Systemen en signalen 6SP: 22 augustus 2017 Oplossingen

Transcriptie

1 Systemen en signalen 6SP: augustus 7 Oplossingen Gegeven volgende cascade met x en y continue-tijdsignalen. x D 3 TS 5 D α TS y β Voor welk koppel (α,β) geldt altijd dat y = x? J. (α,β) = ( 3/5,/5) F. (α,β) = ( 5,5) F. (α,β) = (3/5,5) F. (α,β) = (5,/5) Je berekent dat t R : y(t) = x(5(βt α) 3). Hieruit volgt dat y(t) = x(t), t R als (α,β) = ( 3/5,/5). Gegeven is het reëelwaardige discrete-tijdsignaal x dat voldoet aan de Dirichletvoorwaarden. x is periodiek met periode 8 en het FR-spectrum van x is X. Geweten is dat X() =, X() =, X(3) = 4i en X(4) =. Indien het vermogen van x gelijk is aan 44, waaraan is dan X() gelijk? J. Er zijn onvoldoende gegevens. F. X() = F. X() = i F. X() = We maken gebruik van de stelling van Parseval, en van het feit dat voor het FR-spectrum X van een reëelwaardig signaal geldt dat X(k) = X( k), k Z. Zo vinden we volgende uitdrukking voor het vermogen van x: P x = 8 4 n= 3 x(n) = 4 k= 3 X(k) = X() + X() + X() + X(3) + X(4) = 44. Gebruik makende van de uitdrukkingen voor X(), X(), X(3) en X(4) vinden we dat X() = 4. Aangezien x reëelwaardig is resteren twee mogelijkheden X() = en X() =.

2 3 Gegeven een signaal x : R R : t l Z ( t l )H( t l ) en een 3-periodiek signaal y : R R met FR-spectrum Y = D δ + D δ. Stel z = x + y met FR-spectrum Z ten opzichte van de fundamentele periode van z; wat is dan de waarde van Z() Z()? J. F. F. F. 3 De fundamentele periode van het signaal x is. Bijgevolg heeft het signaal z = x + y fundamentele periode 6. z heeft dus een FR-spectrum Z = X (6) +Y (6), waarbij X (6) en Y (6) de FR-spectra van x resp. y voorstellen in de 6-periodieke Fourier-basis: 6 6 X (6) (k) = x(t)e i π 6 kt dt, Y (6) (k) = y(t)e i π 6 kt dt. Om Z() Z() te berekenen merken we op dat X (6) () =, Y (6) () = Y (3) () = en Y (6) () = Y (3) () =. Verder geldt dat X (6) () = - dit bereken je, of je redeneert dat het feit dat x -periodiek is impliceert dat x het basissignaal t exp ( i π 3 t) niet kan bevatten. We vinden dus dat Z() Z() = X (6) () +Y (6) () X (6) () Y (6) () = /. 4 Beschouw het LTI systeem S voorgesteld in het onderstaande blokschema (waarin u de ingang en y de uitgang van S voorstellen): u + S y S De LTI systemen S en S worden beschreven door hun respectievelijke frequentie-antwoorden H en H, gedefinieerd door de volgende differentiaalvergelijkingen: S : u y = S (u ); S : u y = S (u ); ẏ y = u,... y + ÿ + ẏ + y = ü u, Gegeven de intervallen A = [ 4,] en B = [,4], welk van volgende uitspraken is correct i.v.m. de polen van de transferfunctie H die met het systeem S overeenstemt: J. Enkel A bevat polen van H F. Beide intervallen bevatten polen van H F. Enkel B bevat polen van H F. Noch A, noch B bevat polen van H We vinden uit het blokschema dat y S (S (y)) = S (x). Stel dat het systeem S i frequentieantwoord H H i geeft, dan krijgen we als uitdrukking voor de overdrachtsfunctie H(s) = (s) H (s)h (s). H en H zijn af te leiden uit de gegeven differentiaalvergelijkingen (zie ook hoofdstuk 3.8 in de cursus): H (s) = s s 3 +s +s+ en H (s) = s. Verder uitwerken geeft als nulpunten voor de noemer ±, maar beiden zijn ook nulpunten van de teller. Na pool-nuldeling blijft een pool in over.

