Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE

Transcriptie

1 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 5 VECTORANALYE 2WA5 2006/2007

2 Hoofdstuk 5 De stellingen van tokes en Green 5. Inleiding In dit hoofdstuk worden de stellingen van tokes en van Green 2 behandeld. De stelling van tokes legt een verband tussen de rotatie van een vectorveld op een oppervlak en de arbeid van dit vectorveld langs de rand van dit oppervlak. Het is een soortgelijke stelling als de stelling van Gauss. Het bewijs heeft dan ook dezelfde structuur. De stelling van Green is in zekere zin de voorloper van de stelling van tokes. De stelling van Green kan worden opgevat als een tweedimensionale versie van zowel de stelling van Gauss als de stelling van tokes. 5.2 De stelling van tokes Gegeven: Een stuksgewijs glad, oriënteerbaar (en compact) oppervlak, met normaalkeuze n; randkromme van, die stuksgewijs glad en oriënteerbaar is met eenheids- George Gabriel tokes (89-903), van oorsprong Iers wiskundige en fysicus werkzaam in Engeland. 2 George Green (793-84),Engels zakenman.

3 raakvector t zodat n en t bij elkaar passen volgens de kurkentrekkerregel; vectorvelden v en scalarvelden ϕ op D met D E 3 open, de vectorvelden v en scalarvelden ϕ zijn continu differentieerbaar. n_ t_ Figuur 5.: Het oppervlak en de kromme met oriëntering. Er zijn twee relevante uitspraken TELLING 5. Voor alle ϕ geldt a. b. c. [ n 2 ϕ ϕ n 3 x 3 x 2 [ n 3 ϕ ϕ n x x 3 [ ϕ ϕ n n 2 x 2 x ] dσ = ϕt ds ] dσ = ϕt 2ds ] dσ = ϕt 3ds TELLING 5.2 (telling van tokes) Voor alle v geldt (rotv, n)dσ = (v, t)ds ofwel = [( v3 v ) ( 2 v n + v ) ( 3 v2 n 2 + v ) ] n 3 dσ x 2 x 3 x 3 x x x 2 (v t + v 2 t 2 + v 3 t 3 )ds. 2

4 Het is tamelijk eenvoudig te verifiëren dat de stelling 5. en stelling 5.2 equivalent zijn. Het bewijs van de stellingen 5. en 5.2 is als volgt opgebouwd tap : Bewijs van stelling 5..c. voor een willekeurig parallellogram in E 3. Op dezelfde manier zijn stelling 5..a. en stelling 5..b. te bewijzen voor een willekeurig parallellogram. tap 2: Omdat stelling 5. geldt voor een parallellogram, stelling 5.2 dus ook. tap 3: Bewijs van stelling 5.2 voor een web van parallellogrammen. tap 4: Bewijs van stelling 5.2 voor algemene op basis van een limietproces. Bewijs van tap. Veronderstel = {p + ua + vb 0 u, 0 v } n_ p+b p+a+b _ p_ p+a Figuur 5.2: Het oppervlak met parametervoorstelling x(u, v) = p + ua + vb. heeft parametervoorstelling x(u, v) = p + ua + vb 3

5 Met x u = a, x v en Hieruit volgt: dσ = a b du dv = b. De oriëntatie is zo gekozen dat n = a b a b. Dus n dσ = (a 2 b 3 a 3 b 2 )du dv, n 2 dσ = (a 3 b a b 3 )du dv. = 0 [ ] ϕ ϕ [ n n 2 dσ = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) ϕ + (a b 3 a 3 b ) ϕ ] du dv x 2 x x 2 x (b 3 a a 3 b, gradϕ)du dv De randkromme = met : x(u) = p + ua, 0 u, t () = a a, 2 : 3 : 4 : Conclusie: x(v) = p + a + vb, 0 v, t (2) = b b, x(u) = p + b + ua, u 0, t (3) = a a, x(v) = p + vb, v 0, t (4) = b b. ϕt 3 ds = 0 [ ϕ(p + ua) ϕ(p + b + ua) ] a3 du+ + 0 [ ϕ(p + a + vb) ϕ(p + vb) ] b3 dv = = 0 0 a 3 ϕ(p + ua + vb)du dv+ v 4

