Universiteit Gent. Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur. Wiskundige Analyse. Tweede bachelor Ingenieurswetenschappen: architectuur

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Wiskundige Analyse Tweede bachelor Ingenieurswetenschappen: architectuur Hendrik De Bie Vakgroep Wiskundige Analyse Academiejaar

2 Voorwoord Het opleidingsonderdeel Wiskundige Analyse bestaat uit twee grote delen. Het eerste deel omvat zowel meetkunde als analyse. Er is een eerste kort luik meetkunde met behulp van analyse, namelijk de studie van krommen en oppervlakken in de driedimensionale euclidische ruimte. Dit eerste luik valt aldus onder wat men analytische meetkunde zou moeten noemen, maar de gebruikelijke terminologie is (lokale) differentiaalmeetkunde. Het tweede luik is analyse met behulp van meetkunde: studie van specifieke functies (velden) op krommen en oppervlakken. Deze onderwerpen vallen onder wat men meetkundige analyse zou kunnen noemen, maar de gebruikelijke term is vectoranalyse of vectorcalculus. Het tweede deel van de cursus handelt over differentiaalvergelijkingen. Na een korte herhaling omtrent complexe getallen, behandelen we eerst gewone differentiaalvergelijkingen, zowel lineaire als (korter) niet-lineaire, met aandacht voor een aantal belangrijke fysische toepassingen. Vervolgens richten we de aandacht op de fouriermethode voor de oplossing van begin- en randwaardeproblemen voor partiële differentiaalvergelijkingen, beperkt tot de drie traditionele types van lineaire partiële differentiaalvergelijkingen van de tweede orde, zijnde: de warmtevergelijking, de golfvergelijking en de laplacevergelijking. De voorkennis voor de studie van Wiskundige Analyse omvat zowel calculus als meetkunde en lineaire algebra uit het eerste jaar van de opleiding ingenieur architect. Van de student wordt verwacht dat hij of zij de benodigde begrippen, eigenschappen en stellingen in de desbetreffende syllabi gaat opzoeken. Het leermateriaal voor Wiskundige Analyse omvat: onderhavige cursusnota s; Maple-werkbladen van een aantal hoorcolleges en oefeningenzittingen; slides van presentaties gebruikt in de hoorcolleges; opgaven van werkcolleges en pc-klassen. Het bijkomende materiaal (naast de syllabus) wordt beschikbaar gesteld via Minerva. Hierbij wil ik u met aandrang vragen om aan het milieu te denken en enkel af te drukken wat u werkelijk nodig heeft. In het bijzonder heeft het absoluut geen zin om alle slides af te drukken indien u de hoorcolleges bijwoont. De doelstellingen en de inhoud van, en andere nuttige informatie over het vak Wiskundige Analyse kan teruggevonden worden in de studiefiche. Deze is eenvoudig toegankelijk vanop het Minerva-platform. Hendrik De Bie ii

3 Inhoudsopgave I Vectorcalculus 1 1 Krommen en oppervlakken Krommen De raaklijn en het osculatievlak De booglengte De osculatiecirkel De triëder van Frenet Oppervlakken Velden Scalair veld Vectorveld Richtingsafgeleide van een scalair veld Divergentie van een vectorveld Rotatie van een vectorveld Conservatieve vectorvelden Solenoïdale vectorvelden De helmholtzontbinding van vectorvelden Divergentie- en rotatievrije vectorvelden Nabla-rekening Lijnintegralen Lijnintegraal van een scalair veld Lijnintegraal van een vectorveld Praktische rekenvoorbeelden Lijnintegraal van een conservatief vectorveld De stelling van Green Oppervlakintegralen Oppervlakintegraal van een scalair veld Oppervlakintegraal van een vectorveld Praktische rekenvoorbeelden iii

4 4.4 De divergentiestelling Aanvullende formules op de divergentiestelling Stelling van Stokes II Differentiaalvergelijkingen 48 5 Complexe getallen Basisdefinities Polaire vorm en formule van Euler Verdere eigenschappen Hoofdstelling van de algebra Lineaire differentiaalvergelijkingen Inleiding Lineaire DV Lineaire DV: de complete vergelijking Beginvoorwaardenproblemen Inleiding Het malthusiaans populatiemodel De harmonische oscillator Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen Inleiding De existentie- en uniciteitsstelling Richtingsveld van een eerste orde niet-lineaire GDV Partiële differentiaalvergelijkingen Inleiding Fourierreeksen De warmtevergelijking Modelprobleem Eerste veralgemening Tweede veralgemening Trillingen van een elastische snaar Vergelijking van Laplace Dirichletprobleem op een rechthoek Dirichletprobleem op een schijf Neumanprobleem op een schijf iv

5 III Oefeningen Oefeningen vectorcalculus Velden Lijnintegralen en oppervlakintegralen Oefeningen differentiaalvergelijkingen Complexe getallen Lineaire differentiaalvergelijkingen Theoretische opgaven Vraagstukken Niet-lineaire gewone differentiaalvergelijkingen Partiële differentiaalvergelijkingen Fourierreeksen Warmtedistributie in een staaf Trillende snaar De laplaciaan en aanverwante differentiaaloperatoren v

6 Deel I Vectorcalculus 1

7 Hoofdstuk 1 Krommen en oppervlakken 1.1 Krommen We vertrekken van volgende basisdefinitie. Definitie De vectorfunctie P (t) = (P 1 (t), P 2 (t), P 3 (t)), a < t < b, bepaalt een gladde boog in R 3 als P is injectief P = (P 1(t), P 2(t), P 3(t)) is continu P (t) 0. Hier is de norm gedefinieerd als P (t) = (P 1(t)) 2 + (P 2(t)) 2 + (P 3(t)) 2, dit is een functie die van t afhangt en waarden aanneemt in R De raaklijn en het osculatievlak Beschouw in de driedimensionale euclidische ruimte, betrokken op een rechtshandig orthonormaal assenstelsel, de gladde boog C met parametervergelijking: P (t) := [x(t), y(t), z(t)] = x(t) e 1 + y(t) e 2 + z(t) e 3, t ]a, b[. In het punt P (t 0 ), t 0 ]a, b[, wordt de raaklijn aan de boog C bepaald door de raakvector P (t 0 ), en heeft als parametervergelijking: Q(u) := P (t 0 ) + P (t 0 ) u, u ], + [. 2

