Studiehandleiding Multivariabele Analyse voor W/BMT/INS/TeMa (2Y060)

Transcriptie

1 Studiehandleiding Multivariabele Analyse voor W/BMT/INS/TeMa (2Y060) M.A. Peletier HG 8.11, tel ( ) juni 2005 Deze studiehandleiding bevat informatie over het vak en suggesties voor de bestudering van dit vak. Lees de handleiding zorgvuldig door, neem de suggesties serieus en bewaar deze handleiding! Al het uitgereikte materiaal wordt ook electronisch beschikbaar gesteld via StudyWeb en op het adres mpeletie/onderwijs/2y Algemene informatie 1.1 Materiaal Bij dit vak wordt gebruik gemaakt van het boek Calculus: a complete course Robert A. Adams 5th edition, 2003, ISBN Addison-Wesley Publishing Company Het boek wordt in deze handleiding met [Ad] aangegeven. Naast het boek wordt incidenteel materiaal uitgedeeld, maar het is de bedoeling dat het boek zoveel mogelijk gebruikt wordt. 1.2 Laptop Let op: In tegenstelling tot wat voorgaande jaren gebruikelijk was wordt dit jaar de laptop niet gebruikt tijdens het tentamen. Houd daar rekening mee! Gebruik matlab (en mogelijk andere software) waar je dat nuttig vindt, maar houd in het oog dat dit tijdens het tentamen niet mogelijk zal zijn. 1.3 Hoorcollege Multivariabele analyse wordt gegeven in de vorm van twee uur hoorcollege en twee uur begeleide oefening. Tijdens het college wordt de theorie behandeld. Dit is niet zonder meer een opsomming van de stof, maar voorbeelden van nieuwe concepten worden gegeven, de aandacht wordt gevestigd op de hoofdlijnen en er wordt op dwarsverbanden gewezen. Het boek vervangt het hoorcollege niet. Immers de stof gaat over een gedeelte van het boek en het hoorcollege biedt de docent andere mogelijkheden om de stof te behandelen. Het actief en kritisch volgen van het hoorcollege zorgt ervoor dat je je de stof efficiënt eigen kunt maken. Maak tijdens een hoorcollege aantekeningen en doe dat vooral van de behandelde voorbeelden. Deze zijn meestal anders dan die uit het boek. 1

2 Het is raadzaam om een college voor te bereiden door van te voren de begrippen, resultaten en voorbeelden van het vorige college te bekijken. 1.4 Stof verwerken Het is de bedoeling dat je ongeveer drie en een half uur per week aan zelfstudie besteedt. Houd hierbij de volgende aspecten in het oog: Bij de bestudering moet je in eerste instantie aandacht schenken aan nieuwe begrippen, resultaten en verbanden tussen begrippen. Bekijk de gedeelten in het boek die hier over gaan en maak een samenvatting van die gedeelten. Werk de aantekeningen van het college uit en probeer de voorbeelden zelf te maken. Het vak graaft dieper en blijkt moeilijker te zijn dan de meeste eerstejaars studenten denken. Er wordt een volwassen vorm van beheersing van de stof verwacht. Je kennis van en inzicht in dit vak moet wezenlijk meer zijn dan de inhoud van een trukendoos, ook omdat latere vakken in het curriculum op dit inzicht voortbouwen. Maak zoveel mogelijk opgaven zelf. Als dit grote problemen oplevert zoek dan een intelligente vriend(in) en maak ze dan samen. Het kan geen kwaad om ze daarna nog eens in je eentje te maken, natuurlijk zonder te kijken hoe het moet! 1.5 Begeleide oefening Naast het college is er twee uur begeleide oefening per week. Tijdens deze oefeningen zullen soms opgaven worden voorgemaakt. Omdat de groep niet zo groot is, kun je individuele vragen stellen over de stof en de huiswerkopgaven en kun je verder werken aan de opgaven. Maak van deze uren gebruik niet alleen door aanwezig te zijn, maar ook door actief deel te nemen. Bij de opgaven verdienen de volgende punten aandacht: Opgaven maken moet! Alleen met opgaven maken kun je je de stof eigen maken. Zorg ervoor dat je van de opgaven de probleemstelling goed begrijpt. Het maken van een opgave is meer dan het vinden van een antwoord zoals π of 0. Opgaven zijn bedoeld om het wiskundig inzicht aan te scherpen en om oplossingsmethoden onder de knie te krijgen. De redenering en de berekeningen die je gebruikt zijn essentieel. Het goede antwoord is op zich nog geen garantie dat je aanpak goed is. Probeer jezelf ervan te overtuigen dat je aanpak goed is en, als je blijft twijfelen, dan beheers je de stof nog niet! Voer eenvoudige controles op je antwoorden uit; als je bijvoorbeeld een primitieve functie bepaald hebt, verifieer deze dan door te differentiëren. Train jezelf in het leesbaar presenteren van je uitwerkingen. Deze moeten zo zijn dat iemand, die niet aan deze opgave heeft gewerkt, ze zonder problemen kan begrijpen! Laat je uitwerkingen eens lezen door een welwillende buurman of docent. Nog een kleine toelichting op het laatste punt: Voorzie je uitwerking van zinnen, maak geen al te grote redeneer- of rekensprongen en geef je oplossingsstrategie aan. Zet er ook eventuele controlestappen bij. Je werk is dan veel toegankelijker. Als je het materiaal later nog eens bestudeert, bijvoorbeeld bij een tentamen of bij een opfrissing voor een ander vak, dan zal je dat veel minder moeite kosten. Ook neemt je vaardigheid in het schrijven van verslagen en scripties toe. 1.6 Indeling begeleide oefening Voor de indeling van de begeleide oefeningen, zie de elektronische informatie. 2

