D h = d i. In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal.

Transcriptie

1 12 De hoekafstand In een vlak, statisch, niet expanderend heelal kan men voor een object met afmeting d op grote afstand D (zodat D d) de hoek i berekenen waaronder men het object aan de hemel ziet. Deze hoek wordt gegeven door de relatie tan i i = d D. (12.1) Voor gegeven afmeting d neemt deze hoek monotoon af met toenemende afstand D. Men kan met behulp van deze relatie de hoekafstand van een object definiëren als: D h = d i. (12.2) In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal. a. Bekijk een bron met afmeting d en met meebewegende (wat betekent dat?) afstand a. Deze bron zendt op t = t em een foton uit dat ons op t = t 0 bereikt. Maak een tekening die de situatie weergeeft, zowel op tijdstip van foton-emissie t em als op het tijdstip t 0 van foton-ontvangst. Laat in deze figuur zien: de positie van de bron bij uitzenden en ontvangst, resp. op afstand D em = R(t em )a en D o = R(t 0 )a; de rechtlijnige baan van twee fotonen, afkomstig van de twee uiteinden van de bron, die de waarnemer bereiken; de afmeting van de bron d en de hoek i. 34

2 b. Laat met behulp van die tekening zien dat de hoek waaronder we de bron waarnemen wordt vastgelegd op het tijdstip van uitzenden, en daarom óók bij ontvangst op tijdstip t 0 wordt gegeven door i d D em = d R(t em )a. (12.3) c. Men kan de hoekafstand in een expanderend heelal op dezelfde manier definiëren als in een vlak, statisch heelal (vergelijking 12.2). Bewijs dat de hoekafstand D h dan wordt gegeven door D h = D z, (12.4) met z de roodverschuiving van de bron 5, en D 0 zijn fysische afstand op het moment t 0 van ontvangst. We plaatsen ons nu in de positie van een typische waarnemer, die alleen de hoekmaat i, de roodverschuiving z van de bron en de ouderdom t 0 van het heelal bij fotonontvangst weet. We gebruiken de relatie die voor de afstand D 0 tot de bron heeft in termen van schaalfactor, emissie-tijdstip en ontvangstijdstip: D 0 = R 0 a = R 0 t0 t em c dt R(t). (12.5) Hier gebruik ik de notatie R 0 R(t 0 ). We bekijken het simpelste Friedmann model: een door materie gedomineerd, vlak heelal met expansiewet ( ) 2/3 t R(t) = R 0. (12.6) t 0 5 Wat was ook al weer de relatie tussen schaalfactor en roodverschuiving? 35

3 d. Laat zien dat de volgende relaties gelden: t em = t 0 (1 + z) 3/2, D 0 = 3ct 0 1 ( tem t 0 ) 1/3. (12.7) e. Laat nu behulp met de resultaten van d zien dat de hoek waaronder we een object van afmeting d zien in een vlak heelal dat expandeert als R t 2/3 als functie van de roodverschuiving wordt gegeven door: ( ) d i = d H (1 + z) 3/2 1 + z 1. (12.8) In deze uitdrukking is d H = 3ct 0 de horizonafstand in een heelal dat expandeert als R t 2/3, zoals uitgerekend in opgave 1.9 voor α = 2/3. f. Maak een grafiek van het verloop van i als functie van de roodverschuiving z (gebruik een calculator). Wat valt daarbij op??? Hoe gedraagt i zich voor z 1 en voor z 1? g. Geef een fysische verklaring van het feit dat in een expanderend heelal de hoek waaronder men het object ziet niet monotoon afneemt met toenemende afstand (roodverschuiving), zoals met zou verwachten op grond van onze dagelijkse ervaring. 36