6 + 0 0 [ ] b 3 ϕ(p + ua + vb) du dv = u = [b 3 (a, gradϕ) a 3 (b, gradϕ)] du dv. 0 0 Bewijs van tap 3: Uitbreiden naar een web. Beschouw twee parallellogrammen en 2 met één gemeenschappelijke randkromme 0 ; dus de randkromme van is 0 + () en de randkromme van 2 is 0 + (2). n _ () n _ (2) 2 Figuur 5.3: = 2 met rand () (2). en = 2 met rand = () (2). telling 5.2 wordt nu bewezen voor (rotv, n)dσ = (rotv, n () )dσ + (rotv, n (2) )dσ 2 (v, t)ds + (v, t)ds = 0 () 0 (2) = (v, t)ds + (v, t)ds + (v, t)ds (v, t)ds () 0 (2) 0 = (v, t)ds 5

7 Vervolgens voor een web, dat wil zeggen een vereniging van parallellogrammen zo dat ieder van de vier randen van elk parallellogram een deel is van de rand van ten hoogste één ander parallellogram uit de vereniging. Figuur 5.4: = 2 N. = 2... N met rand = R r= o,r. Hierbij zijn de o,r, r =,..., R, de niet gemeenschappelijke randen. De andere randen worden alle gedeeld door precies twee parallellogrammen. Dus N (rotv, n)dσ = ( (rotv, n (i) )dσ) = i= i N R = ( (v, t (i) )ds) = (i) i= = (v, t)ds r= o,r (v, t)ds In de voorlaatste stap is gebruikt dat elk van de randen die niet een deel van uit maken precies tweemaal doorlopen worden met echter verschillende oriëntatie. 5.3 De stelling van Green TELLING 5.3 Zij een compact deeloppervlak van het vlak x 3 = 0 met oriëntatie bepaald door n = +e 3 = (0, 0, ). Zij D R 2 open met D en v (x, x 2 ), v 2 (x, x 2 ) 6

8 van D in R differentieerbaar met continue partiële afgeleiden. Zij de rand van met passende oriëntatie. Dan geldt ( v2 v ) dx dx 2 = v dx + v 2 dx 2. x x 2 Bewijs. Het bewijs van de stelling van Green 3 is gebaseerd op de stelling van tokes: Definieer het vectorveld ṽ op D = {(x, x 2, 0) R 3 (x, x 2 ) D} door ṽ(x) = v (x, x 2 )e + v 2 (x, x 2 )e 2, x D. Dan is ṽ continu differentieerbaar op D en D. Dus met tokes (rotṽ, n)dσ = (ṽ, t)ds Er geldt met n = e 3, en (rotṽ, n) = v 2 v x x 2 (ṽ, t) = v t + v 2 t 2. Uit bovenstaand bewijs van de stelling van Green is duidelijk dat de stelling van Green feitelijk een tweedimensionale variant is van de stelling van tokes. Uit het volgende zal duidelijk worden dat de stelling van Green ook opgevat kan worden als een tweedimensionale variant van de stelling van Gauss. Zij een gesloten kromme in R 2 (in een vlak) met eenheidsraakvector t = (t, t 2 ) en normaal aan de kromme n = (t 2, t ), die rand is van een gebied G, met oriëntatie (n, t) als (e, e 2 ). 3 zie: G. Green, An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism, Nottingham,828. 7

