x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )

Transcriptie

1 97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke oplossingen bestaan Dit zijn oplossingen x(t) met de eigenschap dat x(t + T ) = x(t) voor alle t, waarbij T 0 een constante is De kleinste waarde van T waarvoor dit gel heet de periode Een speciaal geval van een periodieke oplossing is een constante Als de oplossing x(t) constant is, dan is deze periodiek met elke periode T Zo n oplossing correspondeert met een kritisch punt van het autonome stelsel Voor iedere andere periodieke oplossing is T > 0 en is de baan van zo n oplossing een gesloten kromme in het fasevlak In het speciale geval x (t) = Ax(t) zijn de oplossingen alleen periodiek als de eigenwaarden van A zuiver imaginair zijn In dat geval is de oorsprong een centerpunt en zijn de banen van de oplossingen cirkels met de oorsprong als middelpunt Als de eigenwaarden van A zuiver imaginair zijn, dan zijn alle oplossingen van x (t) = Ax(t) periodiek En als de eigenwaarden van A niet zuiver imaginair zijn, dan heeft het stelsel geen periodieke oplossingen met periode T > 0 In het geval van niet-lineaire autonome stelsels ligt dit totaal anders zoals het volgende voorbeeld laat zien Voorbeeld Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel ( ) ( x x + x(x = ) x + (x ) ) () Het is eenvoudig in te zien dat (x, ) = (0, 0) het enige kritieke punt is Immers : x + = x(x ) en x + = (x ) = x = 0 (x, ) = (0, 0) Het stelsel is bijna lineair in de buurt van de oorsprong : F (x, ) = x + x(x ) en G(x, ) = x + (x ) zijn oneindig vaak (continu) differentieerbaar en en F x (x, ) = (x ) 2x 2 = 3x 2 2 en F (x, ) = 2x G x (x, ) = 2x en G (x, ) = (x ) 2 2 = x Dus : F x (0, 0) =, F (0, 0) =, G x (0, 0) = en G (0, 0) = Het bijbehorende lineaire stelsel is dus ( ) ( ) ( ) x x = Voor de eigenwaarden vinden we : λ λ = ( λ)2 + = λ = ± i

2 De oorsprong is dus een instabiel (Re λ > 0) spiraalpunt voor zowel het lineaire als het nietlineaire stelsel Elke oplossing met een startpunt in de buurt van de oorsprong zal dus in spiralen weglopen van de oorsprong Dit gel echter alleen in de buurt van de oorsprong We zullen zien dat banen die ver verwijderd van de oorsprong starten naar binnen gericht zijn De banen kunnen dus blijkbaar niet naar oneindig weglopen Om dit in te zien maken we gebruik van poolcoördinaten : x(t) = r(t) cos θ(t) en (t) = r(t) sin θ(t) Hierbij is dus r(t) 0 Verder gel dat {x(t)} 2 + {(t)} 2 = {r(t)} 2 Hieruit volgt : 2r(t) r (t) = 2x(t) x (t) + 2(t) (t) r(t) = xdx + d Als we de eerste vergelijking in () vermenigvuldigen met x, de tweede met en vervolgens optellen, dan volgt : x dx + d = x2 + 2 (x ) 2 = r 2 r 4 = r 2 ( r 2 ) Dus : r = r2 ( r 2 ) De kritieke punten zijn r = 0 (de oorsprong) en r = (de eenheidscirkel), want r 0 Verder is duidelijk dat / > 0 voor 0 < r < en / < 0 voor r > Dit betekent dus dat de banen binnen de eenheidscirkel naar buiten toe gericht zijn, terwijl de banen buiten de eenheidscirkel juist naar binnen toe gericht zijn Blijkbaar is de eenheidscirkel r = een soort limietbaan van het stelsel Om nu ook een differentiaalvergelijking voor θ(t) af te leiden vermenigvuldigen we de eerste vergelijking van () met, de tweede met x en trekken vervolgens de resultaten van elkaar af Dan volgt : dx xd = x2 + 2 = r 2 Nu gel : x (t) = r (t) cos θ(t) r(t) sin θ(t) θ (t) en (t) = r (t) sin θ(t) + r(t) cos θ(t) θ (t) Dus : dx xd = r sin θ [ r cos θ r sin θ θ ] r cos θ [ r sin θ + r cos θ θ ] = r 2 θ Dus : {r(t)} 2 θ (t) = {r(t)} 2 oftewel θ (t) = Hieruit volgt dat θ(t) = t + θ 0 met θ 0 R willekeurig Als t toeneemt, neemt θ(t) dus af en beweegt de baan zich dus kloksgewijs rond de oorsprong Het stelsel () is dus equivalent met het stelsel = r( r2 ) en dθ = 2

