KLASSIEKE MECHANICA 2 ANALYTISCHE MECHANICA 7 RELATIVISTISCHE MECHANICA 14 KWANTUMMECHANICA 26 THERMODYNAMICA 33 ELEKTROMAGNETISME 35

Transcriptie

1 NATUURKUNDE 1 KLASSIEKE MECHANICA 2 De wetten van Newton Energie Gravitatie Rotatie ANALYTISCHE MECHANICA 7 Actie De Lagrangiaan Het principe van de stationaire actie Het formalisme van Euler en Lagrange De Lagrangiaan in conservatieve systemen Het theorema van Nöther De Hamiltoniaan RELATIVISTISCHE MECHANICA 14 De postulaten van Einstein De Lorentztransformaties De Minkowskiruimte Massa en energie De gekromde ruimte Tensoren De transformaties van afstanden bij schuine en gebogen coördinaatassen Geodeten Het gravitatieveld Einsteins veldvergelijkingen KWANTUMMECHANICA 26 Ontoereikendheid van de klassieke mechanica Het formalisme van Dirac De bewegingsvergelijkingen van Schrödinger en Heisenberg De kwantumelektrodynamica van Feynman Kwantumgravitatie Tijd THERMODYNAMICA 33 Thermodynamisch evenwicht De twee hoofdwetten van de thermodynamica Staatvergelijkingen Zwartlichaamstraling ELEKTROMAGNETISME 35 Symbolen Het elektrische veld Het magnetische veld De vergelijkingen van Maxwell DEELTJESFYSICA 41 Basisclassificatie Uitsluitingsprincipe van Pauli Enkele fundamentele reacties KOSMOLOGIE 43 Uitgangspunten De Friedmanvergelijking De vloeistofvergelijking De versnellingsvergelijking De geometrie van het heelal De Hubbleparameter Roodverschuiving Massa en impuls Materie en straling Expansiemodellen De dichtheidsparameter De vertragingsparameter De kosmologische constante De leeftijd van het heelal Donkere materie Het vroege heelal Inflatie

2 2 NATUURKUNDE 1 KLASSIEKE MECHANICA 1.1 De wetten van Newton I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Een voorwerp waarop geen kracht werkt, is in rust of beweegt zich in een eenparig rechtlijnige beweging (traagheidswet) II. Mutationem motis proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. De verandering van beweging van een voorwerp is recht evenredig met de kracht die op dat voorwerp werkt; de bewegingsverandering volgt de rechte lijn waarlangs de kracht werkt. Definieert men de impuls (de hoeveelheid beweging) p van een voorwerp als het product van massa m en snelheid v: p m v [1] dan luidt de tweede wet van Newton voor een kracht F: F = dp / dt = d(mv) / dt = v (dm / dt) + m (dv / dt) [2] Bij constante massa (dat wil zeggen: de massa is onafhankelijk van de tijd t) is dm / dt = 0, zodat dan: F = m (dv / dt) [3] Definieert men vervolgens de versnelling a van een voorwerp als: a dv / dt [4] dan luidt de tweede wet: F = m a [5] Deze formulering laat het toe om het begrip kracht te definiëren als de oorzaak van de versnelling van een massa III. Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. Als een voorwerp A een kracht F op een voorwerp B uitoefent, oefent B een gelijke maar tegengestelde kracht F uit op A Een coördinatenstelsel waarin lichamen aan Newtons eerste wet voldoen, heet inertiaalstelsel. De mechanica van Newton is invariant onder de transformatie tussen twee zulke inertiaalsystemen S(x, y, z, t) en S'(x', y', z', t') die ten opzichte van elkaar eenparig en rechtlijnig met een snelheid v langs de X-richting bewegen (Galileitransformaties): x' = x + vt y' = y z' = z t' = t [6] Beweegt S' niet eenparig maar versneld ten opzichte van S, dan zijn de Galileitransformaties niet van toepassing. Een waarnemer die zich ten opzichte van het versnelde stelsel S' in rust bevindt (een lift, een draaimolen), zal een versnelling in tegengestelde richting ervaren. Om de eerste wet van Newton dan nog te laten gelden, moet het bestaan van een pseudokracht (traagheidskracht of inertiaalkracht) worden aangenomen. De werkelijke kracht is de kracht in het inertiaalstelsel S die de versnelling van S' veroorzaakt Uit [2] volgt dat dp / dt = 0 wanneer F = 0. In dat geval is p constant. Hiermee is de wet van behoud van lineaire impuls uitgedrukt: als op een fysisch systeem geen krachten werken, is de totale impuls van dat systeem constant.

3 NATUURKUNDE Energie Energie is het vermogen van een fysisch systeem om veranderingen in een ander fysisch systeem te bewerken. Elke vorm van energie kan worden omgezet in elke andere vorm, maar in een gesloten systeem is de totale energie in de loop van de tijd constant (wet van behoud van energie) Werk of arbeid is de hoeveelheid energie die door een kracht F wordt overgebracht om een voorwerp over een zekere afstand s te verplaatsen. Beschouwt men de kracht en de verplaatsing als vectoren F en s, en is θ de hoek tussen deze beide vectoren, dan is het werk W het scalaire product van F en s: W = F s = F s cos θ [7] De kinetische energie van een bewegend fysisch systeem is het werk dat moet worden verricht om dat systeem vanuit rust te versnellen tot de snelheid waarmee het beweegt. Voor een infinitesimale tijd dt geeft [7]: W = F ds = F v dt [8] Volgens [3] is bij constante massa: F = dp / dt = d(mv) / dt waarin p de impuls en m de massa van het systeem is. Dan is: W = F v dt = [d(mv) / dt] v dt = d(mv) v = m (v dv) Volgens de produktregel voor differentiatie is: zodat: d(v v) = (dv) v + v dv = 2 (v dv) v dv = d(v v) / 2 F ds = m (v dv) = m d(v v) / 2 = d(mv 2 / 2) Integratie over de totale verplaatsing geeft voor de kinetische energie T: T = F ds = d (mv 2 / 2) T = 1 / 2 m v 2 = 1 / 2 p 2 / m [9] De potentiële energie van een fysisch systeem is de energie waarover dat systeem beschikt door zijn positie in een krachtveld. De energie benodigd om een veer uit te rekken, wordt als potentiële energie in het metaal van de veer bewaard. De energie benodigd om een voorwerp op te tillen, wordt als potentiële energie in het gravitatieveld bewaard. Omdat hierbij slechts de verschillen in potentiële energie van belang zijn, is de keuze van het nulpunt van de potentiële energie willekeurig Een conservatieve kracht is een kracht met de eigenschap dat het werk dat die kracht verricht bij de verplaatsing van een voorwerp tussen twee punten onafhankelijk is van de weg tussen de beide punten. Met andere woorden: het werk uitgedrukt als integraal over de weg: W = F ds [10] is stationair. Hieruit volgt onmiddellijk dat: W = F ds = 0 [11] wanneer beginpunt en eindpunt van de verplaatsing samenvallen Een conservatieve kracht verandert de potentiële energie van het bewogen voorwerp met een hoeveelheid die eveneens onafhankelijk is van de doorlopen weg. De kracht F die op het voorwerp werkt, kan daarom worden geschreven als gradiënt of potentiaal van de potentiële energie V:

