Tentamen Planetenstelsels met oplossingen 19 april 2012 Docent: Dr. Michiel Hogerheijde

Transcriptie

1 Tentamen Planetenstelsels met oplossingen 19 april 2012 Docent: Dr. Michiel Hogerheijde Dit tentamen bestaat uit 3 bladzijden (inclusief dit voorblad) met vier opgaven, waarvan er voor de eerste drie ieder 2 punten zijn te verdienen en voor de laatste 4 punten. In totaal zijn er dus 10 punten te verdienen, wat samen met het resultaat voor de werkcollegeopgaven je eindcijfer vormt. Ieder onderdeel van elke opgave draagt gelijk bij aan de te verdienen punten. Schrijf op elk blad je naam en studentnummer. Geef steeds duidelijk het nummer en onderdeel aan van de vraag die je beantwoordt. Geef niet alleen het antwoord, maar ook de eventuele argumenten, wiskundige afleiding, of tussenstappen van je berekening. Na afloop van het tentamen is er gelegenheid om de bijgevoegde enquete in te vullen en in te leveren. Jullie respons is belangrijk! Succes! Nuttige grootheden Lichtsnelheid, c Universele zwaartekrachtsconstante, G Planck constante, h Boltzmann constnate, k Constante van Stefan Boltzmann, σ Astronomische eenheid, AU Parsec, pc Massa van de zon, M Straal van de zon, R Lichtkracht van de zon, L Massa van de aarde Massa van de maan Massa van Jupiter Massa van Saturnus Straal van de aarde Straal van de maan Straal van Jupiter Straal van Saturnus Halve lange as van de baan van de aarde Halve lange as van de baan van Jupiter Halve lange as van de baan van Saturnus ms Nm 2 kg Js JK Wm 2 K m m kg m W kg kg kg kg m m m m 1.00 AU 5.20 AU 9.54 AU 1

2 1. [Aantal punten: 2] a) Geef de drie wetten van Kepler, en geef hierin expliciet aan hoe de versie oorspronkelijk voorgesteld door Kepler afwijkt van de versie die volgt uit de wetten van Newton. Eerste wet van Kepler: De baan van een planeet rond de zon is een ellips (Newton: Zowel de zon als de planeet bewegen op een ellipsvormige baan rond het gezamelijke massamiddelpunt). Tweede wet van Kepler: In gelijke tijden doorloopt de verbindingslijn zon planeet gelijke oppervlakken (Newton: Onveranderd; en bovendien geldt heztelfde voor de lijn zon m.m.p. en planeet m.m.p.). Derde wet van Kepler: P 2 =4π 2 a 3 /GM (Newton: P 2 =4π 2 a 3 /G(M + m pl )). b) Een planeet op een baan rond de zon ondervindt een gravitationele kracht F ( r) = G M m p r 2 en ondergaat een versnelling m r = F ( r). Beargumenteer waarom precies 6 beginvoorwaarden de beweging van de planeet volledig beschrijven voor gegeven massa van de zon (M ) en de planeet (m p ). Gegeven de uitdrukking voor de zwaartekracht, de massa s M en m p, en de bewegingsvergelijking, is het probleem volledig oplosbaar als de positievector r en de snelheid r op een gegeven moment zijn gegeven. Samen tellen r en r 6beginvoorwaarden. c) De 6 beginvoorwaarden worden vaak gegeven als 6 baanelementen. Noem deze 6 baanelementen, en maak een schets van de baan van de planeet t.o.v. het ecliptisch vlak en geef hierin de 6 baanelementen aan. De 6 baanelementen zijn: Inclinatie van het baanvlak t.o.v. het ecliptsich valk, ι; de hoek tussen het lentepunt en de klimmende knoop, Ω; de hoek tussen de klimmende knoop en het perihelion, ω; de excentriciteit van de baan, e; de halve lange as, a; en het tijdstip van perihelionpassage, τ, of de longitude van de planeet op een gegeven tijdstip, L. ˆr, ecliptische noordpool ware anomalie op t=0 dalende knoop a(1e) perihelion klimmende knoop aphelion ecliptisch vlak lentepunt 2

