KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET GULDEN ZADELVLAK, EN DE REGELMATIGE VIJFHOEK.
|
|
- Irma Cools
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut, UU 1/37
2 Informatie tekst voordracht: nl/~kolk0101/links/voordracht_nwd.pdf alternatief tekst voordracht: zoek in Google op: johan kolk, kies Personal Homepage, kies Links, kies Voordracht NWD homepage: plaats: Nationale Wiskunde Dagen tijd: , 14:00 15:00 VIÈTE 2/37
3 Outline Onderwerp: Alle vergelijkingen ax 2 + bx + c = 0 met reële coëfficiënten a, b, c en reële nulpunten x. Na deling door a 0 schrijven we Alle grafieken onoverzichtelijk. x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0. VIÈTE Coëfficiënten c 2 1 c 2 of nulpunten x + x weinig informatie. x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0 interessant indien beschouwd als vergelijking tussen x, c 1 en c 2 tegelijk, dus van oppervlak in R 3. 3/37
4 Outline VIÈTE 4/37
5 Outline VIÈTE 5/37
6 Outline Alle kwadratische vergelijkingen met reële coëfficiënten en nulpunten tegelijkertijd. Meer inzicht in gedrag van oplossingen en verrassende relaties met andere onderdelen van wiskunde. Technisch hulpmiddel: Viète formules. Oplossingen op zoek naar een probleem. Oppervlak in R 3. Doorsnijding met vlakken: Parabolen. Lijnen. Hyperbolen. Conclusie: Zadelvlak / Hyperbolische paraboloïde. VIÈTE 6/37
7 Outline Hoek tussen blauwe asymptoten van hyperbolen: 2ρ met tan 2ρ = 2. Ook in gulden rechthoek. VIÈTE tan ρ = 1 τ + = τ met τ + gulden snede. τ + 1 = 1 τ + 1 = τ 2 ± τ ± 1 = 0. 7/37
8 Outline Richmond s constructie van regelmatige vijfhoek. VIÈTE 8/37
9 KV s (= Kwadratische Vergelijkingen) KV met reële coefficiënten c 1 en c 2 0 = x 2 + 2c 1 x + c 2 = (x + c 1 ) 2 (c 2 1 c 2) = (x + c 1 ) 2 (c 2 1 c 2). Notatie is niet-standaard, maar maakt formules transparant. Aanname: Reële nulpunten x + en x met x + x. Gegeven door oplossingsformule (met d voor difference ) (c 1, c 2 ) (x +, x ), x ± = c 1 ± c1 2 c 2 = c 1 ± d. Dus d = c 2 1 c 2. Maar ook x + x = c 1 +d ( c 1 d) = 2d = d = 1 2 (x + x ). Vb. x 2 2 5x + 21 = x 2 10x + 21 = (x 7)(x 3) = d = = 2 = 1 2 (7 3). VIÈTE 9/37
10 KV s (= Kwadratische Vergelijkingen) VIÈTE 10/37
11 Vièteformules Omkering: Druk (c 1, c 2 ) uit in (x +, x ). Vièteformules: c 1 = 1 2 (x + + x ), c 2 = x + x. Bewijs: som-productmethode (x 7)(x 3) = x 2 10x + 21 = x 2 2 5x + 21 = c 1 = 5 = 1 2 (7 + 3) en c 2 = 21 = 7 3. Gevolg: oplossingsformule is trivialiteit: x ± = c 1 ± d = 1 2 (x + + x ) ± 1 2 (x + x ). VIÈTE 11/37
12 Opgave Bewijs de volgende beweringen. Als discriminant van x 2 + 2c 1 x + c 2, dan d 2 = 1 4. Grafiek heeft top in (c 1, d 2 ). Bewijs Vièteformules mbv. som-productmethode, optelling en vermenigvuldiging van de oplossingsformules. VIÈTE 12/37
13 Parametrisatie Oppervlak Parametrisatie (= parametervoorsteliing) van cirkel met straal r in (x, y)-vlak a r(cos a, sin a) = (x, y). Bij toename r, familie cirkels met toenemende straal (a, r) (r cos a, r sin a, r 2 ) = (x, y, z). a = 0: (r, 0, r 2 ) = (x, y, z). Parabool: z = x 2 en y = 0. Vergelijking oppervlak (elliptische paraboloïde) x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 a + sin 2 a) = r 2 = z. VIÈTE 13/37
