Wiskundig vouwen. Philippe Cara. Vrije Universiteit Brussel. Nationale Wiskunde Dagen. Noordwijkerhout, 28 januari / 61
|
|
- Martina de Croon
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Wiskundig vouwen Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, 28 januari / 61
2 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de eeuw Japan 6de eeuw, Europa in 12de eeuw 2 / 61
3 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de eeuw Japan 6de eeuw, Europa in 12de eeuw 1797: Hiden Senbazuru Orikata 1880: Oru (plooien) Kami (papier) 1935: Yoshizawa voert symbolen en diagrammen in 3 / 61
4 Vouwsymbolen 4 / 61
5 Hoe maken we...? 5 / 61
6 Vouwpatronen 6 / 61
7 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen 7 / 61
8 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs 8 / 61
9 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte 9 / 61
10 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte 10 / 61
11 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte 11 / 61
12 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte Interessant in de geneeskunde 12 / 61
13 Papiervouwen : een hobby? Ontspannend, weinig risico Interesseert meetkundigen Interesseert wiskundigen Interessant voor het onderwijs Interessant voor veiligheid en ruimte Interessant in de geneeskunde 13 / 61
14 WAT KAN GECONSTRUEERD WORDEN? 14 / 61
15 Meetkundige constructies Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomen zijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal. 15 / 61
16 Meetkundige constructies Alle constructies die in de Elementen van Euklides voorkomen zijn gebaseerd op het gebruik van passer en liniaal. 1. Tussen twee verschillende punten kan men steeds een rechte lijn trekken. 2. Elke eindige rechte lijn kan steeds oneindig verlengd worden op een continue wijze. 3. Men kan steeds een cirkel tekenen indien zijn middelpunt en een straal gegeven zijn. 15 / 61
17 We kunnen tweedegraadsvergelijkingen oplossen y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 = R 2 16 / 61
18 Onmogelijke constructies Drie problemen waarvoor men eeuwenlang tevergeefs naar een oplossing zocht: 1. De duplicatie van de kubus = de constructie van de zijde van een kubus die een volume heeft gelijk aan het dubbele van dat van een gegeven kubus. 2. De trisectie van de hoek = de verdeling van een gegeven willekeurige hoek in drie evengrote hoeken. 3. De kwadratuur van de cirkel = de constructie van een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. 17 / 61
19 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 18 / 61
20 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking : cos3θ = 4 cos 3 θ 3 cosθ. 18 / 61
21 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking : cos3θ = 4 cos 3 θ 3 cosθ. 3. De kwadratuur van de cirkel : construeer π. 18 / 61
22 Onmogelijke constructies 1. De duplicatie van de kubus : z 3 D = 2z3 z D = 3 2z. 2. De trisectie van de hoek : derdegraadsvergelijking : cos3θ = 4 cos 3 θ 3 cosθ. 3. De kwadratuur van de cirkel : construeer π. Galoistheorie = geen van deze drie problemen heeft een oplossing met passer en liniaal. 18 / 61
23 Met passer en meetliniaal 19 / 61
24 Eerste stappen 20 / 61
25 Eerste stappen 20 / 61
26 Eerste stappen 20 / 61
27 Eerste stappen 20 / 61
28 Binaire breuken We kunnen alle breuken 1 2 n construeren! 21 / 61
29 Binaire breuken We kunnen alle breuken 1 2 n construeren! We kunnen dus ook de m 2 n maken, in 2 n 1 vouwen. 21 / 61
30 Binaire schrijfwijze van getallen 384 = / 61
31 Binaire schrijfwijze van getallen 384 = = / 61
32 Binaire schrijfwijze van getallen = = / 61
33 Binaire schrijfwijze van getallen = = / 61
34 Binaire schrijfwijze van getallen = = We kunnen dus binaire breuken m 2 n met m < 2 n schrijven als binaire kommagetallen. 22 / 61
35 Binaire schrijfwijze van getallen = = We kunnen dus binaire breuken m 2 n met m < 2 n schrijven als binaire kommagetallen..111= = / 61
36 Binaire breuken = = = 1 2 ( ) = 1 2 ( ( ( ( (1))))) We kunnen 25 berekenen door van rechts naar links te lezen 32 en, afhankelijk van wat er staat, 1. plus 0, maal plus 1, maal / 61
