Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

Transcriptie

1 Vlaamse Wiskunde lmpiade : tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar zal aan keer zo oud zijn als jaar geleden ver 6 jaar zal aan 6 keer zo oud zijn als jaar geleden Wat ontbreekt op de plaats van de puntjes? () 2 (B) (C) 4 () 5 (E) 6 Stel f() = a b voor zekere constanten a, b R ls f(1) niet gedefinieerd is en f(2) = 0, dan is f(0,5) gelijk aan () 0 (B) 1 (C) 2 () (E) 4 4 ls = 6 2, dan is ( 1)( ) gelijk aan () 126 (B) 128 (C) 254 () 256 (E) e verzameling van de nulwaarden van de reële functie f waarvoor geldt f( 2) = + is gelijk aan () { 5} (B) { } (C) { 1} () {2} (E) {5} 6 Hoeveel snijpunten heeft de grafiek van de functie = + sin met de rechte = in het interval [ 14, 14]? () 198 (B) 199 (C) 200 () 201 (E) Van een vierkant stuk papier met zijde z wordt in de rechterbovenhoek een vierkant stukje afgesneden met zijde Linksonder wordt eveneens een vierkant stukje afgesneden e rest van het papier verknipt men in 56 vierkante stukjes met oppervlakte 1 Hoe groot is de zijde z? () 9 (B) 10 (C) 12 () 1 (E) 0 Copright Vlaamse Wiskunde lmpiade vzw 2008

2 8 Beschouw de punten ( 1, 0) en B(1, 0) en een derde punt C op de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1, zodat CB = 0 Wat is het eerste coördinaatgetal van C? () 0 (B) 1 (C) 1 2 () 2 (E) 2 9 (2 ) 2 0 is gelijkwaardig met () (2 ) 2 < 0 (B) 2 0 (C) 2 = 0 () 2 < 0 (E) ( 2) an een ronde tafel zitten 8 personen oor lottrekking worden er uitgekozen om een mop te vertellen Wat is de kans dat er minstens 2 van hen naast elkaar zitten? () 4 7 (B) 8 (C) 2 () 5 7 (E) Een kwartcirkel C met straal 1 en middelpunt verdeelt men in gelijke delen door middel van de punten en B Uit die punten laat men de loodlijnen en BB neer op de middellijn C (zie figuur) e oppervlakte van het trapezium BB bedraagt B B C () 2 4 (B) 6 (C) 1 4 () π 8 (E) π Hoeveel gehele oplossingen heeft de ongelijkheid 1 1 > 1 4? () 5 (B) 6 (C) 7 () 8 (E) 9 1 Een witte muis bevindt zich in een hok met 4 kamers Er zijn 4 openingen (zie figuur) waardoor de muis van een kamer naar een andere kan gaan e muis heeft geen enkele voorkeur wat de openingen betreft Zij kiest dus elke opening met gelijke kans e muis bevindt zich in kamer ls zij zesmaal door een opening gegaan is, wat is dan de kans dat zij zich opnieuw in kamer bevindt? () 0,25 (B) 0, (C) 0,75 () 0,5 (E) 0,625

3 14 lle punten (, ) waarvoor + = 2 vormen () een rechte (B) een cirkel (C) een vierkant () twee rechten (E) vier rechten 15 Het punt ligt buiten een cirkel die B en C bevat e rechte B raakt aan de cirkel e rechte C snijdt de cirkel een tweede keer in ls BC = 2, = en C = 4, dan is B gelijk aan C B () 15 (B) 22,5 (C) 25 () 27,5 (E) 0 16 Stel f(n) = 1! + 2! +! + 4! + + (n 1)! + n! met n 0 Welk van de volgende getallen heeft de grootste rest bij deling door 9? () f(4) + 4 (B) f(8) + 8 (C) f(12) + 12 () f(16) + 16 (E) f(20) In een vierkant met zijde 2, verbindt men 2 keer het midden van een zijde met een hoekpunt, zoals op de figuur Hoe groot is de oppervlakte van het gearceerde gebied? () 2 (B) 2,2 (C) 2,25 () 2,5 (E) In een rechthoekige driehoek BC met  = 0 trekt men het lijnstuk [E] evenwijdig met [BC], zodanig dat E opp BC = opp E an is: () E = B (B) = B (C) E = BC () = EC (E) = BC C B 19 Hoeveel reële getallen m betaan er waarvoor de vergelijkingen 2 + m + 1 = 0 en m = 0 minstens één gemeenschappelijke reële oplossing hebben? () 0 (B) 1 (C) 2 () 4 (E) oneindig veel