14 Zadelvlak Q Q. [Zadelvlak]. Beschouw nu KV als vergelijking in drie variabelen (x, c 1, c 2 ) R 3 tegelijk. Geeft oppervlak Q in R 3, beschreven door: vergelijking: (x, c 1, c 2 ) Q x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0, parametrisatie (= parametervoorstelling) met Viète: φ(x +, x ) = (x +, 1 ) 2 (x + + x ), x + x. Immers, φ(x +, x ) = (x, c 1, c 2 ) x 2 + 2c 1 x + c 2 = x (x + + x ) x + + x + x = x 2 + x 2 + x x + + x + x = 0. VIÈTE 14/37
15 x 2 + 2x 3 = 0, x ± = 1 3, p ± = ( 1 3, 1, 3) = (x ±, c 1, c 2 ), loodrechte projecties op (verschoven) (x +, c 1 )- en (c 1, c 2 )-vlak. VIÈTE 15/37
16 Snijden met vlak Snijden van Q R 3 met (plat) vlak, is in feite hetzelfde als snijden van kromme in R 2 met (rechte) lijn. Lijn loodrecht op x-coördinaatas, en dus parallel aan y-as, wordt gegeven door x = c en y willekeurig, met c constant. En willekeurige lijn voldoet aan ax + by = c. Evenzo staat vlak bestaande uit punten (x, c 1, c 2 ) met c 1 constant, loodrecht op c 1 -as; en is dus parallel aan (x, c 2 )-vlak. VIÈTE 16/37
17 Bergparabolen VIÈTE 17/37
18 Bergparabolen P (c 1 ). De doorsnijding van Q met het vlak waar c 1 constant. Dan P (c 1 ) een vlakke ruimtekromme op Q. x + + x = 2c 1, dwz. (x +, x ) = (x +, x + 2c 1 ). Daarom parametrisatie P (c 1 ): x + φ(x +, x + 2c 1 ) = (x +, c 1, x 2 + 2c 1 x + ) = (x +, c 1, c 2 ), dus c 2 = x 2 + 2c 1 x + = (x + + c 1 ) 2 + c 2 1. In (x +, c 2 )-coördinaten een bergparabool met top ( c 1, c 2 1 ). VIÈTE Een punt op één P (c 1 ) beschrijft een KV waarvoor de som van de nulpunten gelijk is aan 2c 1. Omgekeerd correspondeert elke dergelijke KV met hooguit twee punten op P (c 1 ). 18/37
19 Opgave Reken zelf de parametrisatie van P (c 1 ) na. VIÈTE 19/37
20 Dalparabolen VIÈTE 20/37
21 Dalparabolen P + (d). Snijding van Q met vlak x + + c 1 constant, geeft punten met x (x + + x ) = 1 2 (x + x ) = d constant. Analoog aan voorgaande een dalparabool P + (d) met vergelijkingen x + + c 1 = d en c 2 = c 2 1 d. De punten van P + (d) zijn alle KV s met voorgeschreven d, waarbij d 2 = 1 4 maal de discriminant van KV. VIÈTE 21/37
22 Parabolen σ en τ Speciale gevallen: τ = P (0), met parametrisatie τ : x + φ(x +, x + ) = (x +, 0, x+). 2 Alle KV s met tegengestelde nulpunten. σ = P + (0), met parametrisatie σ : x + φ(x +, x + ) = (x +, x +, x+). 2 Alle KV s met d = 0, dus samenvallende nulpunten. VIÈTE 22/37
23 VIÈTE Figure: σ samenvallende nulpunten, τ tegengestelde nulpt, στ = π 4 23/37
24 Punten P (c 1 ) P + (d). [Punt]. Doorsnijding van twee parabolen. φ(x +, x + 2c 1 ) = φ(x +, x + 2d) geeft x + = x + en x + 2c 1 = x + 2d; dus x + = c 1 + d en x = c 1 d. φ( c 1 + d, c 1 d) = ( c 1 + d, c 1, c 2 1 d 2 ) = ( c 1, c 1, c 2 1 ) + (d, 0, d 2 ) = σ( c 1 ) + τ(d). Vector som correspondeert met schrijven nulpunt x + van KV als x + = c 1 + d, maar ook als x + = 1 2 (x + + x ) (x + x ). Immers, elk punt van Q kan worden geschreven 1 ) 1 ) φ(x +, x ) = σ( 2 (x + + x ) + τ( 2 (x + x ). 24/37 VIÈTE