8 Meestal tekent men een representant van de raakvector met aangrijpingspunt in het beschouwde punt van de boog. Onderstel nu dat de boog C niet alleen glad is, maar k-maal continu differentieerbaar. Dit betekent dat P (t) k-maal continu differentieerbaar is in ]a, b[. Beschouw dan in een punt P (t 0 ), t 0 ]a, b[, de vector P (t 0 ). Het vlak bepaald door de vectoren P (t 0 ) en P (t 0 ) noemt men het osculatievlak in het punt P (t 0 ) aan de boog C. De parametervergelijking van dit vlak luidt: Q(u, v) := P (t 0 ) + P (t 0 )u + P (t 0 )v, u ], + [, v ], + [ Meestal tekent men een representant van de vector P (t 0 ) met aangrijpingspunt in het beschouwde punt van de boog. Op die manier wordt het osculatievlak aanschouwelijk voorgesteld De booglengte Een gladde boog heeft oneindig veel parametervergelijkingen. Inderdaad, als P (t), t ]a, b[ een parametervergelijking is, dan bekomt men een andere door een substitutie t = dt t(τ), τ ]α, β[, waarbij t(τ) bijectief is tussen ]α, β[ en ]a, b[, continu is in ]α, β[ en dτ dt dτ 0 in ]α, β[. Een speciale parameter langs een gladde boog is de booglengte, notatie s. Deze wordt als volgt gedefinieerd. Definitie Gegeven de gladde boog P (t), t ]a, b[, met beginpunt P (a). De booglengte in elk punt P (t) wordt gegeven door: t s(t) = P (τ) dτ, t ]a, b[. Opmerkingen a (i) de totale booglengte van C : P (t), t ]a, b[ wordt gegeven door s(b); het beginpunt heeft booglengte nul. (ii) afhankelijk van de gekozen parameter langs de boog kan de definiërende integraal van de booglengte een oneigenlijke integraal zijn; men kan het begrip booglengte pas invoeren als deze oneigenlijke integraal convergeert. (iii) aangezien P (t) een continue functie is in ]a, b[ en ook de norm een continue functie is, geldt ook: ds dt = P (t) ; hieruit volgt dat s(t) een monotoon stijgende functie is. Deze functie is steeds positief (zoals men van een lengte -functie kan verwachten). 3

9 (iv) het begrip booglengte is een intrinsiek begrip van een gladde boog. Dit wil zeggen dat het onafhankelijk van de gekozen parametervergelijking is. Inderdaad, onderstel dat de gladde boog C wordt beschreven door de parametervergelijking P (t), t ]a, b[, en eveneens door Q(u) := P (t(u)), u ]α, β[, waarbij de functie t(u) voldoet aan de voorwaarden vermeld in het begin van deze paragraaf. Stel bovendien dat t(u 0 ) = t 0, u 0 ]α, β[, t 0 ]a, b[. Dan is: t0 a P (t) dt = = ± u0 α u0 P (t(u)) α dt du du Q (u) du. Is dt/du > 0 dan geldt het plusteken en is ook u 0 > α. Is daarentegen dt/du < 0 dan geldt het minteken, maar is ook u 0 < α. Het geval dt/du = 0 in ]α, β[ is uitgesloten. Het gebruik van de booglengte als parameter langs een gladde boog biedt verschillende voordelen. Zo wordt een raakvector in een punt P (s 0 ) aan de gladde boog C : P (s), s ]0, L[, gegeven door dp ds (s 0). Maar per definitie van booglengte is ds ds = dp ds, s ]0, L[, zodat in elk punt van C deze raakvector een eenheidsvector is. Standaardnotatie voor deze raakeenheidsvector is T. Men definieert aldus: dp (s) T (s) := ds. Wordt C voorgesteld door de algemene parametervergelijking P (t), t ]a, b[, dan geldt uiteraard: P (t) T = P = 1 P (t) ds (t). dt De raaklijn in een punt aan een gladde boog, georiënteerd volgens de raakeenheidsvector T, noemt men de positieve raaklijn in dat punt aan de boog. Een tweede voordeel van de keuze van de booglengte als parameter langs een gladde boog komt tot uiting bij het beschouwen van het osculatievlak. Het osculatievlak in elk punt P (s) van een gladde boog wordt opgespannen door de vectoren dp ds en 4 d 2 P ds 2.

10 In de eerste vector herkennen we uiteraard de raakeenheidsvector T. De tweede vector is dt dan. Nieuw is nu dat deze beide vectoren loodrecht op elkaar staan. Inderdaad, uit ds het feit dat T een eenheidsvector is, volgt dat T T = 1. Door afleiding naar s krijgen we dt T ds = 0. De rechte door een punt van de gladde boog P (t), t ]a, b[, bepaald door de vector dt, noemt men de hoofdnormaal aan de boog in het beschouwde punt. De hoofdnormaal ds ligt in het osculatievlak in het beschouwde punt en staat daarbij loodrecht op de raaklijn. dt Oriënteert men de hoofdnormaal volgens de vector, dan spreekt men van de positieve ds hoofdnormaal. dt Let op, is geen eenheidsvector. De lengte ervan noemt men de kromming van de ds 1 boog in het beschouwde punt; standaardnotatie is. Per definitie geldt dus: ρ(s) 1 ρ(s) := dt ds = d 2 P ds 2. Merk op dat de kromming een positieve functie is. De functie ρ(s) noemt men de kromtestraal. Langs de hoofdnormaal voert men ook een eenheidsvector in. Men stelt per definitie: N (s) := ρ(s) dt ds. Deze hoofdnormaaleenheidsvector is gericht volgens de positieve hoofdnormaal. Van een begrip als kromming verwacht men dat het een maat is voor de sterkte waarmee een boog in een bepaald punt gekromd is, m.a.w. afwijkt van een rechte, die helemaal niet gekromd is. We testen dit uit op twee eenvoudige voorbeelden. Voorbeeld Beschouw de gladde boog met parametervergelijking: [ ] R P (t) := 2 cos t, R sin t, R 2 cos t, 0 < t < 2π. Hiervoor is: [ P (t) = R sin t, R cos t, R ] sin t 2 2 en dus ds dt = P (t) = R 5

11 waaruit volgt dat s(t) = Rt, 0 < t < 2π. De totale lengte van de boog is dus 2πR. Verder is: T (s) = [ 1 sin s 2 R, cos s R, 1 sin s ], 0 < s < 2πR 2 R waaruit: en dus [ dt ds = R cos s R, 1 R sin s R, 2 1 ρ(s) = dt ds = 1 R. 1 R cos s ] R De kromming langs deze boog is dus constant, wat te verwachten viel van een cirkel; de kromtestraal is precies de straal van de cirkel. Voorbeeld Beschouw de gladde boog met parametervergelijking: P (t) := (1 t)a + tb, 0 < t < 1, waarbij A en B gegeven vaste punten zijn. (Merk op: barycentrische combinatie van twee punten, dus wel degelijk een punt.) Het betreft hier duidelijk een lijnstuk; we verwachten dat de kromming nul is. We berekenen eerst P = B A, waarbij we opmerken dat een verschil van twee punten een vector is. Voor de booglengte komt er dan: s(t) = B A t, 0 < t < 1, waaruit T (s) = B A B A een constante eenheidsvector langs het lijnstuk, uiteraard. Meteen is 1 ρ(s) = dt ds = 0 langs het lijnstuk. Merk op dat osculatievlak en hoofdnormaal van een rechte onbepaald zijn. Opmerking Zoals raaklijn, hoofdnormaal, osculatievlak en booglengte is ook kromming een intrinsieke eigenschap van een gladde boog, d.w.z. onafhankelijk van de gekozen parameter langs de boog. 6

