Vectoranalyse voor TG

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Vectoranalyse voor TG"

Camiel van Beek
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25

1 college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : september otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag

2 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het oppervlak is georiënteerd en stuksgewijs glad. De rand van is een georiënteerde, enkelvoudige, gesloten, stuksgewijs gladde kromme, waarvan de oriëntatie overeenstemt met die van volgens de rechterhandregel; Vectorveld F heeft continue partiële afgeleiden op een open omgeving van. Dan geldt F dr curl F n dσ. 2 st/1 VA irculatie Zie ook college 1 Definitie Gegeven is een stroming v in 3. tel is een georiënteerde, gesloten kromme. De circulatie door is de lijnintegraal van v door, dus v dr. n telling circulatiestelling tel is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n, dan v dr (curl v n) opp(). 3 st/2 VA

3 n 1 1 B D Voor vlak 1 geldt: curl F n 1 opp( 1 ) F 1 dr. Voor 2 geldt: curl F n 2 opp( 2 ) F 2 dr. Lijnstuk AB wordt twee keer doorlopen, maar in tegengestelde richting, dus F 2 dr + F 2 dr F ( 1 dr. 2 ) Dus curl F n 1 opp( 1 )+curl F n 2 opp( 2 ) F dr. A n 2 2 D ( 1 2 ) 4 st/3 VA n k k Door herhaald toepassen krijg je een iemann som curl F n k opp( k ) F dr. k Maak de oppervlakjes k kleiner en kleiner. Door limiet opp( k ) te nemen volgt de stelling van : curl F n dσ F dr. 5 st/4 VA

Voorbeeld ection 16.7, example 2 Gegeven is het vectorveld F (y, x, ). Verifieer de stelling van voor het oppervlak : x 2 + y 2 + z 2 9, z. Kies de oriëntatie van is linksom (van boven gezien).

4 Voorbeeld ection 16.7, example 2 Gegeven is het vectorveld F (y, x, ). Verifieer de stelling van voor het oppervlak : x 2 + y 2 + z 2 9, z. Kies de oriëntatie van is linksom (van boven gezien). Parametrisering van : r(θ) (3 cos θ, 3 sin θ, ) met θ 2π. r (θ) ( 3 sin θ, 3 cos θ, ) F ( r(θ) ) (3 sin θ, 3 cos θ, ) F ( r(θ) ) r (θ) 9 sin 2 θ 9 cos 2 θ 9. F dr F ( r(θ) ) r (θ) dθ 9 dθ 18π. 6 st/5 VA Voorbeeld (vervolg) curl F(x, y, z) (,, 2) 2k. In Thomas wordt de oppervlakteintegraal met behulp van de impliciete vorm berekend. Dit voorbeeld wordt berekend met een expliciete parametrisering. Parametrisering van : r(ϕ, θ) (3 sin ϕ cos θ, 3 sin ϕ sin θ, 3 cos ϕ) met ϕ π/2 en θ 2π. r ϕ 3(cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ). r θ 3( sin ϕ sin θ, sin ϕ cos θ, ). r ϕ r θ 9 sin ϕ(sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ). Als ϕ π/2 dan cos ϕ, dus r ϕ r θ wijst naar boven. curl F ( r(ϕ, θ) ) (r ϕ r θ ) 18 sin ϕ cos ϕ 9 sin(2ϕ). curl F n dσ π/2 9 sin(2ϕ) dϕ dθ 18π. 7 st/6 VA

Voorbeeld De kromme is de snijfiguur van de cilinder x 2 + y 2 1 en het vlak y + z 2. Bereken F dr waarbij F(x, y, z) ( y 2, x, z 2). De oriëntatie van is linksom (van boven gezien).

