Combinatoriek en rekenregels

Transcriptie

1 Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode,

2 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Er zijn vier mogelijkheden: Je doet een geordende greep met herhaling. Je doet een geordende greep zonder herhaling. Je doet een ongeordende greep met herhaling. Je doet een ongeordende greep zonder herhaling.

3 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep met herhaling: je trekt met terugleggen en let op de volgorde.

4 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep met herhaling: je trekt met terugleggen en let op de volgorde. Teken een wegendiagram. Het aantal mogelijke grepen is een macht: 7 x 7 x 7 = 343.

5 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep zonder herhaling: je trekt zonder terugleggen maar let wel op de volgorde.

6 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep zonder herhaling: je trekt zonder terugleggen maar let wel op de volgorde. Teken een boomdiagram. Het aantal mogelijke grepen is het aantal mogelijke permutaties van 3 uit 7, een faculteit: 7 npr 3=!! = 7 x 6 x 5 = 210.

7 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep met herhaling: je trekt met terugleggen en let niet op de volgorde.

8 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep met herhaling: je trekt met terugleggen en let niet op de volgorde. Teken een aantal-rooster, horizontaal staan de te trekken nummers, verticaal het aantal getrokken nummer. Elke trekking komt overeen met een kortste route van 9 stappen in het rooster. Het aantal trekkingen is 9 ncr 3 = 9 3 = 84.

9 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep zonder herhaling: je trekt zonder terugleggen en let niet op de volgorde.

10 Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep zonder herhaling: je trekt zonder terugleggen en let niet op de volgorde. Je moet 3 keuzes maken uit de 7 nummers. Dat zijn 7 wel-niet beslissingen. Teken een wel-niet rooster. Het rooster in het voorbeeld stelt de volgorde niet-niet-wel-niet-wel-niet-wel voor en levert zo de greep 3,5,7 op. Het aantal grepen is 7 ncr 3 = 7 3 = 35.

11 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op?

12 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel.

13 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je maken hebt.

14 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je te maken hebt. Stap 3: Kies een rooster passend bij de soort greep.

15 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Voorbeeld: Je gooit met vier identieke dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er?

16 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Voorbeeld: Je gooit met vier dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Vaasmodel In de vaas zitten 6 nummers 1 tot en met 6. Elke worp komt overeen met vier keer trekken.

17 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je maken hebt. Voorbeeld Je gooit met vier dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Vaasmodel In de vaas zitten 6 nummers 1 tot en met 6. Elke worp komt overeen met vier keer trekken. Soort greep Een ongeordende greep met herhaling.

18 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je maken hebt. Stap 3: Kies een rooster passend bij de soort greep. Voorbeeld Je gooit met vier dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Oplossing In de vaas zitten 6 nummers 1 tot en met 6. Elke worp komt overeen met vier keer trekken. Dat is een ongeordende greep met herhaling. Teken een aantal -rooster. Aantal kortste routes is 9 4 = 126

19 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Nog een voorbeeld Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen? Een rijtje met alleen nullen en alleen enen mag ook.

20 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Nog een voorbeeld Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen? Een rijtje met alleen nullen en alleen enen mag ook. Kies een vaas met twee briefjes, een brief je met een 0 en met een 1. Je trekt acht keer een briefje en legt dat terug. De volgorde van de greep van 8 doet ertoe. Je hebt dus te maken met een geordende greep met herhaling.

21 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Nog een voorbeeld Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen? Een rijtje met alleen nullen en alleen enen mag ook. Kies een vaas met twee briefjes, een brief je met een 0 en met een 1. Je trekt acht keer een briefje en legt dat terug. De volgorde van de greep van 8 doet ertoe. Je hebt te maken met een geordende greep met herhaling. Voor het eerste getal heb je 2 mogelijkheden. Voor het tweede weer twee mogelijkheden, en zo verder. Totaal 2 8 = 256 mogelijkheden.

22 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Nog een voorbeeld (vervolg) Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen en met precies twee enen?

23 Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Nog een voorbeeld (vervolg) Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen en met precies twee enen? Stap 1: Kies een vaas met de nummers 1 tot en met 8 en trek twee keer. Stap 2: Dit is een ongeordende greep zonder herhaling. Stap 3: Met een wel-niet rooster: twee keer wel en zes keer niet. Dus 8 ncr 2 = 28 mogelijke rijtjes.

24 Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken?

25 Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken? Kies een vaas met 7 briefjes en daarop de cijfers 1 tot en met 7. Elk briefje geeft de plaats aan van het te kiezen cijfer. Eerst trek je twee keer zonder terugleggen. Dat zijn de plaatsen van de twee nullen. Dat kan op 7 2 manieren.

26 Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken? Kies een vaas met 7 briefjes en daarop de cijfers 1 tot en met 7. Elk briefje geeft de plaats aan van het te kiezen cijfer. Eerst trek je twee keer zonder terugleggen. Dat zijn de plaatsen van de twee nullen. Dat kan op 7 2 manieren. Dan trek je drie keer, weer zonder terugleggen, voor de plaatsen van de drie enen. Dat kan op 5 3 manieren.

27 Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken? Kies een vaas met 7 briefjes en daarop de cijfers 1 tot en met 7. Elk briefje geeft de plaats aan van het te kiezen cijfer. Eerst trek je twee keer zonder terugleggen. Dat zijn de plaatsen van de twee nullen. Dat kan op 7 2 manieren. Dan trek je drie keer, weer zonder terugleggen, voor de plaatsen van de drie enen. Dat kan op 5 3 manieren. Je hebt nog twee briefjes over voor het plaatsen van de 2 en dus ook de 3. Totaal: 7 2 x 5 3 x 2 1 manieren.

28 Kansen Je gooit met een zuivere dobbelsteen. De theoretische kans op 1,2,3,4,5 of 6 ogen is voor elk aantal ogen.

29 Kansen Je gooit met een zuivere dobbelsteen. De theoretische kans op 1,2,3,4,5 of 6 ogen is voor elk aantal ogen. Zuivere dobbelstenen bestaan niet. Je gooit 600 keer met een gewone dobbelsteen. Je gooit 105 keer 6 ogen. Deze experimentele kans op een 6 is. Hoe vaker je gooit, hoe dichter deze kans bij de theoretische kans komt.

30 Kansen Je gooit twee keer met een munt. Je let op de volgorde. Dit komt overeen met een geordende greep met herhaling. De uitkomsten zijn: MM, KM, MK, KK. Alle uitkomsten hebben gelijke kans.

31 Kansen Je gooit twee keer met een munt. Je let niet op de volgorde. Dit komt overeen met een ongeordende greep met herhaling. De uitkomsten zijn: (M,M), (K,M), (K,K). De uitkomsten hebben ongelijke kansen,,.

32 Kansen Maak nu opgaven 11 en 12 op blz 26.

33 Kansen De uitkomsten van geordende grepen van k uit n met herhaling (permutaties) hebben gelijke kans.

34 Kansen De uitkomsten van geordende grepen van k uit n met herhaling (permutaties) hebben gelijke kans. De uitkomsten van geordende grepen van k uit n zonder herhaling (permutaties) hebben gelijke kans.

35 Kansen De uitkomsten van geordende grepen van k uit n met herhaling (permutaties) hebben gelijke kans. De uitkomsten van geordende grepen van k uit n zonder herhaling (permutaties) hebben gelijke kans. De uitkomsten van ongeordende grepen van k uit n zonder herhaling (combinaties) hebben gelijke kans.

36 Kansen De uitkomsten van geordende grepen van k uit n met herhaling (permutaties) hebben gelijke kans. De uitkomsten van geordende grepen van k uit n zonder herhaling (permutaties) hebben gelijke kans. De uitkomsten van ongeordende grepen van k uit n zonder herhaling (combinaties) hebben gelijke kans. De uitkomsten van ongeordende grepen van k uit n met herhaling (combinaties) hebben ongelijke kans.

37 Oefenen Maak de opgaven van paragraaf 5 en 6 en in ieder geval: Opgaven 4, 6, 9 en 13 van paragraaf 5, Opgaven 4, 5, 7 10 en 11 van paragraaf 6.

38 Zie de studiewijzer. Huiswerkopdracht bij paragraaf 5 en 6