 Loodlijnen 67 Opgave 3 a) Voor de constructie van het neerlaten van loodlijn m vanuit op l, zie Opgave. Voor de constructie van het oprichten van loodlijn n vanuit op l, zie Opgave 2. Passen we deze constructies toe dan krijgen we de volgende (soortgelijks) figuur: l m n b) Tekenen we alleen lijn l en de loodlijnen m en n dan krijgen we de volgende figuur: l m n De loodlijnen m en n staan beide loodrecht op l, dus zijn ze evenwijdig. Dit noteren we als m n.

74 68 Meetkundige constructies Opgave 4 a) Kijk naar de constructie voor het bepalen van het midden van een lijnstuk (zie Opgave 3). De lijn door de snijpunten van de twee cirkels (, r) en (, r) is de middelloodlijn van! Hieronder wordt een voorbeeld gegeven. Figuur 2.0: Lijnstuk en de constructie van de middelloodlijn van. b) C D Figuur 2.: Lijnstuk CD, met CD tweemaal zo lang als, en de constructie van de middelloodlijn van CD. Om de middelloodlijn van een lijnstuk te construeren is het beste om een straal te kiezen die net iets korter is dan de lengte van het lijnstuk zelf. De twee cirkels die getekend worden zullen elkaar in twee punten snijden. De lijn door deze twee snijpunten is dan de middelloodlijn van het lijnstuk.

75 Loodlijnen 69 Opgave 5 De constructie van de middelloodlijn van lijnstuk PQ: Teken PQ. Teken (P, r) en (Q, r) met een straal r iets kleiner dan de lengte van PQ snijpunten R en S. De lijn door R en S is de gevraagde middelloodlijn van PQ. Opgave 6 a), b) Volg de constructie in de vorige opgave om de middelloodlijnen van de zijden van C en DEF te tekenen. ij het juist toepassen van de constructie krijgt men de volgende twee figuren: C M F M D E (a) C, de middelloodlijnen van de zijden van C en de omgeschreven cirkel van C. (b) DEF, de middelloodlijnen van de zijden van DEF en de omgeschreven cirkel van DEF. Figuur 2.2

76 70 Meetkundige constructies Opgave 7 Voor de constructie van het neerlaten van een loodlijn vanuit een hoekpunt op de zijde tegenover dat hoekpunt, zie Opgave. F C S D E S (a) C en de drie hoogtelijnen van C. (b) DEF en de drie hoogtelijnen van DEF. Figuur 2.3 Opgave 8 a) F C Z Z D E (a) C, de drie zwaartelijnen van C en het zwaartepunt Z. (b) DEF, de drie zwaartelijnen van DEF en het zwaartepunt Z. Figuur 2.4

77 Loodlijnen 7 b) Een zwaartelijn en het zwaartepunt van een driehoek verdelen die driehoek in twee, resp. drie gelijke stukken. Dit kan men het gemakkelijkst zien bij een gelijkzijdige driehoek, maar dit geldt in het algemeen voor alle driehoeken. Een zwaartelijn en het zwaartepunt van een driehoek brengen een driehoek als het ware in evenwicht. Opgave 9 Constructie van evenwijdige lijnen (voorbeelduitwerking). Teken een lijn l en een punt dat niet op l ligt. l Construeer de loodlijn m vanuit op l (zie boek p. 73 voor deze constructie). m m l l (a) Constructie van het neerlaten van loodlijn m vanuit op l. (b) Lijn l en de loodlijn m vanuit op l. Richt dan de loodlijn k op m vanuit het punt op (zie Opgave 2 voor deze constructie). Deze lijn k is de gevraagde lijn, oftewel k l. k m k m l l (a) Constructie van het oprichten van loodlijn k vanuit op m (b) Lijn k is evenwijdig op lijn l, oftewel k l.

78 72 Meetkundige constructies Opgave 20 Constructie van een rechthoek (voorbeelduitwerking). egin met een willekeurig punt en een lijn l door. l Construeer de loodlijn m op l vanuit (zie p. 73 voor deze constructie). m m l (a) Constructie van het oprichten van de loodlijn m op l vanuit. l (b) Lijn l en de loodlijn m vanuit op l. Neem een willekeurig punt op m en richt een loodlijn k op vanuit (zie Opgave 2 voor deze constructie). m m k k l (a) Constructie van het oprichten van de loodlijn k vanuit op m l (b) De loodlijn k vanuit op m

