Opgave Zonnestelsel 2005/2006: 7. 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming. 7.1 Het viriaal theorema

Transcriptie

1 Opgave Zonnestelsel 005/006: 7 7 Het viriaal theorema en de Jeans Massa: Stervorming 7. Het viriaal theorema Het viriaal theorema is van groot belang binnen de sterrenkunde: bij stervorming, planeetvorming en sterevolutie is het een zeer algemeen gebruikt begrip. Wat zegt het viriaal theorema? K + Ω = 0 () Oftewel: twee maal de kinetische energie van een systeem is gelijk aan de potentiele energie van het systeem. Vaak zal je het viriaal theorema ook tegenkomen in zijn omgekeerde vorm: tijdens contractie gaat de helft van de potentiele energie zitten in de kinetische energie van het systeem (en de andere helft wordt uitgestraald). We kunnen het viriaal theorema afleiden voor een systeem van deeltjes dat onderling alleen via de zwaartekracht wisselwerken. Dit is ook de reden dat het viriaal theorema voornamelijk op stellaire schaal en groter wordt gebruikt! We gaan bij de afleiding uit van het traagheidsmoment van een systeem van deeltjes. I = m i r i () i=. Wat is het traagheidsmoment van een systeem van deeltjes uitgeschreven in de afzonderlijke cartesische coordinaten? I = N i= m i r i = N i= m i(x i + y i + z i ). Leid af wat Ï/ is. Schrijf dit als twee termen: één met alleen de eerste afgeleiden naar de tijd en één met de mengtermen. I = N i= m i(x i ẋ i + y i ẏ i + z i ż i ) Ï = N i= (x iẍ i + ẋ i + y iÿ i + ẏi + z i z i + żi ) Ï = N i= m i(ẋ i + ẏ i + ż i ) + N i= m i(ẍ i x i + ÿ i y i + z i z i ). Bekijk de term met eerste afgeleiden. Waar is deze aan gelijk? N i= m i(ẋ i + ẏ i + ż i ) = N i= m i v i = K (Kinetische energie) 4. In de tweede term staan onderdelen als m i ẍ i. Wat stelt dit onderdeel fysisch voor? Een kracht (F = ma). 5. De zwaartekracht op een deeltje i in de x richting ten gevolge van alle andere deeltjes is: m i ẍ i = met de afstand tussen deeltje i en j. j=,j i (x j x i ), () rij

2 Kijk nu eerst naar het stuk van de tweede term dat x bevat en schrijf dit om m.b.v. bovenstaande uitdrukking voor m i ẍ i. De uitdrukking bestaat nu uit een dubbele sommatie. N N i= j=,i j Gm (x j x i ) im j x rij i 6. De zwaartekracht van deeltje i op deeltje j is natuurlijk tegengesteld aan die van j op deeltje i. Combineer in de dubbele som deze twee bijdragen. dus de vorige uitkomst wordt dan: (x i x j ) = Gm j m i (x j x i ) i= j=,i j (x j x i ) r ij (het minteken komt van het omdraaien van (x j x i ) naar (x i x j ), de half van het feit dat je nu alle paren dubbel telt) 7. Voor wie dat nog niet had bedacht: we tellen nu natuurlijk dubbel! Immers, in de dubbele sommatie worden twee deeltje die een paar vormen beide een keer geteld als i en beide een keer als j. We lossen dit op door de dubbele sommatie te vervangen door een een som over alle paren in de verzameling Σ paren. Σ paren (x j x i ) Combineer nu de som over de paren met dezelfde som voor de y en z delen van de tweede term, en vereenvoudig het totaal zodat je alleen maar termen overhoudt. Als het goed is krijg je dan precies een uitdrukking voor de potentiele energie: r ij Σ paren (4) Σ paren (x j x i ) + (y i y j ) + (z i z j ) r ij (want (x j x i ) + (y i y j ) + (z i z j ) = r ij) = Σ paren 8. Als je de resultaten van hierboven combineert, wat is dan de compacte manier om Ï/ op te schrijven? Ï = K + Ω Voor een stationair systeem (wat dus niet in de tijd verandert) of een periodiek systeem is de (tweede) tijdsafgeleide van het traagheidsmoment gelijk aan nul. Maar ook voor systemen die wel in de tijd veranderen is de tweede afgeleide van het traagheidsmoment meestaal nul of heel klein. Hiermee hebben we het viriaaltheorema afgeleid.