3 Eén oplossing hiervan is r(t) = en θ(t) = t + θ 0 met θ 0 R willekeurig Dit is de eenheidscirkel die kloksgewijs wor doorlopen Dit is een gesloten kromme die dus correspondeert met een periodieke oplossing Voor r 0 en r volgt : = r( r2 ) = r( r 2 ) = Met behulp van breuksplitsing vinden we nu : Dus : Hieruit volgt : r( r 2 ) = r + 2 [ r ] + r ln r 2 ln( r) ( ) r 2 2 ln( + r) = t + K = ln r 2 = 2t + 2K r 2 r 2 = Ce 2t r 2 = + Ce 2t = r(t) = + Ce 2t met C R De algemene oplossing is dus : r(t) = + Ce 2t met C R en θ(t) = t + θ 0 met θ 0 R Voor C = 0 levert dit weer de eenheidscirkel De constanten C en θ 0 worden vastgelegd door de beginvoorwaarden, zeg r(0) = ρ en θ(0) = θ 0, bepaald door het startpunt Dan volgt : ρ = ρ 2 = + c + C + C = ρ 2 C = ρ 2 Voor ρ < volgt dan r(t) voor t van binnenuit en voor ρ > gel r(t) voor t van buitenaf In alle gevallen naderen de banen dus voor t naar de periodieke oplossing r = (de eenheidscirkel) Zie figuur 97 op pagina 524 Zo n periodieke oplossing als hierboven waar andere oplossingen naar toe naderen heet een limit ccle Als alle oplossingen, zowel van binnenuit als van buitenaf, naar deze limit ccle naderen, dan noemt men deze gesloten kromme asmptotisch stabiel Dit is dus het geval in bovenstaand voorbeeld Als de oplossingen aan één kant van de limit ccle naderen naar de limit ccle, terwijl de oplossingen aan de andere kant ervan weglopen, noemt men de kromme semistabiel Als alle oplossingen zich van de limit ccle verwijderen, dan noemt deze instabiel In gevallen waarbij alle oplossingen periodiek zijn, dan noemt men zo n limit ccle stabiel Banen van andere oplossingen naderen dan niet naar deze limit ccle, maar verwijderen zich ook niet van die limit ccle In voorbeeld konden we het bestaan van een periodieke oplossing aantonen door het stelsel expliciet op te lossen Dit is in het geval van een niet-lineair stelsel in het algemeen niet mogelijk Er bestaan echter wel enkele algemene stellingen waarmee het bestaan van periodieke oplossingen aangetoond kan worden of waarmee juist het bestaan van periodieke oplossingen 3

