Systemen en signalen 6SP: 14 januari 2016 Antwoorden en uitwerkingen

Transcriptie

1 Systemen en signalen 6SP: 4 januari 06 Antwoorden en uitwerkingen Gegeven onderstaande cascade met u, v en y continue-tijdsignalen en z een discrete-tijdsignaal: u TS a v j y B g z e sampler B g (met g N) wordt gedefinieerd als: B g : [R! C]! [Z! C]; y 7! z = B g (y) : z(l)= B g (y) (l)=y(lg). We beschouwen het continue-tijdsignaal u = cos als ingang. Indien a =, j = p z() gelijk aan en g = p, dan is J F cos(p ) F p F cos(p ) Je vindt dat z(n)=y(gn)=v(gn f)=u(agn af). Voor u = cos geeft dit z(n)=cos(agn af)=cos(pn p) en z()=. Gegeven een signaal x : R! R : t 7! Â nz H t n en een 6-periodiek signaal y : R! R met FR-spectrum Y : Z! R : k 7! sinc(k p ). e som z = x y bekijken we als een 6-periodiek signaal, met FR-spectrum Z. Wat is de waarde van Z() Z(0)? J F p p p p F F p p p p Het signaal x is -periodiek; ontwikkeld t.o.v. 6-periodieke signalen zullen dus enkel de coëfficiënten X 6 (0) en X 6 () verschillend zijn van nul. Het signaal z zal, net als y, 6-periodiek zijn met FR-spectrum Z = X 6 Y, met Y gegeven. Je vindt dan dat Z()=X 6 ()Y()= Y ()=sin(p/)/p en Z(0)=Y (0)X 6 (0)= p (X 6(0) bereken je op de gekende manier). it geeft Z() Z(0)= 5 p 6.

2 Gegeven is een even, continu, periodiek signaal x : R! C met FR-spectrum X : Z! C, berekend ten opzichte van 0-periodieke basisfuncties. Over dit signaal x is het volgende geweten: x(0)=6. x := R p p x x =. X(k)=0, k > 8. x(t)= x(t 5),8t R. Welke van onderstaande beweringen is correct? J Er zijn oneindig veel waarden voor X() die aan de gegevens voldoen. F Er is geen enkele waarde voor X() die aan de gegevens voldoet. F Er is precies waarde voor X() die aan de gegevens voldoet. F Er zijn precies waarden voor X() die aan de gegevens voldoen. Uit het gegevene haal je het volgende x is even: X(k)=X( x(0)=6 = Â k X(k) kxk = = Â k X(k) X(k)=0, k > 8 k), 8k x(t) = x(t 5), Â k X(k)e i p 0 kt = Â k X(k)e i p 0 k(t 5). Wegens orthogonaliteit van de basisfuncties moet dus gelden dat X(k)= e i p 0 k5 X(k), 8k. Hieruit volgt dat X(k) 6= 0 als en slechts dan als = e i p k en dus k = ±,±6. Combineren van deze gegevens levert X()X(6)=, X() X(6) = 6. eze vergelijking beschrijft een cirkel in het complexe vlak, met dus oneindig veel mogelijke waarden voor X(). 4 Hieronder vind je zowel een parallel- als een cascaderealisatie van eenzelfde discrete-tijdsysteem. Als er geen getalwaarde bij een versterkerblokje staat, betekent dit dat de waarde niet gekend is. Tot welk interval behoort de waarde van a? u y u y a J, F, F, 8 F 8,

3 Noem de twee resterende onbekende versterkingsfactoren in het onderste en bovenste diagram respectievelijk k en l, en schrijf de overdrachtsfuncties van beide diagrammen uit. Op gemeenschappelijke noemer brengen en de tellers gelijkstellen levert ( z )(k z )=( z )( z )(l az )( z ) Gelijkstellen van de coëfficiënt van z levert meteen 6 = 6 a, dus a = 0. 5 Een continue-tijd LTI systeem S wordt beschreven door de differentiaalvergelijking ÿ y = u u. Bepaal de complexe fasor die overeenkomt met de uitgang y bij ingang t 7! u(t)=sin(t)cos(t). J p exp(i p 4 ) F p exp(i p 4 ) F exp(i p 4 ) F exp(i p 4 ) Het frequentie-antwoord van dit systeem volgt uit de differentiaalvergelijking: H(w)= iw w. Het verband tussen de complexe fasors van de uitgang en ingang wordt gegeven door Y = H(w)X waarbij w de hoekfrequentie van het ingangssignaal is. e fasor van de ingang wordt gevonden via: u(t)=sin(t)cos(t)= cos(t zodat X = e i p, corresponderend met een hoekfrequentie w =. e uitgangsfasor wordt zo Y = H()X = p e i p 4 p ), 6 Beschouw een discrete-tijd LTI systeem met impulsantwoord n np h: Z! R; n 7! sin H(n). Bepaal de uitgang y [Z! R] behorende bij de ingang np u: Z! R; n 7! sin J y: n 7! np cos F y: n 7! 4 np sin F y: n 7! 4 np cos F y: n 7! np sin.

