1 Roodverschuiving en Planck spectrum

Transcriptie

1 1 Roodverschuiving en Planck spectrum Doel van deze opgave: aantonen dat fotonen die in een zwarte-stralerverdeling (een zgn. Planck spectrum) worden gecreëerd in een uitdijend heelal deze verdeling houden als ze worden roodverschoven, maar met een steeds lagere temperatuur. Een zwarte straler met een temperatuur T zendt fotonen uit met een unieke verdeling over alle frequenties: het Planck spectrum. Omdat de foton-energie gelijk is aan E = hν is deze frequentieverdeling in feite een verdeling over foton-energie. Men kan de verdeling n(ν) over de frequentie ν = c/λ (met λ de golflengte) als volgt definiëren: de fotondichtheid dn fot van fotonen binnen een infinitesimaal frequentie-interval [ν, ν + dν] is te schrijven als dn fot = n(ν) dν. (1.1) De grootheid n(ν) is dus het aantal fotonen per volume-eenheid per Hz (1 Hz is de eenheid van frequentie). Voor een Planck spectrum wordt de verdeling n(ν) gegeven door: n(ν) = n pl (ν, T) = 8πν2 c 3 1 e hν/k bt 1. (1.2) Onderstaande figuur geeft het Planck spectrum. Door de expansie van het heelal worden alle fotonen roodverschoven. Dit betekent dat de waargenomen golflengte λ obs gegeven wordt door λ obs = (1 + z) λ em, (1.3) met λ em de golflengte bij foton-emissie (laboratorium golflengte). 1

2 Figure 1: Het Planck spectrum op tijdstip t em (doorgetrokken curve), en het rood-verschoven Planck spectrum op een willekeurig later tijdstip t (streepjescurve). Door de roodverschuiving zijn fotonen die bij emissie op het tijdstip t em in het frequentie-interval dν em zaten terecht gekomen in een nieuw frequentie-interval, dν(t). 2

3 a. In een expanderend heelal worden op een tijdstip t = t em fotonen uitgezonden met een frequentie ν em = c/λ em. Op een willekeurig tijdstip t > t em worden deze fotonen waargenomen, nu met frequentie ν = c/λ. De theorie van roodverschuiving, zoals besproken in Hoofdstuk 4 van het Boek, geeft de relatie ( ) R(t) λ(t) = λ em R em, (1.4) Hier is R(t) de dimensieloze schaalfactor die de universele expansie beschrijft: alle voldoend grote afstanden schalen als D(t) R(t) in een uitdijend heelal. Geef de roodverschuiving z(t) in termen van de schaalfactor-verhouding R(t)/R em. b. Wat is de frequentie ν(t) op het tijdstip t van een foton dat met frequentie ν em werd uitgezonden op tijdstip t em? c. Bekijk nu een ander foton, dat tegelijkertijd werd uitgezonden, maar met een iets andere frequentie gelijk aan ν em + dν em. Beantwoord nu de volgende twee vragen: 1. Wat is de frequentie van dit foton op tijdstip t? 2. Wat concludeer je uit dit resultaat over de breedte dν(t) van het frequentie-interval waarin de fotonen op tijdstip t terechtkomen die oorspronkelijk in het interval [ν em, ν em + dν em ] zijn uitgezonden? d. Door de universele expansie van het heelal worden (op voldoend grote schaal) afstanden groter volgens de relatie L(t) = constante R(t). (1.5) Hoe gedraagt zich dan een willekeurig mee-expanderend volume V? Vraag gaat verder op de volgende pagina! 3

4 e. In een uniforme verdeling, waarin geen extra fotonen worden bijgemaakt of fotonen worden vernietigd, is het aantal fotonen in een mee-expanderend volume V, N fot = n fot V, (1.6) een behouden grootheid. De grootheid n fot is de fotondichtheid. Hoe verandert n fot als functie van de schaalfactor? f. Laat met behulp van de onder c gevonden roodverschuivingswet voor de frequentie ν en voor het frequentie-interval dν, en met behulp van de verdunningswet voor n fot afgeleid in e, zien dat de frequentieverdeling van fotonen in het algemeen moet voldoen aan de relatie [ ] 2 R(t) n(ν, t) = n(ν em, t em). (1.7) R em g. Neem aan dat de uitgezonden fotonen op tijdstip t em in een Planck spectrum zijn verdeeld, met bijbehorende temperatuur T em : n(ν em, t em ) = dn fot(t em ) dν em = n pl (ν em, T em ). (1.8) Laat zien dat de roodverschoven fotonen op tijdstip t nog steeds verdeeld zijn in een Planck spectrum, mits de temperatuur afneemt volgens de relatie n(ν, t) = n pl (ν(t), T(t)), (1.9) T(t) = T em [ R(t) R em ] 1. (1.10) Hier is T em de temperatuur van de Planckverdeling op het emissietijdstip. 4

5 h. Resultaat g suggereert dat T R 1. Hier moet je dit bewijzen. Als we de dichtheid van alle fotonen in een Planck-spectrum bekijken, formeel gegeven door een integratie over alle mogelijke frequenties n fot = 0 dν n pl (ν, T) = 0 8πν 2 dν c 3 1 e hν/k bt 1, (1.11) Laat door een slimme verandering van integratie-variabele in (1.11) zien dat geldt: n fot = constante T 3. (1.12) Wat concludeer uit je over het gedrag van de foton-temperatuur T als functie van de schaalfactor in een uitdijend heelal? i. De kosmische achtergrondstraling heeft een Plancks spectrum met een temperatuur T 0 3 K. De achtergrondstraling ontstaat op het moment dat de temperatuur in ons heelal daalt beneden de grenswaarde van T em = 4500 K. Bij die temperatuur is de recombinatie van waterstofkernen en vrije elektronen tot waterstofatomen zo ver gevorderd dat het heelal vrijwel volledig doorzichtig wordt voor lichtverstrooiing door vrije elektronen. Berekenen met behulp van de bovenstaande resultaten en onderstaande gegevens de volgende grootheden: 1. De roodverschuiving z van de fotonen in de achtergrondstraling; 2. Het tijdstip t em van de waterstof-recombinatie, gebruikmakend van de volgende gegevens: expansiewet vlak heelal: huidige leeftijd heelal: ( ) 2/3 t R(t) = R 0 t 0 t jaar s. (1.13) 5

6 2 De Paradox van Olbers In 1823 beredeneerde de astronoom Wilhelm Olbers ( ) dat het feit dat de nachthemel donker is uitsluit dat het heelal onveranderlijk, en tegelijkertijd oneindig groot is. Deze opgave gaat over dit als Olbers Paradox bekendstaande resultaat. Beschouw een oneindig, vlak en stationair (niet uitdijend) heelal. Dit heelal is homogeen gevuld met een populatie van identieke sterren. De eigenschappen van deze sterpopulatie zijn: sterdichtheid in het heelal: n, straal van iedere ster: R, effectieve temperatuur van iedere ster: T, (2.1) lichtkracht van iedere ster: L = 4πR 2 σ sb T 4. Hier is σ sb de constante van Stefan-Boltzmann: σ sb = W m 2 K 4. (2.2) De formule voor de lichtkracht L gaat er impliciet van uit dat het steroppervlak straalt als een zwarte straler bij een temperatuur gelijk aan de temperatuur van het zichtbare oppervlak, de zg. fotosfeer. De flux F die de aarde bereikt van één afzonderlijke ster op afstand D is gelijk aan: F (D) = L 4πD 2 = σ sbt 4 ( R ) 2 [W m 2 ]. (2.3) D Deze formule gebruikt dat alle energie die de ster per tijdseenheid als fotonen uitzendt de denkbeeldige bol met straal D, en met de ster in het middelpunt, moet passeren. Processen als absorptie van fotonen zijn dus uitgesloten. 6