4 4 NATUURKUNDE F = V [12] Hierin drukt het minteken uit dat de potentiële energie afneemt in de richting van de kracht en toeneemt in de tegengestelde richting: werk dat door de kracht wordt verricht vermindert de potentiële energie; werk tegen de kracht in vergroot de potentiële energie. De zwaartekracht is conservatief; wrijving is niet conservatief. Men kan in de klassieke mechanica echter iedere kracht als conservatief beschouwen, mits men alle vrijheidsgraden van een systeem in aanmerking neemt. In het geval van wrijving zou men dan de locaties en de snelheden van alle moleculen moeten kennen. 1.3 Gravitatie Kepler vond de volgende wetten voor de beweging van de planeten: I. Alle planeten bewegen zich in elliptische banen met de zon in een van de brandpunten. II. De lijn die een planeet met de zon verbindt, veegt in gelijke tijden over gelijke oppervlakken. Als r de afstand van de planeet tot de zon en θ de doorlopen hoek in een tijd t is, dan is de bestreken oppervlakte voor een infinitesimale hoek dθ en een infinitesimale tijd dt gelijk aan die van een cirkelsector met dezelfde straal en hoek, namelijk een deel van het totale cirkeloppervlak naar rato van de verhouding tussen θ en de omtrek 2π: Oθ = πr 2 (dθ / 2π) = 1 /2 r 2 dθ Volgens de tweede wet van Kepler is Oθ constant door de tijd, dus: doθ / dt = d( 1 /2 r 2 θ) / dt = 0 [13] III. Het kwadraat van de omlooptijd T van een planeet rond de zon is gelijk aan de derde macht van zijn gemiddelde afstand r tot de zon: T 2 = r 3 [14] De aantrekkende kracht (zwaartekracht) F tussen twee lichamen met massa s m1 en m2 en met een onderlinge afstand r wordt in de klassieke mechanica op grond van observaties gegeven door Newtons gravitatiewet: F = G m 1 m 2 / r 2 [15] waarin G de gravitatieconstante is: G 6, Nm 2 / kg 2 In vectorvorm luidt de wet voor de kracht F21 die de massa m2 door de aanwezigheid van m1 ondervindt: F21 = G (m1 m2 / r 3 ) r12 [16] waarin F21 van m2 naar m1 wijst en r12 van m1 naar m Volgens [5] en [15] is de gravitatieversnelling (valversnelling) g die een massa m van een massa M ondervindt: g = F / m = G M / r 2 [17] Als m << M, vloeit bij omzetting van potentiële in kinetische energie vrijwel alle kinetische energie naar m. Kiest men m als de eenheidsmassa, dus m = 1, dan is volgens [12] de gravitatiepotentiaal van m in het gravitatieveld van M: V = F = G M / r 2 [18] De gravitationele potentiële energie van m wordt volgens [8] gegeven door de integraal van de gravitatiekracht ([15]) over de afstand r:

5 NATUURKUNDE 5 V = G M / r + C [19] waarin C de integratieconstante is. Bij conventie is C = 0. De potentiële energie ten gevolge van de zwaartekracht is dus negatief in de nabijheid van M en nadert tot 0 op zeer grote afstand van M. Dit komt overeen met het feit dat twee lichamen die zeer ver van elkaar zijn verwijderd, een verwaarloosbare invloed op elkaars beweging hebben. 1.4 Rotatie Werkt een kracht F op een lichaam dat zich op een vaste afstand r van een punt O bevindt, dan ondervindt het lichaam ten opzichte van het inertiaalstelsel met O als oorsprong een koppel τ waarbij: τ r F [20] Hierin zijn τ, r en F vectoren. De grootte τ van τ is gegeven door: τ = r F sin θ [21] waarin θ de hoek tussen r en F is Het impulsmoment L van het lichaam is gedefinieerd als: L r p [22] waarin de vector p de impuls van het lichaam is. De grootte L van de vector L is gegeven door: L = r p sin θ [23] waarin θ de hoek tussen r en p is Uit [2] en [20] volgt: τ = r F = r (dp / dt) [24] Uit [22] volgt (met gebruikmaking van de produktregel voor differentiatie): dl / dt = d(r p) / dt = (dr / dt) p + r (dp / dt) = (v mv) + r (dp / dt) waarin v de snelheidsvector en m de massa van het lichaam is. Nu is het vectorproduct van twee evenwijdige vectoren gelijk aan 0, dus: v mv = 0 Derhalve is: dl / dt = r (dp / dt) [25] Uit [21] en [25] volgt: τ = dl / dt [26] Werkt er geen kracht op het lichaam, dan is τ = 0. In dat geval is L constant, hetgeen een uitdrukking is van de wet van behoud van impulsmoment De hoeksnelheid van een roterend lichaam is de verandering van de doorlopen hoek in de tijd. Wordt de rotatie beschreven door een hoek φ op tijdstip t, dan is de hoeksnelheid ω: ω dφ / dt [27] De omlooptijd T waarin een volledige cirkel wordt doorlopen is T = 2π / ω Voor een lichaam met massa m dat zich op een afstand r van zijn rotatiepunt bevindt, is de gemiddelde snelheid van zo n omloop:

6 6 NATUURKUNDE v = 2π r / T Derhalve is de omtreksnelheid of baansnelheid gegeven door: v = ω r [28] De hoekversnelling α is gedefinieerd als: α dω / dt [29] Nu is de lineaire versnelling a: zodat: a = dv / dt = d(ω r) / dt α = a / r [30] Uit [28] volgt dat de kinetische energie TR van het roterende lichaam gegeven is door: TR = 1 /2 mv 2 = 1 /2 m ω 2 r 2 [31] Men definieert het traagheidsmoment I als: I mr 2 [32] zodat de kinetische energie ook kan worden geschreven als: TR = 1 /2 I ω 2 [33] Bij een infinitesimale hoek φ wordt een afstand s doorlopen met: ds = r dφ De hiermee overeenkomende hoeveelheid werk dw (zie [7]) is dan: dw = F ds = F ds cos θ = (F cos θ) (r dφ) waarin θ de hoek is tussen de vectoren F en s. De hoek tussen F en r is dan 1 /2π θ en sin ( 1 /2π θ) = cos θ. Dan is dus (zie [21]): zodat: r F cos θ = r F sin ( 1 /2π θ) = τ dw = τ dφ dw / dt = τ (dφ / dt) Volgens [27] is: zodat: (dφ / dt) = ω dw / dt = τ ω [34] Voor een star lichaam dat rond een vaste as roteert, is het traagheidsmoment I constant. Uit [33] volgt dan: dtr / dt = d( 1 /2 I ω 2 ) / dt = 1 /2 I (dω 2 / dt) Nu is volgens de produktregel: en ([29]): dω 2 / dt = (dω / dt) ω + ω (dω / dt) = 2ω (dω / dt) dω / dt = α zodat: dtr / dt = 1 /2 I [2ω (dω / dt)] = I ω (dω / dt) = I ω α [35] Gelijkstelling van werk en energie geeft volgens [34] en [35]: τ = I α [36]

7 NATUURKUNDE 7 2 ANALYTISCHE MECHANICA 2.1 Actie De bewegingswetten van Newton zijn bij uitstek bruikbaar in een Cartesisch coördinatenstelsel. De analytische mechanica overstijgt deze beperking. Zij kan bovendien ook worden toegepast in elektromagnetisme en relativiteitstheorie. De analytische mechanica vervangt Newtons vectoren moment en kracht namelijk door twee scalaire grootheden: de kinetische (Leibniz vis viva) en de potentiële energie (het door een kracht verrichte werk) Laat een deeltje langs een willekeurig pad van punt P1 naar punt P2 bewegen zodanig dat de som van kinetische en potentiële energie constant is. De bij het pad behorende actie is dan de integraal van de kinetische energie T over de tijd t: S T dt [37] Men kan nu zoeken naar het pad waarvoor S de kleinste waarde heeft. Dit pad zal dan het pad zijn waarlangs het deeltje feitelijk beweegt Stelt men zich nu de snelheid v van het deeltje voor als een functie van de tijd t, en neemt men aan dat er geen externe krachten op het deeltje werken, dan is volgens [9]: S = T dt = 1 /2 m v 2 (t) dt Als de snelheid onafhankelijk van de tijd is, dus v(t) = v, waarin v constant is, dan wordt de actie gegeven door: S = 1 /2 m v 2 Δt en de afgelegde weg s door: s = v Δt Veronderstel nu bijvoorbeeld v(t) = 1 /2v gedurende de eerste helft van de periode Δt en v(t) = 3 /2v gedurende de tweede helft, dan is de afgelegde weg weer dezelfde: s = 1 /2v 1 /2Δt + 3 /2v 1 /2Δt = v Δt maar de actie S' is nu: S' = 1 /2m ( 1 /2v) 2 1 /2Δt + 1 /2m ( 3 /2v) 2 1 /2Δt = 5 /8 mv 2 Δt Blijkbaar geeft een snelheid die met de tijd varieert dus een grotere actie dan wanneer de snelheid constant is. Deze veronderstelling is in overeenstemming met de eerste wet van Newton: een deeltje waarop geen externe kracht werkt, beweegt zich met eenparige (constante) snelheid. Beschouwt men de actie S als een functionaal F van de functie v(t): S = F( v(t) ) dan vereist de eerste wet dus dat F minimaal is, hetgeen blijkbaar het geval is wanneer v(t) constant is De bovenstaande procedure kan slechts worden toegepast op conservatieve systemen waarvoor de wet van behoud van energie geldt. In niet-conservatieve systemen is de potentiële energie niet alleen een functie van de plaats maar ook van de tijd.