4 13 De Luminosity Distance Sterrekundige afstandsbepaling buiten ons eigen Melkwegstelsel gebruikt altijd de waargenomen helderheid van een object (magnitude) om, gegeven de lichtkracht (absolute magnitude) van dat object, de afstand te bepalen. Door dit voor vele objecten (veranderlijke sterren zoals de Cepheïden, gaswolken, ) te doen kunnen fouten door individuele verschillen worden uitgemiddeld. De flux F van een object met lichtkracht (uitgestraald vermogen) L op een afstand D is F vermogen oppervlak = L 4πD 2. (13.1) Deze formule gaat er van uit dat het object in alle richtingen even sterk straalt, zodat het uitgestraald vermogen (stralingsenergie/tijdseenheid) gelijkmatig is verdeeld over een bol met straal D. Als met L kent volgt de afstand meteen uit de waargenomen flux: D = L 4πF D L. (13.2) Deze relatie definieert de zgn. lichtkracht afstand (Engels: Luminosity Distance). Bovenstaande twee formules zijn geldig voor een object op vaste afstand, dus in een statisch (niet expanderend) heelal. In deze som bekijken wij hoe dit werkt in een expanderend heelal. a. Bekijk een bron met roodverschuiving z. Met wat voor factor verschilt de ontvangen foton-energie voor ieder foton van de foton-energie bij uitzenden? b. De waargenomen flux hangt niet alleen af van de energie per foton, maar ook van de snelheid waarmee opeenvolgende fotonen binnenkomen bij de waarnemer. Stel, gemiddeld gesproken vertrekken opeenvolgende fotonen een tijdspanne t e van elkaar bij de bron. Met welk tijdsinterval komen die fotonen bij de waarnemer binnen, en wat betekent dit voor de waargenomen flux (opgevangen vermogen per oppervlakte-eenheid)? 37

5 c. Op het moment van ontvangst staat de bron op een afstand D 0. Beredeneer nu op grond van de resultaten a en b dat de Luminosity Distance, als je die nog steeds definieert volgens uitdrukking (13.2), gegeven wordt door: D L = (1 + z) D 0. (13.3) Naschrift: Uit de laatste twee sommen kun je opmaken dat afstandsbepaling in een expanderend heelal wat ingewikkelder is: de hoekafstand D h en de lichtkracht afstand D L hangen samen met de werkelijke afstand D 0 op het moment van foton-ontvangst via de relaties: D h = D z, D L = D 0 (1 + z). (13.4) Daarbij dient te worden gerealizeerd dat astronomische metingen in het algemeen alleen leiden tot een situatie waar de waarnemers de beschikking hebben over de roodverschuiving, helderheid en (soms) hoekafmeting, zodat de afstandsbepaling via D L of D h moet geschieden. Het gebruik van de hoekafmeting, bijvoorbeeld bij uitgebreide radiobronnen (radio-sterrenstelsels) is bovendien zeer problematisch omdat deze klasse objecten een zeer heterogene populatie vormen. 38

6 14 Afstanden uitgedrukt als roodverschuivingsintegralen Waarnemers krijgen in het algemeen direct de roodverschuiving van de bron uit hun gegevens. Die roodverschuiving is gerelateerd aan de schaalfactor R 0 R(t 0 ) bij fotonontvangst en de schaalfactor R em R(t em ) op het moment van emissie via de relatie 1 + z 0 = R 0 R em, (14.1) met z 0 de waargenomen roodverschuiving. Omdat er een één op één correspondentie is tussen roodverschuiving, waarneemmoment t 0 en emissie-moment t em, gegeven een heelalmodel dat je R(t) geeft, kun je ook roodverschuiving gebruiken in plaats van de tijd door te definiëren: 1 + z(t) R 0 R(t), (14.2) dat wil zeggen: z(t) is de roodverschuiving van een denkbeeldig foton dat op tijdstip t vertrok (t t em ) en nu (d.w.z. op het vaste tijdstip t 0 t) aankomt. In deze som bekijken we hoe dit kan worden gebruikt om afstanden te berekenen. a. Laat zien dat de Hubble parameter op tijdstip t t 0 gelijk is aan Waarom is het minteken hier essentiëel? H(t) = z dz dt. (14.3) b. Bekijk vlak een heelal, gevuld met koude materie en een kosmologische constante (vacuüm-energie), zoals het ons eigen heelal. De bijbehorende Omega-parameters (op tijdstip t 0 ) zijn respectivelijk Ω m0 en Ω Λ0, zie ook Som 1.8. Laat zien dat Friedmann s vergelijking leidt tot: dz dt = H 0 (1 + z) Ω m0 (1 + z) 3 + Ω Λ0. (14.4) 39