5 Voorbeeld De kromme is de snijfiguur van de cilinder x 2 + y 2 1 en het vlak y + z 2. Bereken F dr waarbij F(x, y, z) ( y 2, x, z 2). De oriëntatie van is linksom (van boven gezien). curl F(x, y, z) (,, 1 + 2y). met {(x, y, z) x 2 + y 2 1, y + z 2}. Parametrisering van : r(x, y) (x, y, 2 y) met (x, y) {(x, y) x 2 + y 2 1}. r x (1,, ) en r y (, 1, 1). r x r y (, 1, 1). Deze vector is naar boven gericht en klopt met de oriëntatie van. 8 st/7 VA Voorbeeld (vervolg) F dr curl F n dσ (,, 1 + 2y) (, 1, 1) dx dy y dx dy (1 + 2r sin θ)r dr dθ [ 1 2 r r 3 sin θ ] 1 dθ sin θ dθ 1 2 θ 2 3 cos θ 2π 1 2 2π 2 ( ) 3 cos(2π) cos() π. 9 st/8 VA

6 Voorbeeld Het oppervlak is het gedeelte van de bol x 2 + y 2 + z 2 4 dat binnen de cilinder x 2 + y 2 1 en boven het xy-vlak ligt. Bereken curl F n dσ waarbij F(x, y, z) (xz, yz, xy). Hierbij is de oriëntatie van de rand van linksom (van boven gezien). 1 st/9 VA Voorbeeld (vervolg) Parametriseer de rand van : r(t) (cos t, sin t, 3). r (t) ( sin t, cos t, ). F ( r(t) ) ( 3 cos t, 3 sin t, cos t sin t). curl F n dσ F dr F ( r(t) ) r (t) dt 3 cos t sin t + 3 sin t cos t dt dt. 11 st/1 VA

7 Green ecion 16.4 telling Green Vergelijking (4.63) Theorem 5 2 is een enkelvoudig samenhangend gebied, met rand. is een enkelvoudige gesloten, stuksgewijs gladde, positief georiënteerde kromme. M en N zijn functies waarvan de partiële afgeleiden bestaan en continu zijn op een open gebied dat omvat. Dan geldt M dx + N dy Als F (M, N ) dan x M y da. M dx + N dy F dr. 12 st/11 VA Green Beschouw als een oppervlak in 3 : {(x, y, ) (x, y) }. Definieer F(x, y, z) (M (x, y), N (x, y), ). Als wordt geparametriseerd met de vectorfunctie r(t) ( x(t), y(t) ) met a t b dan is een parametrisering van als kromme in het xy-vlak: ( x(t), y(t), ). F ( r(t) ) r (t)m ( x(t), y(t) ) x (t)+n ( x(t), y(t) ) y (t). 13 st/12 VA

8 Green ( volgt curl F,, x M ). y Parametriseer : r(x, y) (x, y, ). Uit M z z Er geldt r x r y (1,, ) (, 1, ) (,, 1). Daarmee M dx + N dy b M ( x(t), y(t) ) x (t) dt + N ( x(t), y(t) ) y (t) dt a F dr curl F n dσ (,, x M ) y (,, 1) da x M y da. Green 14 st/13 VA Green Voorbeeld ection 16.4, example 1 Verifieer de stelling van Green voor het vectorveld F(x, y) (x y)i + xj voor het gebied waarvan de rand de eenheidscirkel is. In tegenstelling tot het boek van Thomas verifiëren we de rotatie-variant van Green s stelling: M dx + N dy x M y da. Definieer M (x, y) x y, N (x, y) x. en gebruik voor de parametrisering r(t) (cos t, sin t), t 2π. 15 st/14 VA

9 Voorbeeld (vervolg) M dx + N dy F dr F ( r(t) ) ( M (r(t)), N (r(t)) ) (cos t sin t, cos t). r (t) ( sin t, cos t). F ( r(t) ) r (t) cos t sin t + sin 2 t + cos 2 t sin(2t). M dx + N dy F dr F ( r(t) ) r (t) dt t cos(2t) 2π 2π sin(2t) dt 16 st/15 VA Voorbeeld (vervolg) x x x 1. M (x y) y x x M y x M y da 1. 1 ( 1) 2. x M y da 2 da 2 opp() 2π. 17 st/16 VA