8 8 NATUURKUNDE 2.2 De Lagrangiaan Onder gegeneraliseerde coördinaten q1, q2,, qn, verstaat men een verzameling van onderling onafhankelijke parameters waarmee een fysisch systeem kan worden beschreven. Als er voor de beschrijving van een systeem n gegeneraliseerde coördinaten nodig zijn, zegt men dat het systeem n vrijheidsgraden heeft. Onder gegeneraliseerde snelheden verstaat men de afleiding van gegeneraliseerde coördinaten naar de tijd. Men schrijft (naar Newton): q. i dqi / dt De beweging van een trein over een spoorbaan kan in een tweedimensionaal Cartesisch coördinatenstelsel met twee parameters x en y (de Cartesische cordinaten) worden beschreven, maar omdat de trein gebonden is aan de spoorbaan, heeft dit systeem slechts één vrijheidsgraad: er is slechts één coördinaat nodig om de beweging van de trein langs de spoorbaan te beschrijven. De beweging van een punt op een boloppervlak kan in een driedimensionaal Cartesisch coördinatenstelsel met drie parameters x, y en z worden beschreven. Deze parameters zijn echter niet onderling onafhankelijk, omdat: r 2 = x 2 + y 2 + z 2 waarin r de straal van de bol is. Men kan het punt ook in bolcoördinaten (r, θ, φ) uitdrukken, waarbij en θ en φ de hoeken zijn tussen de straal door het punt en respectievelijk de positieve X-as en de positieve Z-as. De bolcoördinaten zijn onderling onafhankelijk maar de straal r is constant. Het punt op het boloppervlak heeft dus slechts twee vrijheidsgraden, namelijk θ en φ Men beschouwt nu een functie van de gegeneraliseerde coördinaten en gegeneraliseerde snelheden, die op hun beurt functies van de tijd t zijn. Deze functie noemt men de Lagrangiaan L van een systeem: L( q1(t), q2(t),, qn(t); q. 1(t), q. 2(t),, q. n(t) ) = L( q1, q2,, qn; q. 1, q. 2,, q. n; t) = L(q, q., t) [38] De integraal van de Lagrangiaan over de tijd ( de energie maal de tijd ) wordt weer de actie of werking S van het beschreven systeem genoemd (vergelijking van Euler en Lagrange): S t1 t 2 L(q, q., t) dt [39] 2.3 Het principe van de stationaire actie Men kan zich de integraal L dt voorstellen als de weg of de geschiedenis die een fysisch systeem in de loop van de tijd doorloopt door alle mogelijke configuratietoestanden van dat systeem, uitgedrukt in de gegeneraliseerde coördinaten en snelheden. In de plaats van de Euclidische ruimte waardoor een deeltje zich beweegt, treedt dan een configuratieruimte waarin het systeem zich ontwikkelt. Het principe van de stationaire actie (principe van Hamilton) veronderstelt nu dat de integraal L dt, opgevat als functionaal F van de Lagrangiaan: S = L dt = F( L(q, q., t) ) stationair is. Met andere woorden: de actie verandert niet bij kleine veranderingen δq in de configuratie van het systeem. Dit impliceert op zijn beurt dat de partiële afgeleiden van F naar elk van de coördinaten tot 0 nadert: δs = δf = δfq1 + δfq2 + + δfqn + δfq d 1 + δfq d δfq d n

9 NATUURKUNDE 9 = ( F / q1) δq1 + ( F / q2) δq2 + + ( F / qn) δqn + ( F / q d 1) δq d 1 + ( F / q d 2) δq d ( F / q d n) δq d n = Σk=1 n ( F / qk) δqk + Σk=1 n ( F / q d k) δq d k = 0 Dit betekent niet dat F(L) minimaal moet zijn. Aan de eis dat de partiële afgeleiden tot 0 naderen, wordt namelijk ook voldaan wanneer F(L) maximaal is of een buigpunt of zadelpunt heeft. De benaming principe van de kleinste actie voor het principe van Hamilton is daarom onjuist. Een bekende illustratie van het principe van de stationaire actie is het principe van Fermat: een lichtstraal zal door media met verschillende voortplantingssnelheden dikwijls niet een rechte lijn volgen maar het pad dat de minste tijd in beslag neemt. Zo kan het lijken alsof een weg voorwerpen daarboven weerspiegelt, omdat licht zich in de warme luchtlaag juist boven het wegdek sneller voortplant dan in de hogere koude lucht. 2.4 Het formalisme van Euler en Lagrange Beschouw een pad of geschiedenis van een fysisch systeem en een tweede pad met hetzelfde beginpunt en hetzelfde eindpunt als het eerste. De gegeneraliseerde coördinaten van de beide paden verschillen van elkaar met een term δq. Het verschil tussen de beide integralen (die van het oorspronkelijke en die van het nieuwe pad) is dan: Nu is: zodat: δs = [ L(q + δq, q. + δq., t) L(q, q., t) ] dt = [ ( L / q) δq + ( L / q. ) δq. ] dt q. = (dq / dt) = d(δq) / dt δs = [ ( L / q) δq + ( L / q. ) d(δq) / dt ] dt Beschouwt men ( L / q. ) en δq als functies van de tijd t, dan geeft partiële integratie van de tweede term: t 1 t 2 [ ( L / q. ) d(δq) / dt ] dt = t 1 t 2 [ ( L / q. ) δq ]' dt t 1 t 2 [ ( L / q. ) (δq)' ] dt Omdat beginpunt en eindpunt vastliggen, is de afstand tussen de beide paden in beginpunt en eindpunt 0, dus: zodat: Dan is: δq(t1) = δq(t2) = 0 t 1 t 2 [ ( L / q. ) δq ]' dt = ( L / q. ) t 1 t 2 [δq]' dt = ( L / q. ) [δq(t2) δq(t1)] = 0 δs = [ ( L / q) δq ( L / q. ) (δq)' ] dt = [ ( L / q) δq ( L / q. ) d(δq) / dt ] dt = [ ( L / q) d( L / q. ) / dt ] δq dt Nu is S stationair, als δs = 0 voor elke δq. Hieraan is voldaan als: ( L / q) d( L / q. ) / dt = 0 Bij een systeem met n vrijheidsgraden moet deze voorwaarde gelden voor elke waarde van de index i = 1, 2,, n, zodat de differentiaalvergelijkingen van Euler-Lagrange worden gegeven door: ( L / q i ) d( L / q. i) / dt = 0 [40]

