Opgave 1 Een inertiaalstelsel is een referentiestelsel waarin de eerste wet van Newton geldt.

Transcriptie

1 Uitwerkingen 1 Opgae 1 Een inertiaalstelsel is een referentiestelsel waarin de eerste wet an Newton geldt. Een gebeurtenis is een fysishe situatie of ooral op één bepaalde plaats en op één bepaald tijdstip. Een wereldlijn is een lijn in het tijd-plaats-diagram die het erband tussen tijd en plaats an een oorwerp (of iets anders) weergeeft. Als een stip. Opgae 0 m/s 7/ m/s = 0,75 m/s. -9/3 m/s = -3 m/s d. (oneindig) Opgae 3 x = t 1 m = = 3 s 4 m/s t = s x = 4 m (zie de stippellijn in het onderstaande diagram) Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Referentiestelsels, tijd-plaats-diagram, 1

2 Opgae 4 en en. d. De oetbal en de shoen kruisen elkaar op x =,5 m (zie de stippellijn). Opgae 5 0 m Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Referentiestelsels, tijd-plaats-diagram,

3 Uitwerkingen Opgae 1 Niet waar Waar. Waar Opgae x = x - t = (0/60) = 17 km x = x + t = (35/60) = 47 km Opgae 3 x = x - t = 4,4 ly (0,3 ly/y) (5,1 y) =,9 ly Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Galileï-transformatie, 3

4 Uitwerkingen 3 Opgae 1 De wetten an de natuurkunde zijn in elk inertiaalstelsel dezelfde. De lihtsnelheid in auüm is in elk inertiaalstelsel gelijk. Opgae 0 m/s Het foton gaat oor de raefietser ook met de lihtsnelheid. Opgae 3 1ls = 3, ly = 3,00 10 m/s 1s = 3,00 10 m m/s s = 9,46 10 Opgae 4 Voor Jan legt het liht an L1 naar hem een een grote weg af als het liht an L naar hem. Voor Sjoerd legt het liht an L naar Jan een kortere weg af dan het liht an L1 naar Jan. Opgae 5 Voor Piet is de door het liht af te leggen afstand (zowel heen als terug) onafhankelijk an de treinsnelheid. De heenweg oor het liht wordt langer en de terugweg oor het liht wordt korter. De heenweg duurt dus langer en de terugweg korter. Opgae 6 s x633 5 t = = = 5,76 10 s 3,00 10 Eén omwenteling duurt 1 / 1,6 = 0,0794 s. Eén tand plus één opening duren 0,0794 / 70 = 0, s. Eén tand duurt 0, / = 5, s.. s = = x633 = 3,13 10 m/s 5 t 5, m Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Postulaten an de speiale relatiiteitstheorie, 4

5 Opgae 7 9 s x = = =,1 10 m/s t 60 3,00,1 De afwijking met de orrete snelheid is: x 100% = 9%. 3,00 Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Postulaten an de speiale relatiiteitstheorie, 5

6 Uitwerkingen 4 Opgae 1 Voor een waarnemer erlopen alle proessen in een oor hem bewegend systeem langzamer. Opgae Voor een waarnemer erlopen alle proessen in een oor hem bewegend systeem langzamer. Opgae 3 A en C. A en C.. Jan ersnelt niet. Jim ersnelt bij het begin an zijn reis, ertraagt en ersnelt halerwege zijn reis en ertraagt aan het einde an zijn reis. Opgae 4 De tweede methode erdient de oorkeur omdat de draagbare klok langzamer gaat lopen (ten opzihte an het stilstaande referentiestelsel) als hij een snelheid krijgt. Opgae 5 to t = = 55 0,0 = 9 s Opgae 6 s t = = t o = t,50 0,99x3, = 0,16 10 = 0,16 10 s 0,99 = 0, s Opgae 7 t 1 = wordt t o Hieruit olgt: 1 1 = 1,30 / = 0,64 dus 64% 1 1,30 =. Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Tijdsduurrek, 6

7 Opgae 6 s = t = 3,00 10, 10 = 6,6 10 m to, µ s t = = = 49, µ s 0,999. Gemakshale stellen we de snelheid an een muon op 100% an de lihtsnelheid. 6 s = t = 3, , 10 = m = 14, km Geen probleem dus om de dampkring te doorlopen. Opgae 9 Een tijdsduur an 1 s oor het atoom orrespondeert met een tijdsduur an to 1s t = = = 1,51s oor waarnemer W. 0,75 1, De door W waargenomen frequentie is dan = 0,66 10 Hz. 1,51 Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Tijdsduurrek, 7

8 Uitwerkingen 5 Opgae 1 De piloot is in rust ten opzihte an zijn raket. L = Lo. = 50 0,40 = 46 m = L wordt L o Opgae =. Hieruit olgt: = 0,60. L = Lo = (10 km) 0,999 = 447 m Stel de snelheid an het muon gemakshale gelijk aan. Dan geldt: 6 s = t = 3,00 10, 10 = 660 m Het aardopperlak kan dus gemakkelijk bereikt worden. Opgae 3 Het zit m in het feit dat gelijktijdigheid geen absoluut begrip is. Voor waarnemer W zijn de deuren dus niet op hetzelfde moment gesloten. Eerst wordt de oordeur eentjes gesloten en daarna de ahterdeur. Opgae 4 ΔL = Lo L = L o L o 1 1 ( β ) = L β 1 1 ΔL = L = = o 599,4 (5576 km) 3,00 10 o 11,1μm Opgae 5 Er indt alleen lengtekrimp in de rijrihting plaats, niet in de breedte of in de hoogte. Er geldt dan: L = Lo = (1m) 0,90 = 0,44 m Het olume is dan dus 0,44 m 3. Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Lengtekrimp,

9 Opgae 6 Pi wordt kleiner omdat de omtrek kleiner wordt. Opgae 7 rahtwagen tunnel wel geen Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Lengtekrimp, 9

10 Uitwerkingen 6 Opgae 1 en Bij opgae a: raket A: 0,5 en raket B: 0,5. Opgae 3 Opgae 4 Doordat de hoeken gelijk zijn, allen de diagonalen an de ruitjes samen met wereldlijnen an fotonen (dus onder een hoek an 45 ). Zodoende blijft de lihtsnelheid gelijk oor de stilstaande en de bewegende waarnemer. Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Minkowskidiagram, 10

11 Opgae 5 Volgens waarnemer W: eerst P en dan Q. Volgens waarnemer W : eerst Q en dan P. Opgae 6 en Voor waarnemer W knalt eerst rotje A, daarna rotje B en tot slot rotje C.. De tijdsolgorde is oor de hond en oor waarnemer W gelijk. De hond heeft namelijk hetzelfde referentiestelsel als waarnemer W. Hooguit is de plaatsas (x-as) ershoen maar dat maakt niet uit. Opgae 7 Uit de stippellijnen behorend bij opgae. olgt dat oor waarnemer W de oorste shuurdeur eerst een dihtgaat en de ahterste shuurdeur daarn Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Minkowskidiagram, 11

12 Uitwerkingen 7 Opgae 1 Als waarnemer W oor waarnemer W in de positiee x-rihting beweegt, beweegt waarnemer W oor waarnemer W in de negatiee x -rihting. Stel bijoorbeeld dat W en W ieder in een rijdende trein zitten en dat de trein an W de trein an W inhaalt. Voor W beweegt de trein an W dan ooruit en oor W beweegt de trein an W dan ahteruit. Opgae Zie het diagram hiernaast. Iets meer dan 11 miljard jaar Iets meer dan 11 miljard jaar Opgae 3 β = 0, γ = = = 1,05 β 0,30 t ' = γ ( t β x) = 1,05 (5,1 0,30 4,4) = 4,0 Dus het heeft 4,0 jaar geduurd.. De formule oor de tijdsduurrek kan alleen gebruikt worden als de twee gebeurtenissen (hier: het passeren an de aarde en het afgeen an het signaal door de UFO) oor één an de twee waarnemers op dezelfde loatie plaatsindt. d. x ' = γ ( x β t) = 1,05 (4,4 0,30 5,1) = 3,0 Dus 3,0 lihtjaar erwijderd. Opgae 4 De hoek is 31. β = / = tan(31 ) = 0,60 dus het proton gaat met 60% an de lihtsnelheid γ = = = 1,5 0,60 d. x = γ ( x' + β t' ) = 1,5 (4 + 0,60 9) = 11,75 t = γ ( t' + β x' ) = 1,5 (9 + 0,60 4) = 14,5 Klopt met het diagram (zie hiernaast). Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Lorentztransformatie, 1

13 Opgae 5 5, + 1,7 = 6,9 jaar. 1 1 γ = = β 0,64 = 1,3. t ' = γ ( t β x) = 1,3 (5, 0,64 1,7) = 5,3 ly Dus 5,3 jaar. d. x ' = γ ( x β t) = 1,3 (1,7 0,64 5,) = -,1ly Dus op,1 lihtjaar afstand. Vanwege het minteken an x indt de ontploffing ahter de raket plaats. Opgae 6 Zie het onderstaande diagram. Eerste methode: Afgelegde afstand is 0,50 x 14 = 7,0 miljard lihtjaar. Tweede methode: Voor de hoek tussen de t- en t geldt: α = artan(0,50) = 6, 6. Δ t' = Δt = 14 Dus 1,1 miljard jaar γ = = β 0,50 0,50 = 1,155 = 1,1 t ' = γ ( t β x) = 1,155 (14 0,50 7,0) = 1,1 Dus 1,1 miljard jaar. d. Zie diagram e. Lijnstuk PQ is 0,66 keer zo lang als lijnstuk PR (zie het onderstaande diagram). Het sterrenstelsel is dus 0,66 x 1,1 =,0 miljard jaar oud. Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Lorentztransformatie, 13

14 Opgae 7 De fator γ is afkomstig an de tijdsduurerlenging. Bekijk alles anuit waarnemer W. In γ seonde erplaatst de bron zih oer een afstand Δx = β γ lihtseonde. Het liht doet er erolgens β γ seonde oer om terug te komen bij W.. γ + βγ = γ ( β ) = β = β β = ( β )( β ) β β Ter informatie nog het olgende. β β Uit fo = fb olgt oor de golflengtes an het liht: λo = λb. β 1 β Als β klein is, kan dit ereenoudigd worden tot λo = ( β) λb. Δλ Voor de golflengteerandering Δλ = λ o λb geldt dan = β. λb Dat wil zeggen dat de relatiee golflengteerandering gelijk is aan de snelheid an de lihtbron gedeeld door de lihtsnelheid. Hiermee kan bijoorbeeld de snelheid an het uitdijende heelal bepaald worden. Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Lorentztransformatie, 14

15 Uitwerkingen Opgae 1 Neem de raket als waarnemer W en de aarde als waarnemer W. t x = t' x' 100 x = Δx = 19 ls. Het kwadraat an het ruimtetijdinteral is negatief dus er kan geen oorzakelijk erband tussen beide ontploffingen zijn. Opgae t x = t' x' 0 0 = t' 30 t' = 30 0 = 500 Δt = ns. Opgae 3 t x = t' x' 1 0 = x' Δx = 1,7 ls x' 1,7 ls = = = 0,5 t ',0 s Opgae 4 t x = t' x' = t' 0 t' = = 000 t' = 44,7 nls x 40 nls = = = 0,667. Bedenk daarbij dat t 60 ns Dus geldt β = 0, γ = = = 1,34 β 0,667 Δt 60 Δ t' = = = 44,7 ns γ 1,34 1 ls 1 nls = =. 1 s 1 ns Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Ruimtetijdinteral, 15

16 Opgae 5 Δx = = Δt Δ. γ t 3 nls 7 ns = β Δt = = 0,49 0,49 7,0 0 = = 1 β = 1 0,49 = 1,107 6,3 ns t ' = γ ( t β x) = 1,107 (7,0 0,49 3,0) = 6,3 nls dus t ' = 6,3 ns d. t x = t' x' 7,0 3,0 = t' 0 t ' = 6,3 nls dus t ' = 6,3 ns Opgae 6 Positief; ja Negatief; nee. Als de erbindingslijn tussen de twee gebeurtenissen steiler loopt dan de wereldlijn an een foton, kan er wel een ausaal erband zijn. Bij minder steil kan het niet. Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Ruimtetijdinteral, 16

17 Uitwerkingen 9 Opgae 1 + u' 0,4 + 0,5 u = = = 0, 75 u' 0,4 0,5 Opgae = 0,333 u = 0,6. De twee getekende pijlen in de onderstaande figuur hebben een lengteerhouding an 1 staat tot. Dus u = 0,333. d. + u' 0, ,333 u = = = 0, 60. u' 0,333 0,333 Dit antwoord klopt met Opgae 3 Bekijk het anuit kogel B. + u' 0,6 + 0,7 u = = = 0, 9 u' 0,6 0,7 Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Relatiistish optellen an snelheden, 17

18 Opgae 4 = 4 / 10 = 0,40 u = -5 / 6 = - 0,3. u = -6, / 10,5 = - 0,65 d. + u' 0,40 0,3 u = wordt 0,65 = Dit klopt! u' 0,40 0,3 Opgae 5 + u' 0,40 + u' u = wordt 0,0 = u' 0,40 u' Vereenoudiging an de noemer geeft: 0,40 + u' 0,0 = 0,40 u' Dit geeft: 0,0 + 0,0 0,40 u' = 0,40 + u' Hieruit olgt: 0,40 = 0,6 u' Uiteindelijk inden we: u = 0,59. Opgae 6 Hieronder wordt niet op het teken an de snelheden gelet. Stap 1: bereken de snelheid an B ten opzihte an M. Verbind waarnemer W aan M en waarnemer W aan B. + u' 0,50 + 0,50 u = = = 0, 0 u' 0,50 0,50 De snelheid an A1 ten opzihte an M (en omgekeerd) is dus ook 0,0. Stap : bereken de snelheid an B ten opzihte an A1. Verbind waarnemer W aan A1 en waarnemer W aan M. + u' 0,0 + 0,0 u = = = 0, 97 u' 0,0 0,0 Uitwerkingen Relatiiteit (deel 1), Relatiistish optellen an snelheden, 1