3 5 Beschouw het volgende systeem S(u)(t) = u(τ)u(t τ)dτ. t Beschouw de cascade van m opeenvolgende systemen S, Welke van de volgende uitspraken is waar? S m (u) = (S... S) (u). }{{} m keer J. Het systeem S 7 is tijdsinvariant maar niet lineair. F. Het systeem S 7 is een LTI-systeem. F. Het systeem S 7 is lineair maar niet tijdsinvariant. F. Het systeem S 7 is noch lineair noch tijdsinvariant. Tijdsinvariantie kan gevonden worden door het toepassen van de definitie op S, waaruit volgt dat D τ (S(u)) = S(D τ (u)). Bij uitbreiding toont dit ook aan dat S m tijdsinvariant is: D τ (S m (u)) = D τ ((S... S)(u)) = D τ (S(...(S(u))...) = S(D τ (S(...(S(u))...))) =... = S(...S(D τ (u))...) = (S... S)D τ (u) = S m (D τ (u)). Het systeem S is niet lineair: S(αu + βu )(t) = α S(u )(t) + β S(u )(t) + αβ t u (τ)u (t τ) + u (τ)u (t τ)dτ en bij uitbreiding is ook S m niet lineair. Een eenvoudig tegenvoorbeeld: S(αu) = α S(u), waaruit gemakkelijk te bewijzen valt dat S m (αu) = S(...S(S(S(αu)))...) = S(...S(S(α S(u)))...) = S(...S(α 4 S(S(u)))...) = = α m S(...S(S(S(u)))...) = α m S m (u) αs m (u) 3

4 6 Bepaal het frequentieantwoord van het volgende geïnterconnecteerde continue-tijd systeem waarbij H i het frequentieantwoord van continue-tijd LTI systeem S i,i =,,3 voorstelt. S + y u + S S 3 J. H(ω) = H (ω)+h 3 (ω) H (ω)h (ω) F. H(ω) = H (ω) H (ω)h (ω)h 3 (ω) H (ω)h (ω) F. H(ω) = H (ω)+h 3 (ω) H (ω)h (ω)+h 3 (ω) F. H(ω) = H (ω) H (ω)h (ω)h 3 (ω) H (ω)h (ω)+h 3 (ω) We beschouwen eerst enkel het deelsysteem bestaande uit S en S en noemen de uitgang daarvan v. We beschouwen voor dit deelsysteem een ingang x(t) = e iωt en uitgang v = H (ω)x. Aangezien het hier om een normale terugkoppeling gaat, krijgen we H (ω) = H (ω) H (ω)h (ω) Vervolgens beschouwen we het volledige systeem. Hierbij krijgen we de volgende relatie tussen ingang u en uitgang y: y = S 3 (u + S (v)) + v. Als we ook hierbij dan een ingang x(t) = e iωt met uitgang y = H(ω)x beschouwen, krijgen we H(ω) = H 3 (ω) + H 3 H H (ω) + H (ω) Door in deze vergelijking H (ω) in te vullen, wordt uiteindelijke bekomen dat H(ω) = H (ω) + H 3 (ω) H (ω)h (ω) 4

5 7 Gegeven het discrete-tijdsignaal x met als Fouriergetransformeerde X. Beschouw het discretetijdsignaal y, gedefinieerd als { x( k y(k) = ), k even; ( i x( k k+ ) x( )), k oneven. Dan wordt de Fouriergetransformeerde Y van y gegeven door J. Y (ω) = X(ω)( + sin(ω)), ω R F. Y (ω) = X(ω)( + sin(ω)), ω R F. Y (ω) = X(ω)( + sin(ω)), ω R F. Y (ω) = X(ω)( + sin(ω)), ω R Splits de som in Y (ω) = k= e iωk y(k) op in k = l (k even) en k = l + (k oneven), met l als gemeenschappelijke sommatievariabele. Je krijgt twee termen met x(l) en een term in x(l + ); pas op deze laatste de substitutie l + = l toe, waarna je l opnieuw vervangt door l 8 Gegeven zijn de volgende signalen x : R R : t sin(3t)cos(t) y : R \ {} C : t ei3t πt We bekijken nu het signaal z, met 6 t =, z : R C : t z(t) = π x(t)y(t) t. Bepaal de hoekfrequentie ω zodat de energie van het signaal z in het interval [ ω,ω ] 5% van de totale energie van z bedraagt. (HINT: herinner je het Fourier-paar B W WTS W sinc, waar B W : R R; t H(W t )) J. ω = 3 F. ω = F. ω = 4 F. ω = 5 Bereken eerst de FT van het signaal t 8 π sinc(3t)cos(t). Bekijk z dan als een complexe exponentiële vermenigvuldigd met dit signaal, pas dan de verschuivingseigenschap toe. 9 Beschouw de continue-tijdsignalen x : R C en y : R C met Fourierspectrum X en Y repectievelijk. Herinner je de notatie ũ(t) = u( t). Dan geldt dat X ỹ de Fouriergetransformeerde is van J. x.y F. π x.y F. x.ỹ F. πx.y 5

