Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 6

Transcriptie

1 Opgave Zonnestelsel 2005/2006: De Leeftijd van het Zonnestelsel van Frank Verbunt De ouderdom van het Zonnestelsel kan bepaald worden uit de radio-actieve elementen die gevonden worden in meteorieten. Alleen meten hoeveel er van een bepaald radio-actief element over is, is niet voldoende, omdat we niet weten hoe veel er was om mee te beginnen. De ouderdom is echter wel te bepalen als we de verhoudingen van verschillende elementen meten. Een belangrijke reactie die gebruikt wordt voor de ouderdomsbepaling van het zonnestelsel is van Rubidium-87 naar Strontium-87: 87 37Rb Sr + e + ν e (1) 1. Als 87 Rb(0) en 87 Sr(0) de beginhoeveelheden van rubidium-87 en strontium-87 zijn en λ is de verval-constante, hoeveel is dan de verhouding 87 Sr(t) en 87 Rb(t) na een tijd t? 87 Rb(t) = 87 Rb(0) e λt (neemt af) 87 Sr(t) = 87 Sr(0) + ( 87 Rb(0) - 87 Rb(t)) = 87 Sr(0) + 87 Rb(t) e λt - 87 Rb(t) = 87 Sr(0) + 87 Rb(t)(e λt - 1) 2. De meteorieten zijn afkomstig van astroïden die vroeg in de geschiedenis van het Zonnestelsel (deels) gesmolten waren. Omdat Strontium en Rubinium verschillende smeltpunten hebben kan de initiële verhouding rubidium en strontium 87 Sr(0)/ 86 Rb van meteoriet tot meteoriet verschillen. De verhouding 87 Sr(0)/ was waarschijnlijk hetzelfde in alle meteorieten. Waarom? 87 Sr en hebben hetzelfde smeltpunt en een lange vervaltijd en zich dus op korte tijdschalen hetzelfde gedragen. 3. Deel de vergelijking voor 87 Sr(t) door de hoeveelheid strontium-86, die gelijk blijft in de tijd, en leidt af wat de relatie is tussen huidige verhouding strontium-87 over strontium-86 en de verhouding rubidium-87 over strontium Sr(t) = 87 Sr(0) + 87 Rb(t) (eλt 1) Uit een behoorlijk aantal meteorieten zijn de verhouding van strontium-87 over strontium-86 en rubidium-87 over strontium-86 bepaald. Als we deze verhoudingen tegen elkaar uitzetten krijgen we een rechte lijn (zie de figuur). 4. Gegeven dat λ = yr 1 en een helling van ± , wat is de tijd t, ofwel wat is de leeftijd van het Zonnestelsel? Geef hierbij ook een foutenberekening! Wat was de oorspronkelijke verhouding 87 Sr(0)/? helling = ± = e λt = e t t = jaar Fouten: 1

2 Courtesy Frank Verbunt Figure 1: De verhouding van strontium-87 over strontium-86 tegen de verhouding van rubidium-87 over strontium-86 ln = λt t = jaar = jaar ln = λt t = jaar = jaar t = 4.51 ± jaar De oorspronkelijke verhouding 87 Sr(0)/ was Geef aan welke aannames zijn gebruikt in deze analyse? Wat zegt het feit dat sommige punten in de figuur niet op de lijn liggen? Aannames: - Verhouding 87 Sr(0) gelijk voor alle meteorieten (maar anders zouden de metingen niet op de lijn liggen). - De meteorieten zijn vlak na het ontstaan van het Zonnestelsel gevormd. 6.2 Astroïden en botsingen Botsingen van astroïden met planeten zijn verantwoordelijk voor het bestaan van zeer vele kraters op de aardse planeten. Vroeg in het bestaan van het zonnestelsel hebben zich zeer grote botsingen voorgedaan. Sommige hiervan waren energiek genoeg om een gehele planeet zoals Mercurius te doen smelten. Enig overblijfsel van deze kraters is er niet. De mate van impact van een bij botsing met een planeet wordt bepaald door de massa van de astroïde en de relatieve snelheid van de astroïde ten opzichte van een planeet. 1. Wat is de typische snelheid van een astroïde als zij een planeetbaan kruist, als we er vanuit gaat dat ze in het oneindige met snelheid nul begonnen zijn? Snelheid gegeven door kinetische energie = totale potentiele energie: E = GmmetM r 1 2 m metv 2 = GmM 2

3 (2) 2. Wat zal grofweg de gemiddelde relatieve snelheid zijn van een meteoor en een planeet, als de baan van de astroïde in het baanvlak van de planeet ligt en uit oneindig komt? De meteoro ıde zal gemiddeld loodrecht op de planteetbaan invallen 3. De soortelijke warmte van ijzer is J/kg/K. We hebben gezien dat Mercurius voor een groot gedeelte uit ijzer bestaat. Hoewel we niet goed weten wat de temperatuur van de ijzerkern van Mercurius is, gaat men er wel vanuit dat deze zover is afgekoeld dat hij geheel vast is. Als we uitgaan van een 50% ijzeren planeet en een gemiddelde temperatuur van 300 K, hoeveel energie is er dan nodig om al; het ijzer van Mercurius tot zijn smeltpunt (T =1800 K) te laten komen? Soortelijke warmte, Q, is gelijk aan J/KgK. T = 1500K m = Kg E nodig = Q T m = J 4. Hoe zwaar moet dan de astroïde zijn die op Mercurius inslaat? met E nodig = J = 1 2 m metv 2 met (3) (4) m met = Kg (5) 5. Als we aannemen dat de astroïde uit basalt bestaat (ρ = kg m 3 ), hoe groot met de astroïde dan zijn? ρ basalt = Kg/m 3 en V = m ρ = m 3 (6) V = 4 3 πr3 (7) r = m (8) 3

4 6. Vergelijk de hoeveelheid energie die je hier boven gevonden hebt met een ruwe schatting van de totale bindingsenergie van Mercurius. Zal de planeet bij elkaar blijven? Bindingsenergie van de planeet: E b Gm2 R Voor mercurius m = kg en R = 2440 km: E b = J. De planeet zal dus bij elkaar blijven. 6.3 Het Poynting-Robertson effect Het Poynting-Robertson effect is een effect dat ervoor zorgt dat deeltjes die rondom de Zon bewegen langzaam naar de Zon toe vallen. 1. Als een deeltje dat rondom de Zon beweegt een foton absorbeert, wat is daarvan het effect op de baan van het deeltje? Het deeltje zal naar buiten worden geduwd 2. Als het deeltje alle energie die het absorbeert weer uitstraalt zal dat isotroop gebeuren t.o.v. het deeltje, maar omdat het deeltje beweegt zal de staling van het deeltje niet isotroop zijn t.o.v. de Zon. Naar welke kant wordt meer straling en dus meer impuls uitgezonden? T.o.v. de Zon zal er meer straling in de richting van de beweging van het deeltje worden uitgezonden en dus ook meer impuls in die richting. 3. De netto impuls van de straling gaat ten koste van de impuls van het deeltje, dat daardoor wordt afgeremd en impulsmoment verliest: dh dt = L r 2 v 4dc 2 met r en v de straal en snelheid van het deeltje en d de afstand van het deeltje tot de Zon. Schrijf dit om naar een vergelijking voor de verandering van d in de tijd. [Schrijf de massa van het deeltje als 4/3πr 3 ρ] Gebruik H = mvd = m (GM d) Dus dh dt = GM dd 1/2(4/3πr3 ρ) d dt dd dt = 3L 8πdrc 2 ρ 4. Integreer deze vergelijking om de tijd te vinden die het zal duren voordat een deeltje op afstand d R van de Zon in de Zon is verdwenen. t = 8πrc2 ρ 3L 0 d i d dd = 4πrc2 ρ 3L d 2 i 4

5 5. Is dit effect beter voor grote of voor kleine deeltjes? En wat is de grootte van een deeltje dat in 1 miljard jaar van afstand van de Aarde in de Zon zal vallen? [neem een dichteid aan van 2000 kg/m 3 ]. Wat voor soort deeltjes zouden dus niet meer voor kunnen komen binnen de Aardbaan? En als deze er nog wel zijn, hoe komt dat dan? Dit effect is dus groter (i.e. t is kleiner) voor kleinere deeltjes. Wat is r voor d i = AU? r = 10 9 yrl 4/3πc AU 2 = 0.058m Dus ongeveer 6 cm. Er zouden dus geen kleine deeltje meer binnen de Aardbaan moeten zitten en die zitten er natuurlijk wel. Dat komt door een continue toevoer van gruis door botsingen van astroiden, door verdampende kometen etc. 5