Voortgezette Analyse. H.A.W.M. Kneppers. april 2017

Transcriptie

1 Voortgezette Analyse H.A.W.M. Kneppers april 07

2 iteratuur [A] Robert A. Adams, Calculus, 8th edition, Addison-Wesley 00. [B] William E. Boyce & Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 0th edition, Wiley 03. [V] Anders Vretblad, Fourier Analysis and its Applications, graduate texts in mathematics 3, Springer 003.

3 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN I. Orthogonale curvilineaire coördinaten in het xy-vlak Definitie Poolcoördinaten Stel x en y zijn functies van twee variabelen, zeg x = x(u, v) en y = y(u, v), op een gebied G in het uv-vlak. De plaatsvector r = x i + y j van het punt P = (x, y) in het xy-vlak wordt dan de vectorwaardige functie r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j. Op het inwendige van G stellen we de volgende eisen aan deze functie:. De functie r(u, v) is één-éénduidig. Dat wil zeggen: als (u, v ) (u, v ) dan eisen we dat r(u, v ) r(u, v ).. De functie r(u, v) is twee maal continu differentieerbaar, met andere woorden: de tweede orde partiële afgeleiden van x en y naar u en v zijn continu. 3. In elk punt P geldt 0 en u v De vectoren en u v zijn in elk punt P orthogonaal, met andere woorden u v = 0. We noemen (u, v) de orthogonale curvilineaire coördinaten van P. De poolcoördinaten (r, θ) worden gedefinieerd door x = r cos θ en y = r sin θ, zodat r(r, θ) = r cos θ i + r sin θ j. Het is eenvoudig na te gaan dat op het gebied G = {(r, θ) r 0, π θ π} aan de vier eisen is voldaan. Zo gaat bijvoorbeeld de verificatie van de vierde eis (orthogonaliteit) als volgt: De partiële afgeleiden van r zijn en zodat = cos θ i + sin θ j = r sin θ i + r cos θ j, θ = r cos θ sin θ + r sin θ cos θ = 0. θ We kunnen makkelijk nagaan dat, bijvoorbeeld, het punt P = (, 3) poolcoördinaten (4, 3π) heeft. I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN 3

4 Coördinaatkrommen Eenheidsraakvectoren en schaalfactoren Om een beeld te krijgen van curvilineaire coördinaten, onderzoeken we hoe P reageert op veranderingen in u en v: welke baan beschrijft P als u of v varieert en met welke snelheid beschrijft P deze baan? Een u-coördinaatkromme is een kromme die ontstaat wanneer men u varieert en v vasthoudt. Stel P 0 is een punt in het xy-vlak met curvilineaire coördinaten (u 0, v 0 ). De u-coördinaatkromme door P 0 heeft dan vectorvoorstelling r = r(u, v 0 ). Wanneer we u vasthouden en v variëren krijgen we een v-coördinaatkromme. De v-coördinaatkromme door P 0 heeft vectorvoorstelling r = r(u 0, v). De eenheidsraakvectoren aan de u- en v-coördinaatkrommen noteren we als û respectievelijk ˆv. Stel P heeft curvilineaire coördinaten (u, v). De vectorvoorstelling van de u- coördinaatkromme door P levert de raakvector aan deze kromme in P. u aat h u de lengte van u zijn, dus h u = u, dan geldt û = h u u. Evenzo stellen we h v = v, zodat ˆv = h v v. Men noemt h u en h v de schaalfactoren van de curvilineaire coördinaten. Voorbeeld I.. aat P = (, 3). We hebben reeds opgemerkt dat P poolcoördinaten (4, 3π) heeft. De r-coördinaatkromme door P heeft vectorvoorstelling r = r(r, 3 π) = r cos 3 π i + r sin 3 π j = r i + r 3 j met r 0, dat is dus de halfrechte die in (0, 0) begint en een hoek van 3π met de positieve x-as heeft. Deze vectorvoorstelling levert in P de raakvector (4, 3 π) = i + 3 j. De θ-coördinaatkromme door P heeft vectorvoorstelling r = r(4, θ) = 4 cos θ i + 4 sin θ j met π θ π, dus de cirkel met (0, 0) als middelpunt en straal 4, linksom doorlopen. In P levert dit de raakvector θ (4, 3 π) = 3 i + j. De schaalfactoren van de poolcoördinaten zijn h r = = en h θ = θ = r, zodat ˆr = = cos θ i + sin θ j en en ˆθ = = sin θ i + cos θ j. In het r θ 3 i + j. gegeven punt P hebben we dus ˆr = i + 3 j en ˆθ = 4 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

5 Figuur.: Poolcoördinaten I. Orthogonale curvilineaire coördinaten in de xyz-ruimte Definitie Bolcoördinaten Neem nu aan dat x, y en z functies van drie variabelen zijn, zeg x = x(u, v, w), y = (u, v, w) en z = z(u, v, w), op een gebied G in de uvw-ruimte. De plaatsvector r = x i + y j + z k van het punt P = (x, y, z) in de xyz-ruimte wordt dan de vectorwaardige functie r(u, v, w) = x(u, v, w) i + y(u, v, w) j + z(u, v, w) k. Op het inwendige van G stellen we de volgende eisen aan deze functie:. De functie r(u, v, w) is één-éénduidig.. De functie r(u, v, w) is twee maal continu differentieerbaar. 3. In elk punt P geldt 0, 0 en u v w De vectoren u, v en w zijn in elk punt P onderling orthogonaal. We noemen (u, v, w) de orthogonale curvilineaire coördinaten van P. De bolcoördinaten (R, φ, θ) worden gedefinieerd door x = R sin φ cos θ, y = R sin φ sin θ en z = R cos φ, zodat r(r, φ, θ) = R sin φ cos θ i + R sin φ sin θ j + R cos φ k. Op G = {(R, φ, θ) R 0, 0 φ π, π θ π} is voldaan aan de gestelde eisen. Verificatie van de orthogonaliteit verloopt als volgt: R φ θ = sin φ cos θ i + sinφ sin θ j + cos φ k, = R cos φ cos θ i + R cos φ sin θ j R sin φ k en = R sin φ sin θ i + R sin φ cos θ j, I. ORTHOGONAE CURVIINEAIRE COÖRDINATEN IN DE XY Z-RUIMTE 5

6 zodat R φ = R sin φ cos φ cos θ + R sin φ cos φ sin θ R cos φ sin φ R θ φ θ = R sin φ cos φ(cos θ + sin θ) R cos φ sin φ = R sin φ cos φ R cos φ sin φ = 0, = R sin φ cos θ sin θ + R sin φ cos θ sin θ = 0 en = R cos φ sin φ cos θ sin θ + R cos φ sin φ cos θ sin θ = 0. Het is makkelijk om na te gaan dat het punt P = (, 3, ), bijvoorbeeld, bolcoördinaten (, 4 π, 3π) heeft. Cilindercoördinaten Cartesische coördinaten In de xyz-ruimte ontstaan coördinaatkrommen wanneer men één van de curvilineaire coördinaten varieert en de andere twee vasthoudt. Stel P 0 is een punt in de xyz-ruimte met curvilineaire coördinaten (u 0, v 0, w 0 ). De u-coördinaatkromme door P 0 heeft vectorvoorstelling r = r(u, v 0, w 0 ), de v-coördinaatkromme door P 0 heeft vectorvoorstelling r = r(u 0, v, w 0 ) en de w-coördinaatkromme door P 0 heeft vectorvoorstelling r = r(u 0, v 0, w). De schaalfactoren zijn h u = u, h v = v en h w = w. Coördinaatkrommen Eenheidsraakvectoren en schaalfactoren Oriëntatie De cilindercoördinaten (r, θ, z) worden gedefinieerd door x = r cos θ, y = r sin θ en z = z. In opgave I.. wordt onder andere gevraagd om te verifiëren dat de cilindercoördinaten orthogonaal zijn en om de schaalfactoren te bepalen. De standaardcoördinaten (x, y, z) worden de cartesische coördinaten van de xyzruimte genoemd. De eenheidsraakvectoren aan de u-, v- en w-coördinaatkrommen zijn respectievelijk û = h u u, ˆv = h v v en ŵ = h w w. Bij het maken van tekeningen zullen we de richtingen van de x-as, y-as en z-as altijd zo kiezen dat {i, j, k} rechtshandig is. Als nu { û, ˆv, ŵ} ook rechtshandig is, spreken we van rechtshandige curvilineaire coördinaten. Dit is het geval als geldt ˆv ŵ = û. Als { û, ˆv, ŵ} linkshandig is, spreken we van linkshandige curvilineaire coördinaten. Dit is het geval als geldt ˆv ŵ = û. Voorbeeld I.. aat P = (, 3, ). We hebben reeds opgemerkt dat P bolcoördinaten (, 4 π, 3π) heeft. De R-coördinaatkromme door P heeft vectorvoorstelling r = r(r, 4 π, 3 π) = R sin 4 π cos 3 π i + R sin 4 π sin 3 π j + R cos 4 π k = 4 R i + 4 R 6 j + R k met R 0. Dit is een halfrechte die in (0, 0, 0) begint en door P gaat. De φ-coördinaatkromme door P heeft vectorvoorstelling r = r(, φ, 3 π) = sin φ cos 3 π i + sin φ sin 3 π j + cos φ k = sin φ i + 6 sin φ j + cos φ k 6 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