10 10 NATUURKUNDE Krachtens het principe van de stationaire actie dient men de Lagrangiaan in verschillende toepassingen dus steeds zo te kiezen dat deze differentiaalvergelijkingen gelden Laat de rechtlijnige beweging van een deeltje gegeven zijn door een Lagrangiaan L(x, ẋ). Men definieert voor dit deeltje een impuls p als: p dl / dẋ [41] en een kracht F die op het deeltje inwerkt als: F dl / dx [42] Krachtens Euler-Lagrange ([40]) is dan: ( L / x) d( L / x d ) / dt = 0 F dp / dt = 0 p' = F hetgeen overeenkomt met de tweede wet van Newton ([2]). 2.5 De Lagrangiaan in conservatieve systemen In een conservatief systeem, dat wil zeggen, een systeem waarop slechts conservatieve krachten werken, is de potentiële energie V onafhankelijk van de gegeneraliseerde snelheden. Beschouw de beweging van een deeltje met massa m en positie q = (q1, q2, q3) in een drie-dimensionaal Cartesisch coördinatenstelsel. De Lagrangiaan wordt in dit geval bij definitie gelijkgesteld aan het verschil van de kinetische energie T en de potentiële energie V (zie [12] en [19] voor het minteken): L T V [43] Hierin is de kinetische energie T een functie van de gegeneraliseerde snelheden q d en de tijd t: T(q. 1, q. 2,, q. n; t) en de potentiële energie V een functie van de gegeneraliseerde coördinaten q en de tijd: V(q1, q2,, qn; t) zodat men [43] ook kan schrijven als: L(q, q. ) = T(q. ) - V(q) Nu is T niet afhankelijk van de positie q, zodat bij partiële afleiding van L naar qi de eerste term in [47] 0 wordt: L / qi = 0 V / qi = V [44] Hierin is V de gradiënt van de potentiële energie (de potentiaal) ([12]) en differentiaaloperator (ook nabla of del genoemd): Σi=1 n / qi = / q1 + / q2 + + / qn [45] V is niet afhankelijk van de snelheid q. zodat bij partiële afleiding van L naar q. i de tweede term in [47] 0 wordt: L / q. i = T / q. i 0 Nu is volgens [9]: zodat: T = 1 /2 m v 2 = 1 /2 m (dq / dt) 2 = 1 /2 m q. 2 L / q. i = ( 1 /2 m q. i 2 ) / q. i 0 = 1 /2 m ( q. i 2 / q. i) = m q. i [46] De Lagrangiaan luidt dan: de

11 NATUURKUNDE 11 L(q, q. ) = T(q. ) - V(q) = 1 /2 m q. 2 V(q) [47] Dus: d( L / q. ) / dt = m q [48] waarin q volgens de schrijfwijze van Newton de tweede afgeleide van q naar t voorstelt. Nu is volgens [40]: d( L / q. ) / dt ( L / q) = 0 Substitutie van [44] en [48] geeft: m q + V = 0 De tweede afgeleide q van de positie naar de tijd is bij definitie de versnelling a van het deeltje ([4]), zodat: m a = V Beschouwt men de potentiaal V als de kracht F die op het deeltje werkt ([12]), dan gaat de laatste gelijkheid over in de tweede wet van Newton ([5]): F = m a Voor een deeltje in vrije val is de potentiële energie: V = m g q waarin g de valversnelling is en de potentiële energie in q = 0 op 0 wordt gesteld. De Lagrangiaan is dan: L = T V = 1 /2 m q. 2 + m g q Volgens [40] is weer: d( L / q. ) / dt = L / q m q. / dt = m g q = g zodat de versnelling van het deeltje inderdaad gelijk is aan de valversnelling. 2.6 Het theorema van Nöther Een behoudswet zegt dat een zekere grootheid X in de loop van de tijd constant blijft (men spreekt van een bewegingsconstante). De afgeleide van X naar de tijd is derhalve gelijk aan 0: dx / dt = Laat de rechtlijnige beweging van een deeltje weer gegeven zijn door een Lagrangiaan L(q, q. ) en laten de impuls p en de kracht F gedefinieerd zijn volgens [41] en [42]. Laat nu de Lagrangiaan bovendien symmetrisch zijn, dat wil zeggen, constant blijven, onder de transformatie: q G q(ξ) Dit houdt in dat L(q(ξ), q. (ξ)) constant is. Derhalve is de afgeleide:: d L(q(ξ), q. (ξ)) / dξ = 0 Nu is met substitutie van [41] en [42] en toepassing van de kettingregel voor differentiatie: d L(q(ξ), q. (ξ)) / dξ = (dl / dq) (dq(ξ) / dξ) + (dl / dq. ) (dq. (ξ) / dξ) = ṗ dq(ξ) / dξ + p dq. (ξ) / dξ = d(p dq(ξ) / dξ) / dt Dus is: d(p dq(ξ) / dξ) / dt = 0 waaruit volgt dat:

12 12 NATUURKUNDE p dq(ξ) / dξ constant is Het theorema van Nöther luidt nu: als een fysisch systeem een continue symmetrie-eigenschap heeft, correspondeert met die symmetrie een grootheid die door de tijd behouden blijft. 2.7 De Hamiltoniaan Gegeven de Lagrangiaan L als functie van n plaatscoördinaten qi, n snelheden q. i en de tijd t: L = L(q1, q2,, qn; q. 1, q. 2,, q. n; t) Men definieert een nieuwe groep variabelen, impulsen genaamd, aangeduid als pi: pi L / q. i [49] Men introduceert een functie H, Hamiltoniaan genaamd waarin de gegeneraliseerde snelheden q d zijn vervangen door de gegeneraliseerde impulsen: H(q 1, q 2,, q n ; p 1, p 2,, p n ; t) [50] en definieert die als de Legendre-transformatie van L: H Σ i=1 n p i q. i L [51] Volgens de Legendre-transformaties is dan: pi = L / q. i q. i = H / pi [52] H = Σpiq. i L L = Σpiq. i H [53] Bij differentiatie van [51] naar de niet bij de transformaties betrokken variabelen qi en t geldt de term Σ piq. i als constante met afgeleide 0, zodat: L / qi = H / qi [54] L / t = H / t Door de introductie van de impulsen pi verdwijnen de afgeleiden van de tweede orde van het type: L / q. i = L / [ qi / t] die in de differentiaalvergelijking van Euler-Lagrange zijn vervat. Volgens [49] is namelijk: pi = L / q. i ṗ i = L / qi Deze vergelijkingen gaan door de Legendre-transformatie volgens [52] en [54] over in de canonische Hamiltonvergelijkingen: q. i = H / p i ṗ i = H / q i [55] Omdat de Hamiltoniaan H geen afgeleiden van qi of pi naar t bevat, verschijnen de afgeleiden naar t hier alleen aan de linkerzijde van de vergelijkingen. De n differentiaalvergelijkingen van de tweede orde van Euler-Lagrange ([40]) zijn dus vervangen door 2n canonische Hamiltonvergelijkingen van de eerste orde ([55]) De Lagrangiaan van een conservatief systeem ([47]): L = T V = 1 /2mq. 2 V(q) gaat volgens [53] over in de Hamiltoniaan: H = Σpq. L (met sommatie over de drie dimensies van het coördinatenstelsel). Volgens [46] is: p = L / q. = mq. [56]

13 NATUURKUNDE 13 zodat: H = mq. q. L = mq. 2 (T V) = 2T T + V H = T + V [57] De Hamiltoniaan drukt in dit geval dus de totale energie T + V van het conservatieve systeem uit. Omdat T = 1 /2mq. 2 en p = mq. ([56]), kan de Hamiltoniaan ook worden geschreven als: H = 1 / 2 m q. 2 + V(q) = 1 / 2 p 2 / m + V(q) [58]