12 1.1.3 De osculatiecirkel Als men lokaal, d.w.z. in de onmiddellijke omgeving van een punt op een gladde boog, de boog vervangt door de raaklijn in het beschouwde punt, dan benadert men in die omgeving de boog door een rechte. Deze eerste-orde-benadering of lineaire benadering is uiteraard erg grof. Een betere, tweede-orde benadering van een gladde boog in de omgeving van een punt wordt gegeven door de osculatiecirkel aan de boog in het beschouwde punt. Dit intrinsiek begrip wordt als volgt gedefinieerd. Definitie De osculatiecirkel in een punt aan een gladde boog is de cirkel gelegen in het osculatievlak, met middelpunt op de hoofdnormaal in positieve zin t.o.v. het punt op de boog, en met straal het omgekeerde van de kromming in dat punt, de kromtestraal. In elk punt P (s), s booglengte, van een gladde boog luidt de parametervergelijking van de osculatiecirkel dus: P (s) + ρ(s)(1 cos α) N (s) + ρ(s) T sin α, 0 < α < 2π. Voorbeeld Herneem de cirkel uit voorbeeld We hebben geconstateerd dat de kromming constant is langs de cirkel, nl. 1/R, met R de straal van de cirkel. In elk punt van de cirkel is dus de kromtestraal dezelfde en gelijk aan de straal van de cirkel. Merk nu op dat: N (s) = [ 1 2 cos s R, sin s R, 1 2 cos s R en de plaatsvector van elk punt op de cirkel: [ R OP (s) = 2 cos s R, R sin s R, R 2 cos s ] R zodat 1 N (s) = OP (s). R Hieruit volgt dat het osculatievlak in elk punt van de cirkel samenvalt met het vlak van de cirkel en de hoofdnormaal in elk punt door het middelpunt van de cirkel gaat (uiteraard, want loodrecht op de raaklijn) en tenslotte dat het middelpunt van de osculatiecirkel samenvalt met het middelpunt van de cirkel. De conclusie luidt dus dat in elk punt van een cirkel de osculatiecirkel de cirkel zelf is. Voorbeeld Herneem het lijnstuk uit voorbeeld Langs het lijnstuk is de kromming constant en gelijk aan nul. Symbolisch kan men zeggen dat in elk punt van een lijnstuk de kromtestraal oneindig is. De osculatiecirkel heeft hier, strikt genomen, geen betekenis. Opmerking Het middelpunt van de osculatiecirkel in een punt aan een gladde boog wordt het krommingsmiddelpunt van de boog in het beschouwde punt genoemd. 7 ]

13 1.1.4 De triëder van Frenet In elk punt van een voldoend continu differentieerbare boog kan men de raaklijn en de hoofdnormaal beschouwen; ze spannen het osculatievlak in het beschouwde punt op. De binormaal in een punt aan een boog is per definitie de rechte in dat punt, die loodrecht staat op het osculatievlak aldaar. Deze rechte wordt gedragen door de eenheidsvector B die gedefinieerd wordt door: B := T N. De drie eenheidsvectoren in een punt van een gladde boog, T, N en B, vormen, in deze volgorde, een rechtshandige eenheidstriëder, die men de triëder van Frenet noemt. Als een punt P (s) een gladde boog doorloopt, dan varieert deze frenettriëder mee. Daarbij geldt steeds dat T dt ds = 0, N dn ds = 0, B db ds = 0, betrekkingen die men bekomt door afleiding naar s van respectievelijk: T T = 1, N N = 1, B B = 1. Het vlak opgespannen door N en B noemt men het normaalvlak aan de boog in het beschouwde punt. Het vlak opgespannen door T en B heet het binormaalvlak. Leidt men de betrekking B = T N af naar s, dan bekomt men: waarbij echter db ds = dt ds N = 0, want dt ds N + T dn ds, dt ds = 1 N. Er volgt dus dat ρ db ds = dn T ds. db De vector ds staat loodrecht op de vector B en op de vector T ; de vector evenwijdig met de hoofdnormaal. Men stelt per definitie: db ds := 1 N (s). τ(s) db ds ligt dus Dit definieert het intrinsieke begrip 1 dat men de wringing van de boog in het beschouwde τ punt noemt. Het is een maat voor de grootte van de plaatselijke verwringing van de boog ten opzicht van een vlakke boog (zie hoofdstuk 2). 8

14 dn Van de vector ds weten we reeds dat ze loodrecht staat op N, m.a.w. evenwijdig is met het binormaalvlak. Meer precies geldt er dn ds = d ( B ) T ds db = ds T + dt B ds = 1 1 N T + B N τ ρ = 1 1 B T. τ ρ De formules voor de afgeleiden naar de booglengte van de eenheidsvectoren T, N en B noemt men de frenetformules. Ze kunnen worden samengevat in matriciële vorm: 1 dt 0 0 T ds ρ dn = ds ρ τ N. db ds τ B Merk op dat de optredende vierkante matrix anti-symmetrisch is. 1.2 Oppervlakken Starten we opnieuw met de basisdefinitie. Beschouw daartoe Ω, een open en samenhangend gebied in R 2. Hierbij identificeren we R 2 met de tweedimensionale euclidische ruimte van de punten met coördinaten (u, v). Dan stellen we Definitie De vectorfunctie P (u, v) := [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v) e 1 + y(u, v) e 2 + z(u, v) e 3, (u, v) Ω; met (u, v) Ω, bepaalt een glad oppervlak in R 3 als P is injectief P heeft continue partiële afgeleiden naar u en v P u P v 0, (u, v) Ω. 9

15 Merk op dat P u (u 0, v 0 ) en P v (u 0, v 0 ) raakvectoren zijn aan S in punt P (u 0, v 0 ). Met behulp van deze vectoren definiëren we het raakvlak Definitie Het vlak Q(s, t) = P (u 0, v 0 ) + s P u (u 0, v 0 ) + t P v (u 0, v 0 ) met < s < + en < t < + is het raakvlak in P (u 0, v 0 ) aan S. We concluderen dus dat een normaalvector is aan het oppervlak! P u P v Stelling Als S het glad oppervlak is met parametervergelijking P (u, v), (u, v) Ω, en C is een gladde boog in Ω met parametervergelijking Q(t), t ]a, b[, dan is P (u(t), v(t)), t ]a, b[ de parametervergelijking van een gladde ruimteboog C die op S is gelegen. Bewijs. De voorwaarden van bijectiviteit en continu afleidbaarheid zijn meteen duidelijk vervuld. Met behulp van de kettingregel komt er: d dt P (u(t), v(t)) = P u u t + P v v t. De functies u t en v t zijn nergens in ]a, b[ samen nul, want C is een gladde boog. Aldus dp kan dt = 0 enkel en alleen als P u en P v lineair afhankelijk zijn, dus P u P v = 0, wat echter uitgesloten is omdat S glad is. Een bijzonder geval van stelling wordt gevormd door de zogenaamde parameterkrommen op S, geïnduceerd door de lijnstukken u = u 0 en v = v 0 in Ω. Stelling De raaklijnen in een punt P van een glad oppervlak S, aan de gladde bogen door P op S gelegen, liggen alle in het raakvlak in P aan S. Bewijs. Herneem het bewijs van stelling en merk op dat de raaklijnvector aan de gladde boog C op S, een lineaire combinatie is van de vectoren P u en P v die in het beschouwde punt het raakvlak aan S opspannen. Opmerking Een glad oppervlak heeft oneindig veel parametervergelijkingen. Is P (u, v), (u, v) Ω een parametervergelijking van S en { u = u(ũ, ṽ) v = v(ũ, ṽ) 10