4 20 e diagonalen van een ruit hebben als lengtes en 7,2 e afstand tussen de evenwijdige zijden van de ruit is gelijk aan () 12 5 (B) 6 1 (C) 18 1 () 72 1 (E) In een driehoek sluiten 2 zijden met lengte 21 en 28 een hoek van 120 in e lengte van de bissectrice van die hoek (van hoekpunt tot overstaande zijde) is gelijk aan 21? 28 () 9 (B) 12 (C) 14 () 15 (E) 7 22 Twee vierkanten BC en BEF in de ruimte hebben een gemeenschappelijke zijde [B] (zie figuur) Bepaal de hoek CBE als CE = 60 F B C E () 15 (B) 120 (C) 90 () 60 (E) 45 2 Een rechte die de positieve -as en de negatieve -as snijdt, maakt een hoek α (0 < α < 90 ) met de -as ls d de afstand is van de oorsprong tot de rechte, dan is een vergelijking van deze rechte d α () cosα + sin α = d (B) sinα + cosα = d (C) cosα sinα = d () sinα cos α = d (E) sinα cos α = d 24 ls a, b en c drie verschillende getallen zijn zodat a 2 bc = 7, b 2 +ac = 7 en c 2 +ab = 7, dan is a 2 + b 2 + c 2 gelijk aan () 8 (B) 10 (C) 12 () 14 (E) 16

5 25 e grafieken van de reële functies met functievoorschrift g 1 () = ( 2 + 2) g 2 () = ( 2 + 2) g () = ( 2 + 2) g 4 () = ( 2 + 2) vormen samen het trifolium van e Longchamps (zie figuur) Het deel van de kromme bepaald door g 1 is () (B) (C) () (E) 26 BB en HNNH zijn palindromen (woorden van 1 of meerdere letters die hetzelfde gelezen worden van links naar rechts als van rechts naar links) Hoeveel palindromen kunnen er in het totaal met deze letters gemaakt worden? Er mogen hoogstens zoveel eemplaren van de letters gebruikt worden als gegeven zijn e palindromen hoeven als woord geen betekenis te hebben () 24 (B) 129 (C) 1 () 188 (E) 19

6 27 Een regelmatige vijfhoek heeft zijde 1 Men spiegelt het punt om de rechte BE p welke afstand van de zijde [BC] ligt het spiegelbeeld van? B E C () tan6 (B) sin54 (C) cos54 () sin 72 (E) cos72 28 Hoeveel koppels gehele getallen (a, b) zijn er, met a, b > 1, waarvoor a 1 + b 1 = ab 1? () 0 (B) 1 (C) () 5 (E) oneindig veel 29 Hoeveel veeltermfuncties van de derde graad hebben een grafiek die gaat door de punten (0, 0), (1, 1), (2, 4) en (, 9)? () 0 (B) 1 (C) 2 () (E) oneindig veel 0 e punten (, ) in het vlak die voldoen aan ( 2 2 )( 2 1)( 2 1)( ) = 0 verdelen het vlak in een aantal delen (waarvan sommige begrensd en andere niet) Hoeveel delen zijn dat? () 10 (B) 20 (C) 24 () 28 (E) 2