7 Staat een ster op voldoend grote afstand, (d.w.z. D R ), dan heeft het sterschijfje een hoekdiameter aan de hemel gelijk aan 2θ, met θ gegeven door (zie figuur): θ = tan 1 (R /D) R /D. (2.4) Het sterschijfje beslaat een ruimtehoek 1 aan de hemelbol ter grootte Ω (D) = πθ 2 π ( R ) 2 sr. (2.5) D De gehele hemelbol beslaat een ruimtehoek Ω tot = 4π sr (1 sr = 1 steradiaal = 1 radiaal 2 = vierkante graden). De intensiteit I wordt voor een bron met een flux F die men ziet onder een ruimtehoek Ω gegeven door: I F Ω [W m 2 sr 1 ]. Detectoren (waaronder het menselijk oog) werken grosso modo als volgt: (2.6) Is de bron onopgelost (d.w.z. ziet men de ster als een puntje, alle licht valt op één pixel van je CCD detector), dan bepaalt de flux F de helderheid; Is de bron opgelost, d.w.z. met ziet de ster als een schijfje met ruimtehoek Ω (zoals onze Zon, het licht is verdeeld over meerdere pixels), dan wordt de helderheidsindruk bepaald door de intensiteit I = F/Ω in plaats van F. Wij gaan er in deze opgave voor het gemak van uit dat ons oog oneindig scherp ziet zodat men de afzonderlijke sterren als kleine schijfjes aan de hemel kan onderscheiden (tweede geval). Die aanname beïnvloedt de uiteindelijke conclusies niet. 1 De ruimtehoek is zo gedefinieerd dat een klein deel-oppervlak O op een bol met straal R een ruimtehoek Ω = O/R 2 beslaat. Een cirkelvormig oppervlak met straal r R en oppervlak πr 2 ziet een waarnemer in het middelpunt van de bol met hoekdiameter 2θ. De hoek θ volgt uit tan θ = r/r. In dat geval geldt Ω = 2π(1 cos θ) πθ 2. We maken in de som gebruik van de benadering voor kleine hoeken: tan θ θ en cos θ θ2. 7

8 Figure 2: Een ster met straal R staat op een afstand D. De ster wordt gezien met een hoekdiameter 2θ, met θ R /D als D R. Het sterschijfje beslaat dan een ruimtehoek Ω = πθ 2. a. De intensiteit van de straling afkomstig van een ster is gedefinieerd als I F /Ω. (2.7) Bereken deze intensiteit. Wat merk je daarbij op, en wat betekent dat voor de waargenomen helderheid van ieder (opgelost) sterschijfje? b. Bekijk de sterren die zich bevinden op een afstand tussen D en D + D. Je mag veronderstellen dat de bolschil dun is, d.w.z. D D. Beantwoord nu de volgende twee vragen: Wat is het volume van de bolschil waarin deze sterren zich bevinden, en hoeveel sterren bevat dit volume? Wat is de totale ruimtehoek Ω die wordt overdekt door de schijfjes van deze sterren, als je aanneemt dat de sterschijfjes elkaar aan de hemel niet (gedeeltelijk) afdekken? De kans dat een gezichtslijn in een willekeurige richting een sterschijfje treft (de trefkans) is simpelweg P = overdekte ruimtehoek totale ruimtehoek = Ω 4π. (2.8) Zoals iedere kans moet deze voldoen aan 0 P 1. Tevens is P de fractie van de hemelbol die wordt overdekt. 8

9 c. Wat is de kans dat een willekeurige gezichtslijn een sterschijfje treft van één van de sterren in de bolschil van vraag b? d. Geef een formele integraaluitdrukking voor de totale overdekte hoekmaat van alle sterren in een oneindig heelal, dus met de afstand tussen D = 0 en D =. Wat komt er formeel uit die integraal, en waarom is dat resultaat onzin? e. Welk tot nu toe verwaarloosd effect moet voor een zinvol antwoord in rekening worden gebracht? Wat is daarom het fysisch correcte resultaat voor de totale door sterschijfjes overdekte hoekmaat, en wat volgt daaruit voor de intensiteit I van de nachthemel? f. Wat zou dat laatste resultaat betekenen als je aanneemt dat al deze sterren zijn zoals onze Zon? g. Wat zou kunnen verklaren dat in ons heelal de nachthemel wel donker is? Denk kritisch na over de volgende mogelijkheden, of verzin er zelf een bij: Effect van roodverschuiving; Eindige leeftijd van het heelal; Bestaan van een waarneemhorizon; Absorptie van sterlicht door tussenliggend gas; Naschrift: Je kunt Olbers paradox als volgt samenvatten: in een oneindig uitgestrekt, onveranderlijk heelal treft de gezichtslijn altijd het oppervlak van een ster. Omdat de intensiteit niet van de afstand van de ster afhangt, (onderdeel a) ziet men ongeacht de afstand dezelfde intensiteit: de intensiteit aan het steroppervlak. De nachthemel is dus in zo n heelal even helder als het oppervlak van de gemiddelde ster, bijvoorbeeld de Zon! Het juiste antwoord op deze paradox is gegeven door Lord Kelvin (1901) en in essentie, vreemd genoeg, door de Amerikaanse horror-schrijver Edgar Allen Poe (1848). 9

10 3 Newtons probleem, een speculatie Velen hebben zich afgevraagd waarom Newton niet het equivalent van Friedmann s vergelijking heeft afgeleid, zoals wij in dit college doen. Een mogelijk antwoord (maar dat is speculatief) is dat hij dan het idee van een statisch heelal zou moeten loslaten, een idee dat in Newton s tijd gemeengoed was. Maar er zijn ook wiskundige problemen. Daarover gaat deze opgave. a. Bekijk een oneindig uitgestrekt, uniform en isotroop heelal met gemiddelde dichtheid ρ. Dit heelal is statisch: de materie is overal en altijd in rust. Newton s gravitatietheorie geeft de volgende basisvergelijkingen voor de gravitatiepotentiaal Φ en gravitatieversnelling g: 2 Φ = 4πG ρ, g = Φ. (3.1) Laat zien dat de aanname van een uniform, isotroop en statisch heelal tot een tegenspraak leidt tussen deze vergelijkingen tenzij de dichtheid een speciale waarde heeft. b. Laten we proberen het probleem gesignaleerd in a. op te lossen door een Kosmologische constante Λ in te voeren, die de eerste van de twee vergelijkingen in (3.1) wijzigt in: 2 Φ + Λ = 4πG ρ. (3.2) Voor welke dichtheid ρ kun je nu een statisch, uniform en isotroop heelal hebben? c. De introductie van een Kosmologische constante heeft natuurlijk consequenties voor andere toepassingen van Newton s zwaartekracht, zoals planeetbewegingen. Hier (en in wat volgt) wordt je gevraagd die consequenties te onderzoeken. Bekijk een puntmassa M in de oorsprong die een zwaartekrachtsveld opwekt. Er is lokaal géén andere massabron. Het gewone Newtonse resultaat voor de bijbehorende zwaartekrachtspotentiaal op afstand r 0 is dan het bekende Φ N (r) = GM r, (3.3) Vraag gaat door op volgende pagina! 10