6 Gebruik makende van dualiteit en de eigenschap dat FT (x.y) = π X Y volgt dat FT (X ỹ) = πft (X).FT (ỹ) = πx. Ỹ = x.y π Gegeven de continue-tijdsignalen x en y met Fouriergetransformeerden X en Y. Verder is geweten dat Welke waarde heeft Y ( )? J. 4 F. F. 6 F. y(t)exp(3it) = ẍ(t), t R, X(ω) =, ω R. 5 ω Omrekenen geeft y(t) = d x(t)exp( 3it). Noem z(t) = d x(t) zodat y(t) = z(t)exp( 3it). Uit de dt dt modulatie volgt dat Y (ω) = Z(ω + 3). Toepassen van de afleidingseigenschap levert dat Z(ω) = ω X(ω) zodat Y (ω) = (ω + 3) X (ω + 3) en dus Y ( ) = 4. 6

7 Gegeven de volgende signalen x k met k {,,3} die als volgt gedefinieerd zijn: x : R C; t x (t) = sin( 5π t) sin(3π t) x : R C; t x (t) = iexp( 3π it) icos(3π t) x 3 : R C; t x 3 (t) = cos( 3π t) sin(3π t) cos(5π t) Zoals aangeduid in de onderstaande figuur worden de signalen x i gesampled met een samplefrequentie ω s R > en daarna door een impulsgenerator gestuurd. Het uitgangssignaal van deze impulsgenerator noemen we w i. Het signaal w i wordt door een ideaal laagdoorlaatfilter gestuurd. De uitgang van het filter is ˆx i en het filter zelf is gedefinieerd door het frequentieantwoord: H(ω) = π, ω s ω < π, H(ω) =, elders. x k Sampler y k (n) = x k (n π ω s ) y k Impulsgenerator w k (t) = l= y k(l)δ(t l π ω s ) w k H(ω) ˆx k Indien ω s = π, voor hoeveel waarden van k geldt dat ˆx k (t) = sin( π t)? J. 3 F. F. F. Na het toepassen van de Fourier-transformatie, zijn de volgende spectra te vinden voor de gegeven signal: X (ω) = iπ(δ(ω 5π ) δ(ω + 5π ) + δ(ω 3π ) δ(ω + 3π )) X (ω) = iπ(δ(ω 3π ) δ(ω 3π ) δ(ω 3π )) = iπ(δ(ω 3π ) δ(ω 3π )) X 3 (ω) = π(δ(ω 3π ) + δ(ω + 3π ) δ(ω 5π ) δ(ω + 5π )) + iπ(δ(ω 3π ) δ(ω + 3π )) Om aan het gevraagde te voldoen, moeten binnen de frequentieband ] π,π[ de periodieke uitbreidingen van bovenstaande getransformeerde signalen een reëel deel hebben dat gelijk is aan, en een imaginair deel dat een positieve piek met waarde π heeft voor ω = π/ en een negatieve piek met waarde π voor ω = π/. Hieraan voldoen alle gegeven signalen. 7

8 Het continue-tijdssignaal x wordt gegeven door x(t) = e it + ie it icos(t), t R. Welk functievoorschrift bepaalt een signaal y : R C dat een alias is van het signaal x onder sampling met samplehoekfrequentie ω s =? J. y(t) = e it cos(t), t R F. y(t) = ie it cos(t), t R F. y(t) = e it + cos(t), t R F. y(t) = ie it + cos(t), t R Door te kijken naar de periodieke uitbreiding van de Fourier-getransformeerde van het signal x is te zien dat de periodieke uitbreiding van het spectrum enkel een reëel gedeelte heeft. Het imaginair gedeelte van het spectrum dat onstaat door ie it en icos(t) is namelijk gelijk aan na periodieke uitbreiding. Aangezien antwoorden y(t) = ie it cos(t) en y(t) = ie it + cos(t) zowel een reëel als imaginair spectrum hebben, behoren deze niet tot de mogelijkheden. Door vervolgens de spectra van de overgebleven mogelijkheden uit te tekenen en periodiek uit te breiden, is te zien dat y(t) = e it cos(t) dezelfde periodieke uitbreiding heeft als de periodieke uitbreiding van X. 8