16 een continu differentieerbare bijectie tussen Ω en Ω, dan is P (u(ũ, ṽ), v(ũ, ṽ)), (ũ, ṽ) Ω een parametervergelijking van S. De begrippen raakvlak en oppervlaknormaal aan een glad oppervlak zijn intrinsiek, dit wil zeggen onafhankelijk van de gekozen parametervergelijking van het glad oppervlak. 11

17 Hoofdstuk 2 Velden 2.1 Scalair veld We beschouwen een open gebied Ω van de driedimensionale ruimte van punten, rechten en vlakken. Als we in deze euclidische ruimte een bevoorrecht punt, de oorsprong kiezen, dan kunnen we gebruik maken van de één-éénafbeelding tussen de punten P en de gebonden vectoren, ook soms plaatsvectoren genoemd, OP die aangrijpen in die oorsprong. Kiezen we daarenboven een orthonormale basis ( e 1, e 2, e 3 ), of, equivalent hiermee, een orthonormaal assenstelsel, en zijn (x, y, z) de drie componenten van OP t.o.v. deze basis, dan kunnen we gebruik maken van de één-éénafbeelding tussen de gebonden vectoren OP en de geordende drietallen (x, y, z) R 3, die we dan de coördinaten van het punt P t.o.v. het assenstelsel noemen. We zullen constant beroep doen op deze identificaties: punt P plaatsvector OP coördinaten (x, y, z). Een scalair veld in Ω is een functie gedefinieerd in Ω die scalaire (reële of complexe) waarden aanneemt. Aan elk punt P van Ω wordt dus door het scalair veld f, een reëel of complex getal f(p ) gehecht. Een scalair veld is dus een spreekwijze voor de functie f : Ω R of C : P f(p ). Door de identificatie van een punt met de geassocieerde plaatsvector, of het geassocieerd drietal coördinaten, kunnen we dus ook de functiewaarde van een scalair veld schrijven als f( OP ) of f(x, y, z), m.a.w. het scalair veld vereenzelvigen met de functie f : Ω R 3 R of C : (x, y, z) f(x, y, z), waarbij in de praktijk geen onderscheid wordt gemaakt tussen Ω en Ω = {(x, y, z) R 3 : P = (x, y, z) Ω}. Een klassieke grafiek van een scalair veld is uitgesloten, vermits men over vier dimensies dient te beschikken. Een scalair veld wordt grafisch voorgesteld m.b.v. niveauoppervlakken. Een voorbeeld als toelichting. Meet in elk punt van een gebied Ω de temperatuur 12

18 T. Dan is T functie van de plaats: T (P ) of T (x, y, z), m.a.w. T is een scalair veld. Beschouw in Ω alle punten waar eenzelfde temperatuur a heerst. Al deze punten liggen op een oppervlak met cartesiaanse vergelijking T (x, y, z) = a. Voor de temperatuursfunctie heet een dergelijk oppervlak een isothermisch oppervlak = een oppervlak van gelijke temperatuur. Door een aantal isothermische oppervlakken te tekenen, telkens voor een andere temperatuur, krijgt men een beeld van het scalair veld T. In het algemeen noemt men het oppervlak met cartesiaanse vergelijking f(x, y, z) = a een niveauoppervlak van het scalair veld f. Onderstellen we dat f voldoende continu differentieerbaar is in Ω met z f 0 in Ω; dan is de vergelijking f(x, y, z) = a lokaal oplosbaar naar z = g(x, y, a). Onderstellen we dat het niveauoppervlak met cartesiaanse vergelijking f(x, y, z) = a en parametervergelijking P (x, y) = [x, y, g(x, y, a)], (x, y) D glad is, dan wordt in elk punt van dit niveauoppervlak de oppervlaknormaal gedragen door de vector of dus ook door de vector x P y P = [1, 0, x g] [0, 1, y g] = [ x g, y g, 1] [ x f = z f, ] yf z f, 1 [ x f(p ), y f(p ), z f(p )], m.a.w. de vector met als componenten de waarden van de partiële afgeleiden - in de geijkte volgorde - in het beschouwde punt. Deze vector wordt kortweg geschreven als f(p ) (lees: nabla ). Maar dit is meer dan een notatie. Nabla is de vectoriële differentiaaloperator van de 1ste orde: = ( x, y, z ). Operator betekent dat inwerkt op functies; differentiaaloperator betekent dat die inwerking gebeurt via (partiële)afleiding; van de eerste orde betekent dat bij de inwerking (partiële)afgeleiden van de eerste orde optreden; vectorieel betekent dat het 13

19 resultaat van de inwerking op een scalair veld een vectorveld is [voor vectorveld: zie volgende paragraaf]. Als het scalair veld f continu differentieerbaar in Ω is, dan is f een continue functie in Ω waarvan de functiewaarden vectoren zijn; deze functie noemt men ook gradiënt f en vaak wordt ook de notatie grad f gebruikt. Deze overwegingen leiden tot het volgende besluit. Als in het open gebied Ω een continu differentieerbaar scalair veld f is gedefinieerd, en beschouwt men in elk punt P van Ω enerzijds het niveauoppervlak van f dat door P gaat, en anderzijds de vector f(p ), dan staan beide loodrecht op elkaar, m.a.w. f(p ) heeft de richting van de oppervlaknormaal in P aan het niveauoppervlak door P. 2.2 Vectorveld Een vectorveld in een open gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte is een functie die aan elk punt P van Ω als functiewaarde een vector hecht, m.a.w. een vectorveld is een functie van (een deel van) de euclidische ruimte van punten in de ruimte van de vectoren. De functiewaarde van een gegeven vectorveld in het punt P kan dus worden geschreven als f 1 (P ) e 1 + f 2 (P ) e 2 + f 3 (P ) e 3 of als [f 1 (P ), f 2 (P ), f 3 (P )], waarbij f 1, f 2, f 3 drie scalaire velden zijn, of dus ook nog als [f 1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, x)], waarbij we het punt P identificeren met zijn drie coördinaten t.o.v. de orthonormale basis ( e 1, e 2, e 3 ). Noteren we het vectorveld als F, dan kan F worden beschouwd als een functie F : R 3 R 3 waarbij P = (x, y, z) wordt afgebeeld op F (P ) = F (x, y, z) = (f1 (x, y, z), f 2 (x, y, z), f 3 (x, y, z)). De scalaire velden f 1, f 2, f 3 noemt men de componenten van het vectorveld F. Een klassieke grafiek van een vectorveld vereist zes dimensies. Om een vectorveld aanschouwelijk voor te stellen gaat men als volgt te werk. Een voorbeeld ter toelichting. In elk punt van een zeker gebied meet men de windsnelheid (richting, zin en grootte), m.a.w. een vector die de plaatselijke windsnelheid voorstelt. Deze vector W (P ) tekent men in het punt P. Meestal zal men zelfs de pijl waarmee men de vector voorstelt, dikker of langer tekenen naargelang haar grootte. Zo ontstaat reeds een eerste beeld hoe de wind 14