9 x 2 t_ n_ G x Figuur 5.5: Het gebied G met raakvector t en normaalvector n. Zij v = v e + v 2 e 2 een vectorveld, continu differentieerbaar op een open verzameling D R 2 met G D. Dan geldt (v, n)ds = (v t 2 + ( v 2 )t )ds = G ( v x ( v 2) x 2 )dx dx 2 (Green) = G div(v)dx dx 2. Er volgt de stelling van tokes voor R 2 de stelling van Gauss voor R 2 de stelling van Green voor R 2. Ter vergelijking de stelling van Gauss stamt uit 83, de stelling van Green uit 828. De volgende stelling formuleerd wat er gebeurd als de stelling van tokes wordt toegepast op een gesloten oppervlak. 8

10 TELLING 5.4 Zij een gesloten, stuksgewijs glad, oriënteerbaar oppervlak met stuksgewijs continue normaal n passend bij de oriëntatie van. Dan geldt voor v, een continu differentieerbaar vectorveld op een open omgeving D, (rotv, n)dσ = (v, t)ds = (v, t)ds = 0. Voordat deze bewering bewezen wordt een aantal opmerkingen: Opmerking 5. Een uitspraak van dezelfde soort hebben is reeds behandeld en wel, zij een gesloten stuksgewijs gladde, oriënteerbare kromme met eenheidsraakvector t en zij ϕ een continu differentieerbaar scalarveld op een open omgeving D. Dan geldt (gradϕ, t)ds = 0. Opmerking 5.2 Bovenstaande bewering kan niet bewezen woren met behulp van de stelling van Gauss omdat rotv niet op het door omsloten gebied gedefinieerd hoeft te zijn. Opmerking 5.3 Indien v wel goed gedefinieerd is in het gebied R binnen geeft de stelling van Gauss (rotv, n)dσ = divrotv dτ = 0. R Bewijs. ies een gesloten stuksgewijs gladde oriënteerbare kromme op die splitst in en 2. Dan is de gemeenschappelijke rand van en 2 en er geldt bij normaal keuze n op en passende omloopzin van voor gegeven door t( ) en voor 2 door t( 2 ) dat t( ) = t( 2 ). Dus met de stelling van tokes 2 (rotv, n)dσ + (rotv, n)dσ = (v, t( ) + t( 2 ))ds = 0 9

11 2 Figuur 5.6: en 2 gescheiden door de kromme. ofwel (rotv, n)dσ = Coördinaatvrije interpretatie van rotatie Zij v een vectorveld gedefinieerd op D E 3. ies punt P D en eenheidsvector n in P. Beschouw oppervlakken n in het vlak door P loodrecht op n, P n, met rand n = n. Zij t (n) de eenheidsraakvector aan de kromme n passend bij n volgens de kurkentrekkerregel. Veronderstel n krimpt naar P als n, d.w.z. diam( n ) 0 en P n. Dan is (rotv(p ), n) = lim n σ( n ) n (v, t (n) )ds coördinaatvrij te berekenen. D.w.z. op deze manier onstaat een coördinatvrij definitie van rotv, of liever: van de component van rotv in de richting van n. ies dan in P orthonormale basis n (P ), n 2 (P ), n 3 (P ) dan is (rotv(p ), n j (P )) = α j, j =, 2, 3 0

12 en is dus rotv volledig bepaald. rotv(p ) = α n (P ) + α 2 n 2 (P ) + α 3 n 3 (P ). Als bijv. v de snelheid van een vloeistofstroming is, dan heet (v, t)ds de circulatie van v. (rotv, n) is dan te interpreteren als de circulatie per oppervlakte-eenheid rond een as evenwijdig aan n. Met de coördinaatvrije definitie van divv(p ) en de bovenstaande definitie van rotv(p ) en de stelling 5.4 volgt dan (rotv,n)dσ en div(rotv)(p ) = lim R {P } (rot(gradϕ)(p ), n) = voor alle eenheidsvectoren n. lim {P } τ(r) = 0 (gradϕ, t)ds σ() = 0 De grote vraag blijft natuurlijk of de formules voor gradϕ, divv, rotv en ϕ die nu voor een vast gekozen assenstelsel zijn opgeschreven ook gelden in andere assenstelsels. Het antwoord hierop komt later. 5.5 Toepassingsmogelijkheden van de stelling van tokes Zij een stuksgewijs glad oppervlak met continue normaal n en v een vectorveld dat continu differentieerbaar is op een omgeving D van. Veronderstel rotv raakt aan het oppervlak in elk punt P van, dus (rotv(p ), n(p )) = 0, P. Zij P en P 2 punten op. Dan is de integraal P 2 (v, t)ds P