7 met 0 φ π. Dit is een halve cirkel van (0, 0, ) naar (0, 0, ) die door P gaat, met middelpunt (0, 0, 0) en straal. De θ-coördinaatkromme door P heeft vectorvoorstelling r = r(, 4π, θ) = sin 4 π cos θ i + sin 4 π sin θ j + cos 4 π k = cos θ i + sin θ j + k met π θ π. Dit is een cirkel in het vlak z = met middelpunt (0, 0, ) en straal, die, van bovenaf gezien, linksom doorlopen wordt. De schaalfactoren van de bolcoördinaten zijn h R = R =, h φ = φ = R en h θ = θ = R sin φ, zodat ˆR = sin φ cos θ i + sin φ sin θ j + cos φ k, ˆφ = cos φ cos θ i + cos φ sin θ j sin φ k en ˆθ = sin θ i + cos θ j. Het is eenvoudig na te gaan dat ˆφ ˆθ = ˆR. De bolcoördinaten zijn dus rechtshandig. In het gegeven punt P hebben we ˆR = 4 i j + k, ˆφ = 4 i j k en ˆθ = 3 i + j. Voorbeeld I.3. Het is eenvoudig na te gaan dat bij de cartesische coördinaten alle schaalfactoren zijn en dat ˆx = i, ŷ = j en ẑ = k. Coördinaatoppervlakken in de xyz-ruimte ontstaan wanneer men één van de curvilineaire coördinaten vasthoudt en de andere twee laat variëren. Coördinaatoppervlakken aat P 0 weer het punt met curvilineaire coördinaten (u 0, v 0, w 0 ) zijn. Door v en w te laten variëren en u vast te houden ontstaat er dus een coördinaatoppervlak door P 0 met vergelijking u = u 0 en vectorvoorstelling r = r(u 0, v, w). We noemen dit het u-oppervlak door P 0. Evenzo is er een v-oppervlak door P 0 met vergelijking v = v 0 en vectorvoorstelling r = r(u, v 0, w), en een w-oppervlak door P 0 met vergelijking w = w 0 en vectorvoorstelling r = r(u, v, w 0 ). I. ORTHOGONAE CURVIINEAIRE COÖRDINATEN IN DE XY Z-RUIMTE 7

8 Voorbeeld I.4. We beschouwen weer de bolcoördinaten en het punt P = (, 3, ). Het R-oppervlak door P heeft vectorvoorstelling r = r(, φ, θ) = sin φ cos θ i + sin φ sin θ j + cos φ k met 0 φ π en π θ π, dus de bol met middelpunt (0, 0, 0) en straal. Het φ-oppervlak door P heeft vectorvoorstelling r = r(r, 4π, θ) = R sin 4 π cos θ i + R sin 4 π sin θ j + R cos 4 π k = R cos θ i + R sin θ j + R k met π θ π en R 0. Dit is de (halve) kegel (met de punt naar beneden), met de top van de kegel in (0, 0, 0) en halve tophoek 4 π. Het θ-oppervlak door P heeft vectorvoorstelling r = r(r, φ, 3 π) = R sin φ cos 3 π i + R sin φ sin 3 π j + R cos φ k = R sin φ i + R 3 sin φ j + R cos φ k met R 0 en 0 φ π, dus een halfvlak door de z-as en door P. Eenheidsnormaalvectoren op coördinaatoppervlakken Stel dat S een u-oppervlak is. Dankzij het feit dat de curvilineaire coördinaten orthogonaal zijn, is û een eenheidsnormaalvector op S. Dus als S een oriëntatie heeft dan is deze oriëntatie gelijk aan ofwel û ofwel û. Evenzo zijn ˆv en ŵ eenheidsnormaalvectoren op de v- respectievelijk w-oppervlakken. 8 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

9 I.3 Vectorvelden en curvilineaire coördinaten ocale basis aat P een punt in het xy-vlak zijn met curvilineaire coördinaten (u, v). Dan in het xy-vlak vormen de bijbehorende { û, ˆv} een orthonormale basis voor de vectoren in R. Hierbij moet wel worden opgemerkt dat deze basis in het algemeen zal afhangen van P. Daarom noemen we { û, ˆv} de locale basis in P behorend bij de gegeven curvilineaire coördinaten. Componenten van een vectorveld in het xy-vlak ocale basis en componenten van een vectorveld in de xyz-ruimte Voorbeeld I.5. We zagen reeds dat bij de poolcoördinaten geldt ˆr = cos θ i + sin θ j en ˆθ = sin θ i + cos θ j. In P = (, 3) geldt r = 4 en θ = 3π dus in dit punt hebben we locale basis {ˆr, ˆθ} met ˆr = i + 3 j en ˆθ = 3 i + j. Maar bijvoorbeeld in P = (, ) geldt r = en θ = 4π, dus dan geldt voor j en ˆθ = i + j. de locale basis {ˆr, ˆθ} dat ˆr = i + Stel F is een vectorveld in het xy-vlak. Dan is het de bedoeling om in elk punt P de vector, die door F in P wordt gedefinieerd, te ontbinden in componenten ten opzichte van de locale basis in P. De componenten van F langs û en ˆv noteren we als F u respectievelijk F v, dus we hebben F = F u û + F v ˆv. Omdat { û, ˆv} een orthonormale basis is, kunnen deze componenten via een eenvoudige formule berekend worden. Voor F u wordt deze formule als volgt afgeleid: û F = û (F u û + F v ˆv) = F u û û + F v û ˆv = F u. Op dezelfde manier kan er een formule voor F v worden afgeleid. Er geldt dus dat F u = û F en F v = ˆv F. Voorbeeld I.6. Beschouw het vectorveld F = (x + y ) i + 5xy j, dan is F = F r ˆr + F θ ˆθ met F r = ˆr F = (cos θ i + sin θ j) (r i + 5r cos θ sin θ j) = r cos θ + 5r cos θ sin θ en F θ = ˆθ F = ( sin θ i + cos θ j) (r i + 5r cos θ sin θ j) = r sin θ + 5r cos θ sin θ. In P = (, 3) geeft dit F r = 38 en F θ = 3, zodat in deze P geldt F = 38ˆr + 3 ˆθ (met ˆr = i + 3 j en ˆθ = 3 i + j). In P = (, ) krijgen we F r = 7 en Fθ = 3 zodat in dit punt geldt ˆθ (maar nu met ˆr = i + j en ˆθ = i + j). F = 7 ˆr + 3 In een punt P met curvilineaire coördinaten (u, v, w) vormen de bijbehorende { û, ˆv, ŵ} een orthonormale basis voor de vectoren in R 3. Een vectorveld F in de xyz-ruimte kan worden ontbonden in componenten F u, F v en F w langs û, ˆv en ŵ. Dit geeft F = F u û + F v ˆv + F w ŵ met F u = û F, F v = ˆv F en F w = ŵ F. Voorbeeld I.7. Om het vectorveld F = y i + x j + z k uit te drukken in bolcoördinaten bepalen we eerst de componenten: F R = ˆR F = R cos φ, F φ = ˆφ F = R sin φ cos φ en F θ = ˆθ F = R sin φ. Dit leidt tot F = R cos φ ˆR R sin φ cos φ ˆφ + R sin φ ˆθ. Voorbeeld I.8. Bij de cartesische coördinaten is in elk punt P de locale basis gelijk aan {i, j, k}. Het ontbinden van vectorvelden is dus eenvoudig: als bijvoorbeeld F = (x + y + z ) i + (5xy 3yz) j + z(x 3y) k dan geldt F = F x ˆx+F y ŷ +F z ẑ met F x = x +y +z, F y = 5xy 3yz en F z = z(x 3y). I.3 VECTORVEDEN EN CURVIINEAIRE COÖRDINATEN 9

