6) Kegelsneden. K, zodat de componenten zijn r y. K : 5 4 4, zodat de componenten zijn 1. K : , zodat de componenten zijn 2 2

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "6) Kegelsneden. K, zodat de componenten zijn r y. K : 5 4 4, zodat de componenten zijn 1. K : , zodat de componenten zijn 2 2"

Pieter de Graaf
5 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 6) egelsneden x xy y x y xy : 5 4 4, zodat de componenten zijn r x4y 0 en r xy 0 : 4y 4yx y y x 4y 4, zodat de componenten zijn r y 0 en E x 4y 4 x y x y x y x y :, zodat de componenten zijn C x y en C x y x 4y 0 x iy x iy 0 x iy 0 x iy x xy y x y x y x y x y i x y i x y 4x6y 0 x y 0 xi y xi y 0 xiyi 0 xiyi 0 Noem ax a' y a" z byz b' xz b" xy 0, dan krijgen we: P, i,0 a a' b" i 0 a a' 0 a a' P " 0 " 0, i,0 aa' b" i 0 b b Zoals we weten is dit inderdaad de vereiste voor om een cirkel (al dan niet reëel) te zijn 4 a) en 4 0 ( is een niet-ontaarde parabool) en ( is een niet-ontaarde hyperbool) 5 6x 5xy 6y 0 x y x y 0 x y 0 x y 0 Dit zijn twee reële rechten die loodrecht op elkaar staan x 4xy 4y 0 xy 0 xy 0 Dit zijn twee reële, samenvallende rechten x xy y 0 x y y 0 x i y 0 x i y 0 4 Dit zijn twee toegevoegd imaginaire rechten 6 Van een rechtenpaar door het punt, x y 0 0 xy xy 0 x xy y 5xy0 7 a) xyiy xyiy 0 xy y 0 x 4xy 5y x4y0

2 8 a) De twee componenten zijn DP en DP DP DP xy 5 0 x y 0 xy 0 en analoog 0 x y xy 5 0 x y 4x6y 50 De kegelsnede zal dus zijn: 7x xy 0 x 7xy 0 x 0 7xy 0 De rechten door,, D evenwijdig met de componenten zijn dus: x 0 en 7xy 9 0 x 7xy9 0 7x xy 40xy 57 0 De kegelsnede is dus 9 a) 0 c) d) xy y x8y 4 0: 0, 4 is ontaard in twee verschillende reële rechten xy y x8y4 y xy r y 0 en r xy 0 Deze rechten snijden elkaar in het dubbelpunt 4, x 5xy y 9x8y 5 0: 0, 49 4 en de punten op oneindig zijn,0,0 en,,0 xy5 xy 0 r xy5 0 en r xy 0 Deze rechten snijden in het dubbelpunt 7,7 of homogeen,,7 De punten op oneindig zijn,,0 en,, : 0, 0 x xy y x y is ontaard in twee versch reële rechten is ontaard in twee evenwijdige rechten 4x xy 9y 4x6y 6 x y xy 6 xy 6 r xy 6 0 is de vergelijking van beide (samenvallende) componenten Alle punten op deze rechte zijn dubbelpunten en het punt op oneindig is,, : 0, 0 x xy y x y is ontaard in twee evenwijdige rechten x xy y x y x y x y x y i x y i r 7xy 5i 0 en r 7x y 5i 0 zijn de twee toegevoegd imaginaire evenwijdige rechten die elkaar snijden in het dubbelpunt,7,0, tevens hun punt op oneindig a) De voorwaarde vertaalt zich als 0, 0 (een ontaarde ellips) en 0 0 De enige waarde waarvoor dit kan is dus 4 (de andere nulpunten van zijn ook nulpunten van ) De voorwaarde vertaalt zich als 0, 0 (een ontaarde parabool) , dus c) Dan moet 0 0 en a) x xy y y 0 C , 454 en 4 (met a 454) een reële, niet-ontaarde ellips xy 0 x 5 Met behulp van de partiële afgeleiden bepalen we het middelpunt: xy 5 0 y 0

Voor de draaihoek geldt: tan 0 tan k Neem cos sin 4 5 0 0 Dan is M 0, zodat C M CM 0 0 0 0 0 0 5 en opzichte van het nieuwe assenstelsel geldt dus x' y' 5 of nog 0 0 Dit is een ellips in