3 1.7 Huiswerk Het doel van het huiswerk is het verhogen van de betrokkenheid van de studenten bij het college gedurende het trimester. Als je deelneemt aan het huiswerksysteem kun je één bonuspunt verdienen voor het tentamen in juni. Je dient je hiervoor voor aanvang van het trimester via Studyweb in te schrijven. Na inschrijving worden de studenten verdeeld over groepen voor begeleide zelfstudie. Je dient gedurende het hele trimester bij dezelfde instructiegroep te blijven. Binnen de instructiegroepen vorm je zelf drietallen. Elk groepje van drie kan wekelijks een verslag inleveren; dit werk wordt met V (voldoende) of O (onvoldoende) beoordeeld. Als het groepje minimaal zeven (van de negen) keer een voldoende behaalt, dan krijgen de leden van het groepje 1 bonuspunt. Het eindcijfer voor het vak wordt dan het tentamencijfer plus 1 punt (met een maximum van 10). Verslagen kunnen tot en met de vrijdag (13.00 uur) vóór de volgende begeleide zelfstudie bij de instructeur worden ingeleverd. De gecorrigeerde verslagen worden steeds tijdens de begeleide zelfstudie teruggegeven en individueel besproken. De contactpersoon voor het huiswerksysteem is Martijn Anthonissen, toestel 4599, m.j. h.anthonissen@tue.nl. 1.8 Tentamens en tijdplanning De tentamens zijn schriftelijk en bestaan uit een aantal opgaven. Met de tentamens toetsen we of je de stof beheerst op het door ons gewenste niveau. Denk erom dat de opgaven verder kunnen gaan dan enkel het toepassen van recepten in standaardsituaties! Bij de tentamens is het gebruik van de laptop niet toegestaan. Het tentamenschema voor eerstejaars ziet er als volgt uit: Multivariabele analyse, Deel A (2Y064): Cijfer P 1A Multivariabele analyse, Delen A en B (2Y068): Cijfers P 2A en P 2B Het eindcijfer van het tentamen is P = (4/10) max{p 1A, P 2A} + (6/10)P 2B; als je hebt deelgenomen aan het huiswerksysteem en het bonuspunt hebt verdiend, dat wordt het eindcijfer min{p + 1, 10}. Multivariabele analyse, herkansing (2Y060) Zorg ervoor dat je op tijd weet waar de (deel)tentamens zijn en wat de precieze stof is voor het tentamen. Dit wordt ruimschoots van te voren op het college meegedeeld. Voor de tentamendata en tentamenlocaties, zie de tentamenroosters onder nl/. Nog enkele tactische tips: Voorbereiding: Werk gedurende het trimester regelmatig aan het vak. Als het goed is zul je aan het volgen van de colleges en de oefeningen en aan de zelfstudie in totaal 9*4 + 9*3.5 = 67.5 uur besteden. In principe kun je dan nog = 12.5 uur aan de tentamens besteden. In eerste instantie is dat 6 uur per deeltentamen. Kortom, zorg ervoor dat je de stof bijhoudt, zodat je voor de (deel)tentamens zelf weinig tijd kwijt bent. Oude tentamens: Probeer een indruk te krijgen van het soort opgaven dat op het tentamen gevraagd kan worden door een oud tentamen te maken. Doe dit als je denkt dat je de stof beheerst en trek er evenveel tijd voor uit als voor een echt (deel)tentamen. 3