10 I.4 Integralen langs coördinaatkrommen Het integreren van functies langs coördinaatkrommen Stel dat C een kromme in de xyz-ruimte is met een vectorvoorstelling van de vorm r = r(u, v 0, w 0 ) met α u β, met andere woorden C is deel van een u-coördinaatkromme. In [A] 5.3 wordt een formule gegeven voor het integreren van functies langs krommen. Voor de integraal van een functie f = f(u, v, w) langs C leidt deze formule tot β f ds = f(u, v 0, w 0 ) C α u (u, v 0, w 0 ) du en met h u = u levert dit C f ds = β α f(u, v 0, w 0 )h u (u, v 0, w 0 ) du. Soortgelijke formules gelden voor integralen van functies langs v- en w-coördinaatkrommen. Voorbeeld I.9. De kromme C wordt gegeven door x + y = 4, z =, x 0 en y 0. De functie f = x z wordt in bolcoördinaten gegeven door f(r, φ, θ) = R 3 sin φ cos φ cos θ. De kromme C is voor de bolcoördinaten een θ-coördinaatkromme met R =, φ = 4 π en 0 θ π. Dus C f ds = = π 0 π 0 = 6. f(, 4 π, θ) h θ(, 4π, θ) dθ 6 cos θ dθ Het integreren van vectorvelden langs coördinaatkrommen aat C weer een deel van een u-coördinaatkromme zijn en stel dat C in de richting van toenemende u doorlopen wordt. Dan is de eenheidsraakvector gelijk aan û. In [A] 5.4 wordt een formule gegeven voor het integreren van vectorvelden langs krommen. Voor de integraal van een vectorveld F = F(u, v, w) langs C geldt F dr = F û ds = F u ds en uit de zojuist afgeleide formule voor de C C C integraal van een functie langs een u-coördinaatkromme volgt dan C F dr = β α F u (u, v 0, w 0 )h u (u, v 0, w 0 ) du. Soortgelijke formules gelden voor integralen van vectorvelden langs v- en w-coördinaatkrommen. Voorbeeld I.0. De kromme C wordt weer gegeven door x + y = 4, z =, x 0 en y 0. Verder is gegeven dat C doorlopen wordt van (, 0, ) naar (0,, ). Het vectorveld F wordt (in bolcoördinaten) gegeven door F(R, φ, θ) = R cos φˆr R sin φ cos φ ˆφ + R sin φ ˆθ. 0 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

11 Zoals reeds opgemerkt, is C voor de bolcoördinaten een θ-coördinaatkromme met R =, φ = 4 π en 0 θ π. De gegeven oriëntatie loopt in de richting van toenemende θ. Dus π F dr = F θ (, 4 π, θ) h θ(, 4π, θ) dθ C = 0 π 0 = π. 4 dθ Voorbeeld I.. Als de kromme C van het voorgaande voorbeeld doorlopen wordt van (0,, ) naar (, 0, ) dan is de oriëntatie van C tegengesteld aan de richting van toenemende θ. Daardoor is de eenheidsnormaalvector gelijk aan ˆθ. Het gevolg hiervan is dat F dr = π. C ijnelementen ijnintegralen over willekeurige krommen De uitdrukking ds in de lijnintegraal van een functie heet het lijnelement, of ook wel de infinitesimale lengte. Op grond van de bovenstaande formules kunnen we stellen dat op de u-coördinaatkrommen geldt ds = h u du. Deze uitdrukking heeft de volgende betekenis: aat u een klein positief getal zijn en laat de u-coördinaat van een punt P in de xyz-ruimte variëren van u naar u + u terwijl v en w constant blijven. Dan beschrijft P een klein deel C van een u-coördinaatkromme. De lengte s van C is bij benadering gelijk aan u u, met andere woorden s h u u. De factor h u kan dus worden gezien als vergrotingsfactor van u naar s. Vandaar de naam schaalfactor. De uitdrukking dr in de lijnintegraal van een vectorveld heet het vectoriële lijnelement, of ook wel de infinitesimale verplaatsing. Op de u-coördinaatkrommen geldt dr = h u du û. De betekenis hiervan is dat voor de verplaatsingsvector van het hierboven genoemde punt P geldt r h u u û. De arbeid (in de richting van toenemende u) van een vectorveld F langs de hierboven gedefinieerde C is bij benadering gelijk aan F u h u u. Soortgelijke overwegingen gelden op de v-coördinaatkrommen en de w-coördinaatkrommen. Als C een gladde geöriënteerde kromme in de xyz-ruimte is en als C beschreven wordt door r = r ( u(t), v(t), w(t) ) met α t β dan volgt uit de kettingregel dat dr dt = du u dt + dv v dt + dw w dt = h du u dt û + h dv v dt ˆv + h dw w dt ŵ. Hieruit volgt dat C en f ds = β α f ( u(t), v(t), w(t) ) h u C ( du dt ) + h v ( ) dv + h dt w F dr = (F u h u du + F v h v dv + F w h w dw) C ( ) dw dt dt I.4 INTEGRAEN ANGS COÖRDINAATKROMMEN

12 I.5 De gradiënt Definitie aat f een differentieerbare functie op een gebied in de xyz-ruimte zijn. wordt de gradiënt van f gedefinieerd door f = f x i + f y j + f z k. Dan Stelling I.. aat (u, v, w) orthogonale curvilineaire coördinaten zijn op het domein van de functie f. Dan geldt f = h u f u û + h v f v ˆv + h w f w ŵ. Bewijs. De u-component ( f) u van f is gelijk aan û f = h u u f = h u = h u ( x u i + y u j + z ) u k ( f x x u + f y y u + f z ( f ) z u en op grond van de kettingregel is dit gelijk aan h u f u. x i + f y j + f ) z k Op dezelfde manier vinden we ( f) v = h v f v en ( f) w = h w f w. De gradiënt van de coördinaatfuncties Passen we de formule voor gradiënt toe op de functie f(u, v, w) = u dan krijgen we u = û en dus û = h u u. h u Evenzo hebben we v = h v ˆv en w = h w ŵ, dus ˆv = h v v en ŵ = h w w. I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

13 I.6 Integralen over coördinaatoppervlakken Het integreren van functies over coördinaatoppervlakken aat S een deel van een u-oppervlak zijn. Dan heeft S dus een vectorvoorstelling van de vorm r = r(u 0, v, w) met α v β en γ w δ. In [A] 5.5 wordt een formule gegeven voor de het integreren van functies over oppervlakken. Voor de integraal van een functie f = f(u, v, w) over S leidt deze formule tot: ( δ β f ds = f(u 0, v, w) v (u 0, v, w) ) w (u 0, v, w) dv dw. S γ α Omdat en orthogonaal zijn geldt v w v w = v w = h vh w, dus onze integraal wordt ( δ ) β f ds = f(u 0, v, w)h v (u 0, v, w)h w (u 0, v, w) dv dw. S γ α Soortgelijke formules gelden voor de integralen van functies over v- en w-oppervlakken. Voorbeeld I.3. Het oppervlak S wordt gegeven door x + y + z = 8, x 0, y 0 en 0 z. De functie f wordt (in bolcoördinaten) gegeven door f(r, φ, θ) = R 3 sin φ cos φ cos θ. We zien dat S in bolcoördinaten beschreven wordt door R =, 4 π φ π en 0 θ π. Dus S is een deel van een R-oppervlak. De integraal van f over S is ( π π f ds = f(, φ, θ) hφ (, φ, θ) h θ ( ), φ, θ) dφ dθ S 0 4 π ( π ) π = 8 sin φ cos φ cos θ dφ dθ 0 4 π = 4π Het integreren van vectorvelden over coördinaatoppervlakken aat S weer een deel van een u-oppervlak zijn en stel dat de oriëntatie van S in de richting van toenemende u wijst. Dan is de eenheidsnormaalvector gelijk aan û. In [A] 5.6 wordt een formule gegeven voor de het integreren van vectorvelden over oppervlakken. Voor de integraal van een vectorveld F = F(u, v, w) over S geldt F ds = F û ds = F u ds en uit de zojuist afgeleide formule S S voor de integraal van een functie over een u-oppervlak volgt dan ( δ ) β F ds = F u (u 0, v, w)h v (u 0, v, w)h w (u 0, v, w) dv dw. S γ α S Soortgelijke formules gelden voor de integralen van vectorvelden over v- en w-oppervlakken. Voorbeeld I.4. We beschouwen weer het oppervlak S uit Voorbeeld I.3. Verder is gegeven dat de oriëntatie van S naar boven gericht is. Het vectorveld F wordt (in bolcoördinaten) gegeven door F(R, φ, θ) = R cos φ ˆR R sin φ cos φ ˆφ + R sin φ ˆθ. I.6 INTEGRAEN OVER COÖRDINAATOPPERVAKKEN 3

