Onderzoekscompetenties 6 de jaar

Transcriptie

1 Onderzoeksompetenties 6 de jaar Werkshema Inleidende relatiiteitsleer Galilei-Lorentztransformaties, massaeranderingen Algemene lesgegeens De bedoeling an deze reeks lessen is om een klein deel te bespreken an de speiale relatiiteitstheorie Leserloop Agenda leerlingen: Inleiding tot relatiiteit Opdraht: Op zelfstandige manier de theorie eigen maken Oefeningen maken 3 Oplossingen ia de uploadzone doorsturen

2 Inleiding tot de speiale relatiiteitstheorie: Galileitransformaties Inleiding Toen ik nog op de shoolbanken zat, deed de leerkraht Nederlands ooit een filosofishe uitspraak: De waarheid is relatief Als jonge, rebelse snaak kon ik niet akkoord gaan met deze boutade Volgens mij bestond de waarheid uit feiten Feiten, die je wel uit een ander gezihtspunt kunt bekijken, maar die uiteindelijk hun orm behouden De wetten an de fysia leken mij hierin te steunen Eén meter blijft één meter, uit welk perspetief ook Later hoorde ik an de relatiiteit in de natuurkunde Had de leraar Nederlands dan toh gelijk? Ik was dan ook zeer geïnteresseerd in de relatiiteitsleer, een kind an de beroemde A Einstein In deze tekst gaan we er erder op in en zullen tot enkele reemde aststellingen komen De transformaties Maar laten we eerst starten bij het begin: Galileïtransformaties (GT) Met GT kunnen we waarnemingen an één persoon ertalen in het perspetief an een ander We geen een oorbeeld Jan zit stil op een bankje en ziet een shildpad oorbij wandelen met een snelheid an m/s An loopt in dezelfde rihting en heeft een snelheid an 4m/s Voor haar lijkt de shildpad langzamer ooruit te bewegen, nl Aan 7m/s Met galileitransformaties kunnen we de tijd en ruimteoördinaten an de ene ertalen in de oördinaten an de andere w w Voor de ene waarnemer (Jan b) gebruiken de oördinaten zonder aenten Voor de andere (An) gebruiken we oördinaten met aenten De snelheid an An to Jan noemen we w

3 De transformaties zien er als olgt uit: Van S S = w t of [ 0 w ] [ t ] = [ t ] t = t In ons oorbeeld is de plaats an de shildpad: Op t=0s Op t=s Jan 0m,0s m,s An 0m,0s [ t ] = [ 4 0 ] [ ] = [7 ] Algemeen: Een waarnemer (stelsel S) beweegt met een snelheid w ten opzihte an een andere waarnemer (stelsel S) De oördinatentransformatie is dan: [ w 0 ] [ t ] = [ t ] en [ w 0 ] [ t ] = [ t ] 3

4 3 Opgaen Een auto rijdt met een onstante snelheid an 3m/s to een stilstaande waarnemer (S) De positie is: ( t) 3 t Een andere waarnemer (S ) beweegt to de eerste met een snelheid an 0m/s a) Maak een (t)-grafiek b) Stel de transformatiematri op ) Transformeer de olgende tijd-ruimteoördinaten naar het stelsel S : (t=0s, =0m) en (t=5s, =5m) d) Maak een (t )-grafiek Een oorwerp beweegt in stelsel S met een snelheid Zoek een formule oor de snelheid an dit oorwerp in het stelsel S dat beweegt met een snelheid w 3 Stel de transformatiematri op oor een stelsel S dat een snelheid w heeft in de y-rihting [ ] [ y] = [ y ] t t 4 Vanop een bergtop bekijk je een lawine Deze heeft een snelheid an 0m/s Een skiër beindt zih op 500m an de lawine en skiet naar beneden met een snelheid an 5m/s Met welke snelheid neemt hij de lawine waar? Hoelang duurt het oordat hij in de lawine tereht komt? 5 Een auto rijdt met een onstante snelheid an 30 km/h en wordt ahterolgd door een politiewagen De politiewagen rijdt met een onstante snelheid an 60 km/h Hoe groot is de onderlinge afstand tussen de twee wagens, één minuut oor de politiewagen de auto heeft ingehaald? 4

5 Lorentztransformaties De transformaties De eerste laboratoriummetingen an de lihtsnelheid stammen uit 849 Ze werden uitgeoerd door Fizeau Ook toonde hij aan dat de lihtsnelheid in een snelstromende loeistof, zeg met snelheid in de oortplantingsrihting an het liht, NIET toeneemt tot + zoals op basis an de Galileïtransformatie erwaht zou worden Omdat de snelheid an het liht oor elke waarnemer onstant is, wordt deze grootheid gebruikt om de meter te definiëren Eén meter is namelijk de afstand die het liht aflegt in 3,30-9 s Einstein zette een rigoureuze stap Hij was eran oertuigd dat er een relatiiteitsprinipe moest bestaan dat zowel gold oor mehania als oor elektromagnetisme Galileïtransformaties waren het antwoord niet Er moet een ander type an transformaties gezoht worden Einsteins relatiiteitstheorie is gebaseerd op drie postulaten: Het relatiiteitsprinipe De natuurwetten en de resultaten an alle eperimenten uitgeoerd in een zeker referentiestelsel zijn onafhankelijk an de translatiebeweging an het systeem Constantheid an de lihtsnelheid De lihtsnelheid is eindig en onafhankelijk an de bewegingstoestand an de lihtbron Het is de limietsnelheid oor natuurkundige objeten (In dit tweede postulaat wordt impliiet aangenomen dat de lihtsnelheid als fundamentele natuuronstante een uniersele rol speelt en niet alleen an belang is oor ershijnselen waar liht bij betrokken is) 3 Massa en energie Massa is een orm an energie, en omgekeerd E = m² De enige mogelijke transformatie die hieroor in aanmerking komt is een Lorentztransformatie Deze lijkt een beetje op de Galileïtransformatie, met dit ershil dat er een eenredigheidsfator oor komt te staanwe gaan er an uit dat de waarnemers op dezelfde plaats staan (==0) als hun klokken starten (t=t=0) t (*) Er moet ook een omgekeerde transformatie bestaan om an waarnemingen in S oer te gaan naar waarnemingen in S ( t) (**) is hierbij de snelheid an stelsel S, de eenredigheidsonstante ² ² 5

6 6 Als je deze twee ergelijkingen (*) en (**) ombineert, ind je: ) ( ) ( (zie opdraht ) De transformatiematri an S naar S ziet er dan als olgt uit: γβ γ met ² ² en

7 Geolgen an de Lorentztransformaties Tijdsdilatatie Een raar geolg an deze transformatie, is dat de tijd oor bewegende waarnemers langzamer loopt ten opzihte an een stilstaande waarnemer Bekijken we dit in detail Een bewegende waarnemer S kijkt naar zijn klok en ziet deze ooruitgaan Laten we zeggen dat deze klok zih in de oorsprong beindt en dat hij er een periode t naar kijkt Zoeken we nu de oereenkomstige plaatsen en tijden in stelsel S, dan ind je: [ t ] = [ γ γβ b γβ γ ] [ 0 0 ] = [0 0 ] [ t ] = [ γ γβ e γβ γ ] [ 0 t ] = [γβ t γ t ] De plaatsen interesseren ons niet, wel de tijden Een periode t in S gemeten zal oereenkomen met een periode t in S, waarbij: t = γ t Omdat de onstanteγ > zal de periode in S steeds groter zijn Besluit: Bewegende klokken lopen langzamer 7

8 Lengteontratie We gaan nu iets gelijkaardigs doen rond de lengte Bekijken we nu een lat in S die bijoorbeeld l 0 meter lang is We eronderstellen dat de lat in S niet beweegt We nemen aan dat het ene uiteinde in de oorsprong 0 = ligt en het andere op l 0 = Diezelfde lat beweegt dus met een snelheid in het S stelsel De twee uiteinden bewegen als olgt: = t = l + t Transformeren we de twee punten: = 0 = γ (l + t βt) = γ l Dus: l = γ l 0 Besluit: Bewegende objeten worden korter 8

9 3 Massaerandering De natuurwetten moeten dezelfde zijn oor alle waarnemers, zolang deze waarnemers bewegen aan onstante snelheden Omdat de tweede wet an Newton erandert bij toepassing an Lorentztransformaties, was deze wet aan herziening toe Einstein stelde de olgende aanpassing oor: d(m ) F = = dp dt dt Het produt m wordt het impuls p genoemd Een kraht zal dus niet alleen de snelheid eranderen zoals bij Newton, maar ook de massa wijzigen Passen we nu de wet an behoud an energie toe: F d = de d(m ) d = d(m ) dt d dt d(m ) = d(m ) d(m ) = d(m ) m d(m ) = m d(m ) d(m ) = d(m ) d(m ) = d(m ) m² ² = m² ² + K Als = 0 dan is de massa an het deeltje gelijk aan de rustmassa m 0, dus K = m 0 ² ² m² ² = m² ² m 0 ² ² Dus: m = γ m 0 Besluit: Bewegende deeltjes worden zwaarder 9

10 3 Opdrahten Toon aan dat uit (*) en (**) olgt dat: t ( t ) t ( t ) Maak een grafiek waarbij je γ uitzet in funtie an 3 Een waarnemer beweegt met een snelheid = 0,6 Zoek γ, β en β γ 4 Een lihtflits wordt gemeten in S Deze kan als olgt beshreen worden: s t met s a Maak een (t)-grafiek b Neem twee punten (0,0) en (,) uit de grafiek en transformeer naar S (S beweegt aan 60% an de lihtsnelheid) Maak een (t )-grafiek d Wat alt op? 5 Een oorwerp beweegt met een snelheid 0 <s/s in S Deze kan als olgt beshreen worden: 0 t a Maak een (t)-grafiek b Neem twee punten (0,0) en (t=,= 0 ) uit de grafiek en transformeer naar S Maak een (t )-grafiek d Toon aan dat de snelheid in S gelijk is aan: ² 6 De afstand aarde zon is,440 m Een ruimteship heeft een snelheid = 0,98 Hoe groot is deze afstand oor een waarnemer in het ruimteship? 7 Een muon (µ - ) ontstaat door botsingen an atmosferishe straling in de hoogste luhtlagen an onze atmosfeer De snelheid an het muon is = 0,9995 Een stilstaand muon heeft een leensduur an,0-6 s Hoe lang zal dit bewegende muon leen oor waarnemers op de aarde? 8 Einstein puzzel Einstein, als jongen an 6, roeg zih het olgende af: Een hardloopster ziet zihzelf in een spiegel die zij in haar hand houdt, een armlengte oor haar geziht Als zij nu met bijna de snelheid an het liht rent, zal ze zihzelf dan nog steeds in de spiegel zien? 9 Einsteins gedahte-eperiment Als werknemer bij een patentburo in Bazel zag Einstein anaf zijn werkkamer de klok an de kerktoren Op een bepaald moment stond de klok op preies 3 uur Hij stelde zih oor dat het liht, dat weerkaatst wordt anaf de klok en het `beeld an de klok met zih draagt, met een snelheid an km/s de ruimte in suist Hij roeg zih af hoe je de klok ziet lopen als je met dit liht zou kunnen meereizen Hoe erloopt de tijd oor een (hypothetishe) waarnemer die met de snelheid an het liht reist? 0

11 0 Afstanden In het ruststelsel an de aarde is de afstand tussen Amsterdam en New York ongeeer 6000 km (5877 km om preies te zijn) Met hoeeel wordt de afstand tussen de steden erkort zoals geobsereert door een liegtuig (000 km/uur)? Of door de International Spae Station (8 km/s)? Of door een kosmish deeltje dat met een snelheid an 09 reist? Neutron De gemiddelde leensduur an een neutron is 5 minuten (daarna eralt hij in een proton, eletron en antineutrino) Toh zijn er neutronen die anuit de zon de aarde bereiken (afstand,50 m) Met welke snelheid moeten die minstens door de zon zijn uitgestoten? Een astronaut wil binnen een jaar (olgens zijn eigen tijdrekening) een ster die op een afstand an 5 lihtjaren staat bereiken Neem als lengte-eenheid lihtjaar en als tijdseenheid jaar a Welke waarde heeft de lihtsnelheid in deze eenheden? b Welke snelheid moet zijn ruimteship dan hebben? Hoelang duurt de reis olgens de aardse tijdrekening?

12 Bijlage: I Bepaling an de shaalfator aan de hand an de postulaten an Einstein De shaalfator duiden we aan als γ Een andere grootheid is β = w We moeten aantonen dat w Voor het gemak zullen we snelheden uitdrukken in lihtjaar per jaar De lihtsnelheid is dan = lj j De LT zijn dan: XX X X t γβ γ () γβ γ () We gaan nu na wat de shaalfator is Veronderstel dat de twee waarnemers een lihtdeeltje olgen De waarnemers beshrijen dit als: t t (3) Gebruiken we nu (a) en (a) en erangen we t door en t door (3) dan: 0 0 Dit moet oplossingen geen oor alle en Dus 0 0 ) ( QED

13 II Aanpassingen an de wetten an Newton 3