11 de oplossing (met bolsymmetrie) van 1 r 2 Het equivalent voor vergelijking (3.2) luidt voor r 0 1 r 2 ( d r 2 dφ ) = 0. (3.4) dr dr ( d r 2 dφ ) + Λ = 0. (3.5) dr dr Probeer een oplossing te vinden van deze vergelijking in de vorm van een superpositie: Φ(r) = Φ N (r) + Φ Λ (r). (3.6) De enige fysische eis is dat vlak bij de massa (als r 0) moet gelden dat Φ N (r) Φ Λ (r) zodat de bekende fysica geldig blijft. d. Laat zien dat Φ Λ leidt tot een extra afstotende kracht als Λ > 0! e. Bekijk een statisch heelal met gemiddelde dichtheid ρ dat aan de vergelijking (3.2) voldoet, en waar de gemiddelde dichtheid ρ gegeven wordt door het antwoord van vraag b. Laat zien dat een planeet in een cirkelbaan met straal r p rond de puntmassa M van vraag c in dezelfde situatie gelijk is aan: P = 2πr p V p = 2πr p. (3.7) GM 4πGρ rp 2 r p 3 Gebruik hierbij wat je geleerd hebt in je college Mechanika! je mag weer aannemen dat lokaal er geen massa is behalve die van de Zon en de planeet. Vraag gaat door op volgende pagina! 11

12 f. Hoe groot is de correctie voor de omloopstijd van Jupiter ten opzicht van het Newtoniaanse resultaat als je weet: M = M = kg, r p = m, G = N m 2 kg 2 ρ = kg m 3 12

13 4 Olbers Paradox, een bona-fide berekening We leven in een uitdijend heelal met een eindige leeftijd. Zo n heelal heeft, vanwege de eindige lichtsnelheid, een waarneemhorizon. In deze opgave bekijken we of dat feit alleen voldoende is om de Olbers Paradox op te lossen. Volgens de zeer recent (Planck data, 2015) vrijgegeven gegevens van de ESA-Planck missie, die de eigenschappen van de Kosmische Achtergrondstraling bestudeert, zijn de fundamentele parameters van ons heelal als volgt: H 0 = 67 km/s per Mpc (Hubble constante) Ω m = 8πGρ m H 2 0 Ω ba = 8πGρ ba H 2 0 Ω Λ = 8πGρ Λ H 2 0 = 0.32 (Ω-parameter alle materie: donker + baryonisch) = 0.05 (Ω-parameter baryonische materie) = 0.68 (Ω-parameter Donkere energie ) (4.1) De drie Ω-parameters geven respectivelijk de dichtheid van materie, baryonen en Donkere Energie (vacuümdichtheid) in eenheden van de kritische dichtheid (zie onder, of zie het Boek). Omdat het heelal waarschijnlijk vlak is (d.w.z. Ω m + Ω Λ = 1 binnen de meetfouten) is de totale dichtheid gelijk aan de kritische dichtheid ρ cr = 3H 2 0 /8πG: ρ = ρ m + ρ Λ = 3H2 0 8πG kg/m 3. (4.2) a. Bereken de typische horizon afstand D H = c/h 0 uit deze gegevens. Let op: je moet eerst alles naar dezelfde eenheden (bij voorkeur: SI-eenheden) schrijven, gebruikmakend van 1 Mpc = m en c m/s. 13

14 b. Gebruik de resultaten van som 2 van de vorige week om te laten zien dat de kans dat een willekeurige gezichtslijn een sterschijf treft binnen een afstand D van de waarnemer in een statisch heelal gelijk is aan P( D) = D l. (4.3) Geef een uitdrukking voor de karakteristieke lengteschaal l in termen van de sterdichtheid n en de sterstraal R. Dit resultaat betekent dat de kans van orde 1 wordt voor D l. c. Laat zien dat deze lengteschaal dezelfde vorm heeft als de zogenaamde vrije weglengte in een verstrooiingsprobleem: l = 1 (dichtheid) (werkzame doorsnede) = 1 nσ. (4.4) (Enigzins verwarrende terminologie: de werkzame doorsnede σ is een oppervlak!) d. Ga er van uit dat alle baryonen zitten samengebald in sterren zoals onze Zon, ieder met een massa M = M kg en een straal R m. Bereken nu de volgende grootheden: De gemiddelde sterdichtheid n (in m 3 ) in het heelal; De lengteschaal l (in m) nodig voor P( l ) 1. e. Je kunt in een heelal met een eindige leeftijd t 1/H 0 nooit verder kijken dan de horizon afstand D H = ct c/h 0. Bereken nu de kans P( D H ) dat de gezichtslijn door het hele waarneembare heelal een sterschijfje treft. Is die kans klein of groot? Naschrift: deze berekening verwaarloost een effect dat optreedt in de relativistische versie van de theorie: ver weg staande objecten lijken groter door de gravitationele lenswerking van het heelal als geheel. Dat verandert de uitkomst enigzins, maar niet genoeg om een wezenlijk verschil te maken. Ook hebben we verwaarloosd dat door de expansie van het heelal de dichtheid n vroeger groter was dan nu. Het effect daarvan verandert de uitkomst niet. 14

15 5 Het gesloten heelal Doel van de opgave: leren rekenen met Friedmann s vergelijking in een heelal dat niet geometrisch vlak is, maar positief gekromd. De Friedmann vergelijking voor een gesloten heelal (een positief gekromd heelal dat ooit weer instort met k > 0) luidt: ( 1 R ) 2 dr = 8πG dt 3 ρ k R. (5.1) 2 Als de materie die het heelal vult koud is ( stof ) geldt de dichtheidswet [ ] 3 R(t) ρ(t) = ρ 0. (5.2) R 0 We kiezen de eenheden zo dat R 0 R(t 0 ) = 1. Hier is t 0 het huidig tijdstip. In dat geval vereenvoudigt vergelijking (5.2) tot ρ = ρ 0 /R 3. a. Bekijk de parametrische oplossing 2 R(θ) = 4πGρ 0 3k (1 cos θ), t(θ) = 4πGρ 0 3k 3/2 (θ sin θ), (5.3) De parameter θ kan alle waarden aannemen tussen 0 en 2π. Laat zien dat dit een oplossing is van de Friedmann vergelijking. Hint: vermenigvuldig de Friedmann vergelijking eerst met R 2 en gebruik de kettingregel, dr dθ = dr dt dt dθ dr dt = (dr/dθ) (dt/dθ). (5.4) 2 Een parametrische oplossing is een oplossing waarin het verband tussen de afhankelijk variabele, in dit geval R, en de onafhankelijk variabele, in dit geval t, wordt uitgedrukt in termen van een derde parameter θ. Het twee relaties R(θ) en t(θ) geven dus impliciet het verband tussen R en t. 15

16 b. De Omega-parameter wordt gedefiniëerd als de verhouding van de huidige dichtheid ρ 0 ρ(t 0 ), en de kritische dichtheid (Diktaat, Hoofdstuk 4.5): Ω 0 = ρ 0 ρ c = 8πGρ 0 3H 2 0. (5.5) Voor een gesloten heelal geldt Ω 0 > 1. Laat zien dat de Friedmann vergelijking op tijdtip t 0 de volgende relatie levert: Hier is H 0 de huidige waarde van de Hubble constante. k = H 2 0 (Ω 0 1). (5.6) c. Gebruik relatie (5.6) om te bewijzen dat geldt: R(θ) = t(θ) = Ω 0 2(Ω 0 1) (1 cos θ), (5.7) 1 Ω 0 (θ sin θ), 2H 0 (Ω 0 1) 3/2 d. Teken een grafiek voor de schaalfactor R als een functie van de tijd (gemeten in eenheden van 10 9 jaar) voor een heelal dat voldoet aan: Ω 0 = 2., H 0 = 65 km/s per Mpc = ( jaar) 1. (5.8) Maak daarbij gebruik van je zakrekenmachine! 16