79 Loodlijnen 73 Neem een willekeurig punt C op k en richt een loodlijn n op vanuit C. Deze loodlijn snijdt l in het punt D. De vierhoek CD die nu ontstaan is heet een rechthoek, want hij heeft vier rechte hoeken! m m n n C C k D k D l (a) Constructie van het oprichten van de loodlijn n vanuit C op k l (b) Rechthoek CD Opgave 2 Constructie van een vierkant (voorbeelduitwerking). a) egin met een willekeurig punt P en een lijn l door P. l P Teken (P, r) met een straal r gelijk aan de gewenste lengte van de zijden van de vierkant. Dit levert twee snijpunten met l op. Noem ze T en S. l T P S Teken de middelloodlijn m van TS. Noem het snijpunt met de eerste cirkel Q. m Q l T P S

80 74 Meetkundige constructies m Teken (Q, r) en (S, r). Dit levert twee snijpunten op, het punt P (maar die was er al) en een ander punt, noem dit punt R. Teken nu de loodlijn k op m door Q en R en de loodlijn n op l door R en S. De vierhoek PQRS is het gezochte vierkant! n m n k Q R k Q R l P S l P S (a) Constructie van de vierkant PQRS (b) Vierkant PQRS. b) De constructie van een vierkant: Teken een punt P en een lijn l door P. Teken (P, r) met straal r gelijk aan de gewenste lengte van de zijden van de vierkant snijpunten T en S. Teken de middelloodlijn m van TS snijpunt Q met de eerste cirkel. Teken (Q, r) en (S, r) snijpunten P (was er al) en R. PQRS is het gezochte vierkant.

81 Hoeken Hoeken Opgave 22 a) Voorbeelden: gestrekte hoek rechte hoek scherpe hoek stompe hoek b) w I II III IV scherpe hoek stompe hoek rechte hoek gestrekte hoek Opgave 23 Constructie van de bissectrice van hoek. a) Neem de hoek over van het boek en teken een deel van de cirkel om. Noem de snijpunten met de benen van : punt en punt C. C b) Laat dezelfde afstand tussen de passerpoten staan. Teken een deel van de cirkels om en C. Deze cirkels snijden elkaar in maar ook in een tweede punt dat we D noemen. C D

82 76 Meetkundige constructies c) De halve lijn die in begint en door D loopt is nu de bisectrice van. C D (a) en de constructie van de bissectrice van. (b) en de bissectrice van. De straal van de cirkel bij de constructie van de bissectrice van is vrij te kiezen. Wel moet de cirkel twee snijpunten hebben met de benen van. Opgave 24 (Voorbeelduitwerking) Teken een stompe hoek. Teken een deel van de cirkel om. Noem de snijpunten met de benen van : punt C en punt D. D C Laat dezelfde afstand tussen de passerpoten staan. Teken een deel van de cirkels om C en D. Deze cirkels snijden elkaar in maar ook in een tweede punt dat we E noemen.

83 Hoeken 77 D E C De halve lijn die in begint en door E loopt is nu de bissectrice van. D E (a) en de constructie van de bissectrice van. C (b) en de bissectrice van. Opgave 25 De constructie van de bissectrice van een hoek: Teken. Teken (, r) snijpunten en C met de benen van. Teken (, r) en (C, r) snijpunten (was er al) en D. De halve lijn die in D begint en door D loopt is de bissectrice van. Opgave 26 (Voorbeelduitwerking) a) Teken een cirkel met middelpunt M en een punt P buiten de cirkel. P M Er zijn twee raaklijnen van de cirkel die door P gaan.

84 78 Meetkundige constructies Construeer het midden N van PM (Figuur 2.5a, zie Opgave 3 voor deze constructie). Teken (N, MN). Noem de snijpunten van de cirkels S en T. Teken PS en PT. De lijnen PS en PT zijn de raaklijnen van de cirkel door P (Figuur 2.5b). P S P M N M N T (a) (b) Figuur 2.5 Hieronder worden de cirkel met middelpunt M, het punt P en de raaklijnen PS en PT van de cirkel door P afgebeeld. S P M T

85 Hoeken 79 Opgave 27 (Voorbeelduitwerking) a) Teken een lijn P en een punt P dat niet op de lijn ligt. P l b) Construeer de loodlijn vanuit P op l (Figuur 2.6a, zie p. 73 voor deze constructie). Noem het punt waar l en de loodlijn elkaar snijden S. Teken (P, PS), dit is de cirkel om P die l raakt (Figuur 2.6b). P P l S l S (a) (b) Figuur 2.6 Hieronder worden lijn l, het punt P en de cirkel om P die l raakt afgebeeld. P l S

86 80 Meetkundige constructies Opgave 28 a), b), c) Hieronder worden enkele voorbeelden gegeven van scherphoekige driehoeken, de drie bissectrices én de ingeschreven cirkels van deze driehoeken (zie Opgave 25 voor de constructie van de bissectrices). C M C M C M C M C M

87 Hoeken 8 d) Hieronder volgen enkele voorbeelden van stomphoekige driehoeken, de drie bissectrices én de ingeschreven cirkels van deze driehoeken. C M C M C M C M C M

88 82 Meetkundige constructies Opgave 27 De constructie van het overbrengen van een hoek. a) Neem de gegeven hoek en de halve lijn l over. l P Teken (, r) snijpunten en C met de benen van (Figuur 2.7a). Teken (P, r) snijpunt Q met l (Figuur 2.7b). Q l C P (a) (b) Figuur 2.7 Teken (Q, C) snijpunten R en S met (P, r). Teken de halve lijn PR (Figuur 2.8a) of PS (Figuur 2.8b). Nu is overgebracht op l. R Q l R Q l P S P S (a) (b) Figuur 2.8

89 Hoeken 83 b) De constructie van het overbrengen van een stompe hoek op een halve lijn l (voorbeelduitwerking). Teken een stompe hoek en een halve lijn l. l P Teken (, r) snijpunten C en D met de benen van (Figuur 2.9(a)). Teken (P, r) snijpunt Q met l (Figuur 2.9(b)). l D Q C P (a) (b) Figuur 2.9 Teken (Q, CD) snijpunten R en S met (P, r). Teken de halve lijn PR (Figuur 2.20a) of PS (Figuur 2.20b). Nu is overgebracht op l. l l R P Q R Q S P S (a) (b) Figuur 2.20

90 84 Meetkundige constructies Opgave 30 a) Construeer een regelmatige zeshoek (zie Opgave 8). Verbind de hoekpunten met het midden van de cirkel (Figuur 2.2a). De cirkel waarmee de zeshoek is getekend kunnen tevens gebruikt worden om de bissectrices te construeren van de hoeken in het midden (Figuur 2.2b). Teken de twaalfhoek (Figuur 2.2c en Figuur 2.2d). (a) (b) (c) De constructie van de twaalfhoek (d) De twaalfhoek Figuur 2.2 b) De cirkels die gebruikt worden bij de constructie van de zeshoek zijn een inspiratiebron voor leuke plaatjes. De mogelijkheden zijn oneindig. Op de volgende twee pagina s worden enkele voorbeelden van zulke plaatjes afgebeeld.

91

92

93 Regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken Opgave 3 a) b) c) d) e) f) g) P P P = P = 2 2 P P P = 2 P = 2 3 =, P P P = 2 3 =, 5 P = 3 5 =, P P P = 3 5 =, 7 P = 5 8 =, P P P = 5 8 =, 6 P = 8 3 =, P P P = 8 3 =, 625 P = 3 2 =, P P P = 3 2 =, 65 P = 2 34 =, 69

94 88 Meetkundige constructies h) 2 55 P P P = 2 34 =, 69 P = =, 68 Opgave 32 (Voorbeelduitwerking) a) Het figuur ziet er dan als volgt uit (merk op dat we alleen delen van de cirkels (C, C) en (, D) hebben getekend, immers we zijn alleen geïnteresseerd in de snijpunten van deze cirkels met driehoek C. C D P Figuur 2.22: De constructie van de gulden snede b) S R P Q Figuur 2.23: De guldensnederechthoek. Hier is PQ gelijk aan en QR gelijk aan P van onderdeel a).

95 Regelmatige veelhoeken 89 c) S L R M J E N G I H P K F Q Figuur 2.24: De guldensnedespiraal Opgave 33 a), b) M L K R N E F G D C H J I O P Q Figuur 2.25: De guldensnedespiraal c) De lengte van elke zijde is de som van de lengten van de twee voorgaande zijden. De lengten van de zijden van de volgende 5 vierkanten zijn dus 34, 55, 89, 44 en 233. d) ekijk Figuur Kijken we naar de rechthoeken CEGH, EGI J, enz, dan zien we: Rechthoek CEGH: CE EG = 2 3 =.5 Rechthoek EGI J: EG GI = 3 5 =.667 Rechthoek GIKL: GI IK = 5 8 =.6 Rechthoek IKMN: IK KM = 8 3 =.625 Rechthoek KMOP: KM MO = 3 2 =.65 Rechthoek MOQR: MO OQ = 2 34 =.69 We zien dat naarmate de rechthoeken groter worden, ze inderdaad steeds meer een guldensnede-rechthoek benaderen.