25 Lijnen L + (x + ). [Lijn]. Doorsnijding van Q met vlak van x + constant. Vergelijking in (c 1, c 2 )-coördinaten: ) x φ(x +, x ) = (x +, 12 (x + + x ), x + x, 2x + c 1 + c 2 = x 2 + x + x + x + x = x 2 +, c 2 = 2x + c 1 x 2 + Alle KV s met voorgeschreven grootste nulpunt x +. x + x = 2d geeft x = x + 2d, dus parametrisatie d φ(x +, x + 2d) = (x +, x + + d, x 2 + 2x + d) = σ(x + ) + d(0, 1, 2x + ) σ(x + ) + R(0, 1, 2x + ). Door elk punt σ(x + ) van de parabool σ van KV s met samenvallend nulpunten gaat een lijn met richtingsvector (0, 1, 2x + ) en die geheel in Q ligt. VIÈTE 25/37
26 VIÈTE 26/37
27 L + (x ). [Lijn]. Doorsnijding van Q met vlak van x constant. Net zoals L + (x + ). Dus Q dubbel regeloppervlak, dwz. twee families van rechte lijnen. VIÈTE 27/37
28 Projectie van lijnen Loodrechte projectie (x +, c 1, c 2 ) (c 1, c 2 ) van lijnen zadelvlak. VIÈTE Door elke (c 1, c 2 ) precies 2 lijnen rakend aan (blauwe) parabool c 2 = c 2 1. Hellingen van raaklijnen: 2x ± met x 2 ± + 2c 1 x ± + c 2 = 0. Nomogram voor nulpunten van KV s, dwz. een grafisch hulpmiddel in combinatie met lineaal en gradenboog. 28/37
29 Hyperbolen H(c 2 ). [Hyperbool]. Doorsnijding van Q met vlak van c 2 constant. Vergelijking in (x +, c 1 )-coördinaten: ( ) ( ( ) x + φ x +, c 2 x + = x +, 1 2 x + + c 2 x +, c 2 ), x c 1 x + = c 2. Alle KV s met voorgeschreven product van nulpunten. VIÈTE 29/37
30 Bij variatie van c 2 definieert x c 1 x + = c 2 een familie van niet-ontaarde kegelsneden (= ellips, parabool, hyperbool) in (x +, c 1 )-coördinaten. c 2 = 0 geeft x + (x + + 2c 1 ) = 0: vergelijking van twee lijnen, die alleen in 0 elkaar snijden. Alleen mogelijk als kegelsneden hyperbolen zijn. Dan zijn die lijnen asymptoten van hyperbolen. VIÈTE Voorgaande feiten impliceren: Q hyperbolische paraboloïde. 30/37
31 Hoek ρ De asymptoten zijn dus x + = 0 (de c 1 -as) en c 1 = 1 2 x + (schuine blauwe lijn). Zij 2ρ hoek tussen asymptoten. 1 2 = tan( π 2 + 2ρ) = tan( π 2 2ρ) = 1 tan 2ρ = ρ bepaald door tan 2ρ = 2. ρ = 31, 717. VIÈTE 31/37
32 Hoek ρ Zij τ = tan ρ. Verdubbelingsformule: 2 = tan 2ρ = 2 tan ρ 1 tan 2 ρ = 2τ = ( τ) 2 ( τ) 1 = 0 1 τ 2 = τ = τ ± = 1 2 (1 ± 5) = tan ρ = τ = 1 τ +. Dus 2ρ hoek tussen diagonalen gulden rechthoek. VIÈTE 32/37
33 Gulden zadelvlak Hyperbolische paraboloïde Q niet in standaardpositie in ruimte. Draai over hoek ρ om c 2 -as (loodrecht op lichtblauw vlak van rood naar blauw). Vergelijking in (z 1, z 2, z 3 )-coördinaten, niveau s 1, 0, 1 τ + z τ z z 3 = 0 (τ ± = 1 2 (1 ± 5) 0). VIÈTE 33/37
34 Vijfhoek Richmond s constructie van regelmatige vijfhoek. VIÈTE 34/37
35 Vijhoek Algebraisch is de relatie tussen vijfhoek en gulden snede z 5 1 = (z 1)(z 4 +z 3 +z 2 +z +1) = (z 1) (z 2 +τ ± z +1). ± Nulpunten ( ) ω1 = 1 ( τ ±i τ+ ω ) ( ) ω2, = 1 ( τ+ ±i τ 4 2 ω ). 3 2 VIÈTE 35/37
36 Formules x 2 + 2c 1 x + c 2 = 0, c 1 = 1 2 (x + + x ), c 2 = x + x, d = 1 2 (x + x ) 0, d 2 = c 2 1 c 2, 4d 2 = discriminant, x ± = c 1 ± d = x ± 2d, φ(x +, x ) = (x +, 1 ) 2 (x + + x ), x + x = (x +, c 1, c 2 ), tan 2ρ = sin 2ρ cos 2ρ = 2 sin ρ cos ρ cos 2 ρ sin 2 ρ = 2 sin ρ cos ρ 1 ( sin ρ cos ρ )2 = sec ρ = 1 cos ρ, csc ρ = 1 sin ρ. 2 tan ρ 1 tan 2 ρ, VIÈTE 36/37
37 Eind VIÈTE Twee gulden hyperbolen met brandpunten en een gulden ellips. 37/37
EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen
Dit tentamen is in elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. A Eskwadraat kan niet aansprakelijk worden gesteld voor de gevolgen van eventuele fouten in dit tentamen. EERSTE
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie6) Kegelsneden. K, zodat de componenten zijn r y. K : 5 4 4, zodat de componenten zijn 1. K : , zodat de componenten zijn 2 2
6) egelsneden x xy y x y xy : 5 4 4, zodat de componenten zijn r x4y 0 en r xy 0 : 4y 4yx y y x 4y 4, zodat de componenten zijn r y 0 en E x 4y 4 x y x y x y x y :, zodat de componenten zijn C x y en C
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Nadere informatieH. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie
H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische
Nadere informatieMeetkunde met b2 4ac. Jaap Top
Meetkunde met b2 4ac Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 9 januari 2016 (KWG wintersymposium, Utrecht) 1 Doel: meetkunde gebruiken om meer inzicht te krijgen in het oplossen van (veelterm)vergelijkingen.
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2008
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 008 VK : WISKUNE TUM : ONERG 0 JULI 008 TIJ : 09.45.5 UUR (MULO-III KNITEN) 09.45.45 UUR (MULO-IV
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse III
Oefeningen Wiskundige Analyse III Krommen en oppervlakken 1. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de vlakke kromme met parametervergelijking: P (t) = a cosh
Nadere informatieFORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10
FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatievwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
Nadere informatie3.1 Kwadratische functies[1]
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Nadere informatie0.25x. Het buitengebied - vanuit elk punt kun je twee raaklijnen tekenen - bevat twee oplossingen. De parabool zelf staat voor één oplossing.
Uitwerkingen opgaven Zichtbaar maken van discriminantkrommen Opgave 1.1 a. Het binnengebied van de dalparabool oplossingen. y 0.5x, het holle deel, bevat geen Het buitengebied - vanuit elk punt kun je
Nadere informatieDE AFWIKKELING VAN EEN AFGEKNOTTE KEGEL
DE AFWIKKELIG VA EE AFGEKOTTE KEGEL F. BRACKX VAKGROEP WISKUDIGE AALYSE UIVERSITEIT GET. PROBLEEMSTELLIG Beschouw de afgeknotte kegel die ontstaat door een rechte circulaire kegel te snijden met een vlak
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieVoorbeeldopgaven Meetkunde voor B
Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken
Nadere informatieVraag Antwoord Scores. Het verschil is (0,0017 uur, dat is) 6 seconden (of nauwkeuriger) 1
Gevaar op zee maximumscore Na, 7, (,7 ) uur komt de UK bij punt S Na,8 6,5 (,697 ) uur komt de Kaliakra bij punt S Het verschil is (,7 uur, dat is) 6 seconden ( nauwkeuriger) Opmerking Als minder nauwkeurige
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatie2.1 Lineaire functies [1]
2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte
Nadere informatieDE TENNISBALNAAD. J.-M. Dendoncker UGent Sint-Barbaracollege. Poster: Alexander Snoeck Sint-Barbaracollege c.
DE TENNISBALNAAD Poster: Alexander Snoeck Sint-Barbaracollege c J.-M. Dendoncker UGent Sint-Barbaracollege jean-marie.dendoncker@ugent.be 7 januari 014 Inhoudsopgave 1 De oloïde 4 1.1 Inleiding..............................
Nadere informatieOefenzitting 2: Parametrisaties.
Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan
Nadere informatie(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Nadere informatie(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).
Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur
Nadere informatieWPO Differentiaalmeetkunde I
1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 006-007 Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Nadere informatieDag van GeoGebra Probleemoplossende vaardigheden en onderzoekscompetentie wiskunde 28 mei 2011 Gent
1 VERBORGEN FIGUREN 1.1 OPGAVE In heel wat klassieke opdrachten uit de meetkunde is het de bedoeling om een bepaalde figuur te tekenen indien een aantal punten gegeven zijn. De eigenschappen van deze figuur
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Nadere informatie5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B
Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Nadere informatieICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan
Nadere informatieSamenstelling: Lia van Asselt, Aad Goddijn en Dick Klingens december 2006
Deze publicatie is gebaseerd op de domeinbeschrijving Analytische Meetkunde die in het kader van de aanpassing van de profielen Tweede fase werd ontwikkeld door de Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatieDe wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatieVraag Antwoord Scores
Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal
Nadere informatieEllips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
wiskunde B pilot vwo 017-II Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin(
Nadere informatieExamen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Nadere informatieOverzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.
Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven
Nadere informatie12. Uitwerkingen van de opgaven
12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 2015
IJkingstoets 4 september 05 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 05 Oefening De evolutie van een bepaalde radioactieve stof in de tijd volgt het wiskundig model N (t)
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica juli 2019: algemene feedback
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fsica juli 9 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fsica juli 9: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 58 studenten
Nadere informatieSOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN
SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatie2. Kwadratische functies.
Uitwerkingen R-vragen hoofdstuk. Kwadratische functies.. R De term a is bepalend voor zeer grote waardes van. Als a < 0 dan wordt de term a zeer groot en negatief zowel bij. en Er is sprake van een bergparabool
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatieEERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen
EERSTE DEELTENTAMEN WISB 212 Analyse in Meer Variabelen 20 04 2005 9 12 uur Zet uw naam en collegekaartnummer op elk blad, en op het eerste blad de naam van uw practicumleider (Alex Boer of Richard Cushman)
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieEerste deel van de cursus Algebra
Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Nadere informatieUitwerking 1 Uitwerkingen eerste deeltentamen Lineaire Algebra (WISB121) 3 november 2009
Departement Wiskunde, Faculteit Bètawetenschappen, UU. In elektronische vorm beschikbaar gemaakt door de TBC van A Eskwadraat. Het college WISB werd in 9- gegeven door Prof. Dr. F. Beukers. Uitwerking
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur
Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early T ranscendental F unctions, Robert T. Smith,
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieG Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Nadere informatieWat verstaan we onder elementaire meetkunde?
Wat verstaan we onder elementaire meetkunde? Er zijn veel boeken met de titel 'Elementaire Meetkunde'. Niet alle auteurs verstaan hieronder hetzelfde. Dit boek behandelt in de eerste 1 hoofdstukken de
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
Nadere informatieConcrete Meetkunde: Tekeninstrumenten Frans van Schooten.
Concrete Meetkunde: Tekeninstrumenten Frans van Schooten. Benodigd: Pantograaf Haakse Hoek Tekenaar Parabolograaf Archimedes Parabolograaf Frans van Schooten Ellipsograaf 1 Frans van Schooten Ellipsograaf
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-I
Hangar maximumscore Beschrijven hoe de vergelijking 0,006x + 56,6 = 0 opgelost kan worden De oplossingen zijn x,0 ( nauwkeuriger) en x,0 ( nauwkeuriger) Dit geeft een breedte van 86,0 meter Als voor x
Nadere informatieTweede graadsfuncties
CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatieTOELATINGSEXAMEN ANALYSE BURGERLIJK INGENIEUR EN BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - 3 JULI 2003 BLZ 1/8 1. De functie f(x) = e kx + ax + b met a, b en k R en k < 0 heeft een schuine asymptoot y = x voor x + en voldoet aan de vergelijking Bepaal a, b en
Nadere informatie