Hoofdstuk 1: Inleiding

Transcriptie

1 Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen kunnen in twee groepen woren vereel : e gewone ifferentiaalvergelijkingen en e partiële ifferentiaalvergelijkingen. Partiële ifferentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekene functie en z n partiële afgeleien voorkomen. De onbekene functie is in at geval us een functie van twee of meer variabelen. Bij gewone ifferentiaalvergelijkingen gaat het om een functie van slechts één variabele en z n gewone afgeleie(n). Partiële ifferentiaalvergelijkingen zijn in het algemeen veel lastiger an gewone ifferentiaalvergelijkingen. Deze partiële ifferentiaalvergelijkingen komen in het boek aan e ore in e hoofstukken 10 en 11. Alle anere hoofstukken gaan over gewone ifferentiaalvergelijkingen. Bij gewone (ook bij partiële overigens) ifferentiaalvergelijkingen kan men nog onerschei maken tussen lineaire en niet-lineaire ifferentiaalvergelijkingen. Niet-lineaire ifferentiaalvergelijkingen zijn in het algemeen veel lastiger an lineaire ifferentiaalvergelijkingen. Niet-lineaire ifferentiaalvergelijkingen komen in het boek aan e ore in hoofstuk 9. Een lineaire ifferentiaalvergelijking is een ifferentiaalvergelijking waarin e onbekene functie en z n afgeleie(n) slechts lineair voorkomen. Een lineaire ifferentiaalvergelijking van e ore n heeft e volgene vorm : a 0 (t)y (n) (t) + a 1 (t)y (n 1) (t) a n 1 (t)y (t) + a n (t)y(t) = g(t). De functies a 0 (t), a 1 (t),..., a n (t) en g(t) zijn hierbij willekeurig. Als g(t) = 0 voor alle t spreekt men van een homogene ifferentiaalvergelijking en aners van een inhomogene ifferentiaalvergelijking. De functies a 0 (t), a 1 (t),..., a n (t) woren e coëfficiënten van e ifferentiaalvergelijking genoem. In plaats van één enkele ifferentiaalvergelijking kan men ook een stelsel ifferentiaalvergelijkingen beschouwen. Zo n stelsel gaat an meestal over meerere onbekene functies ie een onerling verban hebben. In het boek wort in hoofstuk 7 aanacht bestee aan stelsels eerste ore lineaire ifferentiaalvergelijkingen Enige geschieenis. Eventueel zelf oorlezen. Hoofstuk 2: Eerste ore ifferentiaalvergelijkingen De stof van hoofstuk 2 is voor een groot eel terug te vinen in hoofstuk 9 van Stewart. Dat geeelte wort an ook als beken veronerstel Lineaire ifferentiaalvergelijkingen. Zie : Stewart,

2 Er zijn twee methoen om een eerste ore lineaire ifferentiaalvergelijking y t + p(t)y = g(t) y (t) + p(t)y(t) = g(t) op te lossen. De eerste methoe maakt gebruik van een integrerene factor. Deze methoe wort in het boek beschreven evenals in Stewart. De tweee methoe is e methoe van variatie van constanten. Deze wort beschreven in opgave 35 van eze paragraaf. Van beie methoen laten we enkele voorbeelen zien. Voorbeel 1. y t 2y = e3t y (t) 2y(t) = e 3t. Methoe 1 (via een integrerene factor) : we bepalen een factor µ(t) waaroor het linkerli van e ifferentiaalvergelijking e volgene vorm krijgt : t [µ(t)y(t)] = µ(t)y (t) + µ (t)y(t) = µ(t) [ y (t) 2y(t) ]. Dan moet us gelen : µ (t) = 2µ(t). Een functie ie hieraan voloet is (bijvoorbeel) µ(t) = e 2t. Als we e ifferentiaalvergelijking hiermee vermenigvuligen, an vinen we : [ e 2t y(t) ] = e 2t e 3t = e t = e 2t y(t) = e t + C met C R. t Hieruit volgt : y(t) = e 3t + Ce 2t met C R. Methoe 2 (variatie van constanten) : we bepalen eerst e algemene oplossing van e bijbehorene homogene (of gereuceere) ifferentiaalvergelijking : y (t) 2y(t) = 0 = y h (t) = c e 2t met c R. Vervolgens bepalen we een oplossing van e vorm y(t) = u(t)e 2t (e constante c wort vervangen oor een functie u(t)) van e oorspronkelijke inhomogene ifferentiaalvergelijking oor invullen : u (t)e 2t + 2u(t)e 2t 2u(t)e 2t = e 3t = u (t) = e t en us u(t) = e t + C met C R. Dus : y(t) = u(t)e 2t = e 3t + Ce 2t met C R. Voorbeel 2. y t + 2ty = t y (t) + 2ty(t) = t. Methoe 1 (via een integrerene factor) : we bepalen een factor µ(t) waaroor het linkerli van e ifferentiaalvergelijking e volgene vorm krijgt : t [µ(t)y(t)] = µ(t)y (t) + µ (t)y(t) = µ(t) [ y (t) + 2ty(t) ]. Dan moet us gelen : µ (t) = 2tµ(t). Een functie ie hieraan voloet is (bijvoorbeel) µ(t) = e t2. Als we e ifferentiaalvergelijking hiermee vermenigvuligen, an vinen we : [ ] e t2 y(t) = te t2 = e t = e t2 y(t) = te t2 t = 1 t 2 et2 + C met C R. 2

3 Hieruit volgt : y(t) = Ce t2 met C R. Merk op, at e constante 1 2 oplossing van e ifferentiaalvergelijking is. ineraa een Methoe 2 (variatie van constanten) : we bepalen eerst e algemene oplossing van e bijbehorene homogene (of gereuceere) ifferentiaalvergelijking : y (t) + 2ty(t) = 0 = y h (t) = c e t2 met c R. Vervolgens bepalen we een oplossing van e vorm y(t) = u(t)e t2 (e constante c wort vervangen oor een functie u(t)) van e oorspronkelijke inhomogene ifferentiaalvergelijking oor invullen : u (t)e t2 2tu(t)e t2 + 2tu(t)e t2 = t = u (t) = te t2 en us u(t) = te t2 t = 1 2 et2 + C met C R. Dus : y(t) = u(t)e t2 = Ce t2 met C R Separabele ifferentiaalvergelijkingen. Zie : Stewart, Moelleren. Zie : Stewart, Verschillen tussen lineaire en niet-lineaire ifferentiaalvergelijkingen. Voor lineaire ifferentiaalvergelijkingen hebben we e volgene existentie- en eenuiigheisstelling : Stelling 1. Beschouw het beginwaareprobleem y + p(t)y = g(t), y(t 0 ) = y 0 R. (1) Als p en g continu zijn op een interval I = (α, β) en t 0 I, an bestaat er precies één functie y ie voloet aan het beginwaareprobleem (1). Deze oplossing y(t) bestaat bovenien voor alle t I. Deze stelling zegt us at er oner e genoeme voorwaaren een oplossing bestaat (existentie) en at eze oplossing uniek is (eenuiighei). We gaan hier niet ieper in op het bewijs van eze stelling. In het boek kunt u e etails van het bewijs vinen. Een aner resultaat, at ook gelig is voor sommige niet-lineaire ifferentiaalvergelijkingen is : Stelling 2. Beschouw het beginwaareprobleem y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 R. (2) Als f en f y continu zijn op een rechthoek gegeven oor α < t < β en γ < y < δ met t 0 (α, β) en y 0 (γ, δ), an bestaat er precies één functie y ie voloet aan het beginwaareprobleem (2). Deze oplossing y(t) bestaat op een interval (t 0 h, t 0 + h) (α, β). 3

4 Merk op, at e eerste stelling een speciaal geval van e laatste stelling is. Immers, als e ifferentiaalvergelijking lineair is, an gelt : f(t, y) = p(t)y + g(t) en us y y = p(t). In at geval gelt us : f en f y continu p en g continu. Het bewijs van eze laatste stelling is veel lastiger an het bewijs van e eerste stelling. Een Bernoulli vergelijking (zie opgave 27, maar ook : Stewart, 9.6, opgave 23) is een ifferentiaalvergelijking van e vorm y + p(t)y = q(t)y n. Merk op, at eze ifferentiaalvergelijking lineair is voor n = 0 en voor n = 1. In at geval is e oplossing us te vinen met behulp van e twee methoen genoem in 2.1. Als n 0 en n 1, an oet e substitutie v = y 1 n e niet-lineaire ifferentiaalvergelijking overgaan in een lineaire ifferentiaalvergelijking. We kunnen at alsvolgt inzien. Als v = y 1 n, an volgt at v = (1 n)y n y (kettingregel). Als we het linker- en rechterli van e ifferentiaalvergelijking elen oor y n an vinen we : Dus (invullen) : y + p(t)y = q(t)y n = y n y + p(t)y 1 n = q(t). v 1 n + p(t)v = q(t) v (t) + (1 n)p(t)v(t) = (1 n)q(t) en it is een lineaire ifferentiaalvergelijking voor v(t), ie we met e methoen van 2.1 kunnen oplossen. Met behulp van e formule v = y 1 n vinen we vervolgens y(t). Voorbeel 3. Opgave 28 : t 2 y + 2ty = y 3 (t > 0). Geschreven in e vorm zoals hierboven krijgen we an (vervolgens elen oor y 3 ) : y + 2 t y = 1 t 2 y3 = y y t 1 y 2 = 1 t 2. Stel nu v = 1 y 2 = y 2, an volgt : v = 2y 3 y = 2 y y 3. Dus : v t v = 1 t 2 v (t) 4 t v(t) = 2 t 2. Dit is een lineaire ifferentiaalvergelijking voor v(t), ie we kunnen oplossen via een integrerene factor of met e methoe van variatie van constanten. Methoe 1 (via een integrerene factor) : Dus : µ (t) = 4 t µ(t) : µ t = 4µ t µ µ = 4 t t. ln µ = 4 ln t + K = µ(t) = e K e 4 ln t = µ(t) = C t 4 = C t 4, C R. 4

5 Vermenigvuligen met e integrerene factor µ(t) = 1/t 4 levert an : [ ] 1 t t 4 v(t) = 1 t 4 v (t) 4 t 5 v(t) = 2 t 6 en us v(t) t 4 2 = t 6 t = 2 5 t 5 + A = v(t) = 2 5 t 1 + At 4 met A R. Methoe 2 (variatie van constanten) : v (t) 4 t v(t) = 0 : v t = 4v t v v = 4 t t. Dus : ln v = 4 ln t + K = v(t) = C t 4. Stel nu v(t) = t 4 u(t), an volgt : v (t) = t 4 u (t) + 4t 3 u(t). Invullen : Dus : t 4 u (t) + 4t 3 u(t) 4t 3 u(t) = 2 t 2 = t 4 u (t) = 2 t 2 oftewel u (t) = 2 t 6. 2 u(t) = t 6 t = 2 5 t 5 + A = v(t) = t 4 u(t) = 2 5 t 1 + At 4 met A R. Er gelt nu v = y 2 en us : v(t) = 2 5 t 1 + At 4 = 2 + 5At5 5t 5t = y(t) = ± 2 + 5At Autonome ifferentiaalvergelijkingen en populatie ynamica. Geen tentamenstof (zie : Stewart, 9.4 en 9.5) Exacte ifferentiaalvergelijkingen en integrerene factoren. Geen tentamenstof (overslaan) Numerieke benaeringen : e methoe van Euler. Geen tentamenstof (zie : Stewart, 9.2) De existentie- en eenuiigheisstelling. Hier gaan we niet ieper op in. Eventueel zelf oorlezen Eerste ore ifferentievergelijkingen. Zie : Lineaire Algebra (eerste jaar). In hoofstuk 9 komen we hierop nog terug. 5