17 e. Beantwoord voor het heelal van onderdeel d nu de volgende drie vragen: 1. Welke waarde van de parameter θ correspondeert met het huidige tijdstip t 0, waarvoor (bij keuze) geldt dat R = 1? Welke leeftijd heeft het heelal op dat moment? 2. Voor welke waarde van θ bereikt de schaalfactor R zijn maximale waarde, en hoe oud is het heelal dan? 3. Voor welke waarde van θ vindt de Big Crunch plaats, waarbij het heelal weer geheel is ingestort? Hoe oud is het heelal als deze catastrofale gebeurtenis plaatsvindt? 17

18 6 De Hubble Space Telescope metingen van Cepheïden in M100 In 1994 is met behulp van de Hubble Space Telescope (HST) de afstand tot het spiraalstelsel M100 in de Virgo-Cluster bepaald (W. Freedman et al., Nature 371, 757, 1994). Zelfs met de (toen nog) bijziende optiek van de HST was het mogelijk om afzonderlijke Cepheïden te vinden, en hun helderheidswisselingen photometrisch vast te leggen. Deze methode van afstandsbepaling is dezelfde als Hubble gebruikte bij het bepalen van de afstand tot naburige sterrenstelsels. De helderheid van sterren drukt men uit in termen van hun magnitude m, gegeven door de relatie (zie Hoofdstuk 2, en pagina 251) log S = 0.4m 4.6. (6.1) Hier is S de ontvangen flux, die samenhangt met de lichtkracht L (uitgestraald vermogen) van een ster volgens de relatie S = L 4π D 2. (6.2) 18

19 a. Stel, men meet van twee sterren van dezelfde intrinsieke lichtkracht L een magnitude m 1 resp. m 2. Bereken de verhouding van de twee afstanden tot de betreffende sterren, D 2 /D 1, in termen van m 1 en m 2. b. Voor een aantal Cepheïden in de Grote Magelãese Wolk (LMC) heeft men de magnitude m V in de V-band gemeten als functie van de periode P (gemeten in dagen): m V ( log 10 P 1 ). (6.3) Gebruik bijgaande figuur van de HST metingen van de Cepheïden in M100 om een dergelijke lineaire relatie tussen schijnbare magnitude m V en periode (via log 10 P) af te leiden. Let op: in deze figuur zijn de Cepheïden van de LMC zo verschoven in magnitude dat ze de schijnbare helderheid hebben horend bij de afstand tot M100. Daaruit blijkt dat de sterren in M100, en die in de LMC, aan dezelfde magnitude-periode relatie voldoen. c. Bereken de afstand tot M100 met behulp van de (op andere wijze) bepaalde afstand tot de LMC: D LMC = 60 kpc. (6.4) d. Bepaal m.b.v. de in onderdeel c gevonden afstand vervolgens de waarde van de Hubble constante H 0 die hieruit volgt, aannemende dat M100 passief meebeweegt met de expansie van het heelal, en uit de gemeten waarde van de vluchtsnelheid van de Virgo Cluster: Geef ook de foutengrenzen in de bepaling van H 0! V M100 = ± 200 km/s. (6.5) Vergelijk deze waarde met de beste waarde nu (anno 2013) bekend: H 0 = 67.4 ± 1.4 km/s per Mpc. (6.6) 19

20 7 de stabiliteit van een Einstein-heelal De kunstgreep die Einstein uithaalde om een statisch heelal (een heelal met dr/dt = d 2 R/dt 2 = 0) mogelijk te maken binnen het kader van de Algemene Relativiteitstheorie was het invoeren van de kosmologische constante, meestal aangeduid met het symbool Λ. Een moderne interpretatie van de kosmologische constante associeert deze met een effectieve massadichtheid van het vacuüm, ρ vac, via de relatie Λ = 8πGρ vac. De Friedmannvergelijking voor de schaalfactor R(t) in een heelal met een kosmologische constante Λ kan worden geschreven als: ( ) 2 dr = 8πGρ R 2 + Λ dt 3 3 R2 k. (7.1) Bekijk een heelal gevuld met koude materie (stof), en de bijbehorende dichtheidswet, ( ) 3 R(t) ρ(t) = ρ 0. (7.2) R 0 a. Leid door tijds-differentiatie van de Friedmann-vergelijking (7.1) de volgende relatie af voor de schaalfactor-versnelling: d 2 R dt 2 = 4πGρ 3 R + Λ 3 R. (7.3) b. Laat zien dat een stationair heelal (R = constant = R 0 ) alleen mogelijk is bij een dichtheid ρ 0 = 2ρ vac. (7.4) Een dergelijk heelal wordt wel eens een Einstein heelal genoemd omdat Albert Einstein deze oplossing aandroeg als reactie op de niet-stationaire (expanderende/instortende) oplossingen van Friedmann. 20

21 We verstoren het Einstein heelal door de schaalfactor iets te veranderen: R 0 = R(t) R 0 [1 + (t)] met (t) 1. (7.5) We gaan nu een storingsanalyse doen om na te gaan hoe het verstoorde heelal zich ontwikkelt. Dat betekent dat we alléén termen lineair in (t) in rekening brengen, maar hogere orde termen (d.w.z. de termen 2, 3 etc.) verwaarlozen. Deze procedure noemt men linearisatie, en is een veelgebruikte methode in de klassieke mechanica bij de stabiliteitsanalyse van evenwichtsituaties. In het bijzonder gebruiken we de benaderingsformule: voor 1. [1 + (t)] α 1 + α (t) (7.6) c. Bereken de lineaire verstoring van de materiële dichtheid in het heelal, δρ = ρ(t) ρ 0, (7.7) die het gevolg is van de kleine verandering van de schaalfactor R: R 0 R 0 (1 + ). d. Leid uit de bovenstaande resultaten af dat de gelineariseerde bewegingsvergelijking voor de amplitude (t) van de storing luidt: d 2 dt 2 = Λ. (7.8) (Hint: De berekening gaat het snelst als je de factor ρr eerst schrijft als ρ 0 R 0 (1 + ) 2.) 21

22 e. De algemene oplossing van vergelijking (7.8) is gegeven door: (t) = + e +χt + e χt, (7.9) met χ = Λ. Het tijdstip t = 0 correspondeert hier met het tijdstip van de verstoring. Bepaal de constanten ± als op tijdstip t = 0 geldt : R(0) = R 0, ) dr = H 0 R 0 (7.10) dt 0 f. Teken het verloop van R(t) en ρ(t) als een functie van de tijd voor de gevallen H 0 > 0 en H 0 < 0. g. Wat is het gedrag voor χt 1, en wat betekent dat voor het stabiliteit van een Einstein heelal tegen verstoringen? Wat denk je dat dit betekent voor het bestaan van zo n heelal? 22

23 8 De gravitationele afbuiging van licht Eén van de voorspellingen van de Algemene Relativiteitstheorie (ART) is dat ook licht, alhoewel fotonen strikt genomen massaloos zijn, wordt afgebogen door de zwaartekracht. Dit wordt vaak wat slordig uitgelegd als het effect van de equivalente massa m = E/c 2 van een foton met energie E. De bevestiging van deze voorspelling werd in 1919 gedaan door Sir Arthur Eddington 3 bij een zonseclips, door het nauwkeurig meten van de sterposities nabij de verduisterde zon. In deze opgave berekenen we de afbuiging van licht met behulp van Newtoniaanse zwaartekracht, en de massa-energie relatie uit de Speciale Relativiteitstheorie (SRT). Dat geeft weliswaar niet helemaal het juiste antwoord, daar is echt de Algemene Relativiteitstheorie voor nodig. Deze aanpak licht echter de principes van zo n berekening goed toe. De bewegingsvergelijking van een deeltje in de SRT luidt: dp dt = F. (8.1) Hier is p de deeltjes-impuls, en F de kracht. Gewone Newtoniaanse dynamica vind je terug als geldt p = mv, maar in de relativiteitstheorie geldt en meer ingewikkelde uitdrukking, zie boek, vergelijking (3.7). Fotonen hebben geen rustmassa. In dat geval is er een simpel verband tussen energie E en impuls p: ( E ) p = ˆn, (8.2) c met ˆn een eenheidsvector in de voortplantingsrichting van het foton. Laten we nu eens aannemen dat we de gewone gravitatiewet van Newton mogen gebruiken voor de gravitatiekracht F die de zon met massa M op het foton uitoefent. We gebruiken als equivalente fotonmassa m = E/c 2. Dan wordt de bewegingsvergelijking van het foton: dp dt = d [( E ) ] ˆn = GM E ˆr. (8.3) dt c c 2 r 2 Hier is ˆr = r/ r een eenheidsvector langs de verbindingslijn van het centrum van de Zon naar het foton (zie figuur). We gaan deze vergelijking bij benadering oplossen. 3 Dyson, F. W., Eddington, A.S., Phil. Trans. R. Soc. Ser. A 220, (1920). 23

24 a. Het foton scheert rakelings langs de zon zie figuur. Als het foton niet zou worden afgebogen zou de kortste afstand tot het centrum van de Zon, de zogenaamde impact parameter, gelijk zijn aan r min = b. In werkelijkheid is de kortste naderingsafstand iets kleiner. Beredeneer nu dat de volgende drie uitspraken correct zijn, mits je er a priori van uitgaat dat de afbuiging θ klein blijft, zodat de fotonbaan vrijwel een rechte lijn blijft. 1. De kracht op het foton is maximaal bij de kortste nadering; Bereken de typische grootte van die maximale kracht: F max. In welke richting staat die kracht? 2. Laat zien dat, om symmetrie-redenen, geldt dat het netto effect van de kracht voornamelijk leidt tot een impulsverandering p loodrecht op de onafgebogen baan. 3. Een foton beweegt altijd met de lichtsnelheid c. Daarom voelt het foton een sterke zwaartekracht gedurende een tijdsinterval t 0 b/c < t < t 0 + b/c, met t 0 het tijdstip van de kortste passage. Beredeneer ook dat de kracht eerder en later veel kleiner is, en dus snel afvalt, met de komponent loodrecht op de fotonbaan die ruwweg schaalt als F b ( b 2 + c 2 (t t 0 ) 2) 3/2. (8.4) Zie de hint op de volgende pagina! 24

25 Hint: bereken eerst r en ˆr. Zet daarvoor het centrum van de Zon in de oorsprong van een coördinatenstelsel met de ongestoorde baan in het x y vlak, evenwijdig aan de x as, zodat de ongestoorde fotonbaan r(t) kan worden geschreven als: r(t) = (c(t t 0 ), b, 0). (8.5) Let op: een ingewikkelde berekening voor het uiteindelijke antwoord wordt hier NIET gevraagd! 4. Gebruik nu deze resultaten om te laten zien dat de foton-impuls een duwtje krijgt loodrecht op de oorspronkelijke bewegingsrichting ˆn met als typische grootte p 2GM E c 3 b. (8.6) b. De afbuigingshoek is, weer voor kleine afbuigingen, gelijk aan: θ = p p, (8.7) met p = E/c de grootte van de impuls. Bereken deze hoek. Is de afbuigingshoek afhankelijk van de energie van het foton? c. Geef nu de waarde van de afbuigingshoek in boogseconden voor een rakelingse passage van een foton langs de Zon. Je kunt gebruikmaken van de volgende grootheden: M = kg; G = N m 2 /kg 2 ; c = m/s; b R = 10 9 m; 1 boogseconde = radiaal. 25

26 Naschrift: De waarde die je hebt berekend in b verschilt van het resultaat uit de ART: het is de helft van de werkelijke waarde. Een exacte berekening in het kader van de SRT (in plaats van de schatting die hier werd gevraagd) vereist de evaluatie van de integraal + p = dt ( ) dp dt GM E c 2 + dt b ( b 2 + c 2 (t t 0 ) 2) 3/2. (8.8) Opmerkelijk genoeg leidt die berekening tot hetzelfde resultaat als de in deze opgave gebruikte simpele schatting. De afbuiging zoals berekend met de SRT is dus de helft kleiner dan wat men vindt in de Algemene Relativiteitstheorie. Dat laatste (ART) resultaat is ondertussen met grote nauwkeurigheid getest. Deze factor twee verschil tussen het speciaal-relativistische resultaat en het exacte resultaat is terug te voeren op het feit dat SRT uitgaat van een fotonbaan door een vlakke ruimte, terwijl in de correcte zienswijze van de ART de ruimte rond de Zon is gekromd door de zwaartekracht van de Zon. De berekening die je hier hebt uitgevoerd correspondeert met de uitkomst van een berekening die al in 1801 is gedaan door J. von Soldner 4. Einstein heeft die berekening herhaald, en later gecorrigeerd naar de twee keer zo grote, Algemeen-Relativistische waarde. 4 J. Soldner (1801): Ueber die Ablenkung eines Lichtstrahls von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weldkoerpers, an welchem er nahe vorbei geht, in: J.E. Bode, Astronomisches Jahrbuch fuer das Jahr 1804, Berlin, p

27 9 De horizon in een De Sitter-heelal Een De-Sitter heelal is een heelal waar de dynamica wordt gedomineerd door de kosmologische constante Λ, d.w.z. de effective dichtheid van het vacuüm, ρ vac = Λ 8πG, (9.1) is veel groter dan alle andere dichtheden. Men kan de Friedmann-vergelijking voor een vlak De Sitter-heelal dan ook in goede benadering schrijven als: ( ) 2 1 dr = Λ R dt 3 H2 Λ, (9.2) met H Λ = Λ/3 de (in dit speciale geval echt constante) Hubble-constante. De schaalfactor wordt in dit geval gegeven door: R(t) = constante e H Λt. (9.3) Door een schaling van variabelen kan men de constante altijd gelijk aan één stellen zodat R(t) = e H Λt. (9.4) Deze oplossing is tevens een goede benadering voor een open en gesloten heelal als H Λ t 1. In een dergelijk heelal zijn een aantal eigenschappen contra-intuïtief. In deze opgave bekijken we de horizon-afstand. De horizonafstand op een willekeurig tijdstip t 0 is de afstand tot de bron bij foton-ontvangst waarvan het foton vertrok op t = t em = 0. Dit is gelijk aan (zie Boek, hoofdstuk 7.6): d H (t 0 ) = t0 0 c dt }{{} dl(t t+dt) 27 [R 0 /R(t)] } {{ } oprekfactor. (9.5)

28 De integraal in deze uitdrukking is als volgt te begrijpen: de afstand dl(t t + dt) = cdt, afgelegd door een foton in het tijdsinterval (t, t + dt), vermenigvuldigd met de factor R 0 /R(t) waarmee die afstand tijdens de verdere reis van het foton (tussen t en t 0 ) is opgerekt door de immer voortgaande expansie van het heelal. Hier (en in wat volgt) is R 0 de schaalfactor van het heelal bij ontvangst van het foton: R 0 R(t 0 ) = e H Λt 0. (9.6) a. Laat zien met behulp van bovenstaande integraal dat in een vlak De Sitter-heelal de horizonafstand wordt gegeven door: ( ) c d H (t 0 ) = H Λ [ e H Λt 0 1 ]. (9.7) b. Objecten die passief meedoen aan de expansie van het heelal hebben per definitie constante meebewegende coördinaten. De horizon is -algemeen gesproken- niet passief: hij breidt zich met de lichtsnelheid uit door het heelal. Laten we de meebewegende coördinaat r van de horizon op een willekeurig tijdstip t eens r H (t) noemen. Dan geldt (zoals voor iedere afstand in een expanderend heelal) dat de fysische afstand gelijk is aan: d H (t) = r H (t) R(t). (9.8) Bereken r H (t 0 ) en laat vervolgens zien dat voor H Λ t 0 1 geldt: r H = c H Λ = constant. (9.9) Wat betekent dit laatste resultaat voor het overzicht dat je hebt in een De Sitter-heelal op late tijdstippen, d.w.z. voor H Λ t 0 1? 28

29 10 Stof, straling en vacuüm dichtheid De recente evaluatie van de metingen van de Kosmische Achtergrondstraling door de ESA Planck missie geven de volgende fundamentele parameters voor ons heelal, uitgaande van vlakheid, Ω tot = Ω m + Ω Λ + Ω r = 1: Tabel 1: Fundamentele kosmologische parameters volgens Planck Grootheid symbool waarde Hubble constante H ± 1.4 km/s per Mpc Omega parameter materie Ω m ± (donker + lichtgevend) Omega parameter straling Ω r0 (9.45 ± 0.19) 10 5 (inclusief neutrino s) Omega parameter vacuüm Ω Λ ± In deze som bekijken we de consequenties van deze resultaten voor ons heelal. a. Bereken de leeftijd van het heelal (t 0 ), uitgaande van de formule geldend voor een vlak Friedmann-Lemaitre heelal met verwaarloosbare stralingsdichtheid: t 0 = 2 3H 0 1 ΩΛ0 ( ) 1/2 1 + ΩΛ0 ln 1 Ω Λ0. (10.1) Omrekenfactor: 1 km/s per Mpc (10 12 jaar) 1. 29

30 Sterrekundigen geven in het algemeen in plaats van het tijdstip t waarop iets gebeurt de daarmee samenhangende roodverschuiving: d.w.z. de roodverschuiving waarmee een hypothetisch foton, vertrokken op tijdstip t, nu (op t 0 ) aankomt. Die roodverschuiving volgt uit de algemene formule In wat volgt gebruiken wij die conventie. z = R(t 0) R(t) 1 R 0 R(t) 1. (10.2) b. Laat nu zien dat de dichtheidswet voor materie ( stof ) en straling impliceert dat de dichtheden van materie en straling op een vroeger tijdstip gelijk zijn aan: ρ m (z) = 3H2 0 8πG Ω m0 (1 + z) 3, ρ r (z) = 3H2 0 8πG Ω r0 (1 + z) 4. (10.3) c. Bereken de roodverschuiving z eq waarbij de dichtheid van materie en straling aan elkaar gelijk zijn. In een heelal gedomineerd door materie ( stof ) en de vacuümdichtheid ρ Λ wordt de versnelling van de expansie gegeven door: = Λ/8πG d 2 R dt 2 = 4πG 3 ( ρ m + ρ Λ + 3P ) Λ c 2 R. (10.4) De druk van het vacuüm is P Λ = ρ Λ c 2. (10.5) We hebben de invloed van straling verwaarloosd. Dat mag je ook doen in wat volgt. 30

31 d. Laat nu het volgende zien/bereken het volgende: De vertraging van de expansie van het heelal bij hoge materie-dichtheid slaat om in een versnellende expansie als ρ m < 2ρ Λ ; Geef Ω m en Ω Λ op het moment van omslag van een vertraagde expansie naar een versnellende expansie, nog steeds uitgaande van een vlak heelal. (In principe is er hier géén ingewikkelde berekening nodig!); Geef de roodverschuiving z Λ horend bij dat moment, gebruikmakend van het feit dat ρ Λ = Λ/8πG constant is. Is dat moment ver in het verleden, in andere woorden: is z Λ groot? e. Friedmann s vergelijking voor een vlak heelal gedomineerd door materie en vacuüm dichtheid luidt: H 2 = ( 1 R ) 2 dr = 8πG dt 3 (ρ m (R) + ρ Λ ). (10.6) Laat met behulp van resultaat b zien dat de Hubble parameter op een tijdstip t corresponderend met een roodverschuiving z gelijk is aan H(z) = H 0 ( Ωm0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 ) 1/2. (10.7) f. Bereken de waarde van de Hubble parameter of het moment dat de expansie van het heelal begint te versnellen, bij roodverschuiving z Λ, uit de resultaten van vraag d en e. Bereken vervolgens de leeftijd van het heelal op dat moment uit relatie (10.1), waarin je de parameters (in dit geval H 0 en Ω Λ0 ) natuurlijk vervangt door hun waarden op dat tijdstip. 31

32 11 De horizon in een uitdijend Friedmann heelal Bekijk een heelal dat expandeert als een macht van de tijd: ( ) α t R(t) = R 0. (11.1) t 0 De exponent α heeft voor simpele Friedmann heelalmodellen de volgende waarde: α = 1/2 Stralingsgedomineerd, vlak heelal met k = 0; 2/3 Materie-gedomineerd, vlak heelal met k = 0; 1 Leeg, open heelal met ρ = 0 en k = R 2 0 /t2 0 (11.2) In het eerste deel van deze opgave belichten wij het horizon-concept voor deze drie verschillende modellen. Daarbij maken wij gebruik van de volgende uitdrukking voor de afstand D 0 tot een bron waarvan het foton werd uitgezonden op t em en nu (op t 0 ) wordt ontvangen: D 0 = R 0 t0 t em c dt R(t). (11.3) Deze uitdrukking is geldig voor ieder heelal, zie diktaat Hoofdstuk 7. a. De horizon-afstand d H is formeel gelijk aan de afstand (bij foton-ontvangst) van een hypothetisch oppervlak rond de waarnemer dat de bron is van fotonen die hun reis direct na de Oerknal zijn begonnen, dat wil zeggen met t em = 0. Bereken die horizonafstand voor bovenstaande drie heelalmodellen. Wat valt je op bij één van die modellen? 32

33 b. In de praktijk is het heelal ondoorzichtig voor roodverschuiving groter dan z 1500 ten gevolge van Thomson verstrooiing door vrije elektronen in het (bij deze en grotere roodverschuiving) geïoniseerde waterstofgas. Als we de praktische horizon bij een roodverschuiving z = 1500 leggen, gebruik dan voor ieder van de drie modellen het verband tussen schaalfactor en roodverschuiving om het emissietijdstip t em uit te rekenen, en vervolgens de afstand D 0 die daar bij hoort, alles in termen van t 0, z en natuurlijk c. Maakt het veel uit of je deze praktische beperking in rekening brengt? In een expanderend heelal volgt het gedrag van fotonbanen soms niet de simpele intuitie. Dit is wat we in de rest van de opgave bekijken. Om het simpel te houden nemen we een vlak heelal aan. In dat geval zijn de meebewegende afstand (Engels: comoving distance) D cm en de fysische afstand D phys tot een willekeurig punt in de ruimte altijd gerelateerd via D phys = R(t) D cm. (11.4) Objecten die passief meedoen met de expansie van het heelal (dus niet fotonen!) voldoen aan D cm = constant. Fotonen hebben als fysische snelheid altijd de lichtsnelheid, dus dd phys R(t)dD cm = ±c dt, met het teken bepaald door de voortplantingsrichting, zodat R(t) ( ) d Dcm dt foton = ±c. (11.5) c. Bekijk een foton dat, uitgezonden door een verre bron, naar ons op weg is. Wij (als waarnemers) staan in de oorsprong D phys = D cm = 0. Laat zien dat de effectieve snelheid waarmee het foton ons nadert, als het zich op tijdstip t op fysische afstand D phot bevindt, dan gelijk is aan dd phot dt = H(t) D phot c, (11.6) met H(t) de Hubble-parameter op tijdstip t. Ik gebruik de conventie dat een negatieve snelheid betekent dat het foton dichterbij komt. Gebruik voor de afleiding de vergelijkingen voor een fotonbaan in een expanderend heelal uit het college (of het Boek). (Opgave gaat door op de volgende pagina!) 33

34 d. Bereken voor ieder van de drie modellen op tijdstip t = t 0 de fysische afstand die de grens vormt tussen het gebied (een bol rond de waarnemer) met fotonen die netto dichterbij komen, en het gebied daarbuiten waarin de fotonen zich netto van ons verwijderen, natuurlijk aannemende dat de fotonen in onze richting zijn gestuurd. Druk alles uit in termen van t 0 (in plaats van H 0 ). Vergelijk de zojuist gevonden afstand voor ieder van de modellen met de horizonafstand van vraag a. Wat concludeer je? e. Beantwoord nu de volgende vraag: hoe moet H(t) zich gedragen als functie van de tijd wil een foton uiteindelijk de waarnemer altijd bereiken. Je mag aannemen dat je te maken hebt met een heelal dat altijd blijft expanderen (open of vlak heelal met H > 0). Hoe zit het met een Friedmann-Lemaitre heelal waar H(t) H Λ = Λ/3 = constant als t? 34

35 12 De hoekafstand In een vlak, statisch, niet expanderend heelal kan men voor een object met afmeting d op grote afstand D (zodat D d) de hoek i berekenen waaronder men het object aan de hemel ziet. Deze hoek wordt gegeven door de relatie tan i i = d D. (12.1) Voor gegeven afmeting d neemt deze hoek monotoon af met toenemende afstand D. Men kan met behulp van deze relatie de hoekafstand van een object definiëren als: D h = d i. (12.2) In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal. a. Bekijk een bron met afmeting d en met meebewegende (wat betekent dat?) afstand a. Deze bron zendt op t = t em een foton uit dat ons op t = t 0 bereikt. Maak een tekening die de situatie weergeeft, zowel op tijdstip van foton-emissie t em als op het tijdstip t 0 van foton-ontvangst. Laat in deze figuur zien: de positie van de bron bij uitzenden en ontvangst, resp. op afstand D em = R(t em )a en D o = R(t 0 )a; de rechtlijnige baan van twee fotonen, afkomstig van de twee uiteinden van de bron, die de waarnemer bereiken; de afmeting van de bron d en de hoek i. 35

36 b. Laat met behulp van die tekening zien dat de hoek waaronder we de bron waarnemen wordt vastgelegd op het tijdstip van uitzenden, en daarom óók bij ontvangst op tijdstip t 0 wordt gegeven door i d D em = d R(t em )a. (12.3) c. Men kan de hoekafstand in een expanderend heelal op dezelfde manier definiëren als in een vlak, statisch heelal (vergelijking 12.2). Bewijs dat de hoekafstand D h dan wordt gegeven door D h = D z, (12.4) met z de roodverschuiving van de bron 5, en D 0 zijn fysische afstand op het moment t 0 van ontvangst. We plaatsen ons nu in de positie van een typische waarnemer, die alleen de hoekmaat i, de roodverschuiving z van de bron en de ouderdom t 0 van het heelal bij fotonontvangst weet. We gebruiken de relatie die voor de afstand D 0 tot de bron heeft in termen van schaalfactor, emissie-tijdstip en ontvangstijdstip: D 0 = R 0 a = R 0 t0 t em c dt R(t). (12.5) Hier gebruik ik de notatie R 0 R(t 0 ). We bekijken het simpelste Friedmann model: een door materie gedomineerd, vlak heelal met expansiewet ( ) 2/3 t R(t) = R 0. (12.6) t 0 5 Wat was ook al weer de relatie tussen schaalfactor en roodverschuiving? 36

37 d. Laat zien dat de volgende relaties gelden: t em = t 0 (1 + z) 3/2, D 0 = 3ct 0 1 ( tem t 0 ) 1/3. (12.7) e. Laat nu behulp met de resultaten van d zien dat de hoek waaronder we een object van afmeting d zien in een vlak heelal dat expandeert als R t 2/3 als functie van de roodverschuiving wordt gegeven door: ( ) d i = d H (1 + z) 3/2 1 + z 1. (12.8) In deze uitdrukking is d H = 3ct 0 de horizonafstand in een heelal dat expandeert als R t 2/3, zoals uitgerekend in opgave 1.9 voor α = 2/3. f. Maak een grafiek van het verloop van i als functie van de roodverschuiving z (gebruik een calculator). Wat valt daarbij op??? Hoe gedraagt i zich voor z 1 en voor z 1? g. Geef een fysische verklaring van het feit dat in een expanderend heelal de hoek waaronder men het object ziet niet monotoon afneemt met toenemende afstand (roodverschuiving), zoals met zou verwachten op grond van onze dagelijkse ervaring. 37

38 13 De Luminosity Distance Sterrekundige afstandsbepaling buiten ons eigen Melkwegstelsel gebruikt altijd de waargenomen helderheid van een object (magnitude) om, gegeven de lichtkracht (absolute magnitude) van dat object, de afstand te bepalen. Door dit voor vele objecten (veranderlijke sterren zoals de Cepheïden, gaswolken, ) te doen kunnen fouten door individuele verschillen worden uitgemiddeld. De flux F van een object met lichtkracht (uitgestraald vermogen) L op een afstand D is F vermogen oppervlak = L 4πD 2. (13.1) Deze formule gaat er van uit dat het object in alle richtingen even sterk straalt, zodat het uitgestraald vermogen (stralingsenergie/tijdseenheid) gelijkmatig is verdeeld over een bol met straal D. Als met L kent volgt de afstand meteen uit de waargenomen flux: D = L 4πF D L. (13.2) Deze relatie definieert de zgn. lichtkracht afstand (Engels: Luminosity Distance). Bovenstaande twee formules zijn geldig voor een object op vaste afstand, dus in een statisch (niet expanderend) heelal. In deze som bekijken wij hoe dit werkt in een expanderend heelal. a. Bekijk een bron met roodverschuiving z. Met wat voor factor verschilt de ontvangen foton-energie voor ieder foton van de foton-energie bij uitzenden? b. De waargenomen flux hangt niet alleen af van de energie per foton, maar ook van de snelheid waarmee opeenvolgende fotonen binnenkomen bij de waarnemer. Stel, gemiddeld gesproken vertrekken opeenvolgende fotonen een tijdspanne t e van elkaar bij de bron. Met welk tijdsinterval komen die fotonen bij de waarnemer binnen, en wat betekent dit voor de waargenomen flux (opgevangen vermogen per oppervlakte-eenheid)? 38

39 c. Op het moment van ontvangst staat de bron op een afstand D 0. Beredeneer nu op grond van de resultaten a en b dat de Luminosity Distance, als je die nog steeds definieert volgens uitdrukking (13.2), gegeven wordt door: D L = (1 + z) D 0. (13.3) Naschrift: Uit de laatste twee sommen kun je opmaken dat afstandsbepaling in een expanderend heelal wat ingewikkelder is: de hoekafstand D h en de lichtkracht afstand D L hangen samen met de werkelijke afstand D 0 op het moment van foton-ontvangst via de relaties: D h = D z, D L = D 0 (1 + z). (13.4) Daarbij dient te worden gerealizeerd dat astronomische metingen in het algemeen alleen leiden tot een situatie waar de waarnemers de beschikking hebben over de roodverschuiving, helderheid en (soms) hoekafmeting, zodat de afstandsbepaling via D L of D h moet geschieden. Het gebruik van de hoekafmeting, bijvoorbeeld bij uitgebreide radiobronnen (radio-sterrenstelsels) is bovendien zeer problematisch omdat deze klasse objecten een zeer heterogene populatie vormen. 39

40 14 Afstanden uitgedrukt als roodverschuivingsintegralen Waarnemers krijgen in het algemeen direct de roodverschuiving van de bron uit hun gegevens. Die roodverschuiving is gerelateerd aan de schaalfactor R 0 R(t 0 ) bij fotonontvangst en de schaalfactor R em R(t em ) op het moment van emissie via de relatie 1 + z 0 = R 0 R em, (14.1) met z 0 de waargenomen roodverschuiving. Omdat er een één op één correspondentie is tussen roodverschuiving, waarneemmoment t 0 en emissie-moment t em, gegeven een heelalmodel dat je R(t) geeft, kun je ook roodverschuiving gebruiken in plaats van de tijd door te definiëren: 1 + z(t) R 0 R(t), (14.2) dat wil zeggen: z(t) is de roodverschuiving van een denkbeeldig foton dat op tijdstip t vertrok (t t em ) en nu (d.w.z. op het vaste tijdstip t 0 t) aankomt. In deze som bekijken we hoe dit kan worden gebruikt om afstanden te berekenen. a. Laat zien dat de Hubble parameter op tijdstip t t 0 gelijk is aan Waarom is het minteken hier essentiëel? H(t) = z dz dt. (14.3) b. Bekijk vlak een heelal, gevuld met koude materie en een kosmologische constante (vacuüm-energie), zoals het ons eigen heelal. De bijbehorende Omega-parameters (op tijdstip t 0 ) zijn respectivelijk Ω m0 en Ω Λ0, zie ook Som 1.8. Laat zien dat Friedmann s vergelijking leidt tot: dz dt = H 0 (1 + z) Ω m0 (1 + z) 3 + Ω Λ0. (14.4) 40

41 c. Stel, we gebruiken de roodverschuiving z(t) in plaats van tijd zelf om bij te houden over welk tijdstip in de evolutie van het heelal we praten. Gebruik de relatie dz = ( ) dz dt dt (14.5) om te bewijzen dat de volgende relatie geldt voor het omschrijven van tijdsintegralen naar roodverschuivingsintegralen: t0 t e dt = z0 0 H 0 (1 + z) dz Ω (14.6) m0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 Waar is het minteken gebleven? d. Laat nu zien met behulp van de op het college afgeleide definities dat de afstand D 0 tot een bron bij foton-ontvangst gelijk is aan D 0 = c H 0 z0 0 dz Ω m0 (1 + z) 3 + Ω Λ0 (14.7) Het voordeel van deze schrijfwijze moet duidelijk zijn: je meet z 0 en andere metingen geven je (hopelijk) goede waarden voor Ω m0 en Ω Λ0. Vergeet niet dat we een vlak heelal hebben aangenomen zodat Ω m0 + Ω Λ0 = 1. e. Bereken D 0 in termen van z 0 in twee grensgevallen: Een heelal zonder vacuümenergie, dus Ω m0 = 1 en Ω Λ0 = 0; Een leeg de Sitter heelal zonder materie, dus Ω m0 = 0 en Ω Λ0 = 1. In het algemene geval moet de integraal numeriek worden berekend: er is géén analytische formule voor! 41

42 15 Gekromde De Sitter-heelallen Als vacuüm-energie overheerst luidt de Friedmann vergelijking: ( 1 R ) 2 dr = H 2 Λ dt k R. (15.1) 2 Hier is k de krommingsparameter en is H Λ gedefiniëerd via de relatie H 2 Λ = 8πG ρ vac 3 = Λ 3, (15.2) met Λ de equivalente kosmologische constante. We gaan er van uit dat H Λ constant is. De simpele De-Sitter oplossing gaat uit van een vlak heelal met k = 0. Hier bekijken we de gevallen met k 0. Dit soort modellen zijn belangrijk voor de theorie van Inflatie, waar het heelal een vroege periode van (exponentieel) snelle expansie kent om zo het horizonprobleem en het vlakheidsprobleem van simpele Friedman modellen op te lossen. a. We bekijken eerste het geval k > 0 (gesloten, positief gekromd heelal). Laat nu het volgende zien: als we de dimensieloze variabelen τ = H Λ t, R = H Λ R k (15.3) definiëren, dan kan Friedmann s vergelijking worden geschreven als: ( ) 2 dr = R 2 1. (15.4) dτ 42

43 b. We kiezen de expanderende oplossingstak, waarvoor geldt R 1 (waarom??) en dr dτ = R 2 1. (15.5) Laat, op welke manier je ook maar wilt, zien dat de oplossing van deze gewone differentiaalvergelijking is 6 : R(τ) = cosh(τ), (15.6) als R = 1 op τ = 0. c. Hoe gedraagt deze oplossing zich voor τ 1? Geef in dat geval ook R(t), d.w.z. de oplossing in fysische variabelen. d. We bekijken vervolgens het geval k < 0: het open, negatief gekromd heelal. We introduceren nu de dimensieloze variabelen τ = H Λ t, R = H Λ R k. (15.7) Volg nu dezelfde (analoge) stappen als voor het geval k > 0, en laat uiteindelijk zien dat de expanderende oplossingen voldoen aan: R(τ) = sinh(τ), (15.8) als R = 0 op τ = 0. De opgave gaat door op de volgende pagina! 6 Voor wie het even vergeten is: de hyperbolische functies cosh(x) en sinh(x) zijn gedefiniëerd als cosh(x) = (e x + e x )/2, sinh(x) = (e x e x )/2 en voldoen aan cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. 43

44 e. Hoe gedraagt deze oplossing zich voor τ 1? Geef in dat geval ook R(t), d.w.z. de oplossing in fysische variabelen. f. Wat concludeer je op grond van deze berekening over de invloed van kromming (i.h.b. het teken van k) op het tijds-asymptotisch gedrag (gedrag voor voor H Λ t 1) van inflatieoplossingen? Je mag het geval de Sitter geval met k = 0 in deze discussie betrekken. Naschrift: je ziet uit deze berekening dat de bij simpele Friedmann modellen (ρ vac = 0) geldende wet dat k > 0 een heelal geeft dat ooit weer instort, en k 0 een heelal dat altijd blijft expanderen hier niet langer geldt! 44