37 Deze twee bewerkingen met papier r 24 / 61
38 Deze twee bewerkingen met papier r r 1(0 + r) 2 24 / 61
39 Deze twee bewerkingen met papier r r 1(0 + r) 2 r 24 / 61
40 Deze twee bewerkingen met papier r r 1(0 + r) 2 r r 1(1 + r) 2 24 / 61
41 Efficientie! Hier slechts n vouwen nodig!!! = = / 61
42 Benaderingen 1 3 = / 61
43 Benaderingen 1 3 = Dus vouw bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, bovenkant naar beneden, onderkant naar boven, / 61
44 Willekeurige breuken w y y z x 27 / 61
45 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w y+z X = w + (x w)x 27 / 61
46 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y 27 / 61
47 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w 27 / 61
48 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w z = 1 y = 1 x 1 x+w 27 / 61
49 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w z = 1 y = 1 x 1 x+w Zij p = 2 k en stel w = m en x = n met m,n < p p p 27 / 61
50 Willekeurige breuken w y y z x Y = w + x w X = w + (x w)x y+z Diagonaal X = Y Y (1 (x w)) = w y = w 1 x+w z = 1 y = 1 x 1 x+w Zij p = 2 k en stel w = m en x = n met m,n < p p p Dan y = m p+m n en z = p n p+m n. 27 / 61
51 Constructie van a/b Dan y = m p+m n en z = p n p+m n. m := a, n = a b + p met p = 2 k zó dat p a en p b a. 28 / 61
52 Constructie van a/b Dan y = m p n en z =. p+m n p+m n m := a, n = a b + p met p = 2 k zó dat p a en p b a. Voorbeeld: voor 1 nemen we p = 2, m = 1 en n = / 61
53 Constructie van a/b Dan y = m p n en z =. p+m n p+m n m := a, n = a b + p met p = 2 k zó dat p a en p b a. Voorbeeld: voor 1 nemen we p = 2, m = 1 en n = / 61
54 Origami axioma s Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. P 1 P 2 29 / 61
55 Origami axioma s Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. P 1 P 2 30 / 61
56 Origami axioma s P 1 en P 2 zó plooien dat P 1 op P 2 terecht komt. P 1 P 2 31 / 61
57 Origami axioma s P 1 en P 2 zó plooien dat P 1 op P 2 terecht komt. P 1 P 2 32 / 61
58 Origami axioma s Twee rechten l 1 en l 2 die op elkaar vouwen. l 1 l 2 33 / 61
59 Origami axioma s Twee rechten l 1 en l 2 die op elkaar vouwen. l 1 l 2 34 / 61
60 Origami axioma s Punt P 1 en een rechte l 1 loodlijn op l 1 door P 1 construeren. P 1 l 1 35 / 61
61 Origami axioma s Punt P 1 en een rechte l 1 loodlijn op l 1 door P 1 construeren. P 1 l 1 36 / 61
62 Origami axioma s P 1 en P 2 samen met een rechte l 1 een vouw maken door P 2 zo dat P 1 op l 1 terecht komt. P 1 P 2 l 1 37 / 61
63 Origami axioma s P 1 en P 2 samen met een rechte l 1 een vouw maken door P 2 zo dat P 1 op l 1 terecht komt. P 1 P 2 l 1 38 / 61
64 Origami axioma s 1. Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. 2. P en Q zó plooien dat P op Q terecht komt. 3. Twee rechten l en m die op elkaar vouwen. 4. Punt P en een rechte l loodlijn op l door P construeren. 5. P en Q samen met een rechte l een vouw maken door Q zo dat P op l terecht komt. De meetkunde der spiegelingen! 39 / 61
65 Trisectie 40 / 61
66 Trisectie 41 / 61
67 Trisectie 42 / 61
68 Trisectie 43 / 61
69 Origami axioma s Twee punten P 1,P 2 en twee rechten l 1,l 2 een vouw maken zó dat P 1 op l 1 komt en P 2 op l 2. P 1 P 2 l 1 l 2 44 / 61
70 Origami axioma s Twee punten P 1,P 2 en twee rechten l 1,l 2 een vouw maken zó dat P 1 op l 1 komt en P 2 op l 2. P 1 P 2 l 1 l 2 45 / 61
71 Zonder instrumenten? 1. Twee punten rechte vouwen die ze verbindt. 2. P en Q zó plooien dat P op Q terecht komt. 3. Twee rechten l en m die op elkaar vouwen. 4. Punt P en een rechte l loodlijn op l door P construeren. 5. P en Q samen met een rechte l een vouw maken door Q zo dat P op l terecht komt. 6. Twee punten P,Q en twee rechten l,m een vouw maken zó dat P op l komt en Q op m. 46 / 61
72 Plooien is beter dan Euklides! Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen! Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met passer en geijkte liniaal. 47 / 61