7 c. Stel, we gebruiken de roodverschuiving z(t) in plaats van tijd zelf om bij te houden over welk tijdstip in de evolutie van het heelal we praten. Gebruik de relatie dz = ( ) dz dt dt (14.5) om te bewijzen dat de volgende relatie geldt voor het omschrijven van tijdsintegralen naar roodverschuivingsintegralen: t0 t e dt = z0 0 H 0 (1 + z) dz Ω (14.6) m0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 Waar is het minteken gebleven? d. Laat nu zien met behulp van de op het college afgeleide definities dat de afstand D 0 tot een bron bij foton-ontvangst gelijk is aan D 0 = c H 0 z0 0 dz Ω m0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 (14.7) Het voordeel van deze schrijfwijze moet duidelijk zijn: je meet z 0 en andere metingen geven je (hopelijk) goede waarden voor Ω m0 en Ω Λ0. Vergeet niet dat we een vlak heelal hebben aangenomen zodat Ω m0 + Ω Λ0 = 1. e. Bereken D 0 in termen van z 0 in twee grensgevallen: Een heelal zonder vacuümenergie, dus Ω m0 = 1 en Ω Λ0 = 0; Een leeg de Sitter heelal zonder materie, dus Ω m0 = 0 en Ω Λ0 = 1. In het algemene geval moet de integraal numeriek worden berekend: er is géén analytische formule voor! 40

8 15 INLEVEROPGAVE: Gekromde De Sitter-heelallen Als vacuüm-energie overheerst luidt de Friedmann vergelijking: ( 1 R ) 2 dr = H 2 Λ dt k R. (15.1) 2 Hier is k de krommingsparameter en is H Λ gedefiniëerd via de relatie H 2 Λ = 8πG ρ vac 3 = Λ 3, (15.2) met Λ de equivalente kosmologische constante. We gaan er van uit dat H Λ constant is. De simpele De-Sitter oplossing gaat uit van een vlak heelal met k = 0. Hier bekijken we de gevallen met k 0. Dit soort modellen zijn belangrijk voor de theorie van Inflatie, waar het heelal een vroege periode van (exponentieel) snelle expansie kent om zo het horizonprobleem en het vlakheidsprobleem van simpele Friedman modellen op te lossen. a. We bekijken eerste het geval k > 0 (gesloten, positief gekromd heelal). Laat nu het volgende zien: als we de dimensieloze variabelen τ = H Λ t, R = H Λ R k (15.3) definiëren, dan kan Friedmann s vergelijking worden geschreven als: ( ) 2 dr = R 2 1. (15.4) dτ 41

9 b. We kiezen de expanderende oplossingstak, waarvoor geldt R 1 (waarom??) en dr dτ = R 2 1. (15.5) Laat, op welke manier je ook maar wilt, zien dat de oplossing van deze gewone differentiaalvergelijking is 6 : R(τ) = cosh(τ), (15.6) als R = 1 op τ = 0. c. Hoe gedraagt deze oplossing zich voor τ 1? Geef in dat geval ook R(t), d.w.z. de oplossing in fysische variabelen. d. We bekijken vervolgens het geval k < 0: het open, negatief gekromd heelal. We introduceren nu de dimensieloze variabelen τ = H Λ t, R = H Λ R k. (15.7) Volg nu dezelfde (analoge) stappen als voor het geval k > 0, en laat uiteindelijk zien dat de expanderende oplossingen voldoen aan: R(τ) = sinh(τ), (15.8) als R = 0 op τ = 0. De opgave gaat door op de volgende pagina! 6 Voor wie het even vergeten is: de hyperbolische functies cosh(x) en sinh(x) zijn gedefiniëerd als cosh(x) = (e x + e x )/2, sinh(x) = (e x e x )/2 en voldoen aan cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. 42

10 e. Hoe gedraagt deze oplossing zich voor τ 1? Geef in dat geval ook R(t), d.w.z. de oplossing in fysische variabelen. f. Wat concludeer je op grond van deze berekening over de invloed van kromming (i.h.b. het teken van k) op het tijds-asymptotisch gedrag (gedrag voor voor H Λ t 1) van inflatieoplossingen? Je mag het geval de Sitter geval met k = 0 in deze discussie betrekken. Naschrift: je ziet uit deze berekening dat de bij simpele Friedmann modellen (ρ vac = 0) geldende wet dat k > 0 een heelal geeft dat ooit weer instort, en k 0 een heelal dat altijd blijft expanderen hier niet langer geldt! 43