20 eruit ziet in het beschouwde gebied. Men tekent meestal ook de luchtstromen, dit zijn de banen waarlangs de lucht zich verplaatst. Bij een bewegend deeltje is de snelheidsvector steeds gelegen volgens de raaklijn aan de baan; de windsnelheidsvectoren zijn dus in elk punt gericht volgens de raaklijn aan de luchtstroom die door dit punt passeert. In het algemeen noemt men de gladde boog waarvoor in elk punt de raaklijn gericht is volgens de functiewaarde van een gegeven vectorveld in het beschouwde punt, een veldlijn van het vectorveld. Het geheel van veldlijnen met raakvectoren is een aanschouwelijke voorstelling van een vectorveld. In de vorige paragraaf hebben we reeds kennis gemaakt met een vectorveld. Vertrekt men van een continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, dan is f een continu vectorveld in Ω met componenten ( x f, y f, z f). De veldlijnen van het vectorveld f zijn gladde bogen in Ω waarvoor in elk punt P ervan de raaklijn gericht is volgens f(p ), die loodrecht staat op het niveauoppervlak van f in P. We besluiten dus dat, gegeven een continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, in elk punt P van Ω de veldlijn van het vectorveld f door P het niveauoppervlak van f door P loodrecht snijdt. Aansluitend bij het voorbeeld van deze paragraaf is het zo dat de windveldlijnen orthogonaal zijn met de niveauoppervlakken van het scalaire luchtdrukveld (waarbij andere effecten zoals de corioliskrachten buiten beschouwing zijn gelaten). Aansluitend bij het voorbeeld van de vorige paragraaf is het zo dat de convectiestromen orthogonaal zijn met de isothermische oppervlakken. 2.3 Richtingsafgeleide van een scalair veld Beschouw in een open deel Ω van de driedimensionale euclidische ruimte een scalair veld f, dat we voldoend continu differentieerbaar onderstellen. Verder is een vaste eenheidsvector u gegeven. Men noemt richtingsafgeleide van f volgens u in het punt P : u f(p ) := u f(p ). Merk meteen op dat voor u = e i, i = 1, 2, 3: ei f(p ) = e i f(p ) = i f(p ), m.a.w. de partiële afgeleiden zijn bijzondere gevallen van richtingsafgeleiden volgens de positieve coördinaatassen. Een klassiek vraagstukje is het volgende. Beschouw in Ω een continu differentieerbaar scalair veld f en een punt P. Vraag: in welke richting en zin is de richtingsafgeleide van f in P extremaal. Uit de definitie van richtingsafgeleide volgt meteen het antwoord: u f(p ) is extremaal als u de richting van f(p ) bezit; maximaal als u ook de zin van f(p ) heeft, minimaal als u tegengesteld aan f(p ) georiënteerd is. 15

21 De extremale waarden van de richtingsafgeleide van een scalair veld in een punt worden dus bekomen in de richting van de oppervlaknormaal in het beschouwde punt aan het niveauoppervlak van het scalair veld door dit punt. De gradiënt van een continu differentieerbaar scalair veld f zou dus ook als volgt kunnen worden gedefinieerd: f is het vectorveld waarvan de functiewaarde in elk punt P de vector is: met richting: de oppervlaknormaal in P aan het niveauoppervlak van f door P ; met oriëntatie: in de zin van toenemende functiewaarden van f; met grootte: u f(p ) = lim 1 h 0 h (f(p + h u ) f(p )) waarbij u een eenheidsvector is langs de bewuste oppervlaknormaal. Hieruit blijkt duidelijk dat de gradiënt van een scalair veld intrinsiek is, d.w.z. onafhankelijk van de gebruikte (cartesiaanse) coördinaten, dus onafhankelijk van het gekozen orthonormaal assenstelsel. Toon ditzelfde resultaat ook aan door gebruik te maken van een coördinatentransformatie en lineaire algebra! 2.4 Divergentie van een vectorveld Gegeven is een continu differentieerbaar vectorveld F = (f1, f 2, f 3 ) in een open deel Ω van de driedimensionale euclidische ruimte. De drie componenten f 1, f 2, f 3 zijn dan uiteraard continu differentieerbare scalaire velden in Ω. Door in elk punt P van Ω de volgende functiewaarde te berekenen: x f 1 (P ) + y f 2 (P ) + z f 3 (P ) en die reële of complexe waarde aan het punt P te hechten, definieert men een scalair veld in Ω, dat men noteert F en noemt de divergentie van het vectorveld F. Ook hier duikt de nabla -operator weer op, de eerste orde vectoriële differentiaaloperator = x e1 + y e2 + z e3 = [ x, y, z ], 16

22 waarbij de inwerking op het vectorveld F geschiedt via het scalair product (vandaar de bolletje -notatie) zodat het resultaat van de inwerking een scalair veld is. De inwerking van nabla als divergentie op een voldoend continu differentieerbaar vectorveld kan dus symbolisch worden gezien als het algebraïsche scalaire product van de nabla -operator met het bewuste vectorveld: F = [ x e1 + y e2 + z e3 ] [f 1 e1 + f 2 e2 + f 3 e3 ] = x f 1 + y f 2 + z f 3. Als in Ω een vectorveld F voldoet aan: F = 0, dan noemt men het vectorveld F divergentievrij in Ω. Let op: het begrip divergentievrij is gebiedsafhankelijk. Divergentievrije vectorvelden zijn bijzonder, zoals zal blijken uit paragraaf 7. Merken we nog het volgende op. Vertrek in Ω met een scalair veld f dat er ten minste tweemaal continu differentieerbaar is. Construeer het vectorveld f men noemt dit het gradiënt-veld van f dat in Ω ten minste continu differentieerbaar is. We bepalen de divergentie van het gradiënt-veld van f: f = [ x f, y f, z f] = x ( x f) + y ( y f) + z ( z f) = 2 xf + 2 yf + 2 zf = ( 2 x + 2 y + 2 z) f. Hierbij ontstaat de 2de orde scalaire differentiaaloperator := 2 x + 2 y + 2 z = xx + yy + zz, die men de laplaciaan noemt. De formule f = f, voor een ten minste tweemaal continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, kan symbolisch worden uitgedrukt als =, wat meer in overeenstemming is met de algebraïsche rekenregels voor vectoren en kan gelezen worden als de laplaciaan is het scalaire product van de nabla-operator met zichzelf, of nog korter en krachtiger: de laplaciaan is het kwadraat van de nabla : 2 = = [ x e1 + y e2 + z e3 ] [ x e1 + y e2 + z e3 ] = ( x ) 2 + ( y ) 2 + ( z ) 2 =. De bovenstaande leeswijzen worden, om vergissingen te vermijden, beter vervangen door: 17

