Inleiding Astrofysica Tentamen 2009/2010: antwoorden

Transcriptie

1 Inleiding Astrofysica Tentamen 2009/200: antwoorden December 2, Begrippen, vergelijkingen, astronomische getallen a. Zie Kutner 0.3 b. Zie Kutner 23.5 c. Zie Kutner d. Zie Kutner 6.5 e. Zie Kutner 4..2, vgl. 4.a) of 4.b) f. Zie Kutner 3.3, vgl. 3.8) g. Zie Kutner 4.2, vgl 4.4) h. Zie Kutner 2.3, vgl. 2.5) i. - l. Zie de lijst met astronomische getallen op: israel/inlaf09.html 2. Hertzsprung-Russel diagram en evolutie van de Zon a. Zie Kutner 3.5 en 5.6 Figure : De lijnen van gelijke diameter hier getekend voor willekeurige diameters) worden berekend mbv de formule van Stefan-Boltzmann: M V log L log T 4 R 2) log T 4 4 log T.

2 b. Zie Kutner Gravitatie van de Zon en de Aarde, werkend op de Maan Zie Kutner 22.2 Example 22.) en F g,a M GM M M D 2 A M F g,z M GM M M DZ M 2 ) 2 F ) g,a M M DZ M F g,z M M D A M ) Uit het bovenstaande zien we na invullen van de gegeven constanten) dat de zwaartekracht van de Zon werkend op de Maan inderdaad groter is dan de zwaartekracht van de Aarde. De Maan blijft toch gewoon bij de Aarde omdat ze samen met de Aarde) in een baan is rondom de Zon. Hierdoor werkt er op de maan een centrifugaalkracht die precies de gravitatie van de Zon compenseert. De Zon oefent echter een getijdenkracht uit op het Aarde-Maan systeem. We moeten dus laten zien dat deze getijdenkracht niet sterk genoeg is om de Aarde en de Maan uit elkaar te trekken. Maw. De getijdenkracht van de Zon op het Aarde-Maan systeem, moet kleiner zijn dan de gravitatiekracht van de Aarde op de Maan. F g,a M F t,z M F g,a M GM M M D 2 A M F t,z M 2D A M GM M M M M DZ M 3 ) 3 ) DZ M D A M ) En we zien dat de getijdenkracht van de Zon dus inderdaad niet groot genoeg is om de Maan en de Aarde te ontkoppelen. 4. Exoplaneet en de transit methode a. Zie Kutner 5.3 vgl. 5.2)) De afstand D wordt gevonden door het toepassen van de 3e wet van Kepler en gebruik te maken van het feit dat de HD een even grote massa heeft als de Zon. P P Aarde P 2 4π2 D 3 GM ster ) 2 ) 3 D D Aarde ) 3 ) dagen) D AE) 365 D AE b. Uit de figuur is te zien dat de ster wordt voor ongeveer.5% verduisterd wanneer de planeet er voorlangs beweegt. De planeet bedekt dus.5% van het zichtbare oppervlak van 2

3 de ster c. Zie Kutner 2.3.2, werkcollege 2 en 3 De lichtkracht van de ster is: A planeet 0.05 A ster πr 2 πr 2 ster πr 2 R 0.2 R m De planeet vangt hiervan op: L 4πR 2 σt 2,eff ) πr 2 L planeet L 4πD 2 πr σt 2,eff 4 ) 2 R D De planeet moet wel evenveel energie uitstralen als hij ontvangt van de ster, anders zou hij in hoog tempo opwarmen of afkoelen) en er is geen reden om aan te nemen dat dit gebeurt. De hoeveelheid energie die de planeet per tijdseenheid uitstraalt is dus L planeet. d. Zie Kutner 2.3.2, werkcollege 2 en 3 Aannemende dat de ster als een zwarte lichaam straalt, straalt hij zijn energie uit volgens de wet van Stefan-Boltzmann. ) 2 R L planeet 4πR 2 σtplaneet 4 πr σt 2,eff 4 D R T planeet 2D T,eff Gebruik makende van de gegeven constanten, en de astronomische getallen die als bekend verondersteld worden vinden we: T planeet K e. Zie Kutner vgl. 2.5) We maken gebruik van de verschuivingswet van Wien: T λ max constant T,eff λ planeet,max T planeet λ,max λ planeet,max 2200 nm f. Je kunt de massa van de planeet nu heel nauwkeurig weten. Aangezien we de planeet voor de ster langs zien bewegen moet de inclinatie i wel vrijwel 90 o zijn we zien het systeem edge-on ). De massa van de planeet is dus: 5. Hubble classificatie Zie Kutner 7., Fig. 7. M sin i M sin 90 o M 0.63 M Jupiter 3