9 3 Gegeven het continue-tijd signaal x = TS (x ). De Fouriergetransformeerde van x wordt voorgesteld in onderstaande figuur. X (ω) π π ω Het signaal x wordt door het volgende systeem gestuurd: x Sampler y(n) = x(n π ω s ) y Impulsgenerator w(t) = π k= y(k)δ(t k ω s ) w H ˆx De filter H is gedefinieerd door het frequentieantwoord: π ω 3π H(ω) = ω, s ω > 3π. Bestaat er een ω s R zodat de Fouriergetransformeerde van ˆx gedefinieerd wordt door de volgende grafiek? ˆX(ω) 3π π π π π 3π ω J. Ja, ω s = π F. Ja, ω s = π F. Ja, ω s = π 4 F. Er bestaat geen ω s die aan het gevraagde voldoet. Via de eigenschap van tijdsschaling (4.4) wordt bekomen dat het spectrum X het volgende is: X(ω) π π ω Om een constant spectrum ˆX te bekomen, moeten de verschoven spectra waaruit W opgebouwd is (zie 5.4) zodanig overlappen dat het sommeren constant blijft. Dit gebeurt wanneer het stijgende deel van X overlapt met het dalende stuk. Dit gebeurt bij een hoekfrequentie ω s = π. 9

10 4 Een fietser fietst rondjes in t Kuipke. We wensen zijn afgelegde afstand te beschrijven aan de hand van een continue-tijd toestandsmodel. Als ingang nemen we de kracht die de fietser uitoefent op zijn pedalen, en als uitgang de afgelegde afstand. Elk realistisch toestandsmodel is dan noodzakelijk J. niet asymptotisch stabiel en niet BIBO-stabiel F. asymptotisch stabiel, maar niet BIBO-stabiel F. BIBO-stabiel, maar niet asymptotisch stabiel F. asymptotisch stabiel en BIBO-stabiel Het systeem is niet BIBO-stabiel, want voor een constante kracht (bounded input) zal de afgelegde afstand blijven toenemen (unbounded output). Opdat het systeem asymptotisch stabiel zou zijn, is het een nodige en voldoende voorwaarde dat bij nulingang de uitgang y(t) als t voor alle beginvoorwaarden. In het geval van de fietser laten we het systeem evolueren zonder input, maar met een zekere beginvoorwaarde y( ) >. De fietser blijft dan stilstaan zodat y(t) = y( ), t, en dus y(t) als t. Bijgevolg is het systeem niet asymptotisch stabiel. 5 Beschouw onderstaand discrete-tijd systeem met ingang u en uitgang y. Voor welke waarden van β R is dit systeem asymptotisch stabiel? u + D y + D β J. Het systeem is nooit asymptotisch stabiel. F. β < F. β = F. β > We geven een oplossing aan de hand van het toestandsmodel. Hiertoe introduceren we de toestanden x en x als zijnde het signaal na het eerste respectievelijk het tweede delay-blokje. We vinden dan dat y = x, D x = βx x + u, D x = x. De corresponderende (A,B,C,D)-voorstelling wordt dan [ ] β A =, B = [ ], C = [ ], D =. De matrix A heeft eigenwaarden λ ± = β ± β. Voor β geldt dat λ = β β, voor β < geldt dat λ ± =. Hieruit volgt dat het systeem nooit asymptotisch stabiel is.

11 6 Gegeven een LTI discrete-tijd-systeem beschreven door de differentievergelijking Dy 4D y + 3D 3 y = u 4Du. Het systeem is initieel in rust, de ingang u gegeven door u(n) = n n H( n ), n Z wordt aangelegd, en de uitgang y kan geschreven worden als αa n H( n ) + βb n H(n) + γc n H(n), n Z. Hierbij zijn a,α,b,β,c,γ R. Dan geldt: J. 4 α F. α < 4 F. 4 α < F. α < 4 Uit de gegeven differentievergelijking halen we dat H(z) = ( z ) z ( 4z + 3z ) Uit de gegeven ingang u(n) kunnen we bovendien halen dat U(z) = Uit de gegeven uitgang weten we dan ook dat met max( b, c ) < z < a Y (z) = Verder weten we ook dat Y = HU, dus Y (z) = z ( z ) α az + β bz + γ cz 4 ( z )( 3z )( z ) = z z 3z. Aangezien a > max( b, c ) weten we dat a = 3 en dus α = 8.