23 de divergentie van de gradiënt is de laplaciaan. 2.5 Rotatie van een vectorveld Gegeven is opnieuw een continu differentieerbaar vectorveld F = (f1, f 2, f 3 ) in een open deel Ω van de driedimensionale euclidische ruimte. De drie componenten f 1, f 2, f 3 zijn dan uiteraard continu differentieerbare scalaire velden in Ω. Door in elk punt P van Ω de volgende vectoriële functiewaarde te berekenen: [ y f 3 z f 2, z f 1 x f 3, x f 2 y f 1 ] en die aan het punt P te hechten, definieert men een vectorveld in Ω, dat men noteert: F. Dit nieuwe vectorveld heet de rotatie van het vectorveld F. Louter algebraïsch bekeken is het alsof de vectoroperator nabla inwerkt op het vectorveld F onder de vorm van een vectorproduct van twee vectoren. Dit is ook de manier waarop men de definitie van rotatie van een vectorveld onthoudt. Als in Ω een vectorveld F voldoet aan: F = 0, dan noemt men het vectorveld F rotatievrij in Ω. Let op: dit begrip is gebiedsafhankelijk. Rotatievrije vectorvelden zijn bijzonder, zoals zal blijken uit paragraaf 6. Merken we nog het volgende op. Vertrek in Ω met een scalair veld f dat er ten minste tweemaal continu differentieerbaar is. Construeer in Ω het gradiënt-veld van f : f; het is in Ω ten minste continu differentieerbaar. We bepalen de rotatie van het gradiënt-veld van het scalaire veld f: f = [ x f, y f, z f] = [ y ( z f) z ( y f), z ( x f) x ( z f), x ( y f) y ( x f)] = [0, 0, 0]. De formule f = 0 voor een ten minste tweemaal continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, kan het best symbolisch gelezen worden als de rotatie van de gradiënt is nul. 18

24 Louter symbolisch komt dit erop neer dat het vectorproduct van de vector-operator nabla met zichzelf, nul is. Dergelijke interpretatie dient met zeer veel omzichtigheid gehanteerd. We hebben dus aangetoond: Als het scalair veld f tweemaal continu differentieerbaar is in Ω, dan is zijn gradiëntveld rotatievrij in Ω. Hieruit blijkt dat gradiënt-velden van scalaire velden belangrijk zijn, zoals zal blijken uit volgende paragraaf. 2.6 Conservatieve vectorvelden Definitie Een gebied Ω in de driedimensionale euclidische ruimte is samenhangend als elke twee punten van Ω kunnen worden verbonden door een continue kromme. Een gebied Ω in de driedimensionale euclidische ruimte is enkelvoudig samenhangend als het samenhangend is en als men bovendien elke gesloten kromme in Ω kan doen ineenkrimpen op continue wijze tot een punt, zonder dat daarbij het gebied Ω wordt verlaten. Definitie Een vectorveld F in een open, samenhangend gebied Ω noemt men conservatief als het continu in Ω is en als er in Ω een continu differentieerbaar scalair veld φ bestaat waarvan het gradiënt-veld precies F is: φ = F. Het scalaire veld φ noemt men de (scalaire) potentiaal van het conservatief vectorveld F in Ω. Opmerking Een convervatief vectorveld F in een open, samenhangend gebied Ω, bezit oneindig veel potentialen, die alle met een constante van elkaar verschillen. Voorbeeld Het vectorveld F = OP OP = [x, y, z] (x 2 + y 2 + z 2 ) 1 2 is conservatief in E 0 \{ 0 }, want OP = F in het beschouwde open, samenhangend gebied. 19

25 Voorbeeld Het vectorveld F = OP OP 3 = [x, y, z] (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 is conservatief in E 0 \{ 0 }, want ( 1) OP = F in het beschouwde open, samenhangend gebied. Uit definitie volgt meteen dat het gradiënt-veld van een tweemaal continu differentieerbaar scalair veld in een open, samenhangend gebied, er conservatief is. In de vorige paragraaf hebben we gezien dat een dergelijk gradiënt-veld rotatievrij is in het beschouwde gebied. We besluiten dus meteen. Stelling Als een continu differentieerbaar vectorveld conservatief is in een open, samenhangend gebied, dan is het er rotatievrij. Als ook de omgekeerde stelling zou gelden, dan zouden we meteen beschikken over een criterium voor conservatieve vectorvelden en dus over een handig middel om conservatieve vectorvelden te herkennen. Deze omgekeerde stelling geldt echter niet in volle algemeenheid. De geometrie van het gebied speelt hierin een belangrijke rol. Men bewijst bijvoorbeeld het volgende: Stelling Als het vectorveld F continu differentieerbaar en rotatievrij is in het open, enkelvoudig samenhangend gebied Ω, dan is F conservatief in Ω. We zullen een speciaal geval van deze stelling bewijzen en de corresponderende potentiaal expliciet construeren in hoofdstuk Solenoïdale vectorvelden Definitie Een vectorveld F in een open, samenhangend gebied Ω noemt men solenoïdaal als het continu is in Ω en als er in Ω een continu differentieerbaar vectorveld A bestaat waarvan de rotatie precies F is: A = F. Het vectorveld A noemt men de vectorpotentiaal van het solenoïdaal vectorveld F in Ω. 20

26 Opmerking Een solenoïdaal vectorveld F in een open, samenhangend gebied Ω bezit oneindig veel vectorpotentialen. Inderdaad, deze zijn slechts op een gradiënt-veld na bepaald, want als A = F dan is ook ( A ) + f = A + f = A = F en dit gelet op de rotatie van de gradiënt is nul (zie paragraaf 5). Voorbeeld Het vectorveld F = [z, x, y] is solenoïdaal in E 0, vermits [xz, yx, zy] = F in E 0 (controleer dit!). Stelling Als een continu differentieerbaar vectorveld solenoïdaal is in een open, samenhangend gebied, dan is het er divergentievrij. Bewijs. Onderstel dat F solenoïdaal is in het open, samenhangend gebied Ω. Dan bestaat er een continu differentieerbare vectorpotentiaal A in Ω met A = F. Als F continu differentieerbaar is in Ω, geldt er vervolgens: F = ( A ) = x ( y A 3 z A 2 ) + y ( z A 1 x A 3 ) + z ( x A 2 y A 1 ) = 0. Merk op dat vereist is dat de optredende vectorvelden voldoende continu differentieerbaar zijn in het beschouwde gebied. Meteen rijst de vraag of het divergentievrij karakter van een vectorveld een criterium voor solenoïdaliteit is. Het antwoord is opnieuw afhankelijk van de geometrie van het beschouwde gebied. We hebben bijvoorbeeld volgend resultaat. Stelling Als het vectorveld F continu differentieerbaar en divergentievrij is in een open interval Ω, dan is F er solenoïdaal. Bewijs. We geven een constructief bewijs, d.w.z. we construeren expliciet een vectorveld in Ω dat de vectorpotentiaal van het gegeven vectorveld F is. Een dergelijke vectorpotentiaal A moet in Ω voldoen aan A = F. 21

