Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN /13 Semester A kwartiel 2

Transcriptie

1 Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN /13 Semester A kwartiel 2 De actuele versie van deze studiewijzer is te vinden op gprokert/wijzer2dn13.pdf Doelgroep: tweedejaars Bachelor Technische Natuurkunde minor Applied Physics HBO-minor Applied Physics schakelprogramma Applied Physics Voorkennis: 2DN10 Inleiding Wiskunde 2DN11 Calculus 2DN05 Functies van meerdere variabelen 2DN07 Differentiaalvergelijkingen 2DN12 Lineaire algebra Tijd/Plaats: Colleges: Maandag AUD 16 Colstructies: Donderdag PAV J17 Instructies: Groep 1: Donderdag AUD 11 Groep 2: Vrijdag POT 2.23 Merk op: De instructies vinden plaats na de colleges en colstructies, d.w.z.voor groep 1 vanaf 22 november. Voor deze groep vindt de laatste instructie plaats op 17 januari. 1

2 Docent: G. Prokert MF tel.: Instructeur groep 1 1 : Instructeur groep 2: L.C.G.J.M. Habets MF tel.: l.c.g.j.m.habets@tue.nl A. Blokhuis MF tel.: a.blokhuis@tue.nl Materiaal: [A] R.A. Adams / C. Essex: Calculus, a complete course, 7th edition, Thomson ISBN Sheets en oude tentamens (met uitwerkingen) zijn te vinden op gprokert/vcalc/vakpg2dn13.html Tentamen: schriftelijk; data en plaats: zie OWINFO Merk op: De tussentoetsen maken voor 30 % deel uit van het eerste tentamen. worden gehouden in week 3 en 6 op de tijdstippen van de colstructies. Ze Algemene opmerkingen Het doel van het vak is het leren omgaan met wiskundig gereedschap dat in de natuurkunde (berekeningen aan velden, golven, stromingen,... ) onmisbaar is. Naast rekenvaardigheden staat het begrijpen van de wiskundige concepten centraal. Verder zullen we oog hebben voor enkele eenvoudige toepassingen op belangrijke problemen uit de continuumsmechanica en de theorie van het electromagnetisme. Het is kenmerkend voor dit vak dat de stof van de latere weken voortbouwt op die van de eerdere. Laat dus geen achterstand ten opzichte van het college ontstaan! 1 incl. minoren en schakelprogramma 2

3 Zelfstudie en huiswerk zijn onmisbare delen van het vak! De nodige beheersing van de stof wordt alleen op deze manier verkregen. De per week aangegeven opgaven vormen een minimum om met de desbetreffende onderwerpen bekend te worden. Voel je je nog onzeker bij een bepaald onderwerp: probeer duidelijk te krijgen wat je nog niet begrijpt/beheerst formuleer een of meerdere preciese vragen ga door met oefenen, ook aan de hand van opgaven die niet in de studiewijzer aangegeven worden, of met aanvullend oefenmateriaal. Werkvormen Hoorcolleges: Er wordt nieuwe stof besproken en geïllusteerd aan de hand van (meestal standaard) voorbeelden. Colstructies: Afhankelijk van de stof wordt, met actieve medewerking van de studenten, dieper ingegaan op toepassingen, op vaak optredende moeilijkheden, of op verdere voorbeelden. Tevens vinden in tijdens de colstructies de tussentoetsen plaats. Instructies: Hier staat het zelfstandig oplossen van de bij de stof horende opgaven centraal. De instructeurs helpen bij optredende problemen. Weekindeling 2 Week 1: vectorwaardige functies, krommen Kernbegrippen: vectorwaardige functie, afgeleide van een vectorwaardige functie, (geparametriseerde) kromme, (her)parametrisering, lengte-element, raakvector, booglengte van een kromme, booglengteparameterisering omgaan met en interpreteren van vectorwaardige functies uitvoeren van typische berekeningen (differentiatieregels) omgaan met verschillende voorstellingen van krommen, vinden van (geschikte) (her)parametriseringen berekenen en interpreteren van raakvectoren en lijnintegralen 2 onder voorbehoud 3

4 Zelfstudie: [A] 11.1, 11.3 Colstructie: Booglengteparameterisering, opgaven Opgaven: [A] Ex. 13, 15, 17, 26, 27, Ex. 9, 11, 17, 25 Aanvullend oefenmateriaal: 1. Schets de volgende krommen een geef voor elke kromme tenminste twee verschillende parameteriseringen. (a) een cirkel in R 2 met straal a en middelpunt (x 0, y 0 ) (b) een ellips in R 2 met halve assen a en b evenwijdig aan de coördinaatassen en middelpunt (x 0, y 0 ) (c) de kromme in R 2 gegeven door x p + y p = 1, p > 0 vast, x 0, y 0. (d) de kromme in R 2 gegeven door x 2 + y 2 = 2x (e) de kromme in R 3 gegeven door x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 1 (f) de kromme in R 3 gegeven door y = x 2 + z 2, x + z = 1 2. Zij D R 2 het gebied gegeven door D := {(x, y) R 2 x 2 + y 2 > 4}. Zij C een kromme in D met parameterisering r(θ) := a(θ)(cos θ i + sin θj), 0 θ 2π, a : [0, 2π] R continu differentieerbaar. Laat zien: De lengte van deze kromme is groter dan 4π. Week 2: Vectorvelden Kernbegrippen: vectorveld, veldlijn, conservatief vectorveld, potentiaal, centraalveld, dipoolveld omgaan met en interpreteren van vectorvelden bepalen van veldlijnen voor vectorvelden (in eenvoudige gevallen) bepalen of een vectorveld conservatief is vinden van potentialen Zelfstudie:[A] 15.1, 15.2 Colstructie: Dipoolvelden, opgaven over veldlijnen Opgaven: [A] 15.1 Ex. 3, 6, 15, Ex. 3, 6, 9, 13, 14, 19, 20, 21 4

5 Aanvullend oefenmateriaal: 1. Bepaal een vectorveld F : R 2 R 2 zodanig dat de ellipsen de veldlijnen van F zijn. 2. In R 2 is door x 2 + 4y 2 = a 2, a > 0 x 2 + y 4 = C, C > 0 een familie gesloten krommen gegeven. Bepaal een vectorveld F : R 2 R 2 zodanig dat deze krommen de veldlijnen van F zijn. 3. Zij F het vectorveld op R 3 gegeven door F(x, y, z) := 2yi + xj + k. (a) Bepaal de veldlijn van F door het punt (1, 0, 0). (b) Bepaal de veldlijn van F door het punt (0, 0, 0). 4. Zij f : (0, ) R een differentieerbare, begrensde functie. (a) Zij Ω := R 3 \ {0} en zij F het vectorveld op Ω gegeven door F(x) := f( x ) x, x := xi + yj + zk. Bepaal een potentiaal voor F op Ω. (Aanwijzing: De potentiaal heeft de vorm U(x) = g( x ). Bepaal g in termen van f.) (b) Zij het vectorveld G gegeven op D := R 3 \ {(0, 0, z) z R} door G(x, y, z) := f( x 2 + y 2 )(xi + yj). Is G conservatief op D? Motiveer je antwoord! Week 3: Scalaire en vectoriele lijnintegralen Kernbegrippen: scalair lijnintegraal, vectorieel lijnintegraal, kringintegraal, circulatie berekenen van scalaire en vectoriele lijnintegralen interpretatie hiervan in fysische termen Zelfstudie:[A] 15.3, 15.4 Colstructie: Eerste Tussentoets, opgaven Opgaven: [A] 15.3 Ex. 1, 5, 9, Ex. 7, 9, 11, 17, 21, 22 5

6 1. Zij D R n een gebied, F : D R n een differentieerbaar vectorveld op D met een gesloten veldlijn. Veronderstel verder dat F(x, y, z) 0 voor alle (x, y, z) D. Toon aan: F is niet conservatief. (Hint: Beschouw de circulatie van F ten opzichte van de gesloten veldlijn.) Week 4: Oppervlakken, oppervlakteintegralen, fluxen Kernbegrippen: (geparameteriseerd) oppervlak, parameterisering, scalair oppervlakte-element, normalvector, orientatie, geörienteerd oppervlak, vectorieel oppervlakteelement, flux omgaan met en interpreteren van oppervlakken en hun parameteriseringen vinden van geschikte parameteriseringen voor oppervlakken berekenen en interpreteren van scalaire oppervlakteïntegralen en fluxen Zelfstudie: [A] 15.5, 15.6 Colstructie: Voorstellingen van oppervlakken als grafieken en niveauoppervlakken, verband met parameteriseringen, berekeningen m.b.v. deze voorstellingen Opgaven: [A] 15.5 Ex. 3, 9, 13, 15, 17, Ex. 1, 3, 5, 11, 17 Aanvullend oefenmateriaal: Schets de volgende oppervlakken in R 3 en bepaal voor elk oppervlak tenminste twee verschillende parameteriseringen. Bepaal de normaalvector n in elk punt. Bepaal voor elke parameterisering het bijbehorende scalaire oppervlakteelement ds en het vectoriële oppervlakte-element n ds. 1. het oppervlak gegeven door (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = a 2, y y 0, x 0, y 0, z 0, a vast, a > het oppervlak gegeven door x 0, y 0, z 0, a, b, c vast, a, b, c > 0. (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 + (z z 0) 2 c 2 = 1, z z 0 3. het oppervlak gegeven door x p + y p + z p = 1, x, y, z > 0, p > 0 vast. 4. het oppervlak gegeven door y = (x 1) 2 + 2z 2, y het oppervlak gegeven door x 2 + y 2 = 2(x y) het oppervlak gegeven door xyz = 1, x, y, z > 0. 6

7 Week 5: Divergentie en stelling van Gauss Kernbegrippen: Divergentie van een vectorveld, bronsterkte, solenoidaal veld, Laplaceoperator uitvoeren van berekeningen i.v.m. de divergentie van vectorvelden interpreteren van de divergentie van een vectorveld toepassen van de stelling van Gauss (in 2D en in 3D) Zelfstudie: [A] 16.1, 16.2 (delen over divergentie), 16.4 Colstructie: Toepassingen in de continuümsmechanica: Wet van Archimedes, continuïteitvergelijking, vergelijkingen van Euler Opgaven: [A] 16.1 Ex. 3, 9, 11 (alleen div) 16.2 Ex. 2, Ex 5, 9, 11, Zij F : R 3 \{0} R 3 gegeven door F(x, y, z) := r r 3, r = xi + yj + zk. Zij S het gesloten oppervlak gegeven door x 2 + y2 4 + z2 9 = 1. Zij de normaal op S naar buiten georienteerd. Bepaal de flux van F door S. 2. Zij F : R 3 \{0} R 3 gegeven door F(x, y, z) := r r 3, r = xi + yj + zk. a. Zij B = {(x, y, z) R 3 r 1}, B de rand van B en ˆN de naar buiten georiënteerde eenheidsnormaal. Bepaal F ˆN ds. B b. Zij R > 1, D R = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 R 2, 2 z 2}, zij D R de rand van D R en ˆN de naar buiten georiënteerde eenheidsnormaal. Bepaal F ˆN ds. D R 7

8 c. Zij S R = {(x, y, z) D R x 2 + y 2 = R 2, 2 z 2}. Laat zien dat S R F ˆN ds 0 voor R. (Hint: Laat eerst zien dat F ˆN R 2 op S R.) d. Zij V het vlak gegeven door z = 2. Bepaal F ˆN ds. (Hint: Gebruik b. en c.) 3. Zij F het vectorveld op R 3 \ {(0, 0, z) z R} gegeven door F(x, y, z) := V z2 x 2 + y 2 ( xi + yj ). (a) Zij S 1 de cilinder gegeven door x 2 + y 2 = 1, 0 z 1. Bepaal de flux S 1 F N ds. (b) Zij S 2 de elliptische cilinder gegeven door Bepaal de flux x y2 = 1, 0 z 1. 9 S 2 F N ds. De oppervlakken S 1 en S 2 zijn zodanig georiënteerd dat hun eenheidsnormalen N van de z-as af wijzen. 4. Zij het vectorveld F in cylindercoördinaten gegeven door Laat zien dat dan F = F r e r + F θ e θ + F z e z. div F = 1 r (rf r ) r + 1 r 5. Zij het vectorveld F in bolcoördinaten gegeven door Laat zien dat dan div F = 1 ρ 2 (ρ 2 F ρ ) ρ F θ θ + F z z. F = F ρ e ρ + F θ e θ + F φ e φ. + 1 F θ ρ sin φ θ + 1 ρ sin φ (sin φf φ ). φ 8

9 Week 6: Stelling van Green Kernbegrippen: partiële integratie in het meerdimensionale geval, circulatie van een vectorveld langs een kromme toepassen van partiële integratie in het meerdimensionale geval Toepassen van de stelling van Green leggen van het verband met de hoofdstelling over lijnintegralen Zelfstudie: [A] 16.3 Colstructie: Tweede tussentoets, omloopgetal van een kromme Opgaven: [A] 16.3 Ex. 1, 3, 5, 7 Verder gaan we in de opgaven van deze week nog eens op de Laplaceoperator in. 1. Zij u = u(r, z, θ) een functie op R 3 \{(0, 0, z) z R} gegeven t.o.v. cylindercoördinaten. Laat zien dat 2 u = 1 r r(r r u) + 1 r 2 2 θu + 2 zu. 2. Zij u = u(ρ, θ, φ) een functie op R 3 \{0} gegeven t.o.v. bolcoördinaten. Laat zien dat 2 u = ρu ρ 1 ρu + ρ 2 sin 2 φ 2 θu + 1 ρ 2 2 φu + cot φ ρ 2 φu. 3. Veronderstel de functie u = u(ρ, θ, φ) op R 3 \{0} is harmonisch en centraalsymmetrisch t.o.v. 0, d.w.z. u = f(ρ). Wat volgt hieruit voor f? 4. (Middelwaardeeigenschap van harmonische functies) 3 Notatie: S(z, a) := {x R 3 x z = a} (Sfeer (boloppervlak) met straal a rond middelpunt z) Zij Ω R 3 een gebied, x 0 Ω. Kies r 0 zodanig dat B(x 0, r 0 ) Ω. Zij u een harmonische functie op Ω. Definieer vor r (0, r 0 ) m(r) = 1 4πr 2 u ds. S(x 0,r) (Dit is de middelwaarde van u over S(x 0, r)). Laat zien: 3 Deze mooie opgave is bedoeld als uitdaging voor studenten met ambitie. 9

10 (a) (b) (De integratievariabele hier is ζ.) (c) m is constant op (0, r 0 ). (d) m(r) = 1 u(rζ + x 0 ) ds ζ 4π ζ S(0,1) m (r) = 1 u 4πr 2 S(x 0,r) n ds lim m(r) = u(x 0). r 0 Hint: Gebruik de eerste orde Taylorformule met restterm. (e) Concludeer: De waarde van een harmonische functie u in het middelpunt van een willekeurige bol (binnen het definitiegebied van u) is gelijk aan de middelwaarde van de functiewaarden op de rand van deze bol. (f) Concludeer: Als een harmonische functie u een maximum / minimum heeft in x 0 Ω dan is u constant in elke bol die volledig in Ω ligt. (g) Concludeer: Als een harmonische functie u een maximum / minimum heeft in x 0 Ω dan is u constant in Ω. (Dit is een vorm van het zgn. maximumprincipe voor harmonische functies.) Week 7: Rotatie en stelling van Stokes Kernbegrippen: rotatie (curl) van een vectorveld, geïnduceerde orientatie van en randkromme van een oppervlak, vectorpotentiaal omgaan met en interpreteren van de rotatie van een vectorveld toepassen van bijbehorende rekenregels toepassen van de stelling van Stokes in berekeningen van fluxen en randintegralen Zelfstudie: [A] 16.1, 16.2 (delen over rotatie (curl)), 16.5 Colstructie: Toepassingen in de electrodynamica: Wetten van Maxwell Opgaven: [A] 16.1 Ex. 3, 9, 11 (alleen curl) 16.2 Ex. 4, 5, 7, Ex. 3, 5, 7, 9 10

11 Aanvullend oefenmateriaal: 1. Zij S het oppervlak in R 3 gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, x > 0. De oriëntatie is zodanig gekozen dat de x-component van de normaal op S positief is. Op R 3 \{(0, 0, z) z R} beschouwen we het vectorveld F gegeven door F(x, y, z) = yz x 2 + y 2 i xz x 2 + y 2 j. Zij C S een gesloten, differentieerbare kromme op S met geïnduceerde oriëntatie en zonder dubbele punten. Zij A C de oppervlakte van het door C ingesloten deel van S. Toon aan: A C = F ds. 2. Zij S het oppervlak in R 3 gegeven door x 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0. De oriëntatie is zodanig gekozen dat de z-component van de normaal op S positief is. Zij C de randkromme van S met geïnduceerde oriëntatie. Zij F het vectorveld gegeven door Bereken S F(x, y, z) = C ( F) n ds en 1 x 2 ( yi + xj). + y2 C F ds. Hoezo is het resultaat niet in tegenspraak met de stelling van Stokes? [A] Review Ch. 16: Ex. 5, 9, 11 Test jezelf: Beantwoord de vragen onder Key ideas in de Chapter Review. 11