13 onafhankelijk van de keuze van de kromme die de punten P en P 2 stuksgewijs glad verbindt zolang deze kromme op ligt. Argument: ies krommen en 2 op die P en P 2 verbinden. Dan vormen en 2 de rand van een oppervlak. Er geldt (v, t)ds (v, t)ds = (v, t)ds 2 2 = ± (rotv, n)dσ = 0. De stelling van tokes kan bijvoorbeeld op de volgende manier toegepast worden bij het berekenen van lijnintegralen: Zij v een continu differentieerbaar vectorveld op een open verzameling D, zij een stuksgewijs gladde kromme in D met continue eenheidsraakvector t. Gevraagd: Bereken (v, t)ds. Aanpak: luit in D door een kromme en zij een stuksgewijs glad oppervlak in D met rand. Dan geldt (v, t)ds + (v, t)ds = (rotv, n)dσ. Hieruit is de gevraagde lijnintegraal te bepalen. Deze aanpak is aan te bevelen als er krommen en oppervlakken in D bestaan die leiden tot eenvoudige lijn- en oppervlakte-integralen. Dit is bijvoorbeeld het geval indien, met, zo te kiezen is dat rotv raakt aan het oppervlak in elk punt P van. In dit geval kan met vervolgens voor een eenvoudig te parametriseren kromme op kiezen. Voorbeeld 5. Zij B de magnetische inductie van een stroomvoerende oneindig lange rechte draad in E 3. Bij geschikte keuze van een rechtsdraaiende orthonormale driepoot en bijbehorende coördinaten is het vectorveld: B(x) = µ [ 0I x2 e 2π x 2 + x 2 + x ] e 2 x 2 + x voor x D met D := {x R 3 x 2 + x 2 2 > 0} = R 3 \x 3 -as. Zij een gladde, gesloten kromme die de x 3 -as omsluit. Gevraagd: (B, t)ds. 2

14 Er geldt rotb = 0 op D. Men zou dus kunnen concluderen dat (B, t)ds = (rotb, n)dσ = 0 G Met G een oppervlak met als rand. Echter zo n oppervlak is binnen D niet te kiezen omdat een dergelijk oppervlak altijd de x 3 -as zal doorsnijden. Er zal dus een andere aanpak gevolgd moeten worden. Aanpak: Definieer = {(x, x 2, 0) x }, {x R 3 x 2 + x 2 2 = a 2, x 3 = 0} Voor a voldoende klein (of groot) vormen en de rand van een begrensd oppervlak in het x 3 = 0 vlak. Zij het cilindervormige oppervlak met rand en. " Figuur 5.7: Door de normaal n op van de x 3 -as af te laten wijzen, ligt de oriëntatie op en vast, zoals aangegeven in fig.5.7. Er geldt en dus (B, t)ds + (B, t)ds = (B, t)ds = (B, t)ds. (rotb, n)dσ = 0 3

15 Evenzo (B, t)ds + (B, t)ds = Dus (B, t)ds = (B, t)ds = µ 0I 2πa 2 (rotb, n)dσ = 0. 2π 0 a 2 dϕ = µ 0 I Voorbeeld 5.2 Definieer het vectorveld u op R 3 door u(x) = (x x 2 3)e + (x 2 + x 2 3)e 2 + (x 2 + x 2 2)e 3. Zij het boloppervlak {x R 3 x 2 + x x 2 3 = 4} met normaal n(x) = 2 x, x. Zij een gladde boog op met beginpunt ( 2, 0, 0) en eindpunt (2, 0, 0). Dan geldt (u, t)ds = Aanpak rotu(x) = 2(x 2 x 3 )e + 2(x 3 x )e 2 + 2(x x 2 )e 3 dus (rotu, n) = 0. Uit 5.5 volgt dat (u, t)ds niet afhangt van de keuze van de boog op die de punten ( 2, 0, 0) en (2, 0, 0) verbindt. ies met parametervoorstelling x(t) = 2(cos t, sin t, 0), π t 0. Dan 0 (u, t)ds = (u(x(t)), ẋ(t))dt π 0 = 8 (cos 3 t sin 3 t)dt = π 4