12 7 Een causaal LTI systeem in discrete tijd wordt bepaald door een toestandsmodel beschreven door de matrices A =, B =, C = [ ], D =. Bepaal het impulsantwoord h. J. h(n) = ( n+ )H(n ) F. h(n) = ( n+ )H(n ) F. h(n) = ( n )H(n) F. h(n) = ( n )H(n) Met het gegeven toestandsmodel kunnen we de overdrachtsfunctie berekenen als H(z) = C(zI A) B + D. Als we eerst (zi A) berekenen krijgen we (zi A) z = Voor H(z) krijgen we dan uiteindelijk z (z )(z ) z H(z) = C(zI A) B + D = z + 4 z Er is gegeven in de opgave dat het systeem causaal is, dus z >. Het gaat hier dus om een rechts signaal. Om de inverse z-transformatie te bepalen, maken we gebruik van de gekende z-transformaties en eigenschappen hiervan om zo het volgende resultaat te bekomen: h(n) = H(n ) + 4 n H(n ) = ( n+ )H(n ) 8 Beschouw een continue-tijd LTI systeem S met het volgende ingang-uitgangkoppel (u (t),y (t) = S(u )(t)), t R: u (t) y (t) t t Wat is de uitgang y (t) = S(u )(t) van dit systeem die hoort bij de ingang u (t) = cos(t)h(t), t R? J. y (t) = sin(t)h(t) sin(t )H(t ), t R. F. y (t) = cos(t)h(t) cos(t )H(t ), t R. F. y (t) = cos(t)h(t) cos(t )H(t ) + cos(t )H(t ), t R. F. y (t) = ( cos(t))h(t) ( cos(t ))H(t ) + ( cos(t ))H(t ), t R.

13 Uit de figuur leid je af dat u = H DH en y = (t th(t)) D(t th(t))+d (t th(t)). Hieruit bereken je de Laplace-getransformeerden U (s) = e s s en Y (s) = ( e s ). Aangezien Y s = HU volgt dat H(s) = e s s. Bereken verder dat U (s) = s s +. Hieruit volgt dat Y (s) = e s +s en dus y = sin.h D(sin.H). 9 Beschouw het causale continue-tijd LTI systeem S voorgesteld in het onderstaande blokschema (waarin u de ingang en y de uitgang van S voorstellen). u + K y S Hierbij is K R met K en het systeem S wordt beschreven door de volgende overdrachtsfunctie: H S (s) = s + s + b, GAC, met b R. Geef van de onderstaande verzamelingen van K-waarden de grootste verzameling waarvoor het systeem S BIBO-stabiel is. J. K < b F. K > b F. K R F. Het systeem is nooit BIBO-stabiel Uit de figuur volgt dat y = K.u + K.S(y). Met U,Y de Laplace-getransformeerde van resp. u,y, volgt hieruit dat Y (s) = K U(s) + K H S (s) Y (s) Y (s) = H(s) U(s) = K K H S (s) U(s), waarbij H de overdrachtsfunctie van het total systeem S voorstelt. H heeft polen p ± = ± (b K). Aangezien H rationaal is en de graad van de teller graad van de noemer, volgt dat systeem S BIBO-stabiel is wanneer beide polen links van de imaginaire as liggen. Dit is het geval wanneer K < b. Beschouw de differentiaalvergelijking ÿ(t) 6ẏ(t) + 5y(t) = 5H(t), t R. Bepaal y(t), t als y( ) = en ẏ( ) =. J. y(t) = + 3e t 5e 5t, t F. y(t) = + e t 5e 5t, t F. y(t) = 5 4 et + 4 e5t, t F. y(t) = 4 et 4 e5t, t 3

14 -zijdige Laplace-transformatie van de gegeven differentiaalvergelijking, en invullen van de begincondities y( ) en ẏ( ), leert ons dat Y (s) = s 6s + 5 s(s )(s 5) = s + 3 s 5, {s C : R(s) > 5}. s 5 Terugtransformeren levert het juiste antwoord op. 4