27 Deze vectoriële vergelijking met F gekend en A onbekend in Ω is equivalent met het stelsel in Ω: y A 3 z A 2 = f 1 z A 1 x A 3 = f 2 x A 2 y A 1 = f 3 met gekende scalaire velden f 1, f 2, f 3 en onbekende scalaire velden A 1, A 2, A 3. We weten dat er bij de bepaling van de vectorpotentiaal A = [A 1, A 2, A 3 ] een zeer grote vrijheidsgraad is (zie opmerking 2.7.1). We zoeken daarom een vectorpotentiaal waarbij A 3 = 0 in Ω. Uit de eerste vergelijking van het stelsel volgt: A 2 = g 2 (x, y, z) + h 2 (x, y) waarbij g 2 en h 2 tweemaal continu differentieerbare scalaire velden in Ω zijn met z g 2 = f 1. Dit is een partiële primitivering naar de variable z waarbij de variabelen x en y tijdelijk als parameters worden beschouwd. Uit de tweede vergelijking van het stelsel volgt: A 1 = g 1 (x, y, z) + h 1 (x, y) waarbij g 1 en h 1 continu differentieerbare scalaire velden in Ω zijn met z g 1 = f 2. Om de voorlopig arbitraire functies h 1 (x, y) en h 2 (x, y) te bepalen, beschikken we nog over de derde vergelijking van het stelsel. Dit levert x h 2 (x, y) y h 1 (x, y) = f 3 x g 2 + y g 1. Ogenschijnlijk is dit onmogelijk, want het rechterlid is functie van de drie variabelen x, y, z, terwijl het linkerlid enkel functie is van de variabelen x en y. Maar, het rechterlid bevat de variabele z niet: z f 3 z x g 2 + z y g 1 = z f 3 x ( f 1 ) + y (f 2 ) = F = 0. Het divergentievrij karakter van F is dus inderdaad cruciaal in de constructie van de vectorpotentiaal A in Ω. Kies nu nog h 1 (x, y) = 0 in Ω en neem h 2 (x, y) zodat x h 2 (x, y) = f 3 x g 2 + y g 1 waarbij in het rechterlid een gekend scalair veld in Ω staat. Daarmee is een vectorpotentiaal A van F bepaald in Ω. Merk nog op dat we in het bewijs van stelling de volgende formule hebben bewezen: ( ) A = 0 in een open gebied waarin het vectorveld tweemaal continu differentieerbaar is. We kunnen symbolisch stellen 22

28 de divergentie van de rotatie is nul. Louter algebraïsch bekeken, zien we een gemengd product van drie vectoren : nabla, nabla en A waarvan er twee evenwijdig (zelfs gelijk) zijn, wat dus in een nul resulteert. 2.8 De helmholtzontbinding van vectorvelden Gegeven een vectorveld F dat we voldoende continu differentieerbaar onderstellen in een open, samenhangend gebied Ω, bijvoorbeeld voor de eenvoud, een open interval. We veronderstellen dat F in Ω noch divergentievrij, noch rotatievrij is. Dan kan F ontbonden worden in de zgn. helmholtzontbinding: F = φ + A, met A = 0 waarbij het scalaire veld φ op een harmonisch scalair veld na bepaald is, en het vectorveld A op de gradiënt van een harmonisch scalair veld na. Merk meteen op dat de eerste term van de ontbinding rotatievrij is: ( φ ) = 0, terwijl de tweede term divergentievrij is: ( A ) = 0 in het beschouwde gebied. Het constructief bewijs van deze formule verloopt in twee stappen. Eerste stap We nemen in Ω de divergentie van F en bekomen: F = φ = φ. Het onbekend scalaire veld φ moet dus voldoen aan de vergelijking: φ = F in Ω, met in het rechterlid een scalair veld in Ω dat niet nul is bij onderstelling. Deze vergelijking is in feite een lineare partiële differentiaalvergelijking van de tweede orde met rechterlid niet nul. Het speciale type hier met de laplaciaan in het linkerlid, noemt men de vergelijking van Poisson. Men kan bewijzen dat de vergelijking van Poisson in het open interval Ω een oplossing φ bezit, die bepaald is op een zgn. harmonisch veld na, dit is een scalair veld in Ω dat er voldoet aan de zgn. vergelijking van Laplace: χ = 0. We kiezen een welbepaalde oplossing φ van de poissonvergelijking φ = F 23

29 en gaan over tot de tweede stap. Tweede stap Met de gekozen oplossing φ uit stap 1, construeren we in Ω φ en stellen: G = F φ. Dit nieuwe vectorveld G is divergentievrij in Ω. Inderdaad, er geldt G = F ( φ ) = F φ = 0. Bij onderstelling is Ω een open interval zodat we wegens stelling verzekerd zijn van het bestaan van een vectorpotentiaal A in Ω voor het solenoïdaal vectorveld G: A = G en dus ook: F φ = A. Hiermee is de structuur van de ontbinding van F aangetoond. Echter, is het vectorveld A divergentievrij? Over het algemeen niet, maar A is slechts bepaald op een gradiënt-veld na. Neem dus A = A + f met f nader te bepalen zodanig dat A divergentievrij is in Ω: A = A + f = A + f. Het scalaire veld f moet dus in Ω voldoen aan: f = A, weerom de poissonvergelijking. Elke oplossing in Ω van deze vergelijking zal voldoen. 2.9 Divergentie- en rotatievrije vectorvelden In het licht van de voorgaande paragrafen is het meteen duidelijk dat vectorvelden die in een open, samenhangend gebied én divergentievrij én rotatievrij zijn, zeer bijzonder zijn. Een dergelijk vectorveld F voldoet dus in Ω aan het stelsel { F = 0 F = 0. 24

30 Dit stelsel wordt het rieszstelsel genoemd. Nemen we voor de eenvoud een open interval Ω de nu volgende resultaten zijn ook geldig in een open, enkelvoudig samenhangend gebied dan is F in Ω zowel conservatief als solenoïdaal. Er bestaat in Ω een scalaire potentiaal φ waarvoor in Ω: F = φ. Dit scalair potentiaalveld φ moet in Ω dan voldoen aan: φ = 0 of φ = 0, m.a.w. het scalair potentiaalveld φ van een vectorveld dat aan het rieszstelsel voldoet, is harmonisch in het beschouwde gebied. Dit bijzondere vectorveld F kan dus worden geschreven als: F = [ x φ, y φ, z φ] waarbij in Ω: φ = 2 xφ + 2 yφ + 2 zφ = 0. Maar er bestaat in Ω ook een vectorpotentiaal A waarvoor in Ω: A = F = φ waaruit volgt dat of ( ) A = 0 ( ) A A = 0, waaruit A harmonisch, vermits een vectorpotentiaal steeds divergentievrij kan worden gekozen. Merk op dat de drie componenten van deze F, harmonische scalaire velden zijn in Ω. Aangezien de laplaciaan een scalaire differentiaaloperator is, kunnen we zelfs stellen dat F een harmonisch vectorveld in Ω is. Automatisch is F daardoor onbeperkt continu differentieerbaar in Ω, aangezien men kan bewijzen dat elke harmonische functie steeds onbeperkt continu differentieerbaar is. Het is bijzonder belangrijk het tweedimensionale geval te bestuderen. Beschouw dus in een open, enkelvoudig samenhangend gebied Ω van het euclidische vlak een continu 25