14 Zoals reeds opgemerkt, is S voor de bolcoördinaten een deel van een R-oppervlak met R =, 4 π φ π en 0 θ π. De gegeven oriëntatie loopt in de richting van toenemende R. Dus ( π π F ds = F R (, φ, θ) hφ (, φ, θ) h θ ( ), φ, θ) dφ dθ S 0 4 π ( π ) π = 6 sin φ cos φ dφ dθ 0 4 π = 4 3 π. De uitdrukking ds in de oppervlakte-integraal van een functie heet het oppervlakte-element, of ook wel de infinitesimale oppervlakte. Oppervlakteelementen Voorbeeld I.5. Als het oppervlak S van het voorgaande voorbeeld een naar beneden gerichte oriëntatie heeft dan is de oriëntatie van S tegengesteld aan de richting van toenemende R. Daardoor is de eenheidsnormaalvector gelijk aan ˆR. Het gevolg hiervan is dat F ds = 4 3 π. S Op grond van de formules voor oppervlakte-integralen over coördinaatoppervlakken kunnen we stellen dat op de u-oppervlakken geldt ds = h v h w dv dw. Deze uitdrukking heeft de volgende betekenis: aat v en w kleine positieve getallen zijn en laat P een punt zijn waarvan de u-coördinaat constant is terwijl de v-coördinaat tussen v en v + v en de w-coördinaat tussen w en w + w varieert. Dan beschrijft P een klein deel S van een u-oppervlak en S wordt begrensd door twee v-coördinaatkrommen en twee w-coördinaatkrommen. Omdat de families van coördinaatkrommen orthogonaal zijn, is S bij benadering een rechthoek. Twee van de zijden van S zijn delen van v-coördinaatkrommen, waarvan de lengte bij benadering gelijk is aan h v v (zie lijnelementen ) en de andere twee zijden zijn w-coördinaatkrommen waarvan de lengte bij benadering gelijk is aan h w w. Voor de oppervlakte S geldt dus S h v h w v w. De uitdrukking ds in de oppervlakte-integraal van een vectorveld heet het vectoriële oppervlakte-element. Als een u-oppervlak in de richting van toenemende u geöriënteerd is dan geldt op dit oppervlak ds = h v h w dv dw û. Dit kan worden opgevat als een infinitesimale vector, waarvan de richting gelijk is aan de richting van û en de grootte gelijk is aan de infinitesimale oppervlakte. De flux (in de richting van toenemende u) van een vectorveld F door de hierboven gedefinieerde S is bij benadering gelijk aan F u h v h w v w. Soortgelijke overwegingen gelden op de andere coördinaatoppervlakken. 4 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

15 I.7 Rotatie Definitie aat F = F i + F j + F 3 k een differentieerbaar vectorveld op een gebied in de xyz-ruimte zijn. Dan wordt de rotatie van F gedefinieerd door ( F3 F = y F ) ( F i + z z F ) ( 3 F j + x x F ) k. y Stelling I.6. aat (u, v, w) orthogonale curvilineaire coördinaten zijn op het domein van het vectorveld F = F u û+f v ˆv+F w ŵ en stel dat { û, ˆv, ŵ} rechtshandig is. Dan geldt F = ( h v h w Bewijs. Er geldt v (h wf w ) h u h v ) w (h vf v ) û + ( h u h w ) ( u (h vf v ) v (h uf u ) F = ( F u û + F v ˆv + F w ŵ ) w (h uf u ) = ( F u û ) + ( F v ˆv ) + ( F w ŵ ). We werken ( F u û ) uit: we hebben zojuist gezien dat û = h u u zodat ( F u û ) = ( h u F u u ). ŵ ) u (h wf w ) Uit [A] 6. Opgave 3 volgt dat dit gelijk is aan ( ) h u F u u. We vervangen nu u weer door û en we krijgen ( ) h u F u û. Als we de formule voor h u h u de gradiënt toepassen op de functie h u F u dan wordt dit ( ) ( ) ( ) ( ) hu F u û + hu F u ˆv + hu F u ŵ û. h u h u u h v v h w w Nu is û û = 0 en bij rechtshandige curvilineaire coördinaten geldt Hiermee komen we uit op ˆv û = û ˆv = ŵ en ŵ û = ˆv. ( F u û ) = h u h v Op dezelfde manier vinden we en ( F v ˆv ) = h u h v ( F w ŵ ) = h u h w ( ) hu F u ŵ + v h u h w ( ) hv F v ŵ u h v h w ( ) hw F w ˆv + u h v h w ( ) hu F u ˆv. w ( ) hv F v û w ( ) hw F w û. v Tellen we deze drie bij elkaar op dan hebben we de formule voor rotatie. ˆv+ I.7 ROTATIE 5

16 I.8 Volume-integralen Het integreren van functies over lichamen Stel D is een lichaam in de xyz-ruimte dat beschreven wordt door r = r(u, v, w) met α u α, β v β en γ w γ. Met andere woorden: het lichaam D wordt begrensd door de u-oppervlakken u = α en u = α, de v- oppervlakken v = β en v = β en de w-oppervlakken w = γ en w = γ. De substitutieregel voor volume-integralen (zie [A] 4.6) leidt voor de integraal van een functie f = f(u, v, w) over D tot ( γ β ( α ) ) f dv = f (x, y, z) (u, v, w) du dv dw D γ β α en omdat u, v en orthogonaal zijn, geldt w (x, y, z) (u, v, w) = u v w = h u h v h w zodat D f dv = γ γ ( β β ( α α ) ) fh u h v h w du dv dw. Voorbeeld I.7. Het lichaam D wordt gegeven door 4 x + y + z 8, 0 z x + y, x 0 en y 0. De functie f wordt (in bolcoördinaten) gegeven door f(r, φ, θ) = R 3 sin φ cos φ cos θ. D wordt in bolcoördinaten beschreven door R, 4 π φ π en 0 θ π. De integraal van f over D is ( π ( π ) ) f dv = fh u h v h w dr dφ dθ D = 0 π 0 = 7 3 π. 4 π ( ( π ) ) R 5 sin φ cos φ cos θ dr dφ dθ 4 π Volume-element De uitdrukking dv in de volume-integraal heet het volume-element, of ook wel het infinitesimale volume. Aan de hand van de formule voor volume-integralen kunnen we stellen dat dv = h u h v h w du dv dw. Deze uitdrukking heeft de volgende betekenis: aat u, v en w kleine positieve getallen zijn en laat P een punt zijn waarvan de u-coördinaat tussen u en u + u, de v-coördinaat tussen v en v + v en de de w-coördinaat tussen w en w + w varieert. Dan beschrijft P een klein deel D van de xyz-ruimte en D wordt begrensd door coördinaatoppervlakken. Omdat de families van coördinaatoppervlakken orthogonaal zijn is D bij benadering een balk. Elke zijde van D is een klein deel van een coördinaatkromme waarvan de lengtes bij benadering gelijk zijn aan h u u, h v v en h w w. Het volume van D is bij benadering gelijk aan het product van deze drie lengtes, dus h u h v h w u v w. 6 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

