De speciale relativiteitstheorie Overzicht - 1/6 -

Transcriptie

1 De speiale relatiiteitstheorie Oerziht - 1/6 - Waaroer gaat de speiale relatiiteitstheorie? Beweging is relatief. Dat wil zeggen dat je de snelheid an een oorwerp altijd meet ten opzihte an iets anders. Als je in een auto zit die 50 km/h rijdt, dan bedoel je: 50 km/h ten opzihte an de grond. Je spreekt af dat de grond stil staat. Maar ten opzihte an een tegenligger die ook 50 km/h rijdt, lijkt je snelheid eel groter: 100 km/h. Boendien weet je dat de grond helemaal niet stil staat. De aarde draait immers in 4 uur om haar eigen as en in ruim 365 dagen om de zon. Dié snelheden meet je weer ten opzihte an de zon. Maar ook die staat niet stil... enzooorts. Elke snelheid die je meet is relatief, dat is: gemeten ten opzihte an iets anders. Eind 19e eeuw bleek iets bijzonders: alleen de lihtsnelheid () is niet relatief. Ten opzihte waaran je die ook meet, altijd ind je, m s 1 (in auüm). Raar maar waar. Je noemt de lihtsnelheid inariant. Daarnaast werd duidelijk dat de lihtsnelheid de grootste snelheid in de natuur is. Grotere snelheden zijn niet mogelijk. Deze bijzondere eigenshappen an de lihtsnelheid hebben grote geolgen oor meting an tijdsduren, afstanden en massa's. Onder gewone omstandigheden merk je daar niets an. Maar bij snelheden groter dan (ongeeer) 0,5 wel: tijd gaat dan langzamer, afstanden worden dan korter en massa neemt dan toe. Daaroer gaat de speiale relatiiteitstheorie an Einstein: oer de bijzondere eigenshappen an de lihtsnelheid en de geolgen daaran oor tijdsduur, afstand, massa en energie. Die geolgen leiden tot een nieuwe, relatiistishe mehania, die onder gewone omstandigheden niet meetbaar ershilt an de klassieke mehania an Newton, maar bij zeer grote snelheden wel. Daarom moeten onderzoekers in laboratoria soms rekening houden met relatiistishe effeten. En een naigatiesysteem zoals GPS zou zonder relatiistishe mehania niet mogelijk zijn. De ether In 1865 oorspelde Maxwell het bestaan an elektromagnetishe golen, met een golfsnelheid an 3, m/s. Liht, dat dezelfde snelheid heeft, bleek ook een elektromagnetishe golf. Daarom wordt die snelheid de 'lihtsnelheid' genoemd. Wetenshappers dahten toen dat deze snelheid, zoals altijd, was astgesteld ten opzihte an iets anders, een bepaald medium. Dat was nog niet ontdekt maar werd alast de 'ether' genoemd. In 1887 wilden Mihelson en Morley met een beroemd geworden experiment de snelheid an de aarde door de ether meten. Zie de shematishe figuur hiernaast. Met een halfdoorlatende spiegel (HS) werden twee onderling loodrehte, oherente lihtbundels gemaakt (L1 en L). De twee bundels kwamen ia twee andere spiegels (S1 en S) samen in een detetor. Het interferentiepatroon zou moeten eranderen bij draaiing an de hele opstelling. Immers, bij de ene oriëntatie krijgt L1 de baansnelheid an de aarde door de ether extra mee en L niet, en bij een andere oriëntatie kan dat andersom zijn. Ehter: draaiing had geen enkel effet! Conlusie was dat liht zih niets aantrekt an de snelheid an de aarde door de ether. Je meet steeds hetzelfde interferentiepatroon dus ook dezelfde lihtsnelheid. Die onlusie maakt de hypothese an de ether oerbodig. De lihtsnelheid is inariant De postulaten an Einstein In naolging an Mihelson en Morley erwierp Albert Einstein het bestaan an de ether. Om te begrijpen hoe elektromagnetishe golen zih gedragen, formuleerde hij twee postulaten (uitgangspunten). Die werkte hij uit tot een theorie, die hij in 1905 publieerde: de speiale relatiiteitstheorie. Voor waarnemers die ten opzihte an elkaar stil staan of met onstante snelheid bewegen geldt: 1. De natuur maakt geen ondersheid. De waarnemers nemen preies dezelfde natuurwetten waar.. De lihtsnelheid is inariant (absoluut). Voor al deze waarnemers heeft hij dezelfde waarde, onafhankelijk an de snelheid an waarnemer of bron. Snelheid, dus ook de lihtsnelheid, is afstand () per tijdsduur ( t). Dat inariant is heeft dus geolgen oor en t, oor ruimte en tijd. Die geolgen blijken in strijd met de klassieke opatting an Newton dat ruimte en tijd absoluut zijn. Bij 'kleine' snelheden (< 0,5 ) stemmen Newton en Einstein oereen, bij grotere snelheden niet meer. Zie ook bijlage 1.

2 - /6 - Tijdrek Een gedahte-experiment: stel, je hebt een lihtklok: twee eenwijdige spiegels waartussen een foton ertiaal heen en weer kaatst. Zie de linker figuur: iedere oersteek is een tik an de klok. In de rehter figuur beweegt de klok met onstante snelheid () naar rehts. Een stilstaande waarnemer ziet het foton nu een zigzagbeweging maken: eerst shuin naar boen, dan shuin naar beneden, enz. Vergeleken met de stilstaande klok legt het foton nu per tik een langere weg af. Is de lihtsnelheid inariant, dan duurt een tik an de bewegende klok dus langer dan die an de stilstaande klok. Conlusie: een stilstaande waarnemer ziet bewegende klokken langzamer lopen. Je noemt dat tijdrek of tijddilatatie. Met t de tijdsduur die op de klok an de waarnemer is erstreken en t' die op de bewegende klok, geldt: t t' met 1 en 1 β β en de snelheid an de klok, de lihtsnelheid Iemand die met de klok mee reist merkt niets, oor hem/haar beweegt de klok immers niet. Alleen een ahterblijer, een stilstaande waarnemer dus, onstateert tijdrek op de bewegende klok. Ruimtereizigers inden dus dat de klok in hun ruimteship goed loopt. Maar ahterblijende familieleden onstateren bij terugkomst an het ruimteship dat de klok aan boord langzamer heeft gelopen. En dat alle proessen in het ruimteship langzamer zijn gegaan: groei, eroudering, radioatief eral, enzooorts. Zie bijlage 3. Lengtekrimp Stel, een ruimteship reist met een onstante snelheid, 0,6 (dus 1,5), naar een exoplaneet die olgens astronomen op 3 lihtjaar afstand an de aarde staat. Tijdens de reis indt een astronaut dat hij/zij stilstaat en juist de omgeing beweegt. De relatiiteitstheorie oorspelt dat een stilstaande waarnemer bewegende afmetingen (afstanden, lengtes) korter ziet. Je noemt dat lengtekrimp of lengteontratie. De waarnemer-astronaut ziet dus een kortere afstand dan 3 lihtjaar. Met de afstand die de waarnemer-astronaut ziet en ' de bewegende afstand an 3 lihtjaar (dus de afstand die een astronoom op aarde ziet) geldt: ' / De waarnemer-astronaut ziet dus een afstand an 3 / 1,5,4 lihtjaar. Er is alleen lengtekrimp in de bewegingsrihting. Zie bijlage 4. Tijdrek en lengtekrimp Bekijk weer het ruimteship uit het laatste oorbeeld. Gemeten op een aardse klok komt het ruimteship na 3 / 0,6 5 jaar bij de exoplaneet aan. Een aardse astronoom rekent uit dat de klok in het ruimteship door tijdrek dan slehts 4 jaar aanwijst: t t' t' t / 5 / 1,5 4 jaar. Bij aankomst ziet de astronaut inderdaad dat zijn klok 4 jaar aanwijst. Omdat die klok ten opzihte an hem stil stond, indt hij dat die de juiste tijd aanwijst. Hij erklaart de aanwijzing daarom anders: niet met tijdrek, maar met lengtekrimp. Vanuit zijn positie bezien stond zijn klok immers stil en bewoog juist de omgeing. Zie boen:,4 lihtjaar reistijd,4 / 0,6 4 jaar. Oer de klok in het ruimteship zijn de aardse astronomen en de astronaut het eens: op die klok duurt de reis 4 jaar. Ook oer de snelheid an het ruimteship en dus oer de lihtsnelheid zijn ze het eens. Uit het eerste postulaat olgt dat tijdrek en lengtekrimp oer en weer gelden. Elke stilstaande waarnemer indt dat bewegende klokken langzamer lopen (dus dat bewegende proessen langzamer gaan en langer duren) en dat bewegende afmetingen in de bewegingsrihting korter zijn.

3 - 3/6 - Gelijktijdigheid Dat de waarde an de lihtsnelheid inariant is, heeft geolgen oor het begrip gelijktijdigheid. Een eenoudig gedahteexperiment maakt dat duidelijk. Stel, een trein rijdt met een grote, onstante snelheid. In de trein, in de lengterihting, staat een lange tafel. Preies midden op de tafel staat een lampje. Aan het linker uiteinde an de tafel zit waarnemer W1, aan het rehter uiteinde zit W. Een derde waarnemer, W3, staat stil op het perron. Juist als het lampje W3 passeert geeft het een lihtflits. W1 en W merken de flits tegelijkertijd op. Ze zitten immers preies een er an het lampje en ze bewegen met de trein mee. Voor W3 is het anders. Die beweegt niet met de trein mee. Dus in de tijdsduur die de lihtflits nodig heeft om de uiteinden an de tafel te bereiken, heeft de trein zih ten opzihte an W3 iets naar rehts erplaatst. W3 indt nu dat de flits naar het rehter uiteinde (dus naar W) een langere weg moet afleggen dan naar het linker uiteinde (naar W1). Omdat de waarde an de lihtsnelheid inariant is, moet W3 onluderen dat W de lihtflits later ziet dan W1. Dus: wat oor W1 en W gelijktijdig is, is het oor W3 niet. Gelijktijdigheid is dus niet absoluut. Ruimtetijd De speiale relatiiteitstheorie heeft ons wereldbeeld, onze kijk op ruimte en tijd, ingrijpend eranderd. Ruimte en tijd zijn niet meer de absolute, objetiee ahtergrond waartegen proessen zih afspelen. Hoe je ruimte en tijd waarneemt hangt af an je snelheid. Zie bijlage. Ruimte en tijd zijn niet meer objetief te sheiden. De ier dimensies x, y, z en t zijn aan elkaar gekoppeld en ormen samen een ierdimensionale ruimte: de ruimtetijd. Toh heeft tijd een speiale positie. Die blijkt uit het olgende. Natuurwetten hebben oor x, y en z geen oorkeursrihting. De al an een bal bijoorbeeld, loodreht omlaag, beshrijf je met de wet an behoud an energie: E z E k + Q (zwaarte-energie wordt omgezet in kinetishe energie plus warmte). De beweging is ook in omgekeerde rihting mogelijk. Je kunt dezelfde bal immers ook loodreht omhoog gooien. Voor de beweging in omgekeerde rihting gebruik je dezelfde wet (maar dan omgekeerd): E k E z + Q. Bij tijd is dat anders. Tijd heeft maar één rihting: een oorzaak komt altijd óór het geolg. Die olgorde kun je niet omkeren. Verder zegt de zogeheten tweede hoofdwet an de thermodynamia dat spontane proessen altijd zó erlopen, dat de wanorde toeneemt. Dat geeft aan de tijd een rihting. Bijoorbeeld: een glas water alt om en je hebt dat op ideo. Als je de ideo terugdraait zie je het omgekeerde proes: de plas water erzamelt zih en springt anzelf in het glas, keurig geordend. Dat zoiets spontaan gebeurt is buitengewoon onwaarshijnlijk, want de wanorde neemt áf. De tweede hoofdwet wordt gebroken. Massa Nog een gedahte-experiment: Als op een oorwerp, bijoorbeeld een deeltje in een deeltjesersneller, een onstante nettokraht blijft werken, dan zou het olgens de klassieke theorie blijen ersnellen: zie de lineaire grafieklijn hiernaast. Maar het is niet mogelijk deeltjes te ersnellen tot een snelheid gelijk aan of groter dan. Daarom nadert de werkelijke, relatiistishe grafieklijn asymptotish de lijn. Het deeltje bereikt dus nooit de lihtsnelheid. Verder laat de relatiistishe grafieklijn zien: Hoe groter, hoe kleiner de steilheid an de lijn, dus hoe kleiner de ersnelling an het deeltje. Bij onstante nettokraht betekent dat blijkbaar dat het deeltje zih bij hoge snelheden steeds sterker tegen de kraht erzet. Een deeltje dat ten opzihte an de waarnemer snel beweegt, gedraagt zih dus alsof het een grotere massa m' heeft. m' m In de uitdrukking m is m de rustmassa an het deeltje: de massa die een waarnemer meet die ten opzihte an het deeltje stil staat. De uitdrukking m noem je de relatiistishe massa. Hoe sneller het deeltje gaat, hoe groter, dus hoe groter zijn relatiistishe massa. Voor 'gewone' snelheden is m' (rijwel) gelijk aan m. (Let op: massa is hier: erzet tegen snelheidserandering, ook wel trage massa. Dus niet: hoeeelheid materie).

4 - 4/6 - Impuls Omdat de relatiistishe massa (m') afhangt an de snelheid (), oldoet bij hoge snelheden de klassieke formule oor de impuls (p m ) niet meer. De relatiistishe impuls bereken je met: p m Energie Einstein liet zien dat de totale energie an een deeltje met rustmassa m en snelheid gelijk is aan: E totaal m 1 / m Hieruit olgt dat deeltjes met rustmassa de lihtsnelheid niet kunnen bereiken. Immers, als wordt oneindig, dus E totaal ook. Je zou dus oneindig eel energie nodig hebben om zo'n deeltje de lihtsnelheid te geen. Verder olgt oor een deeltje in rust, dus met 0 en 1: E rust m Dit is een an de beroemdste formules uit de wetenshap, met als opzienbarende boodshap: energie en massa zijn equialent. Je kunt ze in elkaar omrekenen. Zie bijlage 5. De energie bij 0 heet rustenergie. Zie het als 'gestolde' energie. Rustenergie kan, zoals elke andere energiesoort, worden omgezet in andere ormen an energie. Dat gebeurt bijoorbeeld in sterren (zoals de zon) en in kernentrales. Andersom wordt bij paarorming stralingsenergie omgezet in rustenergie an een elektron-positron-paar. Een bewegend deeltje heeft dus rustenergie en kinetishe energie. Uit de twee oorgaande formules olgt nu oor de kinetishe energie: E k ( 1) m Relatiistishe mehania De inariantie an de lihtsnelheid leert een ompleet nieuwe mehania op, met oor bekende grootheden zoals t, en m nieuwe formules in plaats an de klassieke. Je noemt die mehania relatiistishe mehania. De tabel ergelijkt de relatiistishe mehania an Einstein met de klassieke mehania an Newton. Als << dan is 1 en gaat de relatiistishe mehania oer in de klassieke. Klassiek ( << ) Relatiistish ( > 0,5 ) Relatiistishe fatoren t t' ' t t' ' / β 1 1 β E tot m E k ½ m E rust m E k ( 1) m p m m F netto m a p m β m β E tot / m F netto 3 m a 1 + tot 1 + tot 1 + ( )/ 1 Snelheden relatiistish optellen Stel, een ruimteship reist ten opzihte an de aarde met een onstante snelheid an 0,80 door de ruimte. Vanuit het ruimteship wordt een kleine erkenningsraket gelaneerd. Ten opzihte an het ruimteship krijgt de erkenner een onstante snelheid an 0,40, in dezelfde rihting. Klassiek gesproken zou de erkenner dan een snelheid an 1,0 ten opzihte an de aarde krijgen, een waarde groter dan de lihtsnelheid dus. Relatiistish bezien ligt dat anders (zie de laatste regel an de tabel): erkenner to aarde 0,80 + 0, (0,80 0,40 )/ 1, ,3 0,91

5 Bijlage 1 t/m 7 1 Inertiaalstelsels De postulaten an Einstein Een (x,y,z)-oördinatenstelsel en een klok zijn samen een plaats-tijd-referentiesysteem. Dat heb je nodig om bewegingen te kunnen beshrijen. Inertiaalstelsels zijn referentiesystemen die ten opzihte an elkaar stilstaan of eenparig, rehtlijnig bewegen. In zulke stelsels geldt de eerste wet an Newton: oorwerpen ersnellen alleen als er een nettokraht op werkt. Bijoorbeeld: zolang een auto met 100 km/h oer een rehte snelweg rijdt, is hij een inertiaalstelsel. Als hij snel afremt niet meer, want de inzittenden shieten naar oren, zonder nettokraht. De postulaten an Einstein kun je nu ook zo formuleren: 1. Inertiaalstelsels zijn gelijkwaardig. Je kunt niet zeggen welk stelsel beweegt en welk stelsel stil staat. Dus in elk inertiaalstelsel zijn de natuurwetten hetzelfde.. De lihtsnelheid is inariant: in elk inertiaalstelsel is hij een groot. Toh noem je het stelsel an de waarnemer aak het stilstaande stelsel. Grootheden in het bewegende stelsel geef je dan een aent ('), grootheden in het stilstaande stelsel niet. (Zie bijoorbeeld bijlage, 3 en 4). - 5/6 - Transformaties Resultaten an metingen, gedaan in het ene inertiaalstelsel, kun je met een zogeheten transformatie omrekenen naar een ander inertiaalstelsel. Voor klassieke mehania is dat de Galileï-transformatie, oor relatiistishe mehania de Lorentz-transformatie. Stel je twee (x,y,z)-inertiaalstelsels oor. Jij beindt je in stelsel S. In stelsel S meet een klok de tijd t, in het andere stelsel, S', meet een andere, identieke klok de tijd t'. Stelsel S' beweegt eenparig met snelheid in de rihting an de positiee x-assen. Op t 0 geldt ook dat t' 0 en alt S samen met S'. Dan geldt op een later tijdstip t: Klassiek, de Galileï-transformatie: x' x t y' y z' z t' t Relatiistish, de Lorentz-transformatie: x' (x β t) y' y z' z t' ( t β x) 3 Afleiding an de formule oor tijdrek Stel, een ruimteship passeert de aarde met onstante snelheid. In het ruimteship staat een lihtklok: twee eenwijdige spiegels waartussen een foton ertiaal heen en weer kaatst. Zie de boenste figuur hiernaast: De ruimtereiziger meet met zijn eigen klok dat het foton in tijdsduur t' an onder naar boen gaat. Zie de tweede figuur: Een stilstaande, aardse waarnemer ziet het ruimteship bewegen en indt dus dat het foton niet reht maar shuin naar boen gaat. Hij meet met zijn aardse klok een langere tijdsduur t oor het shuine, langere trajet an het foton an onder naar boen, want is inariant. Vergelijk de figuren en pas Pythagoras toe: t ' t t ' + 1 t t t t ' 1 β t ' t + t t ' 4 Afleiding an de formule oor lengtekrimp Muonen zijn instabiel. De gemiddelde leensduur an een muon is in zijn eigen stelsel, µs. Stel, een muon komt met onstante snelheid ertiaal op het aardopperlak af. Zie de figuren hiernaast. Een stilstaande waarnemer op aarde onstateert tijdrek. Hij/zij meet dat het muon in zijn leensduur an, µs een afstand A aflegt waaroor geldt: A t t' (, µs). Het muon ziet in diezelfde tijd de aarde met een snelheid op zih af komen en een afstand M afleggen, waaroor geldt: M (, µs). Hieruit olgt: M A,, M A Ofwel, anuit het muon bezien: '

6 - 6/6-5 Afleiding an de formule oor rustenergie Met een gedahte-experiment (an Einstein, gepublieerd in 1906) kun je de formule oor de rustenergie, E m, afleiden. Zie de figuur. De linkerwand an een doos met massa M en lengte L zendt een foton uit. Dat wordt een tijdje later door de rehterwand geabsorbeerd. Op de doos en het foton werken geen externe krahten, dus er geldt impulsbehoud. Het foton had bij ertrek een impuls p foton h/λ E/. Er is impulsbehoud, dus de doos krijgt bij het ertrek een impuls ('terugslag') p doos E/. Voor deze impuls kun je ook shrijen: p doos M. Nu olgt: M E/ E/(M ) Op het moment dat de rehterwand het foton absorbeert, komt de doos weer tot stilstand. De doos is intussen naar links erplaatst oer een afstand t L/ E L/(M ) Omdat er geen externe krahten op de doos en het foton werken, moet het gemeenshappelijke zwaartepunt op zijn plaats blijen. Dat kan alleen als er met het foton niet alleen energie maar ook massa naar rehts is erplaatst. Als je deze massa m noemt, en het gemeenshappelijke zwaartepunt blijft op zijn plaats, dan moet gelden: m L M m L M [ E L/(M )] E m (Opmerkingen: L moet eigenlijk L zijn, maar L dus ook L alt weg. Als de linkerwand an de doos een foton uitzendt, neemt M een heel klein beetje af. Maar ook M alt weg). 6 Vier opgaen 1. Lengtekrimp Bijlage 4 geeft oor bewegende muonen de afleiding an de formule oor lengtekrimp. Leg uit dat deze afleiding niet alleen oor muonen geldt maar algemeen geldig is.. Snelheid Laat met behulp an de relatiistishe formule oor het optellen an snelheden zien: a. Als 1 << en << dan is de relatiistishe formule (bijna) gelijk aan de klassieke ( tot 1 + ). b. Als 1 dan geldt, onafhankelijk an : tot. 3. E p m 4 a. Leid uit E tot m en p β E/ af dat geldt: E p m 4. b. Leid uit E p m 4 af dat massaloze deeltjes, zoals fotonen, niet kunnen stilstaan maar altijd bewegen met de lihtsnelheid.. Leid uit E p m 4 en nog een andere formule (die je al langer kent) af dat oor fotonen geldt: E h f. 4. Toon met E tot m aan dat alleen deeltjes met m 0 de lihtsnelheid kunnen hebben. 7 Meer weten? Zie bijoorbeeld: Albert Einstein (1997). Einstein: mijn theorie. Oer de speiale en algemene relatiiteitstheorie. (4e druk). Utreht: Het Spetrum. ISBN Eerder uitgegeen als Aula-poket (1978) en Aula-paperbak (1986, 1987) onder de titel Relatiiteit. Voor het eerst ershenen in 1916 als Über die spezielle und die allgemeine Relatiitätstheorie. Sander Bais (007). De sublieme eenoud an relatiiteit. Amsterdam Uniersity Press. ISBN Een boekje met een begrijpelijke, isuele inleiding op de Speiale Relatiiteitstheorie, aan de hand an zogeheten Minkowski-diagrammen. Je indt daar ook een afleiding an de Lorentz-transformatie en an de formule oor het relatiistish optellen an snelheden. Marel Vonk (015). Dossier: Relatiiteit. Jan Stuienberg. Relatiiteitstheorie.