4 Tijdens het (deel)tentamen: Lees eerst het tentamen snel door, maak een grove tijdsindeling en begin met de opgaven over de stof die je het best beheerst. Blijf niet te lang bij een onoplosbaar (deel)probleem hangen. Ga in zo n geval met een ander onderdeel verder. Mocht het niet lukken, geef de moed niet te snel op en blijf zitten! Als je toch voor iets een oplossing vindt, dan weet je dit ook weer bij het volgende tentamen. 1.9 Voorkennis De stof van Calculus voor W/BMT. Het met de hand kunnen uitrekenen van primitieven en afgeleiden van eenvoudige functies. De goniometrische functies sin, cos en tan en de functies arcsin, arccos en arctan. Verder zijn de goniometrische formules belangrijk. Zie [Ad, P.6 en 3.5] De vectorruimten R n en matrices uit Lineaire Algebra voor W/BMT De inhoud Het vak bestaat uit drie onderwerpen: functies van meerdere variabelen, meervoudige integralen en vectoranalyse. Het eerste onderwerp geeft een wiskundige beschrijving van afhankelijkheid van een grootheid van andere grootheden. De meervoudige integralen worden gebruikt bij het berekenen van inhouden, massa s, zwaartepunten, volumen en oppervlakten van lichamen. De vectoranalyse behandelt vectorvelden, operaties op vectorvelden, lijn- en oppervlakteïntegralen, en legt daarmee de basis voor de stellingen van Gauss en Stokes. Krachtvelden en stromingsvelden van vloeistoffen zijn voorbeelden van vectorvelden. Het berekenen van een hoeveelheid vloeistof die door een oppervlak stroomt kan met oppervlakteïntegralen. Het trimester is verdeeld in 9 weken. Ruwweg is de verdeling over de weken als hieronder aangegeven. Het kan gebeuren dat door omstandigheden hiervan enigszins wordt afgeweken. Alle paragrafen staan in het boek van Adams [Ad]. Week 1 Topologie in R n, 10.1 Functies van meerdere variabelen, 12.1 Limieten en continuïteit, 12.2 Week 2 Partiële afgeleiden, 12.3 Afgeleiden van hogere orde, 12.4 Kettingregel, 12.5 Lineaire benaderingen, differentieerbaarheid etc., 12.6 Week 3 Gradiënten en richtingsafgeleiden, 12.7 Taylorreeksen en benaderingen, 12.9 Extreme waarden, 13.1 Week 4 Extreme waarden van functies op begrensde gebieden, 13.2 Dubbelintegralen, 14.1 Dubbelintegralen als herhaalde integralen, 14.2 In principe bestaat de stof voor deeltentamen A uit de stof van de eerste vier weken. Week 5 Dubbelintegralen in poolcoördinaten, 14.4 Tripelintegralen, 14.5 Week 6 Verandering van variabelen in tripelintegralen, 14.6 Week 7 Vectorfuncties van een variabele, 11.1 Krommen en parametriseringen, 11.3 Lijnintegralen,

5 Week 8 Vector- en scalarvelden, 15.1 Conservatieve velden, 15.2 Lijnintegralen van vectorvelden, 15.4 Week 9 Oppervlakten en oppervlakte-integralen, 15.5 Oppervlakte-integralen met vectorvelden, 15.6 De gradiënt, de divergentie en de rotatie, 16.1 Enkele identiteiten met grad, div en rot, 16.2 In principe bestaat de stof voor deel B van het tweede tentamen uit de stof van de vijf laatste weken Agenda Zie de elektronische informatie. 2 Opgaven Tussen haakjes staan sommen die aangeraden zijn om verder mee te oefenen. 2.1 Week : 10, 19 (4, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 33) 12.1: 14, 15, 18, 27, 28, 34 (1, 2, 3, 33, 39) 12.2: 8, 12, 13 (1, 2, 3, 4, 9, 14) Extra opgave A: Gegeven is de verzameling C = {(x, y) R 2 : 2 x 2 + y 2 < 4}. Wat is de rand van C? Wat is het binnenste van C (de verzameling van alle inwendige punten van C)? Is C open, gesloten? 2.2 Week : 1, 2, 4, 13, 14, (5, 6, 17, 23, 27) 12.4: 1, 4, (3, 6) 12.5: 1, 3, 5, 6, 8 (9, 10, 11, 12) 12.6: Week : 4, 5, 7, 19, 26 (1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 12) 12.9: 1, 2, 3, 12 (4, 5, 6, 11) 13.1: 1, 4, 7, 18 (2, 3, 5, 6, 9, 10, 11) 2.4 Week : 1, 3, 6 (2, 4, 5, 7, 8) 14.1: : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14 (11, 12, 13, 15, 16, 19) 5

6 2.5 Week : 1, 2, 3, 8, 12, 20 (4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 19) 14.5: 1, 3, 4, 7, 9, 10 (2, 5, 6, 8, 11, 12, 13, 14) 2.6 Week : 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 25, 27 (1, 2, 3, 4, 8, 12), 2.7 Week : 1, 2, 8, 21 (9, 13, 15, 16, 17) 11.3: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 13 (4, 7, 9, 10, 12, 11) 15.3: 1, 3, 5, 8, 10 (2, 4, 6, 7, 9) 2.8 Week : 1, 2, 3, : 1, 2, 3, 8 (4, 6, 9, 10) 15.4: 1, 2, 4, 6, 7 (10, 11, 12, 13) 2.9 Week : 2, 3, 7, 8, 11, 14 (4, 13, 15, 16, 17, 22, 23) 15.6: 2, 4, 5, 6, 7, (1, 3, 8, 9, 10, 13) 6