17 I.9 Divergentie Definitie aat F = F i + F j + F 3 k een differentieerbaar vectorveld op een gebied in de xyz-ruimte zijn. Dan wordt de divergentie van F gedefinieerd door F = F x + F y + F 3 z. Stelling I.8. aat (u, v, w) orthogonale curvilineaire coördinaten zijn op het domein van het vectorveld F = F u û + F v ˆv + F w ŵ. Dan geldt F = h u h v h w Bewijs. Er geldt ( u (h vh w F u ) + v (h uh w F v ) + ) w (h uh v F w ) F = ( F u û + F v ˆv + F w ŵ ) = ( F u û ) + ( F v ˆv ) + ( F w ŵ ). We werken ( F u û ) uit: we maken gebruik van het feit dat û = ± ˆv ŵ (de + als de curvilineaire coördinaten rechtshandig zijn en de als ze linkshandig zijn) en we krijgen ± ( F u ˆv ŵ ). Gebruikmakend van ˆv = h v v en ŵ = h w w wordt dit ± ( h v h w F u v w ). Uit [A] 6. Opgave 4 volgt dat dit gelijk is aan ± ( ) h v h w F u ( v w). Nu vervangen we v weer door ˆv en w h v door ŵ en we krijgen ± ( ) h v h w F u ( ˆv ŵ) = ( ) h v h w F u û. h w h v h w h v h w Als we de formule voor de gradiënt toepassen op de functie h v h w F u dan wordt dit h v h w ( h u ( ) hv h w F u û + u h v ( ) hv h w F u ˆv + v h w en omdat û û =, ˆv û = 0 en ŵ û = 0 komen we uit op Op dezelfde manier vinden we en ( F u û ) ( = hv h w F u ). h u h v h w u ( F v ˆv ) ( = hu h w F v ) h u h v h w v ( F w ŵ ) ( = hu h v F w ). h u h v h w w ) ( ) hv h w F u ŵ û w Tellen we deze drie bij elkaar op dan hebben we de formule voor divergentie. I.9 DIVERGENTIE 7

18 I.0 De aplaciaan Definitie aat f een twee maal differentieerbare functie op een gebied in de xyz-ruimte zijn. Dan wordt de aplaciaan van f gedefinieerd door f = f x + f y + f z. Het is eenvoudig na te gaan dat f = ( f). Stelling I.9. aat (u, v, w) orthogonale curvilineaire coördinaten zijn op het domein van de functie f. Dan geldt f = h u h v h w Bewijs. Er geldt ( ( hv h w u h u f = ( f) = ) f + ( hu h w u v h v en pas nu de formule voor de divergentie toe. ) f + ( )) hu h v f. v w h w w ( f h u u û + f h v v ˆv + ) f h w w ŵ 8 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

19 I. Opgaven. aat (r, θ) de poolcoördinaten in het xy-vlak zijn. (a) Druk ˆr en ˆθ uit in i en j. (b) Druk i en j uit in ˆr en ˆθ. (c) Schrijf de poolcoördinaten r en θ als functies van x en y (met andere woorden: vind de inverse formules voor de poolcoördinaten).. Beantwoord de volgende vragen voor de cilindercoördinaten: (a) Verifieer de orthogonaliteit. (b) Bepaal de coördinaatkrommen en de coördinaatoppervlakken. (c) Bepaal de schaalfactoren en de eenheidsvectoren ˆr, ˆθ en ẑ. (d) Druk i, j en k uit in ˆr, ˆθ en ẑ. (e) Ga na dat de cilindercoördinaten rechtshandig zijn. 3. Voor de orthogonale curvilineaire coördinaten (u, v, w) is gegeven dat ˆv ŵ = û. aat aan de hand van de meetkundige eigenschappen van het uitwendig product zien dat û ˆv = ŵ, ŵ û = ˆv, ŵ ˆv = û, ˆv û = ŵ en û ŵ = ˆv. 4. aat (u, v, w) rechtshandige curvilineaire coördinaten in de xyz-ruimte zijn. Stel dat S een deel van een u-oppervlak is. aat n de normaalvector zijn die volgt uit de bijbehorende vectorvoorstelling, dat wil zeggen n = v. Toon aan dat w n = h v h w û. 5. De curvilineaire coördinaten (u, v, w) worden gedefinieerd door x = 3uv u 3, y = (v 3 3u v) cos w en z = (v 3 3u v) sin w. (a) Ga na dat deze curvilineaire coördinaten orthogonaal zijn. (b) Het punt P heeft curvilineaire coördinaten (u, v, w) = (, 3, 0). vector û in P. Bepaal de (c) Het oppervlak S is het deel van het u-oppervlak door P dat begrensd wordt door v 4 en π w π. De oriëntatie van S is zodanig gekozen dat de eenheidsnormaal op S in P gelijk is aan 4 5 i j. Bereken de integraal van het vectorveld F = u û + (u + v + w) ˆv + (u + vw) ŵ over S. 6. aat f een continu differentieerbare functie op het xy-vlak zijn. Toon aan dat f = f ˆr + f r θ ˆθ. Aanwijzing: Gebruik de kettingregel om aan te tonen dat f ˆr + f r θ ˆθ gelijk is aan f x i + f y j. 7. aat (R, φ, θ) de bolcoördinaten zijn. (a) Druk i, j en k uit in ˆR, ˆφ, en ˆθ. (b) Schrijf R, φ en θ als functies van x, y en z (met andere woorden: vind de inverse formules voor de bolcoördinaten). I. OPGAVEN 9

20 8. De curvilineaire coördinaten (u, v, w) worden gegeven door x = + 4u + v + 6w, y = 5 + 4u v 3w, z = + u + v 6w. (a) Hoe zien de coördinaatkrommen en de coördinaatoppervlakken er uit? (b) aat zien dat (u, v, w) orthogonale curvilineaire coördinaten zijn. (c) Bepaal de schaalfactoren en bepaal û, ˆv en ŵ. (d) Ga na dat ( û, ˆv, ŵ) rechtshandig is. 9. aat F = F i + F j een continu differentieerbaar vectorveld op het xy-vlak zijn. (a) Druk F r en F θ uit in F en F. (b) Toon aan dat F = F r + ( ) Fθ r θ + F r. Aanwijzing: Gebruik eerst (a) en dan de kettingregel om aan te tonen dat F r + ( ) Fθ r θ + F r gelijk is aan F x + F y. 0. aat f een twee maal continu differentieerbare functie op het xy-vlak zijn. Toon aan dat f = f + f r θ + f r. Aanwijzing: f = f, gebruik opgave I..6 en opgave I..9.. (a) Gegeven een continu differentieerbaar vectorveld F(r, θ) = F r ˆr + F θ ˆθ. aat zien dat de volgende voorwaarde een nodige voorwaarde is voor het conservatief zijn van dit vectorveld: F r θ = r F θ + F θ. Aanwijzing: Gebruik de kettingregel om aan te tonen dat F θ F r r θ + r F θ = F x F y (b) aat zien dat het vectorveld F = r sin θ ˆr + r cos θ ˆθ aan deze voorwaarde voldoet. aat verder zien dat dit vectorveld inderdaad conservatief is door een potentiaalfunctie voor het vectorveld te bepalen. (c) Voor welke waarden van α en β is het vectorveld F = r cos θ ˆr + αr β sin θ ˆθ conservatief? Bepaal voor deze waarden van α en β een potentiaalfunctie voor F. (d) Ga na dat het vectorveld F = r ˆθ op het xy-domein R \ {(0, 0)} voldoet aan de voorwaarde in (a) maar niet conservatief is. Geef een (kleiner) domein waarop F wel conservatief is.. (a) Druk het vectorveld F = z i x j + y k uit in cilindercoördinaten. (Hint: maak gebruik van F r = F ˆr, F θ = F ˆθ en F z = F ẑ.) (b) Druk het vectorveld F = y i + x j uit in bolcoördinaten. 3. Een deeltje beweegt door de xyz-ruimte en de cilindercoördinaten van het deeltje zijn r = r(t), θ = θ(t) en z = z(t). (a) Druk dˆr dt, d ˆθ dt en d ẑ uit in cilindercoördinaten. dt (b) Druk de plaatsvector r = r(t) van het deeltje uit in cilindercoördinaten. (c) Druk de snelheid v = dr uit in cilindercoördinaten. dt (d) Druk de versnelling a = dv uit in cilindercoördinaten. dt 0 I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