3 . Een galactische cluster van 500 sterren, met een gemiddelde massa van 0.5 M beslaat, met ongeveer gelijke dichtheid, een bol met een straal van pc. Schat de gemiddelde (root-mean-squared: v ) snelheid van de sterren. De potentiele energie van een bol met uniforme dichtheid, massa M en straal is GM. 5 pc = m, AU = m. Ω = GM = J K = Ω 50M v = 5 v = 5 v = 568 m/s G(50M ) G(50M ) = Stel dat de proto-zonnenevel (met massa.5 M ) begint met een temperatuur van 0 K, en geen rotatie, en zich onder zijn eigen zwaartekracht gaat samentrekken van een bol van pc naar een bol van 00 AU. Wat is de gemiddelde temperatuur van de deeltjes hierbij geworden? Ω 0 = J, Ω = J Ω = J Ω = K = M v = v v = v = 86 km/s Totale wolk: M v = NkT Per deeltje (M = N m) m v = kt T = m v = K k. Wat is de gemiddelde lichtkracht geweest waarmee deze protonevel heeft geschenen als dit proces 0 5 jaar heeft geduurd? Energie vrij in 0 5 jaar: J L = , = J/s = 0.0L 4. Als we deze samentrekkende nevel willen bestuderen na 0 5 jaar, in welk golflengtegebied moeten we dan kijken? T = K Wien: λ max = 0.90 cm K λ max = = m f = c =. λ 0 Hz Infra ood. 7. De Jeans Massa Uitgaande van het viriaal theorema kunnen we de Jeans massa afleiden. Dit is de massa waarbij een wolk van deeltjes nog juist stabiel is tegen de eigen zwaartekracht.

4 . Een belangrijk begrip in de astrofysica is de gemiddelde moleculaire massa µ van de deeltjes (µ = m/m H ). Beschouw een willekeurig atomair gas met abundanties X, Y en Z voor respectievelijk waterstof, helium en alle andere elementen (de metalen, waarvan je mag aannemen dat hun gemiddelde atoomgewicht 5.5 is). Hoe kun je µ uitdrukken in de abundanties en de elementaire massa s? µ = m m H = i = X + Y + 4 A i m H X i Z 5.5. Schrijf voor een wolk van deeltjes, met totale massa M het totale aantal deeltjes, N als functie van M en µ. M = N N = M. Wat is voor één deeltje met temperatuur T de kinetische energie? K deeltje = kt 4. Wat wordt nu de totale kinetische energie voor de wolk? K = NkT 5. Wat is de kritische massa de Jeans massa waarvoor het viriaal theorema nog net geldt voor een sferische symmetrische wolk waarin de deeltjes alleen via de zwaartekracht wisselwerken? Ω = 5 Ω = K GM 5 GM 5 GM = MkT = kt M J = 5kT 6. Schrijf de Jeans-massa als functie van µ, T en ρ, de dichtheid van de wolk. ρ = M 4 = ( M π 4 πρ) M J = 5kT = 5kT ( M ) 4πρ M = ( 5kT ) M 4πρ 75k M = ( 4πG µ m H ) ( T ρ ) 7. Hoe verandert de Jeans massa als de wolk samentrekt? Neem hierbij aan dat de temperatuur blijft gelijk (isotherme contractie). Bij constante T : de Jeans massa gaat omlaag (zie de vorm met T en ), dus hoe meer de wolk krimpt, hoe kleinere eenheden zullen gaan samentrekken. 4

5 8. Voor een wolk bestaande uit puur atomair waterstof, wat is de Jeans-massa als de deeltjes dichtheid n = 000 cm, en de temperatuur T = 0 K? Deze dichtheden en temperaturen zijn karakteristiek voor het dichtste interstellaire medium dat we kennen. ρ = m H = kg/m M = kg = 6 M 9. Als we lichtere sterren willen laten vormen, hoe moeten we dat dan doen? Hogere dichtheid, lagere temperatuur, hogere Y & Z, of het opbreken van een wolk gedurende de contractie 0. Als we Jupiter (M Jup = 0.0 M ) willen laten condenseren uit een wolk met temperatuur 0 K, wat voor deeltjesdichtheid hebben we daarvoor nodig? ρ = n = 75k T 4π( ) = kg/m M ρ m H = m = cm 5