16 Aanpak 2 Definieer het vectorveld w op R 3 door w(x) = (4 x 2 )e + (4 x 2 2)e 2 + (4 x 2 3)e 3. Dan geldt u(x) = w(x) voor x en w = gradϕ met ϕ(x) = 4(x + x 2 + x 3 ) 3 (x3 + x x 2 3). dus (u, t)ds = (w, t)ds = (gradϕ, t)ds = ϕ(2, 0, 0) ϕ( 2, 0, 0) = Voorbeeld 5.3 (Elektromagnetische golven) Zij R D een compact gebied met stuksgewijs gladde rand R en zij D een compact oppervlak met stuksgewijs gladde rand. Zij E(x, t) de elektrische veldsterkte en B(x, t) de magnetische inductie met x D de plaatsvariabele en t de tijdvariabele. Zij ρ(x, t) de ladingsdichtheid en de J(x, t) de stroomdichtheid in D. ε 0 is de elektrische permittiviteit en µ 0 de magnetische permeabiliteit in vacuum met ε 0 µ 0 =, c de c 2 lichtsnelheid in vacuum. Beschouw de vergelijkingen van Maxwell 4 in integraalvorm: E (B, t)ds = µ 0 (J + ɛ 0, n)dσ, (wet van Maxwell), t t)ds = (E, d (B, n)dσ, (wet van Faraday), dt (E, n)dσ = ρdτ, (wet van Gauss), ɛ 0 R (B, n)dσ = 0, (wet van Gauss). R R 4 James Clerk Maxwell(83-879), chots natuurkundige. 5

17 Beschouw een elektromagnetisch veld op een open verzameling D die geen ladingen en stromen bevat, dit wil zeggen dat ρ(x, t) = 0 en J(x, t) = 0. Dan gaan voor dit geval de vergelijkingen van Maxwell over in R (E, n)dσ = 0, (B, n)dσ = 0, t)ds = (E, d (B, n)dσ, dt d (B, t)ds = ε 0 µ 0 (E, n)dσ. dt R Uit de coördinaatvrije definitie van divergentie en de coördinaatvrije definitie van rotatie volgt nu dat op D Dus dive = 0, divb = 0, rote = B t, rotb = c 2 E t. (5.) rot rote = rot B t = t rotb = c 2 2 E t 2. Door toepassen van de rekenregel rot rotv = grad divv v volgt nu Evenzo volgt en E = grad dive rot rote = c 2 2 E t 2. rot rotb = rot E t = t rote = c 2 2 B t 2. B = grad divb rot rotb = c 2 2 B t 2. 6

18 Het E- en B-veld worden dus beschreven door de vergelijkingen E = c 2 2 E t 2 en B = c 2 2 B t 2. Dit type vergelijkingen staat bekend als de golfvergelijking en wordt in het algemeen gebruikt om golfverschijnselen te modelleren. Opmerking 5.4 Merk op dat de golfvergelijkingen volgen uit de vergelijkingen 5.. De E en B velden moeten dus voldoen aan de golfvergelijkingen. Maar niet iedere oplossing van de golfvergelijkingen voldoet ook aan de vergelijkingen 5.. In het bijzondere geval dat E(x, t) = E(x, t)e 2 en B(x, t) = B(x, t)e 3. volgt met de vergelijkingen 5. eenvoudig dat de functies E en B alleen afhangen van x (en t). Bovendien geldt 2 E x 2 = c 2 2 E t 2 en 2 B x 2 = c 2 2 B t 2. Oplossingen zijn vlakke golven E(x, t) = E 0 (x ± c t), B(x, t) = B 0 (x ± c t). Merk op dat niet ieder paar vlakke golven E, B leidt tot velden E en B die voldoen aan de vergelijkingen 5.. Als E = f(x + ct) + g(x ct) dan moet gelden B = (f(x c + ct) g(x ct)). 5.6 Opgaven Hoofdstuk In R 3 is de vectorfunctie u gedefinieerd door u(x, y, z) = (y, x, y x). is de doorsnijdingskromme van het vlak met vergelijking x + y + z = 0, en de cylinder met vergelijking x 2 + y 2 = ; t = 2 2(0,, ) in (, 0, ). Bereken (u, t)ds. 7

19 5.2. Gegeven is het vectorveld ( x u = x2 + y, 2 y ) x2 + y, 2. 2 Bereken (u, t)ds als de kromme is in het eerste octant, gegeven door x 2 + y 2 = z 2, x + z = 2, met beginpunt (, 0, ) en eindpunt (0, 2, 2) In R 3 is gegeven het vectorveld u = (z + x, y, z x). Bereken (u, t)ds als gegeven wordt door x 2 + z 2 =, y + z = 0. De eenheidsraakvector t in het punt (0,, ) is gelijk aan (, 0, 0) Gegeven is het vectorveld a = ( y x 2 + y 2, x ) x 2 + y,. 2 Bepaal (a, t)ds, waarbij de kromme voorstelt, beginnend in (, 0, 0) en eindigend in (0,, ), gelegen in het eerste octant en verder gegeven door x 2 + y 2 =, x + 2y z =, 5.5. Gegeven is het vectorveld ( u = y x 2 + y 2, x ) x 2 + y + y, 2z. 2 8

20 a. Bereken (u, t)ds, waarbij de kromme bepaald is door x 2 + y 2 =, z = 0, en waarin de eenheidsraakvector t in het punt (, 0, 0) gelijk is aan (0,, 0). b. Bereken (u, t)ds, waarbij de kromme bepaald is door x y2 9 =, x + z = 4, en t in (2, 0, 2) gelijk is aan (0,, 0) Gegeven is het vectorveld u = (x + z y, x z, y x). Bereken (u, t)ds, waarbij de kromme bepaald is door x 2 + y 2 =, x + y + z = 0. De eenheidsraakvector t in het punt ( 2 2, 2 2, 2) is gelijk aan ( 2 2, 2 2, 0) In R 3 is gegeven het veld ( x u = z, y ) z, 2 ln z. Bereken (u, t)ds als de in het eerste octant gelegen kromme voorstelt, gegeven door x 2 + y 2 =, x = z, met beginpunt (, 0, ) en eindpunt ( 2 2, 2 2, 2 2). 9

21 5.8. In R 3 is gegeven het vectorveld u = (xz, yz, z 2 ). Bereken (u, t)ds als de de kromme is in het eerste octant gegeven door z = xy, x 2 + y 2 =, met beginpunt (, 0, 0) en eindpunt ( 2 2, 2 2, ) In R 3 is gegeven het vectorveld u(x, y, z) = (x 3 + 2y + z, y 3 + 2x + z, 2 x2 + 2 y2 + x + y). is de doorsnijdingskromme van het vlak V : x + y z = en het oppervlak z = x 2 y 2, : z 0. Bereken (u, t)ds, waarbij doorlopen wordt van (, 0, 0) naar (0,, 0) Men beschouwt gladde krommen met beginpunt ( 2, 0, 0) en eindpunt (2, 0, 0) gelegen op de bol x 2 + y 2 + z 2 = 4. Bewijs dat voor het vectorveld u = (y 2 + z 2, x 2 + z 2, x 2 + y 2 ) de integraal (u, t)ds onafhankelijk is van de keuze van, en bereken deze integraal. 5.. In R 3 is gegeven het vectorveld u = (x 2 + 2xy x, y 2 2xy +, z). 20

22 Bereken (u, t)ds, als de kromme is in het eerste octant gegeven door x 2 + 3y 2 z = 0, x + y = 0, met beginpunt (, 0, ) en eindpunt (0,, 3) In R 3 is het volgende vectorveld gegeven: a(x) = (cos x, z, y). Bepaal (rot a, n)dσ, waarin het oppervlak voorstelt, gedefinieerd door (x ) 2 + y 2 + z 2 = 4, x 0, en n de naar (, 0, 0) gerichte normaal op In R 3 is gegeven het vectorveld u = (x 2 z 2 2xy 2, 2y 2 2x 2 2z 2, 2z 2 2y 2 z 2xz). Bereken (u, t)ds, als de kromme is in het eerste octant gegeven door x 2 + y 2 + z 2 =, x = z, met beginpunt ( 2 2, 0, 2 2) en eindpunt (0,, 0) In R 3 is gegeven het vectorveld u(x, y, z) = (y + z 2, y 2, xz + y). Bereken (u, t)ds, als de kromme is gegeven door z = x 2 + y 2, x + z =, x 0, 2

23 met beginpunt (0,, ) en eindpunt (0,, ) In R 3 is gegeven het vectorveld u(x) = (zx 2 z2 2 y2 + xy, 2 y2 + yz 2 z2, z 2 ). Bereken (u, t)ds, als de kromme is in het eerste octant gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 6, x + y = 4, met beginpunt (0, 4, 0) en eindpunt (4, 0, 0) Zij het deel van het boloppervlak x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 (a > 0) dat ligt in het eerste octant en binnen de cylinder x 2 + y 2 = 2ax; de normaal n wijst van de oorsprong af. Bereken met behulp van de stelling van tokes y dz z dy, z dx x dz, x dy y dx, over de rand van, doorlopen in de richting passend bij n De magnetisch inductie B tengevolge van een stroom met sterkte I door een oneindig lange draad langs de z-as is gegeven in opgave 2.3. Bewijs dat (B, t)ds = µ 0 I voor elke enkelvoudige gesloten kromme om de z-as die van boven gezien in positieve zin doorlopen wordt Zij een enkelvoudige gesloten kromme gelegen in het vlak (n, x) = 0 met n = (n, n 2, n 3 ), n =. De omloopzin van zal passen bij de richting van n. Toon aan dat de door omsloten oppervlakte gelijk is aan (n 2 z n 3 y)dx + (n 3 x n z)dy + (n y n 2 x)dz. 2 22

24 5.9. Zij G een begrensd gebied in het (x, y)-vlak met rand. Toon aan dat de oppervlakte van G gelijk is aan x dy = y dx, waarbij in positieve zin doorlopen wordt. Bereken met één van deze formules de oppervlakte van het gebied begrensd door de ellips x2 a 2 + y2 b 2 = Bereken met behulp van de stelling van Green de volgende lijnintegralen over een gesloten kromme in het (x, y)-vlak: a. (2x 3 + y)dx + (x + 3y 2 )dy, is gegeven door de parametervoorstelling x = (t 2, t 3 t), t ; b. (2x y 3 )dx xy dy, bestaat uit de cirkel x 2 + y 2 = 9, in positieve zin doorlopen, en de cirkel x 2 + y 2 = in negatieve zin doorlopen; c. e x sin y dx + e x cos y dy, is een willekeurige gesloten kromme Bereken y 3 (x 2 + y 2 ) 2 dx xy 2 (x 2 + y 2 ) 2 dy als de ellips x 2 + 3y 2 = is, in positieve zin doorlopen. 23

25 Antwoorden Aanvulling π π a) 2π. b) 2π π ln(2) π a 2 ( 3, π 4 2 3, π 8 ) µ 0 I πab a) 0. b) 60π. c) π. 24