14 14 NATUURKUNDE 3 RELATIVISTISCHE MECHANICA 3.1 De postulaten van Einstein Fizeau toonde experimenteel aan dat de snelheid van licht in stromend water niet c+vw is (waarin c de lichtsnelheid in een vacuüm is en vw de stroomsnelheid van het water) maar slechts c + (1 1 / 2 ) vw, waarbij staat voor de brekingsindex van water. Lorentz verklaarde de term 1 1 / 2 met behulp van een stationaire ether, die niet wordt beïnvloed door electrische ladingen die ten opzichte ervan bewegen. Hieruit zouden echter zekere optische effecten moeten volgen met een verhouding va 2 / c 2 waarin va staat voor de snelheid van de aarde rond de zon. Dergelijke fenomenen bleken zich niet voor te doen. Experimenten van Michelson en Morley en anderen lieten bovendien zien dat licht voor elke waarnemer dezelfde snelheid heeft. Einstein postuleerde daarom in 1905: 1. Als voor een fysisch systeem zekere wetten gelden, dan gelden die wetten voor elk systeem dat zich eenparig en rechtlijnig ten opzichte van het eerste beweegt (het speciale relativiteitsprincipe). 2. Licht plant zich in lege ruimte altijd voort met een vaste snelheid c, die onafhankelijk is van de bewegingsstaat van de lichtbron. In de traditionele mechanica spreken deze beide postulaten elkaar tegen. Einstein toonde echter aan dat zij kunnen worden verzoend, als de alledaagse notie van een absolute tijd, dat wil zeggen, een tijd die voor alle waarnemers op dezelfde wijze verloopt, wordt verlaten. De tijd t is dus niet langer een absolute grootheid maar moet als een vierde coördinaat worden toegevoegd aan de drie plaatscoördinaten (de Minkowskimetriek). Terwijl de tijd t op deze wijze van een invariante in een covariante grootheid is veranderd, is de lichtsnelheid c juist van een covariante grootheid een invariante grootheid geworden Later meende Einstein dat het eerste postulaat niet algemeen genoeg was, omdat het zich beperkte tot onderling eenparig rechtlijnig bewegende systemen. Het algemene relativiteitsprincipe veralgemeent het eerste postulaat daarom tot alle systemen. Einstein toonde bovendien aan dat in de aanwezigheid van gravitatie de constantheid van de lichtsnelheid niet houdbaar was. De geometrie van de wereld veranderde nogmaals en wel van een vierdimensionale Euclidische structuur in een Riemannstructuur met vier gekromde dimensies. Terwijl de speciale relativiteitstheorie ruimte en tijd in één structuur samenbracht, verenigde de algemene relativiteitstheorie ruimte, tijd en materie in één meetkundige entiteit. 3.2 De Lorentztransformaties Vanwege Einsteins tweede postulaat zijn de Galileitransformaties ([6]) niet langer geldig. Gegeven een inertiaalstelsel S(x, y, z, t) en een tweede inertiaalstelsel S'(x', y', z', t') dat zich ten opzichte van S eenparig met een snelheid v in de positieve X- richting beweegt, en aangenomen dat: S'(0, 0, 0, 0) = S(0, 0, 0, 0) dan zijn de coördinaten in richtingen loodrecht op de snelheid voor waarnemers in beide systemen gelijk: y' = y z' = z Beschouw nu x' en t' als functies van x en t: x' = f(x, t) t' = g(x, t) Gaat men ervan uit dat de transformaties x G x' = f en t G t = g lineair zijn, zodat afstanden in het ene stelsel slechts afhangen van afstanden in het andere stelsel:

15 NATUURKUNDE 15 x'2 x'1 = f(x2 x1, t2 t1) = f(x2, t2 t1) f(x1, t2 t1) t'2 t'1 = g(x2 x1, t2 t1) = g(x2 x1, t2) g(x2 x1, t1) dan is: x' = f(x, t) = Ax + Bt [59] t' = g(x, t) = Cx + Dt [60] waarin de coëfficiënten A, B, D en C afhankelijk van v dus functies van v zijn. Nu beweegt de oorsprong O' van S', waarvoor x' = 0, zich met een snelheid v ten opzichte van S, dus x = vt. Substitutie in [59] geeft: x' = A v t + B t = 0 B = A v zodat men [59] kan schrijven als: x' = A x A v t = A (x v t) [61] Omgekeerd beweegt de oorsprong O van S, waarvoor x = 0, zich met een tegengestelde snelheid v ten opzichte van S', dus x' = vt'. Toepassing van x' = vt 2 op [60] en [61] geeft: A (x v t) = v (C x + D t) Substitutie van x = 0 geeft: A v t = v D t A = D [62] Stelt men bovendien E = C / A, dan kan men [60] schrijven als: t' = Cx + At = A ( Ex + t) [63] Laat nu een derde stelsel S" zich ten opzichte van S' in de positieve X-richting met een snelheid v' bewegen, waarbij weer S"(0, 0, 0, 0) = S'(0, 0, 0, 0). Dan is naar analogie van [61] en [63]: x" = A' (x' v' t') t" = A' (E'x' + t') Substitutie van [61] en [63] geeft: x" = A' A [1 Ev') x (v + v') t] [64] t" = A' A [(E + E') x + (1 E'v) t] [65] Vergelijking met [59], [60] en [62] toont dat de coëfficiënt van x in [64] en die van t in [65] gelijk moeten zijn, dus: 1 Ev' = 1 E'v v ' / E' = v / E Omdat v' / E' uitsluitend van v' en niet van v of E afhangt, zal bij veranderende v en E het quotiënt v' / E' constant blijven. Dan moet ook v / E constant blijven, zodat v en E omgekeerd evenredig moeten zijn, dus: E = v / k waarin k een constante is die niet afhangt van v. [61] en [63] luiden dan: x' = A (x v t) t' = A (x v / k + t) Gaat men nu van S over naar S' (met snelheid v) en van S' weer terug naar S (met snelheid v), dan is: x = A (x' + v t') t = A ( x' v / k + t') [66] x' = A + (x v t) t' = A + (x v / k + t) [67] Substitutie van x' en t' uit [67] in [66] geeft: x = A A + (1 + v 2 / k) x t = A A + (1 + v 2 / k) t Hieraan wordt slechts voldaan als: A A + = 1 / (1 + v 2 / k)

16 16 NATUURKUNDE Vanwege de symmetrie van de ruimte hangen A en A + slechts af van de grootte van v en niet van de richting (het teken) van v, dus: Dan is: A = A + = A A 2 = 1 / (1 + v 2 / k) De vergelijkingen [67] gaan dan over in: x' = (x vt) / (1 + v 2 / k) t' = (xv / k + t) / (1 + v 2 / k) [68] S Als k > 0, kan men schrijven k = σ 2. De vergelijkingen [68] beschrijven dan een Euclidische tijdruimte waarin afstanden invariant zijn onder de regel: (x') 2 + (σt') 2 = x 2 + (σt) 2 S In het bijzondere geval dat k G, nadert x' G x vt en t' G t en gaan de vergelijkingen [68] over in de Galileitransformaties ([6]). S Als k < 0, kan men schrijven k = c 2 en gaan de vergelijkingen [68] over in de Lorentztransformaties: x' = γ (x vt) t' = γ (t vx / c 2 ) [69] waarin γ staat voor de Lorentzfactor: γ 1 / (1 v 2 / c 2 ) [70] Als een deeltje met snelheid c ten opzichte van S beweegt, is: x = ct Ten opzichte van S' geldt dan volgens [69]: Dan is: x' = γ (x vt) = γ (ct vt) t' = γ (t vx / c 2 ) = γ (t vt / c) ct' = γ (ct vt) = x' Het deeltje beweegt zich dus vanuit S' eveneens met een snelheid c. c is met andere woorden de invariante snelheid die Einstein met de lichtsnelheid identificeerde: c 2, m / s [71] Drukt men de tijd uit als τ = ct, ofwel de afstand die het licht in de tijd t aflegt, dan gaan de transformaties [69] over in: x' = γ [x (v / c) τ] t' = γ [τ (v / c) x] [72] Uit [69] volgt: Δx' = x1' x0' = γ (x1 vt) γ (x0 vt) = γ (x1 x0) = γ Δx Een voorwerp met rustlengte Δx' in S' wordt door een waarnemer in S dus waargenomen als bewegend met een kleinere lengte Δx (Lorentzcontractie), waarbij: Δx = Δx' / γ [73] Uit [69] volgt eveneens: t' = t1' t0' = γ (t1 vx / c 2 ) γ (t0 vx / c 2 ) = γ (t1 t0) = γ Δt Geeft een klok in rust in S' een tijdsduur Δt' aan, dan registreert een waarnemer in S, voor wie de klok beweegt, op die klok dus een kortere tijdsduur Δt, zodanig dat: Δt = Δt' / γ [74] Met andere woorden: de klok loopt voor een waarnemer in S trager dan voor een waarnemer in S' (tijdsdilatatie).