10 Green Voorbeeld Bereken ( 3y e sin x) ( ) dx + 7x + y dy waarbij de cirkel is met middelpunt (, ) en straal 3. is de rand van de cirkelschijf gegeven door {(x, y) 2 x 2 + y 2 9}. Gebruik de stelling van Green: ( 3y e sin x) ( ) dx + 7x + y dy M 7 3 da 4 x M y N 1 da 4 opp 36 π. 18 st/17 VA onservatieve velden Zie ook colleges 7 en 1 Een vectorveld F in 3 heet rotatievrij als curl F(x) voor alle x 3. telling ection 16.7, vergelijking (8) Het gradiëntveld van een functie f : 3 is rotatievrij: curl grad f of f. Het bewijs volgt uit simpele verificatie. Gevolg Als een vectorveld F conservatief is, dan is het rotatievrij. Bewijs tel f is een potentiaal van F, dan F grad f, dus curl F curl grad f. 19 st/18 VA

onservatieve velden telling ection 16.7, theorem 7 tel F is een vectorveld gedefinieerd op een open, enkelvoudig samenhangend gebied D, en stel F is rotatievrij.

11 onservatieve velden telling ection 16.7, theorem 7 tel F is een vectorveld gedefinieerd op een open, enkelvoudig samenhangend gebied D, en stel F is rotatievrij. Als de partiële afgeleiden van de componenten van F continu zijn, dan is F conservatief. Bewijs tel zowel 1 als 2 is een pad van P naar Q in D. F 1 dr F 2 dr F dr curl F n dσ n dσ. Dus lijnintegralen in D zijn pad-onafhankelijk. 2 st/19 VA Gesloten oppervlakken telling Voor een enkelvoudig gesloten oppervlak geldt curl F n dσ. tel het gesloten oppervlak is verdeeld in twee delen 1 en 2, met gemeenschappelijke rand. Het normaalveld n is naar buiten gericht. curl F n dσ F dr F dr. 1 curl F n dσ + 2 curl F n dσ 21 st/2 VA

Gesloten oppervlakken Gevolg Voor twee een enkelvoudige oppervlakken 1 en 2 met gemeenschappelijke rand en identieke oriëntatie geldt curl F 1 n dσ curl F 2 n dσ. curl F 1 n dσ F dr curl F 2 n dσ.

12 Gesloten oppervlakken Gevolg Voor twee een enkelvoudige oppervlakken 1 en 2 met gemeenschappelijke rand en identieke oriëntatie geldt curl F 1 n dσ curl F 2 n dσ. curl F 1 n dσ F dr curl F 2 n dσ. 22 st/21 VA Gesloten oppervlakken Voorbeeld Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) ( y, x, xyz 2 ). Het oppervlak is een piramide bestaande uit drie driehoeken D 1, D 2 en D 3. De oriëntatie van E is naar boven gericht. Bereken curl F n dσ. De rand van bestaat uit de driehoek met hoekpunten (,, ), (1,, ) en (, 1, ). 23 st/22 VA

13 Voorbeeld (vervolg) Het oppervlak bestaat uit drie delen: curl F n dσ + + D 1 D 2 D 3 De rand van bestaat uit drie lijnstukken: F dr De rand van is ook de rand van de driehoek D met hoekpunten (,, ), (1,, ) en (, 1, ). curl F n dσ curl F D n dσ 24 st/23 VA Voorbeeld (vervolg) De normaal op D is n (,, 1). F(x, y, z) ( y, x, xyz 2 ). curl F(x, y, z) (,, x (x) y ( y)) (,, 2). Dus curl F(x, y, z) n 2. curl F n dσ curl F D n dσ 2 dσ 2 opp(d ) D 25 st/24 VA

14 Toepassing: de wet van Faraday Inductiewet van Faraday Een veranderend magneetveld wekt een elektrisch veld op. - Michael Faraday, 1831 B Voor ieder georiënteerd oppervlak met rand geldt E dr d d t B n dσ. - James lerk Maxwell 26 st/25 VA Toepassing: de wet van Faraday Gebruik de stelling van : d B n dσ E dr d t curl E n dσ. Als niet afhangt van de tijd geldt: d B n dσ B n dσ d t t Dus ( curl E + B ) t n dσ. Dit geldt voor ieder oppervlak 3, dus curl E B t. 27 st/26 VA

15 Overzicht vlak niet vlak Vlakke integralen: b f (x) dx a f (x, y) da f (x, y, z) dv E Lijnintegralen van functies: f dr van vectorvelden: F dr Oppervlakteintegralen van functies: f dσ van vectorvelden: F n dσ 28 ov/1 VA

Vergelijkbare documenten

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation