Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal

Transcriptie

1 Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en verder geldt per afspraak dat k 1.1 Voorbeelden 1! = 1 2 Binomium van Newton Definitie van het binomium van Newton (spreek uit n boven k) is: 2.1 Voorbeelden Let op dat je steeds veel kunt wegstrepen en dus de breuk kunt vereenvoudigen. Merk op dat Dit heeft te maken met Merk op dat hier bijna alles wegvalt

2 2.2 Driehoek van Pascal Bereken in de volgende regels steeds het Binomium van Newton met behulp van de definitie. Probeer ook het systeem te vinden dat hierin zit Bekijk de uitkomsten van bovenstaande regels en vergelijk deze met de Driehoek van Pascal. Merk ook de symmetrie op van links en rechts. Het heeft te maken met Driehoek van Pascal

3 De regels van de Driehoek van Pascal bestaan uit systematisch het berekenen van het Binomium van Newton Op de regel van n = 6 staan dus achtereenvolgens de uitkomsten van: Berekend: Merk ook op dat elk getal in de Driehoek van Pascal gelijk is aan de som van de twee getallen die er schuin boven staan! 3 Toepassingen 3.1 Faculteit Het begrip faculteit kent zijn toepassingen in de combinatoriek bij permutaties. Het heeft te maken met het aantal mogelijkheden om k verschillende dingen op verschillende volgorden te zetten. Voorbeeld Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de vier verschillende letters van het woord BOEK op een rijtje zetten? Op hoeveel manieren kun je de volgorde van de vier verschillende letters van het woord BOEK op een rijtje zetten? Voor de plaatsing van de eerste letter heb je 4 mogelijkheden. Voor de plaatsing van de tweede letter heb je dan nog 3 mogelijkheden over. Voor de plaatsing van de derde letter nog 2 mogelijkheden en ten slotte blijft voor de laatste letter nog één mogelijkheid over. T 3.2 Machten van tweetermen

4 Het woord Binomium is afkomstig van tweeterm en eigenlijk ook de letterlijke vertaling ervan. De coëfficiënten van de machten van een tweeterm volgen precies het Binomium van Newton. Probeer systeem in te vinden in het volgende: Vergelijk dit met de Driehoek van Pascal en let daarbij op de coëfficiënten van de machten van a en b waarbij de machten van a steeds afnemen en die van b steeds toenemen. Omdat er zo'n mooi systeem in het uitwerken van de uitwerking als som schrijven. zit, kun je gemakkelijk Algemeen: Nog een voorbeeld Nog een ander voorbeeld dat precies zo gaat:

5 Algemeen: Als je bijvoorbeeld alleen de derde term wilt hebben, dan is k gelijk aan 2 (de eerste term is immers als k = 0). De derde term is dan Dus zo goed mogelijk vereenvoudigen en herleiden. 3.3 Combinaties Het kiezen van k elementen uit een verzameling van n verschillende elementen, zonder terugleggen en waarbij de volgorde van de gekozen elementen er niet toe doet, is gelijk aan Voorbeeld Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is geen volgorde voorgeschreven. De commissieleden zijn allen gelijkwaardig. Op hoeveel manieren kan de commissie samengesteld worden? Bij het samenstellen van een commissie van drie personen wordt een keuze gemaakt uit acht kandidaten. Er is geen volgorde voorgeschreven. De commissieleden zijn allen gelijkwaardig. Op hoeveel manieren kan de commissie samengesteld worden? Voor het eerste commissielid zijn 8 mogelijkheden, voor het tweede lid zijn 7 mogelijkheden en voor het derde zijn 6 mogelijkheden. Maar hierbij zitten dan ook een aantal dubbele. De combinatie Jan, Piet en Marit is namelijk dezelfde als Marit, Jan en Piet bijvoorbeeld. Immers de commissieleden zijn gelijkwaardig. Elk drietal kan op 3! = 6 manieren van volgorde wisselen (zie paragraaf 3.1 bij faculteit). Bij combinaties gaat het erom dat de volgorde er niet toe doet! Ga na dat dit hetzelfde is als: Of ook wel korter geschreven als:

6 De formule genoemd. (spreek uit acht boven drie) wordt binomiaalcoëfficiënt 3.4 Binomiale kansen Bij het bepalen van het aantal successen dat kan optreden wanneer men een experiment een bepaald aantal malen (n) herhaalt. Bij elke herhaling (loting, trekking) moet er een vaste kans p zijn op het waarnemen van een succes. Bekend is het spelletje kop of munt waarbij een munstuk een aantal malen opgegooid wordt. Ook bij een dobbelsteen bijvoorbeeld kun je afspreken dat succes is een 6 gooien en pech is géén 6 gooien. De kans op succes (dat je een 6 gooit) is gelijk aan en de kans dat je dus pech hebt (géén 6 gooien) is. Voorbeeld We gooien 10 maal met een dobbelsteen. Succes is een 6 gooien en pech is géén 6 gooien. Stel k is het aantal keren succes van deze 10 pogingen. Hoe groot is de kans op 4 van de 10 succes? Met andere woorden: Hoe groot is de kans dat k = 4 ook wel genoteerd als De kans op 4 succes is De kans op 6 pech is Nu kunnen deze 4 successen over de 10 worpen verdeeld worden op manieren (zie paragraaf 3.3 combinaties). In totaal is de kans op 4 successen en 6 pech dus: De formule (spreek uit tien boven vier) wordt binomiaalcoëfficiënt genoemd.