17 NATUURKUNDE De Minkowskiruimte In een Euclidische ruimte geldt voor de afstand r tussen twee punten (x, y, z) en (x', y', z'): r 2 = (Δx) 2 + (Δy) 2 + (Δz) 2 waarin Δx = (x' x), enzovoort. In ruimte en tijd wordt de relativistische afstand s tussen twee gebeurtenissen (x, y, z, t) en (x', y', z', t') echter gedefinieerd als: (Δs) 2 c 2 (Δt) 2 ( r) 2 = c 2 (Δt) 2 (Δx) 2 (Δy) 2 (Δz) 2 [75] = (Δτ) 2 (Δx) 2 (Δy) 2 (Δz) 2 [76] (Minkowskimetriek) waarin c weer de lichtsnelheid is en τ = ct. De grootheid s 2 is Lorentz-invariant: zij verandert niet bij de transformatie van een coördinatenstelsel naar een ander dat ten opzichte van het eerste eenparig en rechtlijnig beweegt Voor een tijdachtig interval is: c 2 (Δt) 2 > (Δr) 2 ( Δ s ) 2 > 0 [77] In dit geval is Δs reëel en kan er een relatie van oorzaak en gevolg tussen de beide gebeurtenissen bestaan. Δs heet dan de eigentijd ofwel de tijd gemeten door een ideale klok die van het punt r naar het punt r+δr beweegt. Daarentegen is Δt de coördinaattijd, d.w.z. de tijd gemeten door een ideale klok in de oorsprong van het ruimtelijke coördinatenstelsel. De gelijkstelling van een reële waarde van Δs met de eigentijd volgt uit de aard van het meetproces. De meting wordt gedaan door of binnen een zeker systeem dat bij verplaatsing in de tijdruimte zijn eigen ruimtelijke coördinatenstelsel (T, X, Y, Z) als het ware met zich meevoert. In dit geval is Δr = 0, dus Δs = dt en de gemeten afstand in de tijdruimte valt samen met het tijdinterval Δt gemeten volgens een ideale klok die met het systeem meebeweegt. Zijn de gebeurtenissen daarentegen gescheiden door een ruimteachtig interval, met: (Δr) 2 > c 2 (Δt) 2 ( Δ s ) 2 < 0 [78] dan kunnen de beide gebeurtenissen niet worden verbonden door een invloed die zich voortplant met een snelheid lager dan of gelijk aan de lichtsnelheid. De gebeurtenissen liggen dan niet in elkaars verleden of toekomst. Voor een lichtachtig interval of nulinterval geldt tenslotte: c 2 (Δt) 2 = (Δr) 2 ( Δ s ) 2 = 0 [79] 3.4 Massa en energie Lorentz en anderen suggereerden dat ook de massa van een voorwerp niet voor elke waarnemer gelijk is. Laat m0 de massa zijn zoals die wordt gemeten door een waarnemer voor wie het voorwerp in rust is, dan zou een waarnemer voor wie het voorwerp met een snelheid v beweegt, een massa m meten volgens: m = γ m0 [80] waarin γ weer de Lorentzfactor ([70]) is. Stel nu v / c = β, dan is: m = m0 / (1 v 2 / c 2 ) = m0 (1 β 2 ) ½ Expansie van (1 β 2 ) ½ volgens het binomiaaltheorema geeft: (1 β 2 ) ½ = /2β /8β /16β 6 + Voor lage snelheden is β = v / c << 1, zodat de termen na 1 /2β 2 kunnen worden verwaarloosd, dus:

18 18 NATUURKUNDE (1 β 2 ) ½ /2β 2 1 / 2 β 2 (1 β 2 ) ½ 1 De kinetische energie ([9]) kan dan worden geschreven als: T = 1 /2m0v 2 = 1 /2m0c 2 β 2 m0c 2 [(1 β 2 ) ½ 1] = m 0 (1 β 2 ) ½ c 2 m0c 2 = (m m0) c 2 Stel nu m m0 = Δm, en generaliseer voor elke vorm van energie E die aan een materieel voorwerp wordt toegevoegd, dan bewerkt die energie kennelijk een toename in massa Δm volgens: Δm = E / c 2 Massa kan dus worden beschouwd als een vorm van energie. Een voorwerp met massa m0 in rust heeft dan een rustenergie m0c 2, en algemeen geldt de formule van Einstein: E = mc 2 [81] In een gesloten systeem neemt het principe van behoud van energie nu de volgende vorm aan: Δ(Σ m0c 2 + Σ H) = 0 [82] waarin Σ m0c 2 de totale rustenergie is en Σ H de totale energie in elke andere vorm Voor een snelheid v = c is de Lorentzfactor γ ([70]) onbepaald. Uit [80] volgt bovendien dat de massa van een voorwerp bij v G c oneindig zou toenemen. De Lorentztransformaties laten dus kennelijk niet toe dat een voorwerp wordt versneld tot de lichtsnelheid. 3.5 De gekromde ruimte In een Euclidische ruimte met coördinaten x m (m = 1, 2, 3) ten opzichte van orthogonale rectilineaire assen geldt voor de afstand x tussen twee punten P en Q de stelling van Pythagoras: ( x) 2 = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + (Δx 3 ) 2 [83] Voorziet men de x-termen van coëfficiënten gmn (m = n = 1, 2, 3), dan kan men [83] schrijven als: ( x) 2 = g mn ( x m )( x n ) [84] = g11( x 1 )( x 1 ) + g12( x 1 )( x 2 ) + + g33( x 3 )( x 3 ) met sommatie over m en n. Deze uitdrukking gaat over in [83] wanneer: gmn = 1 voor m = n gmn = 0 voor m n [85] In het geval van onderling schuine maar nog steeds rectilineaire assen nemen gmn andere dan de bovengenoemde maar nog steeds constante waarden aan. Zo is in een tweedimensionale ruimte (m = n = 1, 2) bij een hoek φ tussen de beide assen: gmn = 1 voor m = n gmn = cos φ voor m n [86] In dit geval gaat [83] over in: ( x) 2 = g11( x 1 )( x 1 ) + g12( x 1 )( x 2 ) + g21( x 2 )( x 1 ) + g22( x 2 )( x 2 ) = ( x 1 ) 2 + ( x 2 ) 2 2 cos φ ( x 1 )( x 2 ) Voor ϕ = 1 /2π gaat dit weer over in de stelling van Pythagoras Bij kromme of curvilineaire assen geldt [84] nog slechts voor infinitesimale afstanden dx, waarvan de componenten, gemeten langs de coördinaatassen, bij benadering als rechte lijnstukken kunnen worden beschouwd:

19 NATUURKUNDE 19 (dx) 2 = gmndx m dx n = g11dx 1 dx 1 + g12dx 1 dx g33dx 3 dx 3 [87] Variëert de kromming van de assen van plaats tot plaats, dan zullen de coëfficiënten gmn bovendien geen constanten meer zijn maar veldgrootten ofwel functies van de plaatscoördinaten die de metriek van de gekromde ruimte bepalen Wil men tenslotte de ruimte uitbreiden tot een tijdruimte (Minkowskiruimte), dan schrijft men [87] als: ds 2 = g μν dx μ dx ν [88] = g00dx 0 dx 0 + g01dx 0 dx g33dx 3 dx 3 met μ = ν = 0, 1, 2, 3. Omdat µ en ν verwisselbaar zijn, is gνµ = gµν, zodat er tien, niet zestien onafhankelijke coëfficiënten gµν zijn. ds is reëel voor een tijdachtig interval (ds 2 > 0) en imaginair voor een ruimteachtig interval (ds 2 < 0). Kiest men: g00 = 1 g11 = g22 = g33 = 1 gμν = 0 voor μ ν [89] dan gaat [88] weer over in de relativistische afstandsdefinitie [75] voor orthogonale rectilineaire assen: ds 2 = (dx 0 ) 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) Tensoren Suffixconventies: Met Griekse suffixen worden de vier tijd- en ruimtecoördinaten aangegeven, met Romeinse de drie ruimtelijke coördinaten: in A μ is μ = 0, 1, 2, 3; in A m is m = 1, 2, 3. Komt een suffix éénmaal in een term voor, dan staat de term voor een verzameling van componenten of coördinaten: A μ = [A 0, A 1, A 2, A 3 ] A m = [A 1, A 2, A 3 ] [90] zodat A μ kan worden opgevat als een vierdimensionale en A m als een driedimensionale vector. Komt een suffix tweemaal in een term voor, dan moet het éénmaal boven- en éénmaal onderaan de regel staan. Over zo n suffix moet worden gesommeerd: AμA μ = A0A 0 + A1A 1 + A2A 2 + A3A 3 [91] Hierin is AμA μ het inwendige product van Aμ en A μ, dus een scalaire grootheid zonder dimensie. Om deze reden heet het dimensiesuffix μ hier een dummy. Een suffix kan niet meer dan tweemaal in een term voorkomen. Men stelt: Aμ = A μ voor μ = 0 Aμ = A μ voor μ > 0 [92] De verzameling getallen Aμ die volgens ([92]) zijn afgeleid van de waarden A μ vormen een covariante vector. Een komma beneden aan de regel geeft een partiële afgeleide aan: enz. A,μ = A / x μ A,μν = A,μ,ν = ( A / x μ ) / x ν Het kwadraat van een relativistische afstand ds tussen een punt x μ en een naburig punt x μ + dx μ :

20 20 NATUURKUNDE ds 2 (dx 0 ) 2 (dx 1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2 is invariant onder transformaties van de speciale relativiteitstheorie ([75]). Men noemt nu elke verzameling getallen A μ die op dezelfde wijze transformeren als de bovengenoemde dx μ een contravariante vector. Het kwadraat van de lengte van zo n vector is een scalaire grootheid, geschreven als (A, A) of AμA μ (met dummy μ), waarin A μ een contravariante en Aμ een covariante vector is: (A, A) = AμA μ = A0A 0 + A1A 1 + A2A 2 + A3A 3 = A 0 A 0 A 1 A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 [93] (volgens [91] en [92]). Eveneens invariant is het inwendige product (scalaire product) van twee contravariante vectoren A μ en B μ, geschreven als (A, B) of AμB μ (weer met dummy μ): (A, B) = AμB μ = A0B 0 + A1B 1 + A2B 2 + A3B 3 = A 0 B 0 A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 Stel A is een contravariante vector en A' is een afbeelding van A onder de transformaties van de speciale relativiteitstheorie, dan is AμA μ invariant, dus: A'μA' μ = AμA μ Iedere verzameling van getallen die transformeren als de producten van componenten van co- of contravariante vectoren heet een tensor. Zo is T μ een tensor van de eerste rang met vier componenten T 0,, T 3, ofwel een vector, en T μν een tensor van de tweede rang met 16 componenten A 0 B 0, A 0 B 1,, A 3 B 3, ofwel het uitwendige product (vectorproduct) van twee vectoren A en B. De som van meerdere tensoren van dezelfde rang is weer een tensor van die rang Gelijkstelling van een ondersuffix aan een bovensuffix heet contractie. Door contractie ontstaat bijvoorbeeld uit een tensor van de vierde rang met 256 componenten: T μ νρ σ = [A μ BνCρD σ ] = [A 0 B0C0D 0,, A 3 B3C3D 3 )] door de gelijkstelling ρ = σ een tensor van de tweede rang met 16 componenten: T μ νρ ρ = [A μ BνCρC ρ ] = [A 0 B0CρC ρ,, A 3 B3CρC ρ ] en vervolgens door de gelijkstelling μ = ν een scalair met slechts één component: T μ μρ ρ = [A μ AμCρC ρ ] De producten A μ Aμ en CρC ρ zijn scalaire grootheden (met dummy s μ en ρ) die bij transformatie invariant blijven. 3.7 De transformaties van afstanden bij schuine en gebogen coördinaatassen Bij schuine coördinaatassen wordt het invariante kwadraat van de verplaatsing dx μ of van de lengte van de vector A μ gegeven door [88]: gμνdx μ dx ν of: gμνa μ A ν [94] Hierin zijn gμν constanten waarvan de waarden afhangen van de onderlinge stand van de assen. Voor orthogonale assen geldt weer ([85]): g00 = 1 g11 = g22 = g33 = 1 gμν = 0 voor μ ν zodat [94] overgaat in [93] Bij kromme of curvilineaire coördinaatassen verandert een veldgrootte Q na verplaatsing dx μ volgens: δq = Q,μ δx μ = ( Q / x μ ) δx μ [95]

21 NATUURKUNDE 21 In zo n coördinatenstelsel zijn gμν geen constanten maar eveneens veldgrootten: de fundamentele of metrische tensoren. Bij transformatie van een afstand δx μ naar δx µ ' ' of een vector A μ naar A μ ' ' onder kromme coördinaatassen geldt: δx μ ' ' = x μ ',ν δx ν of: A μ ' ' = x μ ',ν A ν = ( x μ ' / x ν ) A ν [96] Bij parallelle verschuiving van een vector in een gekromde ruimte van P naar P' is het resultaat afhankelijk van het gekozen pad tussen P en P'. Beschouwt men een vierdimensionale gekromde ruimte als ingebed in een vlakke hyperruimte met rechte coördinaatassen en N dimensies (N > 4), dan wordt het resultaat daν van een parallelle verplaatsing van de vector Aν in de gekromde ruimte gegeven door: daν = A μ y n,μ yn,ν,σ dx σ [97] Hierin zijn y n (n = 1, 2,, N) de coördinaten van de vlakke hyperruimte, uitgedrukt als functies van de vier coördinaten x μ van de vierdimensionale gekromde ruimte. Men voert nu de nontensor Γμνσ in, Christoffelsymbool van de eerste soort genaamd: Γ μνσ 1 / 2 (g μν,σσ + g μσ,ν g νσ,μ ) [98] en de nontensor Γ μ νσ of Christoffelsymbool van de tweede soort: Γ μ νσ g μλ Γ λνσ [99] Hiermee kan de parallelle verplaatsing van covariante componenten Aν in een gekromde ruimte worden beschreven zonder verwijzing naar de coördinaten van de vlakke hyperruimte: da ν = Γ μ νσ A μ dx σ [100] Voor de contravariante componenten A ν geldt: da ν = Γ μ νσ A μ dx σ [101] 3.8 Geodeten Laat een punt P met coördinaten z μ bewegen langs een baan, waarbij z μ (τ) functie van een parameter τ is. Stel de afgeleide: dz μ / dτ = u μ [102] (Zou men dz m / dτ = u m schrijven, dan zou τ de tijd zijn en u m de snelheid van het punt met ruimtelijke coördinaten z m. In dz μ / dτ = u μ is als het ware een bovendimensionale parameter τ ingevoerd: u μ is om zo te zeggen de hypersnelheid van z μ.) Laat P zich nu eerst in de richting van de vector u μ van z μ naar z μ + u μ dτ verplaatsen; laat de vector u μ zich vervolgens parallel verplaatsen naar het nieuwe punt P'; laat vervolgens P' zich weer in de richting van u μ' verplaatsen, enzovoort. De zo ontstane baan is een geodeet. Een geodeet is dus een serie verplaatsingen zodanig dat de lengte van de vector u μ constant blijft. Een geodeet is tijdachtig als u μ tijdachtig is, dat wil zeggen: u μ uμ > 0. In dit geval staat de parameter τ voor de eigentijd van het bewegende punt. Als u μ uμ < 0, is de geodeet ruimteachtig. Als u μ uμ = 0, dan is de beschreven baan een nulgeodeet Men veronderstelt nu dat de wereldlijn (het pad door de tijdruimte) van een deeltje waarop buiten de gravitatie geen krachten werken een geodeet is. Zo n deeltje is in vrije val. Wordt een deeltje versneld of vertraagd door andere krachten dan de gravitatie, dan is zijn wereldlijn niet een geodeet. Men veronderstelt bovendien dat de wereldlijn van een lichtstraal een nulgeodeet is.

22 22 NATUURKUNDE Een bal die schuin omhoog wordt gegooid, volgt een parabolische baan. Dit is geen geodeet in de ruimte maar wel een in de tijdruimte. Vergeleken met de lichtsnelheid beweegt de bal namelijk uiterst traag, zodat hij bij een kleine afstand in ruimte een enorme afstand in tijd aflegt. Een geringe kromming van de tijdruimte veroorzaakt dan een meetbare kromming van de ruimtelijke baan Toepassing van [101] met A ν = u ν en dx σ = dz σ geeft: du ν + Γ ν μσ u μ dz σ = 0 du ν / dτ + Γ ν μσ u μ (dz σ / dτ) = 0 [103] Volgens [102] is dan ook: d 2 z ν / dτ 2 + Γ ν μσ (dz μ / dτ) (dz σ / dτ) = 0 [104] Voor een tijdachtige geodeet kan men u μ met een zodanige factor vermenigvuldigen dat u μ de lengte 1 heeft. u μ is dan de snelheidsvector v μ en τ is de eigentijd ς: u μ = v μ = dz μ / dς Gelijkheid [103] gaat dan over in: dv ν / dς + Γ μ νσ v ν v σ = 0 [105] en [104] in: d 2 z μ / dς 2 + Γ μ νσ (dz ν / dς) (dz σ / dς) = 0 [106] De gelijkstelling van een reële waarde van dς met de eigentijd volgt uit de aard van het meetproces. De meting wordt gedaan door of binnen een zeker systeem dat bij verplaatsing in de tijdruimte zijn eigen ruimtelijke coördinatenstelsel z μ als het ware met zich meevoert. In dat geval is dz μ = 0, dus dς = dz 0 en de gemeten afstand in de tijdruimte valt samen met het tijdinterval dz 0 gemeten volgens een ideale klok die met het systeem meebeweegt. Daarentegen is dx 0 is de coördinaattijd, d.w.z. de tijd gemeten door een ideale klok in de oorsprong van het ruimtelijke coördinatenstelsel (voor deze klok geldt steeds x m = 0). Voor een ruimteachtige geodeet is u μ uμ negatief en is de lengte van de vector u μ imaginair. Voor een nulgeodeet is de lengte van de vector 0. In beide gevallen is er geen reële factor waarmee de lengte van de vector op 1 kan worden gebracht Een geodeet (geen nulgeodeet) heeft de eigenschap dat de integraal ds tussen twee punten van de baan stationair is bij een kleine variatie van het traject tussen die punten. De lengte van een baan door de tijdruimte is namelijk voor tijdachtige geodeten niets anders dan de eigentijd van het punt dat, slechts gestuurd door de zwaartekracht, langs het baantraject beweegt. Varieert men nu het traject in geringe mate en zo, dat beginpunt en eindpunt dezelfde blijven, dan gelden er in de verschoven punten andere waarden voor gμν, maar deze verandering kan worden gecompenseerd door een verandering in snelheid. De tocht langs het nieuwe traject kan dus, bij een gewijzigde snelheid, een gelijke eigentijd ds in beslag nemen. Dat neemt niet weg dat een waarnemer die ten opzichte van het coördinatenstelsel in rust verkeert, in beide gevallen een verschillende tijd kan meten. De verstreken eigentijd s staat voor zo n waarnemer namelijk in een evenredigheidsrelatie met de verstreken coördinaattijd x 0 volgens: ds 2 = gμν (dx 0 ) Het gravitatieveld Veronderstel dat een deeltje zich door een statisch, dat wil zeggen, in de tijd onveranderlijk, coördinatenstelsel beweegt met een snelheid v die laag is ten opzichte van de lichtsnelheid. Dan zijn in [88]: ds 2 = gμνdx μ dx ν

23 NATUURKUNDE 23 gμν constant in de tijd, zodat hun afgeleiden naar de tijd: gμν,0 = 0 waarin de 0 aan de linkerzijde het suffix van de tijdcoördinaat is. Bovendien zullen in een statisch gravitatieveld ruimtelijke afstanden niet afhangen van de tijd. De termen g0mx 0 x m aan de rechterzijde van [88] mogen dus niet afhangen van x 0, hetgeen slechts het geval is als: g0m = gn0 = 0 met m = n = 1, 2, 3. Het deeltje beweegt zich langs een geodeet. Dan is volgens [105]: dv m / dς = Γ m 00 (v 0 ) 2 waarin ς de eigentijd is. Toepassing van [99] en [98] geeft: Nu is ook: dv m / dς = g mn Γν00 (v 0 ) 2 = g mn 1 /2 ( g00,n) (v 0 ) 2 = 1 /2 g mn g00,n (v 0 ) 2 [107] dv m / dς = (dv m / dx 0 ) (dx 0 / dς) = (dv m / dx 0 ) v 0 [108] Combinatie van [107] en [108] geeft: Nu is: dv m / dx 0 = 1 /2 g mn g00,n v 0 [109] g00v 0 v 0 = 1 v 0 = g00 1/2 zodat [109] overgaat in: dv m / dx 0 = g mn (g00 1/2 ),n dvm / dx 0 = (g00 1/2 ),m [110] Het deeltje beweegt dus alsof het onder de invloed staat van een potentiaal g00 ½ Kiest men de eenheid van tijd zo, dat g00 1, dan kan men schrijven: g00 = 1 + 2V met een zeer kleine waarde voor V. Dan is: g00 ½ 1 + V en V is de potentiële energie van het gravitatieveld, vergelijkbaar die uit de klassieke mechanica ([19]). Op het aardoppervlak is 2V 10 9, zodat daar inderdaad g00 1. Voor een waarde van de straal van de aarde r 10 7 m is g00,m m 1. Het gravitatieveld van de aarde is dus vrijwel vlak. Omgerekend naar eenheden waarin de lichtsnelheid c 2, m / s is de gravitatieversnelling op het aardoppervlak echter g00,m c 2 10 m / s Zoals uit het bovenstaande blijkt, beschrijven de veldgrootten of metrische tensoren gμν zowel de metriek van de gekromde tijdruimte als het gravitatieveld. Gravitatieveld en metriek van de tijdruimte zijn in de algemene relativiteitstheorie onscheidbaar Einsteins veldvergelijkingen In de speciale relativiteitstheorie kan men niet meer van absolute snelheid spreken maar nog wel van relatieve snelheid, namelijk de snelheid van een lichaam ten opzichte van een gekozen inertiaalstelsel. In de algemene relativiteitstheorie kunnen vectoren op verschillende punten in de tijdruimte echter pas worden vergeleken als de ene vector door parallelle verschuiving wordt overgebracht naar de plaats van de andere.