4 6. Waarnemingen van het Melkwegcentrum a. Zie Kutner µm 2200 nm, zie opgave 4e) ligt in het nabij-)infrarood. b. Zie Kutner 4.2 vgl. 4.) - 4.3)) De intensiteit van bronnen neemt als volgt af: I K I 0,K e τ A K is het verschil tussen de waargenomen schijnbare magnitude m K,0, en de schijnbare magnitude m K de we zouden meten wanneer er geen extinctie zou zijn: ) IK,0 A K 2.5 log 2.5 log e τ τ 2.5 log e I K A K c. Zie Kutner 4.2 vgl. 4.4) We gebruiken het feit dat de afstand tot het Melkwegcentrum ongeveer 8500 pc is, en de volgende relatie: ) r m K M K + 5 log + A K 0pc ) M K + 5 log M K.2 d. Zie Kutner 5.3 Eerst leiden we een relatie af tussen de baansnelheid v en de afstand D tot de centrale massa. Je kunt hier weer de 3e wet van Kepler toepassen: P 2 D 3 v 2πD P v D D /2 D3/2 Je kunt hetzelfde resultaat ook direct bereiken door de wetten van Newton wanneer je de gravitatiekracht balanceert met de centrifugaalkracht: We vinden uiteindelijk dus: v 2 M D GM BHM D 2 v D /2 v D /2 ) ) /2 v D v 0 v ) 500 ) / v 000 km/s e. Zie Kutner 5.3 en 5.4 De derde wet van Kepler geldt voor alle ellipsbanen een cirkel is een ellips met ɛ 0): PS2 ) 2 P 2 a 3 S2 ) 3 as2 P 0 4

5 We hoeven alleen nog de periode P 0 te berekenen van een baan met bekende baanstraal en -snelheid, bijvoorbeeld de cirkelbaan op 0.04 pc of die op 0.0 pc). Dit vullen we dus in: P 0 v 0 2π P 0 P 0 2π v 0 2π 0.04 pc 500 km/s 2π km 500 km/s s 492 jaar PS2 ) 2 ) 3 as2 P ) 2 ) 3 as a S pc 803 AE f. Zie Kutner 5.4 De periastronafstand, ofwel de afstand waarop de ster in zijn baan het dichtst bij Sgr A is gegeven door: r p a S2 ɛ) pc 97 AE g. Zie Kutner 5.3 example 5.2) We vinden het antwoord weer mbv. de 3e wet van Kepler of Newtons wetten balans tussen gravitatie- en centrifugaalkracht): h. Zie Kutner 8.4 vgl. 8.8) De formule voor de Schwartzschild straal: v0 2 M GM BHM D 2 v2 0 GM BH D 2 0 M BH v 2 0 G M BH m m/s) m 3 kg s kg M R S 2GM BH c 2 R S ) m i. Zie Kutner 4..2 vgl. 4.b) en 2.6 We hebben de formule voor de resolutie van een telescoop: θ R AE ) λ D telescoop 5

6 De Schwartschildstraal R S van het zwarte gat spant op de afstand van X 8500 pc een hoekje θ min op: R S AE) X pc) θ min boogseconden) θ min boogseconden De telescoop moet dan minimaal een diameter hebben: D telescoop,min rad λ θ min m) rad) m 03 km Constanten: Straal van de Zon: R m Massa van de Zon: M kg Massa van de Aarde: M M Massa van Jupiter: M Jupiter kg Afstand Aarde-Maan: D A M AE Constante van Stefan-Boltzmann: σ W m 2 K 4 Gravitatieconstante: G m 3 kg s 2 6