Tentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (

Transcriptie

1 TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel : opgaven b, 4ab, 5, 6 (normering: + ( + ) + + ( + ) + ( gratis)) Studenten met een voldoende voor de tussentoets ijn vrijgesteld van deel. Alle antwoorden dienen te worden gemotiveerd!. Bereken de contourintegraal =3 tan d, waarbij de contour tegen de wijers van de klok is georiënteerd. = sin cos Antwoord: Binnen de aangegeven contour heeft f() = tan een ophefbare singulariteit bij = en een pool van orde bij = π. Residu bij = π: lim ( π π)f() = sin π π lim π π cos = π lim π sin = π. Dit geeft =3 tan d = πi π = 4i. Het gebruik van residuen kan vermeden worden door te schrijven tan = g() π met g() = ( π)tan en na te gaan dat g alleen ophefbare singulariteiten heeft binnen de contour. Het antwoord is dan te vinden als πi g( π).. Beschouw de functie f : C \ {, } C, f() = ( ) +.

2 (a) Bepaal de convergentiestraal van de machtreeks van f rond i. Antwoord: Volgens de theorie is de convergentiestraal r gelijk aan de afstand van i tot de dichtstbijijde singulariteit van f (te weten: ), dus r =. (b) Bepaal de Laurentreeks van f op de open annulus { C : < 4 < 3}. Antwoord: Methode : Ontwikkel beide termen in machten van 4. Er geldt, voor < a <, ( + a) = d da + a = d ( ) n a n da n= = ( ) n na n = ( ) n na n = n= en dus, wegens 3 4 <, n= ( ) = 9 ( 3 ( 4) + = ) 9 ( ) n (n + )a n, n= ( ) n (n + ) 3 n( 4)n. Verder geldt, met behulp van de meetkundige reeks en gebruikmakend van 4 <, n= n= = ( 4) + = = 4 ( ) n n ( 4) n = ( ) n n ( 4) n. Optellen geeft de gevraagde Laurentreeks. Methode : Gebruik de expressie voor de coefficienten van de Laurentreeks f() = n Z c n( 4) n. Voor < r < 3 geldt c n = πi = πi 4 =r 4 =r f() d ( 4) n+ n= ( ) d + ( 4) n+ πi 4 =r d. ( )( 4) n+ We bekijken de twee integralen op de laatste regel. Voor n =,,,... heeft de eerste integrand een pool van orde n+ bij = 4 en de tweede een pool van orde bij = en een pool van orde n + bij = 4. Voor n =,,... is eerste integrand holomorf en heeft de tweede een pool van orde bij =. Het uitrekenen van de integralen kan nu geschieden met behulp van residuen (of de Cauchy integraalformule).

3 3. Laten f, g : C C holomorfe functies ijn, met g niet identiek, odanig dat f() g() voor alle C. (a) Toon aan dat er een holomorfe functie h : C C bestaat, odanig dat h() = f()/g() voor alle C met g(). Antwoord: In de buurt van de nulpunten van g is de functie h := f/g begrensd, en dus ijn die nulpunten ophefbare singulariteiten van h (Riemann ophefbare singulariteitsstelling). (b) Toon aan dat er een constante c C bestaat odanig dat f() = cg() voor alle C. Antwoord: De functie h is begrensd en holomorf op C, en dus constant (stelling van Liouville). ---.o.. ---

4 4. Beschouw de functie f die, op ijn natuurlijke definitiegebied in het complexe vlak, gegeven wordt door f() = sin(/) +. (a) Bepaal voor iedere singulariteit van f in het complexe vlak het type van de betreffende singulariteit. Antwoord: Enkelvoudige polen in = ±i (wegens het eindig ijn van de limieten onder (b)) en een essentiële singulariteit in =. Voor < < geldt immers f() = (! 3! 3 + 5! 5...)( ). Uitvermenigvuldigen geeft de Laurentreeks, die oneindig veel termen met negatieve machten van bevat. Een andere manier om te ien dan = een essentiële singulariteit is, is op te merken dat f(x) begrensd is als x, terwijl f(iy) 4 (e/y e /y ) voor < y <, odat f(iy) onbegrensd is als y. (b) Bepaal voor iedere pool van f in het complexe vlak het residu van f in de betreffende pool. Antwoord: Residu in = i: sin(/i) lim( i)f() = = sin( i) = i i + i i 4 (e e ). Residu in = i: sin( /i) lim ( + i)f() = i i i (c) Bereken de contourintegraal f()d, met γ de contour uit de onderstaande figuur. γ = sin(i) i = 4 (e e ).

5 Antwoord: De polen i en i hebben index en respectievelijk, en de essentiële singulariteit heeft index. Het antwoord is dus πi (Res f (i) Res f ( i)) =. 5. Bereken de oneigenlijke integraal x log x + x 4 dx, waarbij log x de gebruikelijke reëelwaardige logaritme is. Antwoord: Integreer f() = log + 4 over ede contour γ bestaande uit de halve cirkels in het bovenhalfvlak met stralen R en ε (om de oorsprong te vermijden, waar de log niet gedefinieerd is) en de lijnstukken van R tot ε en van ε tot R. Voor kleine ε and grote R omsluit γ de polen bij = e 4 πi en = e 3 4 πi. Residu in = e 4 πi : lim ( e 4 πi )f() = lim log ( e 4 πi ) e 4 πi e4 πi + 4 = e πi log(e 4 πi ) lim = i 4 πi 4e = π 3 4 πi 6 + i. Residu in = e 3 4 πi : lim ( e 3 4 πi )f() = lim log ( e 3 e 3 4 πi e4 3 πi γ = i 3 4 πi 3π = 4e 9 πi πi ) 4 3 e 4 πi + 4 = e 3 πi log(e 3 4 πi ) lim + i. Dit geeft, na vereenvoudigen, log + 4 d = πi( 6 + i i ) = ( i)π. Het deel van de contour langs de negatieve as geeft bijdrage ε x log x ε + x 4 dx = x (log x + πi) + x 4 dx R = R R ε x log x dx + πi + x4 R x log x + x 4 dx + 4 iπ als ε en R, waarbij we gebruikten dat x + x 4 dx = 4 π ε x + x 4 dx 4 3 e 3 4 πi

6 (apart uitrekenen via halvemaan contour, is makkelijk). De contouren over de twee cirkelbogen verdwijnen in de limiet ε en R, want ij ijn van order ε log ε / en R log R/R 4 respectievelijk. Samen geeft dit x log x + x 4 dx + 4 iπ = ( i)π en dus x log x + x 4 dx = ( ( i)π ) 4 iπ = 6 π. 6. Beschouw de functie f() = log 4( ), met log de gebruikelijke holomorfe tak van de logaritme op C \ {x R : x }. (a) Laat ien dat f twee nulpunten heeft in de open cirkelschijf D(, ) = { C : < }, rekening houdende met multipliciteiten. Antwoord: Pas Rouché toe met g() = 4( ) : voor C met = geldt f() g() = log (log 3) + π < 4 = g(). We ien dat f en g evenveel nulpunten hebben in de open cirkelschijf D(, ) = { C : < }, rekening houdende met multipliciteiten. (b) Laat ien dat f precies twee nulpunten heeft in D(, ). Antwoord: In een nulpunt van hogere orde ou gelden f( ) = f ( ) =. In het enige nulpunt van f in D(, ) geldt echter f( ) (gemakkelijk na te rekenen), dus alle nulpunten in D(, ) ijn enkelvoudig.