31 differentieerbaar vectorveld F = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) dat én divergentievrij én rotatievrij is, m.a.w. in Ω voldoet aan het rieszstelsel: { F = x f 1 + y f 2 = 0 F = [0, 0, x f 2 y f 1 ] = 0. In het tweedimensionaal geval herleidt het rieszstelsel zich dus tot { x f 1 + y f 2 = 0 x f 2 y f 1 = 0, het zogenaamde cauchy-riemannstelsel dat een cruciale rol speelt in het vakgebied complexe analyse Nabla-rekening In de voorgaande paragraaf is duidelijk gebleken dat het vlot omspringen met de nabla - operator een te verwerven vaardigheid is in de vectoranalyse. Dit nabla-rekenen zit te paard op de vectorrekening en het analytisch partieel afleiden, met voornamelijk oog voor het zinvolle van mogelijke inwerkingen van nabla op scalaire- of vectorvelden. De basisformules zijn Verifieer al deze formules! (φ + χ) = φ + χ ( F ) + G = F + G ( F ) + G = F + G ( φ ) F = φ F + φ F ( φ ) F = φ F + φ F ( F ) G = ( ) G F ( ) F G ( φ ) = 0 ( ) F = 0 ( ) F = ( ) ( ) F F. 26

32 Hoofdstuk 3 Lijnintegralen 3.1 Lijnintegraal van een scalair veld In een open, samenhangend gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschouwen we enerzijds een continu scalair veld φ en anderzijds een gladde boog C : P (t), a t b met begin- en eindpunt. Noemt men s de booglengte langs C, gemeten vanaf het beginpunt, dan voert men het begrip lijnintegraal van het scalair veld φ langs de gladde boog C in, door te definiëren: C φ ds := b a dp φ (P (t)) dt dt. Een dergelijke definitie is uiteraard pas zinvol als aangetoond wordt dat het rechterlid onafhankelijk is van de keuze van de parametervergelijking van de gladde boog C. Dit is inderdaad het geval. Beschouw de continu afleidbare bijectie t = t(τ) tussen de intervallen [a, b] en [α, β] met dt 0 in [α, β], dan geldt: dτ (i) als dt > 0 in [α, β], dan zal dt dτ dτ = dt en zal α < β; vandaar: dτ (ii) als dt dτ β α d P (t(τ)) φ (P (t(τ))) dτ dτ = = β α b a dp φ (P (t(τ))) dt (t(τ)) dp φ (P (t)) dt (t) dt; < 0 in [α, β], dan zal dt dτ = dt, maar zal α > β zodat dτ α d P (t(τ)) φ (P (t(τ))) dτ dτ β 27 dt dτ dτ

33 leidt tot hetzelfde resultaat. Voorbeeld Als C : P (t), a t b, een gladde boog is, dan is, per definitie, de totale booglengte van C de lijnintegraal langs C van het constant scalair veld φ = 1: b dp ds = dt dt. C a Voorbeeld Is ρ(p ) het scalaire veld van de soortelijke massa van een dunne draad gelegen langs de gladde boog C : P (t), a t b, dan is, per definitie, de totale massa van deze draad: M := ρ(p ) ds. C T.o.v. een orthonormaal assenstelsel worden dan de statische momenten van de draad t.o.v. de coördinaatvlakken gedefinieerd als: M yz := ρ(p ) x ds, C M zx := ρ(p ) y ds, C M xy := ρ(p ) z ds. C Het massamiddelpunt van de draad is dan het punt met coördinaten ( x, ỹ, z) gegeven door x := M yz M, ỹ := M zx M, z := M xy M. 3.2 Lijnintegraal van een vectorveld In een open samenhangend gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschouwen we een continu vectorveld F = [f 1, f 2, f 3 ] en een gladde boog C : P (t) met beginpunt P (a) en eindpunt P (b). Let op: het is niet noodzakelijk zo dat a < b; het is dus beter te noteren t : a b. Door expliciet een begin- en een eindpunt te vermelden, kunnen we de gladde boog C oriënteren. Dat kan op twee manieren: de positieve zin van beginpunt naar eindpunt, de negatieve zin omgekeerd. Het begrip lijnintegraal van het vectorveld F langs de boog C doorlopen in positieve zin wordt gedefinieerd door: C b F dp := (f 1 (P (t))x (t) + f 2 (P (t))y (t) + f 3 (P (t))z (t)) dt = a b a F (P (t)) dp dt dt. 28

34 Deze definitie wordt gemakkelijk onthouden en toegepast door de notatie F dp symbolisch te interpreteren als een scalair product van twee vectoren : F dp = (f1 e1 + f 2 e2 + f 3 e3 ) (dx e 1 + dy e 2 + dz e 3 ) = f 1 dx + f 2 dy + f 3 dz, daarna de symbolen dx, dy, dz te interpreteren als differentialen, waarbij het punt P de boog C doorloopt met parametervergelijking P (t) = x(t) e 1 + y(t) e 2 + z(t) e 3, t : a b en dus om, steeds louter symbolisch, te komen tot: dx = x (t)dt, dy = y (t)dt, dz = z (t)dt F dp = f1 x (t)dt + f 2 y (t)dt + f 3 z (t)dt. Voor de lijnintegraal van hetzelfde vectorveld F langs dezelfde gladde boog C maar nu doorlopen in de negatieve zin, definieert men: C F dp = C F dp. Voorbeeld De arbeid nodig om een deeltje met massa m langs een pad C = ÂB van het punt A naar het punt B te brengen in een krachtveld F is, per definitie, F dp. ÂB Zo kost het niet de minste moeite om een zeer zware last m over een horizontaal traject C = ÂB : P (x) = x e 1, x : a b te verplaatsen in het zwaartekrachtveld F = mg e3, vermits ÂB F dp = ÂB ( mg e 3 ) (dx e 1 ) = 0. 29

35 Opmerking Het begrip lijnintegraal van een vectorveld langs een gladde boog is, met zijn naam, misleidend. Deze lijnintegraal is immers scalairwaardig, net zoals het begrip lijnintegraal van een scalair veld uit de vorige paragraaf. Is er dan een verband tussen de beide ingevoerde begrippen van lijnintegraal? Jawel, er geldt: F dp = F T ds. C Deze formule dient met de nodige omzichtigheid gehanteerd: C in het linkerlid wordt ondersteld dat C doorlopen wordt in de positieve zin, die door onszelf of door de omstandigheden wordt opgelegd; neem aan dat deze positieve zin is van P (a) naar P (b); in het rechterlid wordt ondersteld dat C doorlopen wordt in de zin van toenemende booglengte en de raaklijneenheidsvector werd ook in die zin gedefinieerd; aangezien ds steeds positief is, komt deze zin op C overeen met de zin waarbij de parameter t dt loopt van zijn kleinste naar zijn grootste waarde. Conclusie van deze overwegingen: bovenstaande formule is enkel geldig als de gehanteerde positieve oriëntatie op C samenvalt met de zin van de toenemende booglengte. In dit geval is het rechterlid immers gelijk aan: dp F T ds = F C C ds ds b dp dp = F dt dt dt = F dp. a Voorbeeld Een satelliet met massa m draait moeiteloos in een cirkelvormige baan omheen de aarde met massa M in het newtoniaans zwaartekrachtveld van de aarde: 1 ds dt Mm F = er R 2 (R: afstand satelliet tot middelpunt van de aarde; e r : eenheidsvector radiaal gericht van de aarde weg), vermits F dp = F T ds C = C C ( Mm R 2 er C ) T ds = 0 want in elk punt van een cirkel staan e r en T loodrecht op elkaar. 30