Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte"

Fenna Gerritsen
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Bekijk een willekeurig pad van naar. Verdeel het pad in kleine stukjes die elk voor zich als rechtlijnig beschouwd kunnen worden. De lengte van de stukjes noemen we L. y L y ΔL L = + y De stukjes L zijn hemeldbrede afstandjes: Die hangen niet af van de keuze van het coördinatenstelsel!

2 Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte L = + y De totale lengte van het pad is de som van alle kleine stukjes L. y L = L + L + L 3 + L 4 + L = dl = d + L integraal: integreren is het optellen van oneindig veel oneindig kleine stukjes. ls we de stukjes ΔL oneindig klein nemen dan schrijven we dl i.p.v. ΔL. L = d + = + d

3 Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte L = + d De integraal hangt af van de vorm van het pad: m.a.w. hoe de -coördinaat samenhangt met de y-coördinaat. Dit wor uitgedrukt door d De verhouding tussen een (kleine) verandering van en een (kleine) verandering in y. Voorbeeld: een recht pad in het platte vlak y Het punt wor gegeven door: [, y] = [4,]. Voor het hele pad gel: d = Dan: 4 L = + = 5 = 5 = 5 0 = 5

4 Eigentijd interval tussen twee gebeurtenissen in de Minkovski ruimte Bekijk twee gebeurtenissen en. Wat is het eigentijd verschil τ tussen die gebeurtenissen, gemeten door een klok die niet met constante snelheid van naar beweegt? Verdeel de wereldlijn in kleine stukjes die elk voor zich als rechtlijnig beschouwd kunnen worden, d.w.z. stukjes die corresponderen met een constante snelheid. t Voor het eigentijdverschil langs de wereldlijn gel dan: τ = τ + τ + τ 3 + τ 4 + De uiteinden van elk van de rechte stukjes corresponderen met twee gebeurtenissen. Elk recht stukje representeert een ruimtetijd intervalletje tussen die twee gebeurtenissen τ = s + s + s 3 + s 4 + Het totale eigentijd tijdinterval tussen en wor gevonden door alle ruimtetijd intervalletjes van de afzonderlijke kleine stukjes van de wereldlijn op te tellen. τ = ds = d dz

5 Eigentijd interval tussen twee gebeurtenissen in de Minkovski ruimte τ = d dz = d dz = d dz v = d (oneindig) kleine verplaatsing in de -richting (oneindig) klein tijd interval v y = v z = dz τ = v v y v z = (v + v y + v z ) τ = v v v v z v y Pythagoras in drie dimensies: v = v + v y + v z

6 Tijddilatatie τ = v De uitkomst hangt af van hoe v van de tijd t afhangt, d.w.z. van de vorm van de wereldlijn. Daardoor is de integraal in het algemeen ingewikkeld. t Een bijzonder geval is de situatie waarin de klok met constante snelheid (speed) van naar gaat. t Dan: τ = v = v t t τ = v t Eigentijd verschil tussen twee gebeurtenissen Coördinaattijd verschil tussen twee gebeurtenissen

7 Tijddilatatie τ = v t t = τ fkorting: γ = v v ls v < dan is γ > Tijddilatatieformule: t = γ τ Het coördinaattijd verschil is een factor γ groter dan het eigentijdverschil tussen twee gebeurtenissen. De formule gel alleen als de klok die de eigentijd meet met constante snelheid (speed) beweegt. Het coördinaattijd verschil tussen twee gebeurtenissen is altijd gelijk of groter dan het eigentijd verschil tussen die gebeurtenissen!

8 Tijddilatatie voor het muon Muon: v = 0,994 γ = 0,994 = 0,0964 = 0,094 = 9,4 Halfwaardetijd van het muon in zijn eigen ruststelsel: τ ½ =,5 μs (Schijnbare) halfwaardetijd van het muon in het stelsel van de aarde: t ½ = 3, 9μs De halfwaarde tijd van het muon is gedilateerd in het stelsel van de aarde! De tijd die het muon nodig had om naar beneden te komen in het stelsel van de aarde was t = 6,39 μs. Dit is ca. 47% van de halfwaarde tijd: ca 7% van muonen is nog over! Met tijddilatatie kan je het gevonden resultaat dus ook verklaren!

9 Benaderingen + a + a voor ls a = : + = bijv.: als = 0,0: + 0,0 =,00,0 + voor bv: als = 0,0: + 0,0 =,0 0,99 = 0,0

10 Verschil tussen coördinaattijd en eigentijd bij kleine snelheid t v v v v v v a a bv: v = 0-7 (08 km/u) Δτ = uur = 3600 s 4 t * 0 s 8 ps

11 Eigentijd van een inertiaal klok t.o.v. eigentijd van een niet-inertiaalklok Beschouw een inertiaalklok die rechtlijnig met constante snelheid van gebeurtenis naar gebeurtenis B beweegt. Deze klok meet eigentijd, ruimtetijd en coördinaattijd Δτ B (inertiaalklok) = Δs B = Δt B Beschouw nu een niet-inertiaalklok die van gebeurtenis naar gebeurtenis B beweegt. Deze klok meet eigentijd: B t ni B Δτ B v Voor een niet-inertiaalklok is v > 0 en de wortel dus kleiner dan B Δt B B i Een inertiaalklok meet altijd een groter eigentijd interval tussen twee gebeurtenissen dan een nietinertiaalklok! d.w.z. : Δs Het ruimtetijd interval is het grootst mogelijke eigentijd interval tussen twee gebeurtenissen.

12 Eigentijd - ruimtetijd coördinaattijd interval Uit de metrische vergelijking volgt: s = t s t s t Het ruimtetijdverschil is het kleinst mogelijke coördinaattijdverschil tussen twee gebeurtenissen. We zagen: Δs Voor twee gebeurtenissen (waarbij sprake is van eigentijd) gel dus: τ s t eigentijd interval ruimtetijd interval coördinaattijd interval De gelijk-tekens zijn van toepassing in het geval van een inertiaalklok

13 Tweeling parado Stel ndrea en Bernard zijn een tweeling van 5 jaar oud. ndrea gaat op ruimtereis naar Tau Ceti:,3 lichtjaren van hier. Zij keert direct na aankomst aldaar weer terug. Het ruimteschip heeft een snelheid v = 0,99 γ = 7, Bekijk vertrek en terugkomst op aarde: Voor Bernard: t =,6 0,99 =,8 jaar Bernard is 48 als ndrea terug komt. Voor ndrea: τ = t γ =,8 7, = 3, jaar ndrea is 8 als zij terug komt. tijddilatatie voor zowel heen- als terugreis Parado? Het leeftijdsverschil? Vanuit ndrea gezien, heeft Bernard een snelheid van 0,99. Zou zij niet redeneren dat in haar coördinatenstelsel Bernard en de aarde slechts,6 jaar nodig gehad hebben om van haar vandaan te reizen. Voor heen een terugreis samen 3, jaar of niet?

14 Tweeling parado wereldlijn van Bernard t wereldlijn van ndrea Voor Bernard gel dat zijn eigentijd interval gelijk is aan de coördinaattijdinterval op de aarde, een inertiaalstelsel. Hij meet een ruimtetijdinterval. ndrea zat niet in een inertiaalstelsel. Bij afremmen en omkeren gaf haar eerste wet van Newton detector aan dat dat niet zo was. De situaties van Bernard en ndrea zijn niet symmetrisch!

Vergelijkbare documenten

Ingrid meet: Henk meet: A. Coördinaattijd. A. Coördinaattijd. B. Eigentijd. B. Eigentijd. C. Ruimtetijd. C. Ruimtetijd

Ingrid meet: Henk meet: A. Coördinaattijd. A. Coördinaattijd. B. Eigentijd. B. Eigentijd. C. Ruimtetijd. C. Ruimtetijd Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. an de uiteinden an het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage an de klokken leest Henk de stationsklokken