Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen

Transcriptie

1 Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen Praktische-opdracht door een scholier 918 woorden 17 maart ,9 60 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding Wij hebben gekozen voor de opdracht De Som van de Ogen bij Drie Dobbelstenen. Wij hebben dit onderwerp gekozen omdat wij vonden dat deze het best bij ons paste aangezien wij deze allebei heel goed begrepen. Met dit onderzoek willen wij aantonen wat de kansverdeling is van de som van de ogen bij drie dobbelstenen en de verwachtingswaarde van de som. We zijn van plan eerst de theoretische verwachtingswaarde te berekenen door gebruik te maken van combinaties. Vervolgens simuleren wij het gooien van de dobbelstenen 216 keer (dit is het aantal mogelijke uitkomsten) met behulp van de grafische rekenmachine. Hoofdstuk I: Theoretische Kans In dit gedeelte van ons werkstuk laten wij zien wat de kansverdeling en de verwachtingswaarde is van de som van de ogen als je gooit met drie dobbelstenen. Eerst willen wij de theoretische kans laten zien van de mogelijke uitkomsten, dit loopt op van drie ogen tot achttien ogen. Per onderdeel (van 3 t/m 18) geven wij apart de kans op het gooien van deze som met drie dobbelstenen. Dit hebben wij als volgt gedaan: er zijn 216 mogelijke combinaties die je kan gooien met drie dobbelstenen. Dit antwoord hebben wij gevonden door het aantal ogen dat de dobbelstenen hebben met elkaar te vermenigvuldigen, dus: 6 x 6 x 6 = 216 De combinatie wordt gevormd door drie cijfers, het aantal ogen van de eerste, tweede en derde dobbelsteen. Als er dus 3 met de eerste dobbelsteen, 2 met de tweede en 1 met de derde wordt gegooid is de combinatie respectievelijk 321. Zoals te zien is, staat er op de volgende bladzijde een overzicht van alle 216 mogelijk combinaties, per onderdeel. Ook hebben wij hiermee de kans berekend, als volgt: we hebben de mogelijke combinaties geteld, bijvoorbeeld bij het onderdeel 14. Er zijn 15 gunstige combinaties, van de 216 mogelijke combinaties. Dit hebben we als de kans weergegeven: 15/216. Zie bladzijde 4 voor dit overzicht. Pagina 1 van 5

2 Som Mogelijkheden Kans 3: 111 1/216 4: 211 3/216 5: / : / : / : / : / : / : / : / : / : / : / : / : 665 3/ Pagina 2 van 5

3 18: 666 1/216 Hieronder hebben wij de gegevens van het overzicht van de mogelijke combinaties in een tabel gezet, voor een overzichtelijker geheel. Zo is hier ook weer per onderdeel aangegeven hoe groot de kans is dat de som S wordt gegooid. Alle kansen bij elkaar van onderdeel 3 tot en met 18 zijn samen 1, waarmee gecontroleerd is dat de kansverdeling met de combinaties klopt. Hier is dus in feite de kansverdeling in tabel gebracht. s P(S=s) 1/216 3/216 6/216 10/216 15/216 21/216 25/216 27/216 27/216 25/ /216 15/216 10/216 6/216 3/216 1/216 Nu wij de kansverdeling hebben is het mogelijk om de verwachtingswaarde van de som van de ogen E(S) uit te rekenen. Dit is dus het gemiddelde van wat er verwacht wordt dat je gooit, als je met drie dobbelstenen gooit. Hieronder staat de berekening van de verwachtingswaarde van de som van het aantal ogen van drie dobbelstenen. E(S)= 3x1/ x3/ x6/ x10/ x15/ x21/ x25/ x27/ x27/ x25/ x21/ x15/ x10/ x6/ x3/ x1/216 = 10,5 Hoofdstuk II: Simulaties Nu wij weten wat de kansverdeling en de verwachtingswaarde is van de som van de ogen bij het gooien met drie dobbelstenen, is het mogelijk om een dergelijke simulaties uit te voeren. We hebben eerst practicum 5 doorgelezen en gemaakt waardoor wij begrepen hoe we simulaties maken. Bij het volgende gedeelte simuleren wij 216 keer het gooien met drie dobbelstenen. Wij hebben dit getal gekozen, omdat dit net zo veel is als het aantal mogelijke uitkomsten als je gooit met drie dobbelstenen en zo is het makkelijk te vergelijken met de kans die wij eerder hebben berekend. De volgende formule is ingevoerd in de grafische rekenmachine om de simulatie (de som van de ogen met het gooien van drie dobbelstenen) uit te voeren: Met Ran# kiest de grafische rekenmachine een willekeurig getal. Door er 6Ran#+1 van te maken, kiest de GR een willekeurig cijfer tussen de 1 en de 6. Maar omdat het hele getallen moeten zijn, staat er Intg voor, dat zorgt voor een afgerond getal. De volgende formule was het resultaat: Pagina 3 van 5

4 Formule: Intg(6Ran#+1) +Intg(6Ran#+1) +Intg(6Ran#+1) Deze formule hebben we 216 keer ingevoerd en gekeken naar de uitkomsten. Deze hebben we vergeleken met de kansverdeling. Het resultaat hiervan geven we hieronder. Som Gegooid Kans op de 216 3: 0 1 4: 4 3 5: 5 6 6: : : : : : : : : : : : : Gemiddeld gegooid: 2281/216 = 10,56 Gemiddelde verwachtingswaarde = 10,5 Hieruit blijkt dat onze kansverdeling en verwachtingswaarde aardig met de werkelijkheid overeenkomt, wat natuurlijk heel verrassend om te zien is. Conclusie Met dit niet al te grote, maar toch uitgebreide onderzoek zijn we toch achter bepaalde feiten gekomen, die interessant blijken te zijn. We zijn er bijvoorbeeld achtergekomen dat wij in staat waren om de verwachting te berekenen van een dobbelspel, wat heel handig kan zijn. Maar voor het wiskundig vlak hebben wij aangetoond dat de theoretische verwachtingswaarde en kansverdeling heel goed overeenkomt met de realiteit. Zoals wij van te voren hadden berekend dat je waarschijnlijk het meest een som van 10 of 11 ogen gooit, is ook uitgekomen toen wij deze gebeurtenissen gingen simuleren. En dit blijkt met nog andere getallen. Maar zoals ook te zien is in onze tabellen/overzichten, kunnen de cijfers ook sterk van elkaar afwijken, maar dit is gelukkig niet vaak Pagina 4 van 5

5 voorgekomen. Het was een leuk werk om dit onderzoek te doen, we hebben het met plezier gedaan, vooral toen we erachter kwamen dat de theorie overeenkomt met de praktijk. Het is grappig dat wiskunde niet alleen theoretisch, maar vooral ook praktisch klopt. Ook omdat wij deze opdracht snel snapten, was het een leuk werk. We zijn geen wiskundige problemen tegen gekomen, wat maar weer bewijst hoe goed deze opdracht ons ligt! We hopen dat deze opdracht goed uitgevoerd is door ons, aangezien we er toch veel werk aan hebben gehad. Pagina 5 van 5