4 uitgesloten kan worden We zullen enkele stellingen de revue laten passeren We beschouwen hierbij een autonoom stelsel van de vorm dx = F (x, ) en d = G(x, ) (2) Stelling Als de functies F en G continue eerste partiële afgeleiden hebben in een gebied D in het x, -vlak (het fasevlak), dan moet een gesloten baan van het stelsel (2) minstens één kritisch punt van het stelsel omsluiten Als dit slechts één kritisch punt is, dan kan dat punt geen zadelpunt zijn We zullen geen bewijzen van de stellingen geven In voorbeeld hebben we gezien dat (x, ) = (0, 0) een spiraalpunt is en dat de baan van de periodieke oplossing (de eenheidscirkel) hierom heen loopt Stelling kan soms in negatieve zin gebruikt worden : als in een gebied D geen kritieke punten voorkomen, dan kan daar ook geen gesloten baan bestaan die geheel in dat gebied ligt Ook als een gebied slechts één kritiek punt bevat, dat een zadelpunt is, dan kan er ook geen periodieke oplossing bestaan waarvan de baan geheel in dat gebied ligt Stelling 2 Als de functies F en G continue eerste partiële afgeleiden hebben in een enkelvoudig samenhangend gebied D in het fasevlak, dan gel : als F x + G hetzelfde teken heeft in het hele gebied D, dan kan er geen gesloten baan van het stelsel (2) geheel in D liggen Een enkelvoudig samenhangend gebied is een gebied zonder gaten Deze stelling is een eenvoudig gevolg van de bekende stelling van Green voor het platte vlak Zie bijvoorbeeld : Stewart, 64 In opgave 3 wor op het bewijs ingegaan, maar we laten het hier verder achterwege In voorbeeld gel : F x (x, )+G (x, ) = 2 4(x ) = 2 4r 2 = 2( 2r 2 ) Hieruit volgt dat F x + G positief is voor 0 r < / 2 Op die cirkelschijf bestaat er dus geen gesloten baan van het stelsel () Merk op, dat we in voorbeeld zelfs aangetoond hebben dat er geen gesloten baan op het grotere gebied r < bestaat Dit illustreert meteen de beperking van stelling 2 Merk ook op dat F x + G negatief is voor r > / 2 Maar dit gebied is niet enkelvoudig samenhangend zodat stelling 2 hier niet toepasbaar is In voorbeeld hebben we ook gezien dat er een gesloten baan, namelijk r =, van het stelsel () bestaat dat in dit gebied ligt Ten slotte noemen we nog de beroemde stelling van Poincaré-Bendixson die voorwaarden geeft die het bestaan van een periodieke oplossing garandeert : Stelling 3 Stel dat de functies F en G continue eerste partiële afgeleiden hebben in een gebied D in het x, -vlak (het fasevlak) Stel dat D een begrensd deelgebied van D is en dat R bestaat uit het gebied D inclusief de rand daarvan Stel dat R geen kritieke punten van (2) bevat Dan gel : als er een constante t 0 bestaat zodat een oplossing van (2) bestaat en binnen R blijft voor alle t t 0, dan is die oplossing óf periodiek en is de baan dus een gesloten kromme óf beweegt de baan van deze oplossing zich in spiralen naar een gesloten kromme voor t In dat geval bestaat er dus een periodieke oplossing van (2) in het gebied R 4

5 Als het gebied R een gesloten baan bevat, dan moet deze volgens stelling een kritiek punt omsluiten Zo n kritiek punt kan echter niet in R liggen Dit betekent dat R niet enkelvoudig samenhangend kan zijn en dus een gat moet hebben Het stelsel () in voorbeeld heeft de oorsprong als kritiek punt Als we de stelling van Poincaré-Bendixson dus willen toepassen, dan moeten we dat punt uitsluiten Neem voor R bijvoorbeeld het gebied (de ring ) /2 r 2 We hadden afgeleid dat = r( r2 ) en daaruit volgt dat / > 0 voor r = /2 en dat / < 0 voor r = 2 Zowel op de binnenste als op de buitenste rand van R zijn de banen dus naar binnen gericht Dit betekent dat elke oplossing die in R begint ook in R blijft Volgens de stelling van Poincaré-Bendixson bestaat er dan een periodieke oplossing in het gebied R Voorbeeld 2 We beschouwen de niet-lineaire Van der Pol vergelijking u µ( u 2 )u + u = 0, waarbij µ > 0 een constante is Deze differentiaalvergelijking werd door Van der Pol bestudeert om de stroom in een triodeschakeling te beschrijven Deze differentiaalvergelijking tree echter ook op andere plaatsen op Voor µ = 0 is de differentiaalvergelijking lineair : u + u = 0 De oplossing is dan u(t) = c cos t + c 2 sin t met c, c 2 R Voor µ > 0 is de differentiaalvergelijking niet-lineair vanwege de term µ( u 2 )u We schrijven de Van der Pol vergelijking in de vorm van een stelsel : stel x = u en = u, dan volgt : x = en = x + µ( x 2 ) Dus : ( x ) = ( x + µ( x 2 ) Het enige kritieke punt van dit stelsel is (x, ) = (0, 0) en het stelsel is bijna lineair in de buurt van dit punt Stel F (x, ) = en G(x, ) = x + µ( x 2 ), dan volgt : F x (x, ) = 0, F (x, ) =, G x (x, ) = 2µx en G (x, ) = µ( x 2 ) Het bijbehorende lineaire stelsel is dus : ( ) x = ( 0 µ ) ( x Voor de eigenwaarden vinden we : λ µ λ = λ2 µλ + = λ = µ ± µ Dit betekent dat de oorsprong een instabiel spiraalpunt is voor 0 < µ < 2 en een instabiel knooppunt voor µ 2 In alle gevallen gel dat een oplossing die in de buurt van de oorsprong start zich van de oorsprong verwijdert voor t Merk op dat ) ) F x (x, ) + G (x, ) = µ( x 2 ) 5

6 Uit stelling 2 volgt dus dat er geen gesloten krommen kunnen bestaan die geheel in de strip x < liggen, want daar gel : F x + G > 0 Als we ook dit geval overgaan op poolcoördinaten x(t) = r(t) cos θ(t) en (t) = r(t) = sin θ(t), dan gel dus weer : {r(t)} 2 = {x(t)} 2 + {(t)} 2 en dus r(t) r (t) = x(t) x (t) + (t) (t) = r(t) cos θ(t) r(t) sin θ(t) + r(t) sin θ(t) [ r(t) cos θ(t) + µ ( {r(t)} 2 cos 2 θ(t) ) r(t) sin θ(t) ] = µ{r(t)} 2 sin 2 θ(t) ( {r(t)} 2 cos 2 θ(t) ) en dus = µr(t) sin2 θ(t) ( {r(t)} 2 cos 2 θ(t) ) Deze differentiaalvergelijking is niet zo eenvoudig op te lossen als die in voorbeeld We laten dit verder voor wat het is en kijken alleen nog even naar figuur 972 op pagina 527, figuur 974 op pagina 528 en figuur 976 op pagina 976 Hierin zijn enkele banen van oplossingen van de Van der Pol vergelijking afgebeeld voor verschillende waarden van de parameter µ Duidelijk is te zien dat alle oplossingen naderen naar een asmptotisch stabiele limit ccle met een opvallende gedaante 98 Chaos en vreemde attractoren: De Lorenz vergelijkingen De Lorenz vergelijkingen treden op bij de bestudering van vloeistof- of luchtstromingen zoals de luchtstromingen in de atmosfeer rond de aarde Lorenz bestudeerde deze vergelijkingen in het kader van de meteorologie (weerkunde) Hierbij stuitte hij op een stelsel van ie niet-lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm dx = σ( x + ) d = rx xz dz = x bz, waarbij σ, b en r positieve constanten zijn Deze ie vergelijkingen worden de Lorenz vergelijkingen genoemd De laatste twee differentiaalvergelijkingen zijn niet-lineair vanwege de termen xz en x De parameters σ en b hangen af van het materiaal en de omgeving, terwijl de parameter r evenredig is met het temperatuursverschil tussen verschillende punten Voor de atmosfeer rond de aarde zijn σ = 0 en b = 8/3 redelijke waarden Hoewel het een iedimensionaal probleem betreft en twee van de ie differentiaalvergelijkingen niet-lineair zijn, lijkt het probleem zo op het eerste gezicht niet zo bijzonder ingewikkeld Als eerste stap zouden we kunnen gaan kijken naar de kritieke punten Hiervoor moet gelden : σ( x + ) = 0, rx xz = 0 en x bz = 0 6