3 Voor de draaihoek geldt: tan 0 tan k Neem cos sin Dan is M 0, zodat C M CM en opzichte van het nieuwe assenstelsel geldt dus x' y' 5 of nog 0 0 Dit is een ellips in standaardvorm, met 0,6 en 0 5,48 Deze gegevens laten ons makkelijk toe de assenrechthoek te tekenen en dus de ellips heel goed te schetsen 9x 4xy 6y x 6y C 6, dus 5 en 0 Een niet-ontaarde parabool 5 We berekenen eerst de draaihoek (er is geen middelpunt): Neem cos 5 en sin 45 tan 7tan 0 tan 4 tan 4 Dan is M , zodat C M C M 0 0 Dus 5 x' 6 x' y' Verschuiven geeft ons x x x x y y 5 " 6 " " 5 0, we zorgen dan dat x0 6 0 x0 5, zodat 5 x" y" 0 5x0 6x0 y0 5 0 y0 585 Dit is een parabool in standaardvorm x" y" 5 De top van de parabool is dus het punt met als coördinaat 5, 585 tov het x', y' -assenstelsel

c) 6x 4xy 9y 4x y 6 0 6 C 9 6 6 6, 000 en 50 (met a 000) een reële, niet-ontaarde ellips x 4y 4 0 x Met behulp van de partiële afgeleiden bepalen we het middelpunt: 4x8y 0 y Voor geldt: tan tan 0 tan

4 c) 6x 4xy 9y 4x y C , 000 en 50 (met a 000) een reële, niet-ontaarde ellips x 4y 4 0 x Met behulp van de partiële afgeleiden bepalen we het middelpunt: 4x8y 0 y Voor geldt: tan tan 0 tan tan ies tan en neem cos en sin 5 5 Dan is M , zodat C M CM en opzichte van het nieuwe assenstelsel geldt dus 5 x' 0 y' 40 of nog 8 4 Dit is een ellips in standaardvorm, met 8,8 en 4 5 Deze gegevens laten ons makkelijk toe de assenrechthoek te tekenen en dus de ellips heel goed te schetsen

5 d) 6x 4xy 9y 46x 8y C , dus 565 en 0 Een niet-ontaarde parabool We berekenen eerst de draaihoek (er is geen middelpunt): tan 7tan 0 tan 4 tan 4 Neem cos 5 Dan is en sin M , zodat C M CM Dus y' 50 x' 0 y' 06 0 Verschuiven geeft ons y y x x y y 5 " 50 " 0 " 06 0, we zorgen dan dat y0 0 0 x0 5, zodat 5 y" 50 x" 0 5y0 50x0 0y y0 5 Dit is een parabool in standaardvorm y" x" De top van de parabool is dus het punt met als coördinaat 5, 5 tov het x', y' -assenstelsel (Reken zelf maar eens na dat de top in het oorspronkelijke assenstelsel coördinaat, heeft) e) xy x4y 0 We kunnen de vergelijking ontbinden als x y 4 8 Deze vergelijking kennen we reeds van vroeger (de vierdes) als een hyperbool met als asymptoten x 4 en y We doen het nu ook eens volgens de regels van de kunst: 0 C 0 0, en 4 een hyperbool y 0 x 4 Met behulp van de partiële afgeleiden bepalen we het middelpunt: x4 0 y Voor de draaihoek geldt: Dan is M tan 0 tan k Neem cos sin , zodat C M CM

en opzichte van het nieuwe assenstelsel geldt dus x' y' 8 of nog 6 6 Dit is een (orthogonale) hyperbool in standaardvorm, met 6 4 µdeze gegevens laten ons makkelijk toe de assenrechthoek te tekenen

6 en opzichte van het nieuwe assenstelsel geldt dus x' y' 8 of nog 6 6 Dit is een (orthogonale) hyperbool in standaardvorm, met 6 4 µdeze gegevens laten ons makkelijk toe de assenrechthoek te tekenen en dus de ellips heel goed te schetsen en (met 4 a ), dit is dus een imaginaire ellips 4 a) x xy y x y 0 5 (met nulpunt 0) (met nulpunten en ) (met nulpunten en 5) (met nulpunten 0, en 5) a 5 a ype kegelsnede Een niet-ontaarde reële ellips Een ontaarde parabool Een niet-ontaarde hyperbool Een niet-ontaarde orthogonale hyperbool Een niet-ontaarde parabool Een niet-ontaarde reële ellips Een ontaarde ellips Een niet-ontaarde imaginaire ellips x xy y x 4y Nulpunten van zijn, en, nulpunten zijn 0 en

7 , nulpunt is Omdat a zal a hetzelfde teken hebben als a ype kegelsnede Een niet-ontaarde hyperbool Een niet-ontaarde orthogonale hyperbool Een niet-ontaarde hyperbool Een ontaarde hyperbool Een niet-ontaarde parabool Een niet-ontaarde reële ellips Een ontaarde ellips Een niet-ontaarde imaginaire ellips Een ontaarde parabool c) x y x (nulptn (nulptn 0,,, 4) ) en (nulptn en ) a 4 (nulptn 0 (dubbel),, 4) a ype kegelsnede Een niet-ontaarde hyperbool Een niet-ontaarde orthogonale hyperbool Een niet-ontaarde hyperbool Een ontaarde parabool Een niet-ontaarde reële ellips Een ontaarde parabool Een niet-ontaarde hyperbool Een niet-ontaarde orthogonale hyperbool Een ontaarde parabool Een niet ontaarde imaginaire ellips Een ontaarde ellips Een niet-ontaarde reële ellips

Vergelijkbare documenten

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om