73 Plooien is beter dan Euklides! Door axioma 6 kunnen we derdegraadsvergelijkingen oplossen! Stelling. Met papierplooien kan je juist evenveel als met passer en geijkte liniaal. 7de axioma : Gegeven P en l 1, l 2, kunnen we een vouw maken, loodrecht op l 2, die P afbeeldt op l 1. P l 1 l 2 47 / 61
74 Duplicatie van de kubus 48 / 61
75 Duplicatie van de kubus 48 / 61
76 Erik Demaine Geboren op 28 februari 1981 in Canada. Werd op 20-jarige leeftijd prof op MIT. Uiterst multidisciplinair! Meer dan 100 publicaties! Werkt veel op gebied van origami en wiskundige veralgemeningen van vouwen. Houdt ook van computers / 61
77 Pasen 50 / 61
78 Verpakkingsprobleem De kubus: 2 2z Mozartkugel = eenheidssfeer 1.6π 2 < 2π 2 51 / 61
79 Modulaire origami 52 / 61
80 Modulaire origami 53 / 61
81 Modulaire origami 54 / 61
82 Modulaire origami 55 / 61
83 Modulaire origami 56 / 61
84 Modulaire origami 57 / 61
85 Modulaire origami 58 / 61
86 Modulaire origami 59 / 61
87 Modulaire origami 60 / 61
88 Modulaire origami 61 / 61
Wiskundig valt er veel in de plooi
Wiskundig valt er veel in de plooi Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be Leuven, 13 mei 2009 1 / 54 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de eeuw Japan 6de eeuw,
Nadere informatieWiskunde van het vouwen
Wiskunde van het vouwen Britney Gallivan We nemen aan: De dikte van papier is 0. Draakkromme Uitvouwen tot hoeken van 90 graden geeft de Draakkromme. Origami Origami is de kunst van het papiervouwen. De
Nadere informatieOrigami Meetkunde. Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011
Origami Meetkunde Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011 Samenvatting In dit dictaat beschouwen we een manier om hoeken en afstanden te construeren: origami. We vergelijken het met het construeren
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieEuclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk?
Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? 28-6-2014 Universiteit Utrecht Jeroen Nagtegaal (0441872) 2 INHOUDSOPGAVE 0. INLEIDING... 4 HOE MOET JE DIT BOEKJE LEZEN?...
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieRakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde
Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als
Nadere informatieAppendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1
Appendix B: Complexe getallen met Cabri Geometry II 1 1. Macro s in Cabri Indien een constructie geregeld uitgevoerd moet worden, is het interessant deze constructie op te slaan in een macro. Het definiëren
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieDe bouw van kathedralen
De bouw van kathedralen Van ongeveer 1050 tot 1400 was er een explosie in de bouw van kathedralen. De kathedraal van Amiëns is gebouwd van 1220 tot 1280. Men heeft er dus 60 jaar over gedaan. Niet verwonderlijk
Nadere informatieGriekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK
Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 3 1,731 5,361 π 3,116 1 Als a 1 3 a 1 3 a m = a met a R + \{0, 1}, dan
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 000-00: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatieDE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL
Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een
Nadere informatieHP Prime: Meetkunde App
HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Meetkunde App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Meetkunde-App op de HP Prime Meetkunde is een van de oudste wetenschappen op aarde,
Nadere informatieLes 20: gelijknamige breuken, gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen
Getallenkennis Target 1 Les 1: getalbegrip to 10 000 000 wb. p. 1+2, sb 1 Les 5: kommagetallen tot 0,001 wb. p. 8-9, sb 5 Les 12: breuken vergelijken en sorteren wb. p. 15-16, sb 10 Les 13: breuk als operator,getal,verhouding,
Nadere informatieMascheroni constructies
Mascheroni constructies Merijn IJperlaan Sjoerd Job Postmus 3 April 2009 Samenvatting Het construeren met passer en rechte is een sport die al bij de Grieken bekend was. Met een aantal simpele regels konden