21 4. De kromme C wordt gegeven door de parametervoorstelling x = 3 cos θ, y = 3 sin θ, z = θ (0 θ 3π) en wordt doorlopen in de richting van toenemende θ. Verder is gegeven de functie f = x + y + 5(x + y + z). (a) Geef een schets van C. (b) Vind het vectoriële lijnelement dr in cilindercoördinaten. (c) Vind dr op C. (d) Druk f uit in cilindercoördinaten. (e) Druk f uit in cilindercoördinaten. (f) Test de hoofdstelling voor lijnintegralen door de integraal C f dr uit te rekenen met gebruikmaking van (c) en (e) en te controleren dat de uitkomst gelijk is aan f(p ) f(p 0 ), waarin P 0 en P het begin- respectievelijk eindpunt van C zijn. 5. Beschouw de curvilineaire coördinaten gegeven in Opgave I..8. De kromme C wordt gegeven door de parametervoorstelling x = 4u + 6, y = 4u + 6, z = u 9 met u 5. De oriëntatie van C is zó dat (x, y, z) = (0, 0, 7) het beginpunt is. (a) Ga na dat C een deel van een coördinaatkromme is en dat de oriëntatie in de richting van toenemende u wijst. (b) Stel f = uv + 3u w. Bereken f ds en f dr. C C (c) Stel F = (uv + ) û + (v + w) ˆv + u vw ŵ. Bereken F dr. 6. aat F = R ˆR+R sin φ cos θ ˆφ+R sin φ ˆθ en S = {(x, y, z) x +y +z = 9, z 0} (de bovenste helft van het boloppervlak met straal 3 en middelpunt (0, 0, 0)). De eenheidsnormaalvector op S is van de oorsprong af gericht. (a) Bereken de rotatie van F. (b) Bereken de integraal van F over S eerst direct en vervolgens door middel van de stelling van Stokes. 7. De paraboloïde-coördinaten (u, v, θ) zijn als volgt gedefinieerd: x = uv cos θ, y = uv sin θ, z = (u v ). Als domein nemen we u 0, v 0 en π θ π. (a) aat zien dat deze curvilineaire coördinaten orthogonaal zijn. (b) Bepaal de coördinaatoppervlakken. Ga na dat coördinaatoppervlakken uit de verschillende families elkaar loodrecht snijden. (c) Bepaal de schaalfactoren. (d) aat F = F(u, v, θ) een vectorveld zijn. Toon aan dat de u-component van F gelijk is aan ( Fθ (u + v ) / v + F ) θ F v v uv θ. C 8. Beschouw de curvilineaire coördinaten gegeven in Opgave I..8. Het oppervlak S wordt gegeven door de parametervoorstelling x = 6 + 4u + v, y = 3 + 4u v, z = 3 + u + v met u 5 en v. De oriëntatie van S is zó dat de z-component van de eenheidsnormaal negatief is. I. OPGAVEN

22 (a) Ga na dat S een deel van een coördinaatoppervlak is en dat de oriëntatie in de richting van toenemende w wijst. (b) Stel f = f(u, v, w). Herleid f ds tot een herhaalde integraal. S (c) Stel F = F(u, v, w). Herleid F ds en ( F) ds tot herhaalde integralen. 9. Bereken de lijnintegraal van het vectorveld S F = R cos φ ˆR R cos φ sin φ ˆφ + 3R ˆθ over de gesloten kromme die als volgt doorlopen wordt: het lijnstuk van (0, 0, 0) naar (, 0, 0) gevolgd door de kwart-cirkel van (, 0, 0) naar (0,, 0) in het xy-vlak, dan het lijnstuk van (0,, 0) naar (0,, ) en tenslotte het lijnstuk van (0,, ) naar (0, 0, 0) (N.B. de genoemde punten zijn uitgedrukt in cartesische coördinaten). Controleer je antwoord door middel van de stelling van Stokes. 0. (a) aat D een bol zijn met zijn middelpunt in de oorsprong en met straal a. Verifieer de divergentiestelling voor het vectorveld F = R ˆR op D. (b) Doe hetzelfde voor F = R ˆR. Verklaar het antwoord.. (a) Bereken de divergentie van het vectorveld F = R cos φ ˆR + R sin φ ˆφ + R sin φ cos θ ˆθ. (b) Verifieer de divergentiestelling voor F op de bovenste helft van de (massieve) bol met de oorsprong als middelpunt en straal a.. (a) Bereken de divergentie van het vectorveld F = r( + sin θ)ˆr + r sin θ cos θ ˆθ + 3z ẑ (b) Test de divergentiestelling voor dit vectorveld op de kwart-cilinder {(x, y, z) x + y = 4, x 0, y 0, 0 z 5}. (c) Bereken de rotatie van F. 3. aat D = {(x, y, z) x +y, 0 z } en F = (r +4θz) ˆr+(37rθ θ z) ˆθ 3rz ẑ, waarbij voor de cilindercoördinaten het rθz-domein {(r, θ, z) r 0, π θ π} gekozen is. (a) Bepaal F. (b) Bereken F dv. D (c) Bereken F ds. D (d) Deze twee uitkomsten zijn niet aan elkaar gelijk. Is dit in strijd met de divergentiestelling? (e) Bereken F ds als gekozen wordt voor 0 θ π in plaats van π θ π. D 4. Geef de formules voor gradiënt, rotatie, divergentie en aplaciaan voor de curvilineaire coördinaten van opgave I..8. S I CURVIINEAIRE COÖRDINATEN

23 x 5. Bereken de aplaciaan van de functie f = x + y + z op de volgende twee manieren en ga na dat de twee antwoorden aan elkaar gelijk zijn: (a) direct (in cartesische coördinaten), (b) door middel van bolcoördinaten. 6. De hyperboloïde-coördinaten (u, v, θ) worden gedefinieerd door x = cosh u cos v cos θ, y = cosh u cos v sin θ, z = sinh u sin v. (a) Schets een aantal coördinaatkrommen die in het vlak θ = 0 liggen. (b) Bepaal de raakvectoren aan de coördinaatkrommen, laat zien dat ze in elk punt onderling loodrecht zijn en vind de schaalfactoren (c) Bepaal alle functies ψ(u) (dus functies die alleen van u afhangen) die voldoen aan de vergelijking van aplace: ψ = aat A en B de punten (0, 0, ) respectievelijk (0, 0, ) in de xyz-ruimte zijn. In een nieuw coördinaten-systeem heeft P (x, y, z) coördinaten (u, v, w) met u = (r + r ), v = (r r ) en w = θ; hierin zijn r en r de afstanden AP respectievelijk BP en θ is de hoek tussen de vlakken ABP en y = 0. (a) Schets de coördinaatoppervlakken. (b) Druk z en de afstand r van P tot de z-as uit in u, v en w (Aanwijzing: maak gebruik van u + v = r en u v = r ). (c) Bepaal r(u, v, w). (d) Bereken de partiële afgeleiden van r naar u, v en w en ga na dat deze curvilineaire coördinaten orthogonaal zijn. (e) Bepaal de schaalfactoren en het volume-element bij deze coördinaten. (f) Bepaal û, ˆv and ŵ. (g) Bepaal alle functies ψ die alleen van u afhangen en voldoen aan ψ = (a) Bereken de gradiënt en de aplaciaan van de functie f = R(cos φ+sin φ cos θ). Controleer het antwoord door f in cartesische coördinaten uit te drukken en vervolgens de aplaciaan van deze uitdrukking uit te rekenen. (b) Test de hoofdstelling van de lijnintegralen voor deze functie op de kromme die als volgt doorlopen wordt: het lijnstuk van (0, 0, 0) naar (, 0, 0), gevolgd door de kwart-cirkelboog van (, 0, 0) naar (0,, 0) in het xy-vlak en dan de kwart-cirkelboog van (0,, 0) naar (0, 0, ) in het yz-vlak. I. OPGAVEN 3