96 90 Meetkundige constructies Opgave 34 De constructie van de tienhoek (voorbeelduitwerking). a) egin met een cirkel met middelpunt M en straal r. Teken een diameter (Figuur 2.26a). Construeer daarna de diameter CD loodrecht op (Figuur 2.26b). C M M D (a) (b) Figuur 2.26 b) Construeer het midden N van MD door een deel van (D, MD) te tekenen zodat deze de eerste cirkel in twee punten snijdt. Teken een lijn door de snijpunten. Het snijpunt van deze lijn met MD is het midden N. Teken nu N. Zie de figuur hiernaast. C M N D C c) Pas de guldensnede constructie toe op MN. Teken (een deel van) (N, MN). Het snijpunt met N noemen we K. Snijd nu (, K) met M om het punt L te verkrijgen dat M in gulden snede verhouding verdeelt. Zie de figuur hiernaast. M N L K D

97 Regelmatige veelhoeken 9 d) De lengte L is nu de zijde van de tienhoek. Dit kunnen we controleren door deze lengte vanuit tien keer af te passen op de eerste cirkel, eerst vijf keer de ene kant en dan vijf keer de andere kant. Op deze manier komen we, als het constructie goed is uitgevoerd, beide keren op punt. Zie de figuur hiernaast. C M D L e) Teken de tienhoek (Figuur 2.27a). Een vijfhoek kan men construeren door om de beurt een hoekpunt van de tienhoek te nemen (Figuur 2.27b). (a) (b) Figuur 2.27: De tienhoek (a) en de vijfhoek (b) Opgave 35 De constructie van de regelmatige tienhoek Teken (M, r). Teken een diameter. Construeer daarna een tweede diameter CD loodrecht op. Construeer het midden N van MD. Teken N. Pas de guldensnede constructie toe op MN: Teken (N, NM) snijpunt K met N. Teken (, K) snijpunt L met M. L is nu de zijde van de tienhoek. Pas L vanaf tien keer af op (M, r). Teken de tienhoek.

98 92 Meetkundige constructies Opgave 36 De constructie van de vijfhoek. C a) Zie voor het begin van de constructie onderdelen a) en b) van b) de vorige opgave. Teken nu het snijpunt O van (N, N), zie de figuur hiernaast. O M N D We laten zien dat OM net zo lang is als L (van Opgave 34). Teken hiertoe (C, CM). Teken daarna een diameter PQ door C, evenwijdig aan en bepaal het midden R van CQ. Omdat CR = MN, CM = M en MR = N zijn de driehoeken CMR en MN exact dezelfde. Pas nu de gulden snede constructie toe op deze twee driehoeken (zie Opgave 32). Men ziet dan dat OM = L, zie de tekening hiernaast. P R C O L M N D Q c) O is nu de zijde van de vijfhoek! Pas vanaf vijf keer af op de d) eerste cirkel. Noem de punten P, Q, R en S (Figuur 2.28a). Teken e) de regelmatige vijfhoek PQRS en teken (in een andere kleur) het pentagram QSPR (Figuur 2.28b). P O Q P Q M R M R S (a) S (b) Figuur 2.28

99 Regelmatige veelhoeken 93 We laten zien dat de lijnstukken van het pentagram elkaar in gulden snedeverhouding snijden. ekijk hiertoe Figuur Hier is als voorbeeld de lijnstukken Q en PS genomen. Het snijpunt van Q en PS noemen we T. Teken nu (, ) en teken een diameter loodrecht op Q die door gaat. Het bovenste snijpunt van deze diameter met (, ) noemen we C. Nu is C = 2 Q. Pas nu de gulden snede constructie op de rechthoekige driehoek CQ. Uit deze constructie ziet men dat de lijnen Q en PS (en dus de lijnstukken van het pentagram) elkaar in gulden snede verhouding snijden. C P Q T M R S Figuur 2.29 Opgave 37 De constructie van de regelmatige vijfhoek Teken (M, r). Teken een diameter. Construeer daarna een tweede diameter CD loodrecht op. Construeer het midden N van MD. Teken (N, N) snijpunt O met MC. O is nu de zijde van de vijfhoek. Pas O vanaf vijf keer af op (M, r). Teken de vijfhoek.

100 94 Meetkundige constructies 2.6 Pseudoconstructies Opgave 38 De constructie van het midden van een lijnstuk, uitsluitend met de passer. De eerste twee onderdelen van de constructie zijn al in het boek geïllustreerd, dus gaan we verder met de derde onderdeel. Teken (, ) en (C, C) snijpunten D en E. D C E Teken (D, D) en (E, E) snijpunten (was er al), en M, waarbij M het gezochte midden van is! D M C E

101 Pseudoconstructies 95 Opgave 40 Pseudoconstructie van de zevenhoek. a), b) Voor de toelichting van de constructie van Figuur 2.30, zie boek p Q r R P C M r D Figuur 2.30 c), d) R is de zijde van de zevenhoek. Pas R zeven keer af op de cirkel vanuit (Figuur 2.3a). Teken nu de zevenhoek (Figuur 2.3b). R M (a) (b) Figuur 2.3

102