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatie12 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieWISKUNDE: HERHALINGSOEFENINGEN EINDE ZESDE LEERJAAR
WISKUNDE: HERHALINGSOEFENINGEN EINDE ZESDE LEERJAAR Getallenkennis: getalbegrip 1. Noteer het getal: 5D 2H 6HD 7t 9d 2. Noteer het getal: MMXVIII Getallenkennis: werken met gegevens 3. Hoeveel maanden
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatieNiet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische
Nadere informatieExtra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud
Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige
Nadere informatietoetswijzer wiskunde curriculumdifferentiatie 6de leerjaar *De waarde van natuurlijke getallen en kommagetallen, bv = 8 D + 5 H + 6 T + 0 E
toetswijzer wiskunde curriculumdifferentiatie 6de leerjaar naam:... Getallenkennis *De waarde van natuurlijke getallen en kommagetallen, bv. 8 560 = 8 D + 5 H + 6 T + 0 E *Getallen in de positietabel noteren
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatieOEFENPROEFWERK VWO B DEEL 2
OEFENPROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK 8 MEETKUNDE MET COÖRDINATEN OPGAVE Gegeven zijn de punten A( p,0), B(0, p), C(4 p, 0) en D(0, q ). De lijn k gaat door A en B, de lijn l gaat door C en D. a Voor welke
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieLijnen van betekenis meetkunde in 2hv
Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module
Nadere informatieEllips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatieConstructies met passer en liniaal, origami en meccano
Constructies met passer en liniaal, origami en meccano Luuk Hoevenaars, Hogeschool Utrecht luuk.hoevenaars@hu.nl Hand- out voor de Nederlandse Wiskunde Dagen 201 De module in vogelvlucht De module gaat
Nadere informatiePARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...
PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieHandig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde
Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek
Nadere informatie2 Lijnen en hoeken. De lijn
1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam
Nadere informatieR. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.
R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad
Nadere informatieDE basis. Wiskunde voor de lagere school. Jeroen Van Hijfte en Nathalie Vermeersch. Leuven / Den Haag
DE basis Wiskunde voor de lagere school Jeroen Van Hijfte en Nathalie Vermeersch Acco Leuven / Den Haag Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord
Nadere informatieJAARPLANNING ZO GEZEGD, ZO GEREKEND - 5 leerjaar pag. 1 / 10
JAARPLANNING ZO GEZEGD, ZO GEREKEND - 5 leerjaar pag. 1 / 10 Op basis van 5 wiskundelessen per week Week 44: herfstvakantie Week 52 en 1: Kerstvakantie Week 10: krokusverlof Week 15 en 16: Paasvakantie
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per
Nadere informatieConstructies met passer en liniaal. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht
Constructies met passer en liniaal Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht 1 Inleiding Voor je ligt een Wiskunde D module over vier beroemde problemen uit de Griekse
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012: eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2011-2012: eerste ronde 1.Vantweenatuurlijkegetallenmennismevenennoneven.Welkvanvolgendegetallen is dan oneven? () m+4n () 3m+2n () mn (D) m n (E) n m 2. Welk van volgende
Nadere informatieEindexamen wiskunde B havo I
Eindexamen wiskunde B havo 0 - I Beoordelingsmodel Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( 5 ) 77 0,0785 0,0034 0 R 7, ( 5 ) 70 0,0785 0,0034 0 Dus de overlevingstijd is 70
Nadere informatie2.5 Regelmatige veelhoeken
Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige
Nadere informatie13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieCabri werkblad. Meetkundige plaatsen
Cabri werkblad Meetkundige plaatsen 1. Wat is een meetkundige plaats? We geven direct maar een Definitie Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien: 1.