3 2. [Aantal punten: 2] a) Geef een globale schets van de interne structuur van de aarde, Jupiter, en Neptunus. Geef hierbij de orde van grootte aan van de verschillende delen. Waarom maakt men voor reuzenplaneten het onderscheid tussen gasreuzen en ijsreuzen? Jupiter (een gasreus) bestaat voornamelijk uit waterstof en helium, met slechts een (verhoudingsgewijs) kleine kern van ijs+rots. Neptunus (een ijsreus) daarentegen heeft een verhoudingsgewijs veel grotere kern van rots+ijs, en dus ook een correspondernd hogere dichtheid. b) Hoe weten we dat Jupiter een interne bron van energie heeft, naast de energie ontvangen door straling van de zon? Wat is de belangrijkste bijdrage aan dit interne energie-budget? We weten dat Jupiter een interne energiebron heeft omdat de (gemiddelde) oppervlaktetemperatuur hoger is dan je verwacht op grond van de van de zon ontvange straling alleen. M.a.w. Jupiter straalt meer energie uit dan het van de zon ontvangt. De belangrijkste bijdrage aan de interne energie is de restwarmte overgebleven van de vorming van Jupiter. c) De aarde heeft ook interne bronnen van energie. Wat is de belangrijkste hiervan? Hoe is aan het oppervlak van de aarde merkbaar dat de aarde interne energie bronnen heeft? De belangrijkste bijdrage aan de interne warmte van de aarde bestaat uit het radioactieve verval van kernen met half-waardetijden van de orde van enkele Gyr. Aan het oppervlak is het bestaan van deze energiebron merkbaar als vulkanisme en platentektoniek. 3

4 3. [Aantal punten: 2] a) Welke drie niet-gravitationele krachten beı nvloeden de baanbewegingen van deeltjes in het zonnestelsel met afmetingen van 1 µm tot 1 km? De drie niet-gravitationele krachten zijn: stralingsdruk (voor deeltjes van µm; PoyntingRobertson-Drag (voor deeltjes van cm); en het Yarkovski effect (voor plenatoı den van km grootte). b) Rond de ster Fomalhaut bevindt zich een dunne ring van 135 tot 150 AU gevuld met stofdeeltjes met afmetingen van ongeveer 1 mm. Deeltjes van ongeveer een micron in grootte hebben een bredere verdeling, van 135 tot minstens 165 AU. Verklaar. Botsingen tussen planetoı den hebben geleid tot een populatie van deeltjes van ongeveer een mm, die weinig last hebben van stralingsdruk of Poynting-Robertson drag, en dus op hun radie le positie blijven. Kleinere deeltjes, van enkele µm, worden door stralingsdruk naar buiten geduwt. c) Schets de verschillende waarneembare onderdelen van een komeet als deze zich in de nabijheid van de zon bevindt. Geef hierin duidelijk de richting van de zon en de baan van de komeet aan. Staart gas-staart: geïoniseerd volgt magnetische veldlijnen stof-staart: weggeblazen door stralingsdruk Coma verdamping ijs (neemt stof mee) Kern ijs + stof 4

5 4. [Aantal punten: 4] a) Rond een ster met een massa van 1.5 M en een straal van 1.3 R wordt een transiting exoplanet gevonden met een periode van 10.1 dagen. De diepte van de eclips bedraagt 0.51% van de helderheid van de ster. Bereken de straal van de planeet (in Jupiter-stralen). π(r 2 R 2 p) πr 2 = R p = R = R = m=0.92 R Jup. b) Uit metingen van de radiële snelheid van de ster wordt een maximale amplitude gevonden van 51 m s 1. Bereken de massa van de planeet (in Juputer-massa s), onder de aanname dat de planeetbaan een lage excentriciteit heeft (e 0). Uit de periode P =10.1 dagen = s, vinden we de halve lange as, ( P 2 GM ) 1/3 a = = π 2 m=0.105 AU. Vervolgens vinden we de massa van de planeet uit v = 51 ms 1 = m p v c = m p GM M M a a m p = 51 ms 1 M = kg = 0.71 M Jup. GM c) Bereken de gemiddelde dichtheid van de planeet (in kg m 3 ). Wat kun je zeggen over de vermoedelijke samenstelling? De gemiddelde dichtheid is ρ = m p /(4/3πR 3 p)= kg m 3. Dit is vergelijkbaar met de dichtheid van Jupiter, wat ook volgt uit het feit dat zowel de straal als de massa van de orde van die van Jupiter zijn. De vermoedelijke samenstelling zal dus, net als Jupiter, voornamelijk waterstof en helium zijn. Einde van het tentamen! Vergeet niet de uitgedeelde enquete in te vullen en in te leveren! 5