24 II FOURIERREEKSEN II. De functieruimte PC[α, β] Complexe functies van een reële variabele Stuksgewijze continuïteit Een complexwaardige functie van een reële variabele is een functie van de vorm f(x) = u(x) + iv(x) waarin u en v reële functies zijn en x een reële variabele. Deze functie is. continu als u en v beide continu zijn,. (continu) differentieerbaar als v en v beide (continu) differentieerbaar zijn en als dit het geval is dan geldt f (x) = u (x) + iv (x), 3. integreerbaar over een interval α x β als u en v beide integreerbaar zijn over dit interval, en dan geldt β α f(x) dx = β α u(x) dx + i β α v(x) dx. Merk op dat ook de reële functies hieronder vallen: voor een reële functie f geldt u(x) = f(x) en v(x) = 0. In dat geval geldt dus dat f(x) = f(x). Voor het differentiëren van complexwaardige functies gelden de gebruikelijke somregel, productregel, quotientregel en kettingregel. Voor het integreren van complexwaardige functies gaan lineariteit, substitutieregel en partieel integreren gewoon door. Voor complexwaardige functies geldt, net als voor reële functies, de hoofdstelling van de integraalrekening: als F een primitieve is van f dan geldt β α f(x) dx = F (β) F (α). aat f een complexwaardige functie van een reële variabele zijn. We zeggen dat f stuksgewijs continu (piecewise continuous) is op het interval [α, β] als aan de volgende eisen is voldaan:. f is, op hoogstens eindig veel punten na, continu op [α, β],. in elke x in (α, β) bestaan linker- en rechterlimiet van f (notatie: f(x ) respectievelijk f(x+)), in α bestaat de rechterlimiet f(α+) en in β bestaat de linkerlimiet f(β ). De verzameling van stuksgewijs continue functies noteren we als PC[α, β]. Dus als we zeggen f PC[α, β] dan betekent dit dat f een stuksgewijs continue functie op het interval [α, β] is. We zeggen f = g in PC[α, β] als f en g in hoogstens eindig veel punten van [α, β] van elkaar verschillen. {, 3 x 0 Voorbeeld II.. aat f(x) =. x, 0 < x 3 Dan is f continu op [ 3, 3] behalve in x = 0. De vereiste linker- en rechterlimieten 4 II FOURIERREEKSEN

25 ineaire structuur Inwendig product bestaan (f( 3+) =, als 3 < x < 0 dan is f(x ) = f(x+) =, verder geldt f(0 ) = en f(0+) =, als 0 < x < 3 dan geldt f(x ) { = f(x+) = x, en, 3 x < 0 f(3 ) = ). Dus f PC[ 3, 3]. Beschouw nu g(x) =. x, 0 x < 3 Dan is g continu op [ 3, 3] behalve in x = 0 en in x = 3 (in x = 3 is g überhaupt niet gedefinieerd!) en de linker- en rechterlimieten van g bestaan (ze zijn gelijk aan die van f), dus ook g PC[ 3, 3]. Er zijn slechts twee punten waar f en g van elkaar verschillen (in x = 0 en in x = 3), dus f = g in PC[ 3, 3]. Merk op dat. als f, g PC[α, β] dan f + g PC[α, β] (optelling) en. als f PC[α, β] en c C dan cf PC[α, β] (scalaire vermenigvuldiging). Optelling en scalaire vermenigvuldiging geven PC[α, β] de structuur van een lineaire ruimte. In PC[α, β] definiëren we het (standaard) inwendig product van f en g als volgt: f, g = β α f(x)g(x) dx Elementaire rekenregels voor het inwendig product:. g, f = f, g.. f, g + h = f, g + f, h en f + g, h = f, h + g, h. 3. Als c C dan f, cg = c f, g en cf, g = c f, g. 4. f, f 0. Bovendien doet f, f = 0 zich alléén voor als f = 0 in PC[α, β]. Met dit inwendig product wordt PC[α, β] een zogeheten Euclidische ruimte. Opmerkingen:. Een algemenere definitie van het inwendig product is: f, g = β α f(x)g(x)ρ(x) dx waarin ρ een reële functie is in PC[α, β] en ρ(x) > 0 (deze ρ kan gebruikt worden om de ene x zwaarder te laten meetellen dan de andere). De elementaire rekenregels veranderen niet.. Een andere gangbare notatie voor het inwendig product van f en g is f g. 3. Een ander inwendig product dat veel gebruikt wordt is (f, g) = β α f(x)g(x) dx. De derde elementaire rekenregel wordt dan (cf, g) = c(f, g) en (f, cg) = c(f, g), de andere elementaire rekenregels veranderen niet. Norm Het getal f, f heet de norm van f en wordt genoteerd als f. Merk op dat voor c C geldt cf = c f. De afstand tussen twee functies f en g is per definitie gelijk aan f g. Als s, s, s 3, een rij functies is in PC[α, β] dan zeggen we dat deze rij in PC[α, β] naar de functie s convergeert (mean convergence) als de afstand tussen s n en s naar 0 nadert, dus als lim n s n s = 0. II. DE FUNCTIERUIMTE PC[α, β] 5

26 Als f k een reeks van functies is in PC[α, β] dan convergeert deze reeks k= naar de functie s als de partiële sommen, gedefinieerd door s n = convergeren. n f k, naar s k= Orthogonaliteit De functie g is orthogonaal met de functie f als f, g = 0. Merk op: als g orthogonaal is met f dan is f ook orthogonaal met g en voor c C geldt dat cg ook orthogonaal is met f. Een verzameling van functies heet een orthogonale verzameling als elke functie uit de verzameling orthogonaal is met elke andere functie uit de verzameling. Voorbeeld II... aat f(x) = sin πx f, g = 3 3 sin πx 3 cos πx 3 3 πx en g(x) = cos 3. In PC[ 3, 3] geldt dx = 0 dus in PC[ 3, 3] zijn f en g orthogonaal. Maar in PC[0, 3] zijn f en g niet orthogonaal, want dan geldt f, g = 3 0 sin πx 3 cos πx 3 dx = 6 π 0.. aat de functies f t/m f 5 gedefinieerd zijn door f (x) =, f (x) = sin πx 3, f 3 (x) = cos πx 3, f 4(x) = sin πx 3, f 5(x) = cos πx 3. Dan geldt in PC[ 3, 3] dat f i, f j = 0 voor alle i j, dus {f, f, f 3, f 4, f 5 } is een orthogonale verzameling in PC[ 3, 3]. 3. aat de functies φ k voor k =,, 3, gedefinieerd zijn door φ k (x) = sin kπx 3. Dan is {φ, φ, φ 3, } een oneindige orthogonale verzameling in PC[0, 3] (en ook in PC[ 3, 3]). Stelling II.3. De stelling van Pythagoras Als g orthogonaal is met f dan geldt f + g = f + g. Bewijs. f + g = f + g, f + g = f, f + f, g + g, f + g, g = f g = f + g. Algemener: als de verzameling {f, f,, f n } een orthogonale verzameling is, dan is f + f + + f n = f + f + + f n. 6 II FOURIERREEKSEN

27 II. Beste benadering Beste benadering met één functie Stel f en φ zijn functies in PC[α, β] en φ 0. We willen een getal c bepalen zó dat de afstand tussen f en cφ zo klein mogelijk is. Stelling II.4. Stel dat f cφ orthogonaal is met φ. Dan geldt voor elke c c dat de afstand tussen f en c φ groter is dan de afstand tussen f en cφ. Bewijs. aat e = f cφ, dan is e dus orthogonaal met φ, en laat e = f c φ. Dan is e = f c φ = e+cφ c φ = e+(c c )φ en op grond van de stelling van Pythagoras is dit gelijk aan e + (c c )φ = e + c c φ > e en dus e > e. Fouriercoëfficiënt We willen c dus zó kiezen dat f cφ orthogonaal is met φ, met andere woorden φ, f cφ = 0. Met behulp van de rekenregels volgt dan dat c φ, φ = φ, f, dus c = φ, f φ, f = φ, φ φ Deze c heet de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van φ. Voorbeeld II.5. Beschouw de functies f(x) = en φ(x) = sin πx 3 dus in PC[ 3, 3]. Dan is φ, φ = sin πx 3 dx = 3 {, 3 x 0 x, 0 < x 3 c = 3 φ, f = φ(x)f(x) dx 3 3 = ( 0 sin πx dx + (x ) sin πx ) 0 3 dx = 3 π. Voor deze waarde van c is de afstand tussen f en cφ gelijk aan 3 f cφ = 3 ( f(x) cφ(x) ) dx.8. Uit stelling II.4 volgt dat deze waarde van c optimaal is: als we een andere waarde van c zouden kiezen dan zou de afstand tussen f en cφ groter zijn. II. BESTE BENADERING 7

28 Beste benadering met een eindige orthogonale verzameling Stel dat we een orthogonale verzameling {φ, φ, φ 3,, φ n } hebben waar de nulfunctie niet in zit. Dan willen we voor een gegeven f PC[α, β] getallen c t/m c n bepalen zó dat de afstand tussen f en s = c φ + c φ + + c n φ n zo klein mogelijk is (mean approximation). Stelling II.6. aat c k de Fouriercoëfficiënten van f ten opzichte van φ k zijn (k =,,, n) en stel n s = c k φ k. Dan geldt: k=. f s is orthogonaal met φ m (m =,,, n). n. Stel s = c kφ k met c k c k voor minstens één k. Dan is de afstand tussen k= f en s groter dan de afstand tussen f en s. Bewijs.. φ m, f s = φ m, f n c k φ m, φ k en omdat voor k m de functie k= φ k orthogonaal is met φ m vallen in de sommatie alle termen met k m weg dus φ m, f s = φ m, f c m φ m, φ m. Omdat c m de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van φ m is, is dit gelijk aan 0.. aat e = f s, dan is e dus orthogonaal met alle φ k, en laat e = f s. Dan geldt n e = f s = e + s s = e + (c k c k)φ k, hetgeen op grond van de stelling van Pythagoras gelijk is aan n n e + (c k c k)φ k = e + c k c k φ k > e. k= k= k= {, 3 x 0 Voorbeeld II.7. Stel weer f(x) = x, 0 < x 3 en laat de orthogonale verzameling {φ, φ, φ 3, φ 4, φ 5 } in PC[ 3, 3] gedefinieerd zijn door φ (x) =, φ (x) = cos πx 3, φ 3(x) = sin πx 3, φ 4(x) = cos πx 3, φ 5(x) = sin πx 3. De Fouriercoëfficiënten zijn dan c = 4, c = 6 π, c 3 = 3 π, c 4 = 0 en c 5 = 3 π. Hiermee krijgen we de functie s(x) = 4 6 π cos πx 3 3 πx π sin De afstand tussen f en s is f s π sin πx 3. 8 II FOURIERREEKSEN

29 II.3 Fourierreeksen Definitie Stel we hebben een oneindige orthogonale verzameling {φ, φ, φ 3, } in PC[α, β] met φ k 0 (k =,, 3, ) en we hebben een functie f PC[α, β]. De Fourierreeks van f ten opzichte van de gegeven orthogonale verzameling is de reeks c k φ k k= Goniometrische Fourierreeks waarin c k de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van φ k is. Stel f PC[, ]. De Fourierreeks van f ten opzichte van de verzameling {, cos πx, sin πx, cos πx, sin πx wordt de goniometrische Fourierreeks van f genoemd. aat de getallen a k en b k gedefinieerd zijn als volgt: 3πx 3πx, cos, sin, } a k = b k = f(x) cos kπx f(x) sin kπx dx, k = 0,,, dx, k =,, 3, De Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van is dan a 0, en voor k =,, 3, is a k de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van cos kπx en b k de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van sin kπx. Dus de goniometrische Fourierreeks van f is a 0 + ( a k cos kπx + b k sin kπx ) k= Stelling II.8. Voor elke f in PC[, ] geldt: de goniometrische Fourierreeks van f convergeert naar f. Voorbeeld II.9. We nemen weer {, 3 x 0 f(x) = x, 0 < x 3 ( 0 3 in PC[ 3, 3]. Dan is a k = 3 cos kπx 3 dx + (x ) cos kπx 3 ). dx Voor 3 0 ( ) k = 0 geeft dit a 0 = en voor k 0 krijgen we a k = 3 ( ) k k π. Verder is ( 0 3 ) b k = 3 sin kπx 3 dx + (x ) sin kπx 3 dx = 3 kπ. Dus de goniometrische 3 0 Fourierreeks van f is 4 + ( ( ) ) 3 ( ) k k π cos kπx 3 3 kπx kπ sin 3. k= k= Als benadering van de som van deze reeks kunnen we bijvoorbeeld nemen 5 s 5 (x) = 4 + ( ( ) ) 3 ( ) k k π cos kπx 3 3 kπx kπ sin 3. De afstand van s 5 tot f is f s II.3 FOURIERREEKSEN 9

30 Exponentiële Fourierreeks Stel f PC[, ]. De Fourierreeks van f ten opzichte van de verzameling {, e 3πix, e πix, e πix πix,, e πix 3πix, e, e, } wordt de exponentiële Fourierreeks van f genoemd. aat c k de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van e kπix zijn. Dan is dus c k = f(x)e kπix dx, k =,,, 0,,, en de exponentiële Fourierreeks is k= c k e kπix Fouriercosinusreeks Stelling II.0. Voor elke f in PC[, ] geldt: de exponentiële Fourierreeks van f convergeert naar f. Stel f PC[0, ]. De Fourierreeks van f ten opzichte van de verzameling {, cos πx πx 3πx, cos, cos, } heet de Fouriercosinusreeks van f. Definieer getallen a k als volgt: a k = 0 f(x) cos kπx dx, k = 0,,, De Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van is dan a 0, en voor k =,, 3, is a k de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van cos kπx. Dus de Fouriercosinusreeks van f is a 0 + a k cos kπx k= Stelling II.. Voor elke f in PC[0, ] geldt: de Fouriercosinusreeks van f convergeert naar f. 30 II FOURIERREEKSEN

31 Fouriersinusreeks Stel f PC[0, ]. De Fourierreeks van f ten opzichte van de verzameling heet de Fouriersinusreeks. {sin πx πx 3πx, sin, sin, } aat b k de Fouriercoëfficiënt van f ten opzichte van sin kπx zijn. Dan is dus b k = en de Fouriersinusreeks van f is 0 f(x) sin kπx k= b k sin kπx dx, k =,, 3, Stelling II.. Voor elke f in PC[0, ] geldt: de Fouriersinusreeks van f convergeert naar f. Opmerking: In bovenstaande stellingen worden uitspraken gedaan over de convergentie van Fourierreeksen, maar hiermee hebben we nog geen informatie over de functiewaarden van de Fourierreeks. Zie [B] 0.3 voor uitspraken over de functiewaarden van de Fourierreeks. II.3 FOURIERREEKSEN 3

32 II.4 De ongelijkheid van Bessel en de formule van Parseval aat s n de n-de partiële som van de Fourierreeks zijn, dus s n = e n = f s n. Uit de stelling van Pythagoras volgt dat f = n c k φ k + e n. k= Hieruit volgt dat de partiële sommen van de reeks n c k φ k, en laat k= c k φ k naar boven begrensd worden door f. Omdat deze reeks positieve termen heeft is hij dus convergent en voor de som van de reeks geldt de ongelijkheid van Bessel: c k φ k f k= De Fourierreeks van f convergeert in PC[, ] naar f dan en slechts dan als lim n e n = 0. In dat geval geldt de formule van Parseval: c k φ k = f. k= De formule van Parseval geldt dus voor de goniometrische Fourierreeks. Hieruit volgt voor de coëfficiënten van de goniometrische Fourierreeks: a 0 ( + ak + b k ) = k= k= f(x) dx Ook voor de exponentiële Fourierreeks geldt de formule van Parseval. volgt voor de coëfficiënten van de exponentiële Fourierreeks: Hieruit k= c k = f(x) dx Zie [B] Hoofdstuk 0 voor meer informatie over de goniometrische Fourierreeks. Zie [V] voor de bewijzen van de stellingen betreffende goniometrische en exponentiële Fourierreeksen. 3 II FOURIERREEKSEN