Nadere informatie10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw
28 1 10 fstanden even ver van als van C even ver van, van C en van E 10 m Q ligt even ver van P als van Q, net zo. Dus is middelloodlijn van lijnstuk PQ, dus lijn staat loodrecht op lijn. 180 + = 90 2
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 986 987: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij of zij
Nadere informatieRekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en Rekenen en ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal Vaktaal herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van herkennen en voor het ordenen van
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
Nadere informatieHAVO wiskunde B 2011-I. Overlevingstijd 7,2. Voor T 20 geldt: ( 15 ) 177 0,0785 0, ( 15 ) 701 0,0785 0, , 2
HAVO wiskunde B 0-I Vraag Antwoord Scores Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( 5 ) 77 0,0785 0,0034 0 R 7, ( 5 ) 70 0,0785 0,0034 0 Dus de overlevingstijd is 70 4 keer
Nadere informatieW i s k u n d e. voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN AUTEUR: JOHANNES SUPIT
W i s k u n d e voor de eerste klas van het gymnasium UITWERKINGEN UTEUR: JOHNNES SUPIT COSMICUS MONTESSORI LYCEUM MSTERDM, 200 Inhoudsopgave Getallen. Van de één naar de nul................................
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 0-05: tweede ronde. lsaenbnatuurlijkegetallenzijnzodanigdata 5 b 5 =,danisa bgelijkaan () () 0 () 5 () (E) Onmogelijktebepalen.. Watisdecoördinaatvandetopvandeparabooly=(x+6)
Nadere informatie11 De hoed van Napoleon
11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carrière als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
Junior Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Van een rechthoek is de lengte het dubbel van de breedte Als de oppervlakte cm bedraagt, hoe lang is dan de langste zijde? (A) cm (B) cm (C) cm (D) 8 cm (E)
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten, per
Nadere informatieDe meetkunde van de. derdegraadsvergelijking
Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieAlgoritmen abstract bezien
Algoritmen abstract bezien Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Gastcollege bij Programmeren in de Wiskunde, 6 april 2017 Een algoritme is een rekenvoorschrift dat op elk moment van
Nadere informatieGEOGEBRA 6 IN DE eerste graad B
GEOGEBRA 6 IN DE eerste graad B Heel tof? R. Van Nieuwenhuyze Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, Brussel Auteur Van Basis tot Limiet en van Nando roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Roger Van Nieuwenhuyze
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a
Nadere informatieRekensprong 5 boek A. Getallenkennis boek A sprong 1, 2 en 3
Rekensprong 5 boek A Getallenkennis boek A sprong 1, 2 en 3 Sprong 1 les 2 natuurlijke getallen tot 100 000 Sprong 1 les 6 kommagetallen Sprong 2 les 14 de breuk als operator Sprong 2 les 19 de breuk als
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatie1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.
Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn
Nadere informatieInversie. Hector Mommaerts
Inversie Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities en constructies 1.1 Definitie We weten hoe we een punt moeten spiegelen rond een rechte. We gaan nu kijken hoe we een punt spiegelen rond een cirkel.
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren
Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 2003-2004: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieSoorten lijnen. Soorten rechten
Soorten lijnen ik zeg ik teken ik noteer ik weet een punt A A een rechte a a Een rechte heeft geen begin- en eindpunt. een halfrechte [A een halfrechte heeft B] een beginpunt of een eindpunt een lijnstuk
Nadere informatieWiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
Nadere informatie1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 Vier van de volgende figuren zijn het beeld van minstens één andere figuur door een draaiing in het vlak Voor één figuur is dit niet het geval Welke?
Nadere informatieEfficientie in de ruimte - leerlingmateriaal
Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 990-99: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt: een deelnemer start met 0 punten Per
Nadere informatieCreatief aan de slag met GeoGebra. Een tangram is een beroemde Chinese puzzel bestaande uit 7 puzzelstukjes: 1 vierkant, 1 parallellogram.
18 Tangram puzzel Een tangram is een beroemde Chinese puzzel bestaande uit 7 puzzelstukjes: 5 gelijkbenige rechthoekige driehoeken van 3 verschillende grootten, 1 vierkant, 1 parallellogram. Aan het begin
Nadere informatieMEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN
120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een
Nadere informatieLeve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π
Nadere informatieOefentoets Versie A. Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (2017/2018) Periode: 3
Oefentoets Versie A Vak: Wiskunde Onderwerp: Meetkunde Leerjaar: 1 (017/018) Periode: 3 Opmerkingen vooraf: Het gebruik van een rekenmachine en een tabellenboekje is toegestaan. Geef je antwoord alljd
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieHoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras
Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We
Nadere informatieafstanden handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek afstanden
inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn de zijlijn hoofdlijn Het begrip afstand wordt geïntroduceerd. Tekenen
Nadere informatieOpen het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het
Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte
Nadere informatie3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.
1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatie