Samenvatting Systeem & Signaal Analyse

Transcriptie

1 Samenvatting Systeem & Signaal Analyse Wieland Wuyts AJ

2 Inhoud H1. Signalen en Systemen... 4 De correlatiefunctie... 4 H2. Lineaire Systemen: het toestandsmodel... 5 Discrete stap systemen... 5 Continue systemen... 5 H3. De Fourierreeks... 7 Fourier-reeks van een eindige continue-tijd signaal... 7 Theorema van de beste benadering... 7 Discrete Fourier-reeks van een periodiek discrete-tijd signaal (DFR)... 8 Orthonormale signalen... 8 Hoofdstelling voor DFR... 9 Parseval De Fourier-reeks van periodieke continue-tijd signalen Orthonormale signalen Signaal en Spectrum Parseval Eigenschappen FR (diskrete en continue tijd) H4. Het impulsantwoord, het frequentieantwoord en de Overdrachtsfunctie De convolutiesom De convolutie-integraal Het impulsantwoord Eigenschappen voor zowel diskrete als continue tijd Het frequentieantwoord (diskrete tijd) De overdrachtsfunctie (diskrete tijd) Het frequentieantwoord (continue tijd) De overdrachtsfunctie (continue tijd) H5. De vier Fourier-transformaties De Fourier-reeks (FR) De diskrete tijd Fourier-reeks (DFR of DFT) De Fourier-transformatie(FT) De discrete tijd Fourier-transformatie(DTFT) Plancherel en Parseval Dualiteit... 16

3 De Sommatieformule van Poisson Enkele bewijsjes Het onzekerheidpricipe van Heisenberg Fourier-transformaties versus Fourierreeksen H6. Sampling Het Nyquist-Shannon theorema De blokfunctie Reconstructie signaal H7. De z-transformatie Frequentieantwoord Transferfunctie/z-getransformeerde De tabel Methode van de tabel Eigenschappen Differentieverelijking als LTI systeem De eenzijdige z-transformatie Tijdverschuivingseigenschap Variant van de verschuivingseigenschap Het toestandsmodel H8. De Laplace-transformatie Frequentieantwoord Overdrachtsfunctie/Laplace transformatie De tabel Eigenschappen Differentiaalvergelijking als LTI systeem De eenzijdige Laplace-transformatie Eigenschappen Overgangsverschijnselen en regimeantwoord Differentiaalvergelijking Het toestandsmodel... 32

4 H1. Signalen en Systemen De correlatiefunctie Discrete tijd energiesignalen, voor vermogenssignalen is het hetzelfde maar dan met limieten als grenzen en een factor voorop(zie cursus)., Continue tijd energiesignalen, voor vermogenssignalen is het hetzelfde maar dan met limieten als grenzen en een factor voorop (zie cursus)., De kruiscorrelatiefunctie drukt uit hoe twee signalen met elkaar verbonden zijn in de zin dat voor een bepaald tijdstip t (of n in het discreet geval) een maat is voor hoe de waarden van het ene signaal veranderen in de richting van de waarden van andere signaal op een tijdstip dat t (of n) is verschoven. 4

5 H2. Lineaire Systemen: het toestandsmodel De signalen u en y zijn vectoren en A,B,c,d zijn matrices. Opgelet bij het examen is het belangrijk dat de gebruikte symbolen definieert zijn, m.a.w. tot welke verzameling een variabele behoort of op welke twee ruimtes een signaal is gedefinieerd etc. Discrete stap systemen De convolutie van het impulsantwoord met is geeft de uitgang, het systeem wordt initieel in rust verondersteld: Uit de formules hierboven volgt dan : BIBO stabiliteit is equivalent met Asymptotische stabiliteit is equivalent met 1 Continue systemen 0 0 Met de volgende formule voor : 2! De convolutie van het impulsantwoord met is geeft de uitgang, het systeem wordt initieël in rust verondersteld: 5

6 Uit de formules hierboven volgt dan : BIBO stabiliteit is equivalent met Asymptotische stabiliteit is equivalent met 0 6

7 H3. De Fourier-reeks Fourier-reeks van een eindige continue-tijd signaal Theorema van de beste benadering We tonen aan dat de afstand zo klein mogenlijk is. Hierbij is met een stel orthonormale signalen. In het geval dat een lineaire combinatie is van deze signalen is: Waaruit natuurlijk volgt dat. Deze factoren kunnen in dit geval gemakkelijk bepaald worden:,,, We tonen nu aan dat, ook in het geval dat f geen lineare combinatie van signalen dit ook steeds de beste keuze is. Met andere woorden we bewijzen dat: Waarbij en We beginnen met het uitwerken van Werken we de termen verder uit:,,,,,,,,,,,,,,, De vergelijking wordt dan:, We voegen de termen toe, dan herkennen we de volgende vorm: 7

8 Dan wordt de formule van : Dit wordt: Hieruit volgt dat: Nu is werken we uit, dit is analoog aan de uitwerking voor met het verschil dat we moeten vervangen door. Dit geeft direct de volgende formule: Dit substitueren in de gevonden uitdrukking voor geeft: Discrete Fourier-reeks van een periodiek discrete-tijd signaal (DFR) Inwendig product Als:,, Dan is het inwendig product:, 1 Orthonormale signalen : ; 0,1,, 1, 2 Bewijs dat,,, een orthonormaal stel is: 8

9 Nu onderscheiden we twee gevallen:, 1 1 : :, 1, Hoofdstelling voor DFR We associëren met x de eindige Fouriersom: ~,, 1 2 Nu bewijzen we dat mag vervangen worden door =, 1 1 9

10 1 Zie bewijs van orthogonale signalen, de 2 de term is 0 behalve als l=n., Parseval 1 De Fourier-reeks van periodieke continue-tijd signalen Inwendig product Als:,, Dan is het inwendig product:, 1 Orthonormale signalen : 2 Signaal en Spectrum, 1, 2 Parseval 1 10

11 Eigenschappen FR (discrete en continue tijd),, Lineariteit,,, Verschuiving Modulatie Complex toegevoegde Tijdsomkering Hieruit leid men af: ë ë ë 11

12 H4. Het impulsantwoord, het frequentieantwoord en de Overdrachtsfunctie De convolutiesom, De convolutiesom is commutatief en lineair. Nu kunnen we voor elk signaal een linear systeem S laten corresponderen: Dit systeem S is bovendien tijdsinvariant: :, De convolutie-integraal, Of in signaalwaarden: 12

13 Het impulsantwoord, Eigenschappen voor zowel discrete als continue tijd BIBO-stabiliteit Causaliteit 0, 0; Het frequentieantwoord (discrete tijd) Dit is de DTFT van het impulsantwoord, Voor periodieke signalen wordt dit de DFR van het impulsantwoord 1 0,1, 1, 2 De overdrachtsfunctie (discrete tijd) Dit is de FT van het impulsantwoord, Voor periodieke signalen wordt dit de FR van het impulsantwoord 13

14 1, 2 Het frequentieantwoord (continue tijd), De overdrachtsfunctie (continue tijd), 14

15 H5. De vier Fourier-transformaties De Fourier-reeks (FR), 2 1, 2 De discrete tijd Fourier-reeks (DFR of DFT) 1, 2, 2 (Dit is de DFT, de DFR is hetzelfde met de coëfficiënt bij andere formule) De Fourier-transformatie(FT) 1 2 De discrete tijd Fourier-transformatie(DTFT) 1 2 Plancherel en Parseval Voor,, geldt:

16 1 2 We bewijzen eerst Plancherel. Eerst definiëren we,. In het algemeen is: Nu nemen we de inverse FT van het rechterlid en stellen dit dat gelijk aan het linkerlid: 1 2 kunnen we uitschrijven met behulp van de eigenschap van complex toegevoegde: Als we ook nog de convolutie uitschrijven krijgen we: 1 2 Nu evalueren we deze vergelijking op t=0, dan vinden we de vergelijking van Plancherel: 1 2 De vergelijking van Parseval bekomen we eenvoudig door te vervangen door. Dualiteit Beschouw de FT: Nu gaan we over op nieuwe veranderlijken, t -t Vervolgens verwisselen we de notaties, en we keren de integraalgrezen om: In het rechterlid vinden we de formule van inverse FT terug, dit geeft de dualiteitsformules:

17 Bewijsje met behulp van dualiteit, we hebben de volgende formule: Wegens de dualiteit en staat voor FT(X): Dit wordt met behulp van 2: 2 Nogmaals 2 toepassen geeft: 2 2 We hebben dus de volgende formule afgeleid: De Sommatieformule van Poisson We schouwen een signaal, met FT-spectrum. Nu nemen we de periodieke uitbreiding van dit signaal: Dit signaal is periodiek met periode p, er bestaat dus een FR-ontwikkeling: 1 Met de volgende FR-coëfficiënten: 1 Nu stellen we dus en. Verder mogen we ook de integraal en de sommatie omwisselen 1 17

18 1 1 We herkennen de formule van de FR, met X het spectrum wordt dit: 1 2 Na substitutie in (1) volgt de sommatieformule van Poisson: 1 2 Enkele bewijsjes Te bewijzen: Te bewijzen: voor de goede orde, Te bewijzen: lim lim lim 0 Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg Zie cursus 18

19 Fourier-transformaties versus Fourier-reeksen Eindige discrete stapsignalen: :, We bekijken twee uitbreidingen van dit signaal en vergelijken hun Fourier-getransformeerden De eerste uitbreiding is De DTFT van is 0,1,, De tweede uitbreiding is De DFT van is Uit gelijkstelling van (1) en (2) volgt: 2 2 Eindige continue tijdssignalen: :, We bepalen de relatie tussen en : 1 Er volgt dus het volgende verband: 1 2, 1 Periodieke continue tijdssignalen: 19

20 Van deze signalen kunnen we zowel de FR als de FT nemen. We gaan deze uitdrukkingen met elkaar vergelijken. De definitie van de FR geeft ons: 2, Nu nemen we van beide leden van deze uitdrukking de FT, we gebruiken enkel eigenschappen zoals: 2 Omdat geen functie van t is ondargaat geen transformatie, ze wordt beschouwd als een constante op dit moment. 2 Toepassing op de kam-distributie: we beschouwen een oneindige som van verschoven Diracimpulsen. Eerst bepalen we de FT van de kamfunctie: Om een of andere reden willen we nu nog een andere uitdrukking voor de FT. De kam-functie is periodiek dus er bestaat een FR ontwikkeling: 2, 1 2, 1 1 We gebruiken nu de formule voor het verband tussen de FT en de FR voor periodieke continue tijdssignalen: 2 Dus de FT van de kam-functie wordt dan:

21 2 Periodieke discrete stapsignalen We kunnen van deze signalen zowel de DFT als de DTFT nemen, we gaan nu beide uitdrukkingen vergelijken. Uit de definitie dan DFT volgt: 1 2, Nu nemen we de DTFT van deze vergelijking, omdat geen functie is van n wordt ze op dit momnet als een constante beschouwd: 1 Nu moeten we een uitdrukking vinden voor. We kunnen geen dualiteit gebruiken maar we stellen uit het niets een DTFT voor en gaan die dan bewijzen: 2 2 We bewijzen deze stelling van rechts naar links en omdat de DTFT een bijectieve relatie is geld het automatisch ook in de andere richting. We nemen de inverse DTFT van het rechter lid: Nu dit bewezen is kunnen we de vergelijking voor schrijven als: Dit spectrum is periodiek met periode 2. Binnen een periode wordt het spectrum voorgesteld door: 2 0,2 21

22 H6. Sampling Het Nyquist-Shannon theorema Dit theorema zegt dat: als men minstens 2 maal zo snel samplet als de maximum frequentie in het bandbegrensde spectrum van een signaal dan zijn de spectra van het gesamplede signaal en het oorspronkelijke signaal gelijk voor frequenties behorende tot de bandbreedte van het oorspronkelijk signaal (op de samplingperiode T na). We nemen een impulsgenerator om van het gesamplede signaal terug een signaal te vormen: Nu is volgens de volgende formule, in dit geval geeft dit: We hebben de volgende formules: Hieruit t volgt dat: Nu is wegens de formule, en we voeren W is als notatie voor het spectrum: 1 Het spectrum W is op de constante gelijk aan een oneindige som van verschoven spectra X. Men kan er voor zorgen dat de verschoven spectra niet over lappen door snel genoeg te samplen ( groot genoeg). Het spectrum moet wel begrensd zijn anders is het onmogelijk, m.a.w het signaal moet bandbegrensd zijn: 0, Als nu de volgende voorwaarde voor geldt dan overlappen de verschoven spectra van X niet: 22

23 2 De blokfunctie Van de blokfunctie kunnen we het spectra bepalen: En nu is met de formule van sin ωa: Dan wordt het spectra van de blokfunctie: Nu gebruiken we wat dualiteit: t 1 sin 2 2 sin 2 sin 2 sin sin 2 Reconstructie signaal Het gereconstrueerde signaal dat overeenkomt met de blokfunctie wordt opgesteld. Eerst bepalen we het impulsantwoord dat correspondeert met. (T is een constant getal):. sin sin Het gereconstrueerde signaal wordt dan: Nu is volgende de formule. Dit geeft: Uitgeschreven wordt de reconstructie van een signaal volgens de blok-reconstructie: 23

24 sin Het signaal wordt gereconstrueerd aan de hand van de sinc-interpolatie. 24

25 H7. De z-transformatie Frequentieantwoord Transferfunctie/z-getransformeerde De tabel,, , 0 \ Methode van de tabel De noemer kan geschreven worden als: De splitsing in partieelbreuken wordt als volgt opgesteld: 25

26 Waarvoor de factoren worden berekend met de volgende formules: lim lim (Bijvoorbeeld een term met multipliciteit 2 geeft een factor a i2 ) Als er termen zijn met multipliciteit 2 of meer dan moet men de voorgaande termen berekenen met de volgende formule: lim Specifiek voor multipliciteit 2 bereken je a i1 op de volgende manier: lim Eigenschappen, Causaal (algemene def) H heeft een GAC buiten een cirkel met de oorspong als middelpunt (in uitgebreid met ). Causaal (H is een rationale functie) H heeft een GAC buiten de polen en de graad van de teller graad van de noemer. BIBO-stabiel H heeft een GAC dat de eenheidscirkel bevat. Differentieverelijking als LTI systeem Nu gebruiken we de verschuivingseigenschap en gaan over naar de z-getransformeerde: 26

27 Dit geeft: De eenzijdige z-transformatie Tijdverschuivingseigenschap 1 0 Algemeen: Bewijs: Stel n=n-1: Variant van de verschuivingseigenschap 0 Algemeen: Bewijs:

28 1 Stel n+k=n: Het toestandsmodel Het beginwaardenprobleem corresponderend met het toestandsmodel: Met X, Y, U de 1-zijdige z-getransformeerden van de vectoren x, y, u volgt met GAC een gebied van absolute convergentie: Dit wordt: Of verder uitgewerkt naar X(z): Als U(z)=1, dit komt overeen met een impuls als ingang en x(0)=0, het systeem is in rust dan krijgen we als overdrachtsfunctie: Het antwoord in het z-domein corresponderend met de nulingang U(z)=0 is: 0 De algemene uitgang in het z-domein wordt dan gegeven door: 28

29 H8. De Laplace-transformatie Frequentieantwoord Overdrachtsfunctie/Laplace transformatie De tabel,, 0 0,! 0! 0 Eigenschappen, 29

30 : 0 Causaliteit het convergentiegebied ligt rechts van de polen Stabiliteit het convergentiegebied bevat de imaginaire as Differentiaalvergelijking als LTI systeem Nu gebruiken we de afleidingseigenschap en gaan over naar de z-getransformeerde:, Dit geeft: De eenzijdige Laplace-transformatie Eigenschappen, of Overgangsverschijnselen en regimeantwoord We tonen aan dat als H de rationale overdrachtsfunctie is van een stabiel en causaal systeem dan kunnen we de uitgang corresponderend een ingang schrijven als de som van een 30

31 transiënte term en een regime antwoord. De transiënte term sterft uit na voldoende lange tijd. Als 0 dan spreken we van het steady-state gedeelte i.p.v. regime antwoord. 0 0 Bewijs: we gaan expliciet het antwoord berekenen. Na eenzijdige Laplace-transformatie volgt: Voor de eenzijdige Laplace-transformatie geldt dit enkel als de signalen causaal zijn (gelijk aan 0 als t<0). De eenzijdig Laplace-getransformeerde kunnen geschreven worden als: Met T(s) een algemene teller en de polen. We weten dat ons signaal stabiel moet zijn dus alle polen moeten in het LHV liggen. Nu gaan we de uitdrukking voor opsplitsen in partieelbreuken, en worden de residu s genoemd. Nu voeren we de inverse eenzijdige Laplace-transformatie uit, we hebben als tabelformule (die we daarnet nog expliciet in de andere richting hebben uitgewerkt) 1 0 Hiermee wordt de uitdrukking voor de uitgang: En is gelijk aan: 0 lim lim In formule van is nu duidelijk het regime en transiënt gedeelte te herkennen: 0 31

32 Differentiaalvergelijking We hebben het volgende beginwaardenprobleem: 0, 0, 0,, Nu gebruiken we de afleidingseigenschap van de eenzijdige Laplace-transformatie: Hiermee werken we de differentiaalvergelijking uit: Nu is 0 0 en dus ook alle afgeleiden, dit maakt de formule een stuk eenvoudiger: Uitwerken naar geeft: Met de overdrachtsfunctie H(s) die dezelfde is als bij de tweezijdige Laplace-transformatie wordt dit: Na inverse eenzijdige Laplace-transformatie door middel van splitsen in partieelbreuken en methode van de tabel zouden we de volgende opsplitsing krijgen (we doen dit niet expliciet). 0 Als we ook nog asymptotische stabiliteit veronderstellen (het convergentiegebied bevat de imaginaire as). Het convergentiegebied ligt rechts van de meest rechtse pool dus dan volgt automatisch BIBOstabiliteit (de polen liggen in het linker vlak). Dan volgt: 0 Het toestandsmodel Het beginwaardenprobleem corresponderend met het toestandsmodel: 32

33 Nu nemen we de eenzijdige Laplace-transformatie (we maken ook gebruik van de afleidingseigenschap). Dit werken we uit: Uitwerken naar geeft: Nu bepalen we door te beschouwen met 1 (dit is de eenzijdig Laplacegetransformeerde van de impuls δ) en 0 0. Het antwoord corresponderend met de nulingang is: De uitgang in het s-domein wordt dus: 0 33