4 Gebruik van de definitie (tussenstappen via goniometrie of uitschrijven van exponentiëlen): y(n)=(h u)(n) k kp (n =  sin sin k=0 k cos =  np kp cos np k=0 k h = ( ) i k np cos  k=0 = cos np = cos np "  k=0. k  k=0 k)p # k 7 Beschouw het systeem S : [R! C]! [R! C]; u 7! v : v(t)=u(sin(t))h(t), 8t R Beschouw verder het systeem S als cascade van de sampler B k en het gegeven systeem S, zoals aangegeven op onderstaande figuur: u S v B k w Hierbij wordt B k gedefinieerd als: B k : [R! C]! [Z! C]; v 7! w = B k (v) : w(n)= B k (v) (n)=v(nk) Beschouw nu parameter k = p. Het systeem S is: J Causaal en lineair F Causaal en niet-lineair F Niet-causaal en lineair F Niet-causaal en niet-lineair 4

5 Zorgvuldig toepassen van de definities geeft (merk op dat het signaal z, na sampling, een discrete-tijd signaal is): z(n)=b k S(u)(n) = B k (S(u))(n) = S(u)(kn) = u(sin(kn))h(kn) Met de parameter k weten we dat z(n)=u(sin( p n))h( p n). e Heaviside zorgt dat dit signaal rechtsdragend is, met waarden verschillend van nul zodra p n 0 () n 0. Causaliteit: e uitgang z hangt enkel af van de ingang u op tijdstpen binnen het interval [,] wegens de sinus. Aangezien enkel gehele waarden n 0 beschouwd moet worden, moet enkel n = 0 geverifieerd worden (voor n is causaliteit duidelijk). Voor dit geval geldt: z(0)=u(sin(0)) = u(0). Het systeem is dus causaal aangezien voor elke n geldt dat z(n) enkel afhankelijk is van waarden u(n 0 ),n 0 apple n. Tijdsinvariantie: We noemen bovenstaand systeem S = B k S. Toepassen van de definitie geeft: S (au bv)(n)=(au bv)(sin(kn))h(kn) = au(sin(kn)bv(sin(kn)) H(kn) = au(sin(kn))h(kn)b v(sin(kn))h(kn) = as (u)(n)bs (v)(n) it systeem is dus lineair, onafhankelijk van de waarde van k. 8 Beschouw de continue-tijdsignalen x : R! C en y : R! C met Fourierspectrum X en Y repectievelijk. Herinner je de notatie ỹ(t)=y( t). an geldt FT(t 7! R X(t)y(t t)dt)= J p x.ỹ F x.ỹ F p x.y F x.y Maak gebruik van het feit dat Je vindt dan dat Z t 7! X(t)y(t t)dt = X ỹ. Z FT(t 7! X(t)y(t t)dt)=ft(x ỹ)=p x.ỹ. 9 Beschouw het signaal 8 < sin (t), t 6= 0, u : R! R : t 7! t : 0, t = 0. Het signaal u wordt door een ideale laagdoorlaatfilter S gestuurd met frequentieantwoord (, w < H(w)=, 0, elders. Wat is de energie van het overeenkomstige uitgangssignaal y = S(u)? J p 8 F 5 4p F p F 6p 5

6 Gebruik makende van het feit dat u = sin.sinc en FT(sinc)=pB vind je dat U(w)= p i [( B )(w) ( B )(w)]. e energie wordt dan E = p Z U(w) dw = p 8. 0 Een continue-tijdsignaal x heeft een CTFT-spectrum ( w 4, w apple, X : R! C;w 7! 0, w >. Men zet x om in het signaal u =( p 4 )x, met de afleidingsoperator gedefinieerd als Zij U = FT(u) wat is dan waarde van U()? J i p F i p F i p F p i : [R! C]! [R! C]; w 7! w : t 7! ẇ(t). Maak gebruik van het feit dat u(t)= dt d x t p 4 =( p/4 ẋ)(t): U(w)=FT p/4 ẋ (w)=e i p 4 w FT(ẋ)(t)=iwe i p 4 w X(w). Hieruit volgt dan dat U()= i p. Het volgende schema stelt een cascade van een FR- en TFT-transformatie voor. x [R! C] p FR X [Z! C] TFT y [R! C] p Stel x = sin, waaraan is dan y gelijk? J y = sin F y = sin F y = p sin F y = p sin Transformeren levert X = i ( d d). an bereken je y(w)= Â X(k)e iwk = k= i (e iw e iw )= sin(w). 6

7 Gegeven het signaal x : R! R; t 7! x(t) =exp( 5p p it) exp( it). Zoals aangeduid in de onderstaande figuur wordt dit signaal gesampled met een samplefrequentie w s R >0 en daarna door een impulsgenerator gestuurd. Het uitgangssignaal van deze impulsgenerator noemen we w. Het signaal w wordt door een ideaal laagdoorlaatfilter gestuurd. e uitgang van het filter is ˆx en het filter zelf is gedefinieerd door het frequentieantwoord: H(w)= p, w s w < p, H(w)=0, elders. x Sampler y(n)=x(n p w s ) y Impulsgenerator w(t)=â p k= y(k)d(t k w s ) w H(w) ˆx We noemen K het aantal samplefrequenties w s waarvoor het gereconstrueerde signaal ˆx(t) = Aexp( p it), A 6= 0. an is K gelijk aan J F 0 F F 4 Het toepassen van de Fourier-transformatie op x geeft als spectrum X(w)=p(d(w 5p p ) d(w )). Er liggen dus pieken in 5p en p. Let hierbij dat de eerstvermelde piek een positieve waarde heeft, terwijl de tweede een gelijke negatieve waarde heeft. Hierdoor mogen beide pieken niet tegelijk binnen de filterband vallen, want zelfs als ze elk voor een piek op p zouden zorgen, zouden ze elkaar opheffen. We vinden kandidaten voor w s door te kijken naar de positieve piek op 5p : en door te kijken naar de negatieve piek op p : 5p p kw s = p,k N ) w s = p k lw s = p,l N ) w s = 6p l Om te vermijden dat er nog een tweede verschoven negatieve piek in de filterband ( p,p) ligt, moet zeker w s p ( p)= p. oor deze beperking in rekening te brengen krijgen we: en p k 6p l p ) k apple 4 p ) l apple 4 We moeten hier ook rekening houden met de aanwezigheid van een tweede piek. Bijvoorbeeld voor w s = p k komen beide pieken in p te liggen, waardoor er voor geen enkele waarde van k voldaan wordt aan het gevraagde. Voor w s = 6p l is de piek in p p een verschuiving van de originele negatieve piek in. In dat geval zal er ook een positieve piek liggen in 5p 6p l. eze moet echter buiten het interval ( p,p) liggen, dus geldt de volgende voorwaarde: 5p 6p l apple p ) l apple 7 Aangezien l een natuurlijk getal verschillend van 0 is, is de enige overgebleven oplossing l =, dus w s = 6p. 7

8 Het continue-tijdsignaal x wordt gegeven door x(t)=e it e it sin(t), 8t R. Welk functievoorschrift bepaalt een signaal y : R! R dat een alias is van het signaal x onder sampling met samplehoekfrequentie w s =? J y(t)=cos(5t)isin(4t), F y(t)=cos(5t)sin(4t), F y(t)=icos(5t)sin(4t), F y(t)=icos(5t)isin(4t), 8t R 8t R 8t R 8t R 8

9 Het origineel signaal x(t) heeft een spectrum X(w) = pd(t ) pd(t ) pi(d(t ) d(t )). it signaal kan kwalitatief voorgesteld worden op volgende figuur: p X(w) p 0 w Na sampling met w s = vallen de bijdrage van de sinus volledig weg: 0 w it is ook intuïtief duidelijk in het tijdsdomein: sin( p n)=sin(pn)=0. Het spectrum X van het gesamplede signaal x wordt in volgende figuur geïllustreerd (spectrum loopt natuurlijk door buiten figuur - het is -periodiek): p p X(w) p p p p p p w e oplossing moet een lineaire combinatie zijn van cos(5t) en sin(4t). Het spectrum is dus Y (w)=ap(d(t 5)d(t 5)) bpi(d(t 4) d(t 4)), wat kwalitatief voorgesteld wordt op onderstaande figuur: ap ibp Y (w) ibp ap w Na sampling geeft dit volgend spectrum: Ỹ (w) (a ib)p (a ib)p (a ib)p (a ib)p (a ib)p (a ib)p (a ib)p (a ib)p w Opdat Ỹ = X moeten de pieken met waarde ap ibp wegvallen, wat betekent dat, van de mogelijke oplossingen, enkel a =,b = i mogelijk is. Men verifieert snel dat ook de piek met waarde ap ibp de correcte waarde aanneemt: p i(i)p = 4p. 9

10 4 Een causaal LTI continue-tijdsysteem wordt beschreven door een (A,B,C,)-voorstelling. Enkel de A- en C-matrix zijn gegeven: 0 A = , C =. 0 0 Welk van de onderstaande grafieken kan de uitgang van dit systeem bij nulingang voorstellen? J Beide F e linkse grafiek F e rechtse grafiek F Geen van beide e uitgang bij nulingang wordt gegeven door y(t)=ce At x(0). Gebruik makende van de blokvorm van A vind je dat apple apple A 0 A = ) e At e A t 0 = 0 A 0 e A. t Met begintoestand x(0)=[x (0) x (0) x (0)] T wordt de uitgang gegeven door y(t)= e A t apple x (0) x (0) e t x (0). e eigenwaarden van A zijn l, = 5 ± i p. e eerste term van de uitgang y zal dus oscilleren en groeien in amplitude, terwijl het tweede deel (corresponderend met begintoestand waarvoor x (0)=x (0)=0) exponentieel uitdooft. 0

11 5 Twee causale LTI systemen S en S zijn gegeven via hun respectievelijke blokdiagramvoorstellingen: u y u R R y R Welk van onderstaande beweringen is correct? J S is niet asymptotisch stabiel; S is asymptotisch stabiel. F Geen van beide systemen is asymptotisch stabiel. F S is asymptotisch stabiel; S is niet asymptotisch stabiel. F Beide systemen zijn asymptotisch stabiel.

12 efinieer de toestanden (z,z,z ) als volgt: u z z y z u R R z z y R z Voor bijvoorbeeld het discrete-tijd geval (S ) vind je dan dat z = u z z = z z = u z z z 0 0 ) A = Voor het continue-tijd geval vind je dezelfde A-matrix. e karakteristieke vergelijking wordt k A (l)= l [ l( l)] met als oplossingen de eigenwaarden l, =, ±i. Het discrete-tijd systeem (S ) zal dus niet asymptotisch stabiel zijn, het continue-tijd systeem (S ) wel. 6 We beschouwen van een causaal LTI discrete-tijdsysteem een driedimensionaal toestandsmodel bepaald door de matrices Bepaal het impulsantwoord h. J Geen van vermelde 0 0 A = 4 05, B = 405, C = 4, = F h(n)=( n n )H(n ) F h(n)=( n n )H(n ) F h(n)=( n n )H(n)

13 Met het gegeven toestandsmodel kunnen we de overdrachtsfunctie berekenen als H(z)=C(zI A) B. Als we eerst (zi A) berekenen krijgen we (zi A) z = 4 (z ) z z Voor H(z) krijgen we dan H(z)=C(zI A) B = 4 z (z ) z Er is gegeven in de opgave dat het systeem causaal is, dus z >. Het gaat hier dus om een rechts signaal. Om de inverse z-transformatie te bepalen, maken we gebruik van de gekende z-transformaties van een machtreeks naar rechts en een afgeleid signaal. Merk op dat de breuken hier niet volledig mee overeenkomen, in de teller ontbreekt namelijk een factor z. eze breuken zijn dus de z-transformaties van de tijdsverschoven originele signalen machtreeks naar rechts en afgeleid signaal. oor ook de eigenschap tijdsverschuiving toe te passen, krijgen we us geen van de vermelde antwoorden is correct. h(n)=4 H(n )(n )H(n ) (n ) H(n ) =( n (n ) )H(n ) 7 Gegeven een discrete-tijd LTI systeem waarbij de volgende ingang u de gegeven uitgang y oplevert: u : Z! R; n 7! (n ) n H(n ), y : Z! R; n 7! (n ) n H(n ). Stel bovendien dat het impulsantwoord van het systeem h is en dat het signaal g : n 7! absoluut sommeerbaar is. Welke uitspraak is correct? n h(n) J Het systeem is causaal en BIBO-stabiel. F Het systeem is niet-causaal en BIBO-stabiel. F Het systeem is causaal en niet BIBO-stabiel. F Het systeem is niet-causaal en niet BIBO-stabiel. e z-getransformeerde van u(n) wordt gegeven door en de z-getransformeerde van y(n) wordt gegeven door: e overdrachtsfunctie wordt dan als volgt berekend: U(z)= Y (z)= z ( z ) z ( z ) H(z)= Y (z) U(z) = ( z ) 6 ( z ). e overdrachtsfunctie heeft dus een dubbele pool in. Aangezien ( )n h(n)) absoluut sommeerbaar is, ligt in het convergentiegebied. Er geldt dus dat z >. Bovendien ligt de eenheidscirkel in het convergentiegebied en is de graad van de teller niet groter dan de graad van de noemer. Het systeem is dus causaal en BIBO-stabiel.

14 8 Een ingang-uitgang-model van een causaal systeem is gegeven onder de vorm van de volgende differentiaalvergelijking: ÿ 4ẏ 4y = ü 4 u 4u. Hierbij stelt u de ingang voor en y de uitgang. Stel dat op t = 0 de beginwaarden van de uitgang gegeven worden door y(0 )=0 en ẏ(0 )= 6 en stel dat een ingang u = H wordt aangelegd. Bepaal de uitgang y voor alle t 0. J y : R 0! R : t 7! 6t exp( t) F y : R 0! R : t 7! F y : R 0! R : t 7! exp( t) t exp( t) F y : R 0! R : t 7! d(t) 6exp( t)t exp( t) Éénzijdige Laplace-transformatie van de gegeven differentiaalvergelijking geeft Y (s)= s 4s 4 s 4s 4 = s 6 (s ). U(s) sy(0 )ẏ(0 )4y(0 ) s 4s 4 e laatste gelijkheid volgt uit het gegevene (y(0 ),ẏ(0 ) en U(s)=/s). Terugtransformeren geeft y(t)=h(t) 6te t H(t). 9 Beschouw een LTI ingang-uitgangsysteem S met het volgende ingang-uitgangkoppel (u,y = S(u )): u (t) y (t) 0 t 0 t Wat is de uitgang y = S(u ) van dit systeem die hoort bij de ingang u (t)=cos(t)h(t), 8t R? J y (t)=sin(t)h(t) sin(t )H(t ), 8t R. F y (t)=cos(t)h(t) cos(t )H(t ), 8t R. F y (t)=cos(t)h(t) cos(t )H(t )cos(t )H(t ), 8t R. F y (t)=( cos(t))h(t) ( cos(t ))H(t )( cos(t ))H(t ), 8t R. Het gegeven ingang-uitgang koppel (u,y ) kan geschreven worden als met w(t)=th(t). Laplace-transformeren geeft U (s)= u = H H, y = w w w, e s, (s) > 0, en Y (s)= e s s s, (s) > 0, zodat H(s)= e s s, (s) > 0. e ingang u heeft Laplace-getransformeerde U (s)= s, (s) > 0. e Laplace-getransformeerde van de uitgang wordt zo s en dus y = sin.h (sin.h). Y (s)=h(s)u (s)= e s s, (s) > 0, 4

15 0 Gegeven een rationale transferfunctie H van een continue-tijd LTI systeem S, corresponderend met een tweede-orde differentiaalvergelijking met reële coëfficiënten. H heeft twee verschillende polen p 6= p en geweten is dat de graad van de teller kleiner dan of gelijk aan de graad van de noemer is. Verder is gegeven dat R h(t) e p p t dt < p p < 0 Welke uitspraak is juist en bevat het meest informatie? J S is causaal F S is BIBO-stabiel F S is causaal en BIBO-stabiel F Geen van vermelde Aangezien het systeem gedefinieerd is door een de-orde differentiaalvergelijking met reële coëfficiënten, zullen de polen p en p de wortels zijn van een vierkantsvergelijking. Bovendien zal de transferfunctie rationaal zijn met graad van de teller niet groter dan graad van de noemer. Verder is er gegeven dat p p / in het GAC van de transferfunctie H ligt. We onderscheiden twee gevallen: p = p = a bi: aangezien p p < 0 (gegeven) moet a < 0, i.e., de polen liggen links van de imaginaire as. Gebruik makende van p p / > 0 GAC H zal het GAC van H rechts zijn. Aangezien de transferfunctie rationaal is, met graad van de teller niet groter dan graad van de noemer, is het systeem voor dit geval zowel BIBO-stabiel als causaal. p, p R: er doen zich twee subgevallen voor: p < 0 en p < 0: de polen liggen links van de imaginaire as, het GAC zal dus rechts zijn (aangezien p p / in GAC moet liggen) en de imaginaire as bevatten. Voor dit geval is het systeem bijgevolg opnieuw causaal en BIBO-stabiel. p > 0 (en dus p < p ): het GAC ligt links van p, tussen p en p, of rechts van p. Aangezien noodzakelijk geldt dat p p / > p moet het GAC rechts liggen van p > 0, en bevat het de imaginaire as niet. Het systeem is in dit geval causaal maar niet BIBO-stabiel. Er geldt dat het systeem causaal maar mogelijks niet BIBO-stabiel is; het juiste antwoord is bijgevolg S is causaal. 5