7 Uit de eerste vergelijking volgt dat = x omdat σ > 0 Ingevuld in de laatste twee vergelijkingen levert dat x(r z) = 0 en x 2 bz = 0 Uit de eerste vergelijking volgt nu : x = 0 of z = r Als = x = 0 dan volgt uit de tweede vergelijking dat bz = 0 en dus dat z = 0, wat b > 0 Dit levert dus het kritieke punt (x,, z) = (0, 0, 0) Als z = r dan volgt uit de tweede vergelijking dat x 2 = b(r ) Dit heeft geen (reële) oplossingen voor x als r <, want b > 0 Voor r volgt hieruit dat = x = ± b(r ) Voor r > levert dit twee extra kritieke punten op : ( b(r ), b(r ), r ) en ( b(r ), b(r ), r ) Merk op dat voor r = de ie kritieke punten samenvallen Het punt r = wor wel een bifurcatiepunt genoemd : een omslagpunt naar een totaal andere situatie In elk van de kritieke punten kunnen we kijken naar het bijbehorende lineaire stelsel Immers : F (x,, z) = σ( x + ), G(x,, z) = rx xz en H(x,, z) = x bz zijn alle oneindig vaak continu differentieerbaar Er gel : en F x (x,, z) = σ, F (x,, z) = σ, F z (x,, z) = 0, G x (x,, z) = r z, G (x,, z) =, G z (x,, z) = x H x (x,, z) =, H (x,, z) = x, H z (x,, z) = b In de buurt van (x,, z) = (0, 0, 0) is het bijbehorende lineaire stelsel dus x z = σ σ 0 r b x z Voor de eigenwaarden vinden we dan : σ λ σ 0 r λ b λ = ( b λ) σ λ σ r λ = (b + λ) [ λ 2 + (σ + )λ + σ( r) ] Hieruit volgt dat λ = b en λ 2,3 = (σ + ) ± (σ + ) 2 4σ( r) 2 Voor r < zijn deze eigenwaarden allemaal negatief In dat geval is de oorsprong dus een asmptotisch stabiel knooppunt Voor r = is één van de eigenwaarden gelijk aan nul en voor r > wor die ene eigenwaarde positief Voor r > is de oorsprong dus een instabiel knooppunt De (eventuele) andere kritieke punten kunnen we op soortgelijke wijze analseren We laten dat hier verder buiten beschouwing 7

8 In figuur 985 en figuur 986 op pagina 537 zijn projecties van een baankromme van de Lorenz vergelijkingen afgebeeld (projectie op het x, -vlak en op het x, z-vlak) Alle banen lijken naar een dergelijke vorm getrokken te worden Deze vorm wor wel eens de vlinder van Lorenz genoemd Deze vorm is geen gesloten kromme en corrsepondeert dus niet met een periodieke oplossing Omdat de banen echter wel door deze vorm aangetrokken lijken te worden spreekt men wel van een vreemde aantrekker (strange attractor) of vreemde attractor De banen blijven soms een tijdje in de ene vleugel (van de vlinder) rondaaien, terwijl ze op een gegeven moment plotseling naar de andere vleugel overgaan Dit noemt men chaotisch geag Hoewel de oplossingen van de Lorenz vergelijking deterministisch zijn, is het geag zeer moeilijk voorspelbaar Dit verschijnsel heet chaos Twee banen die vlak naast elkaar lopen kunnen hierdoor na verloop van tijd enorm uiteen lopen; de ene baan blijft in de ene vleugel terwijl de andere baan naar de andere vleugel overgaat Het ssteem is dus zeer gevoelig voor kleine veranderingen (perturbaties) in de beginvoorwaarden Dit verklaart waarom het zo lastig is om het weer voor een langere periode te voorspellen 8