Systemen en signalen: Oefeningenlessen. Sven Rogge

Transcriptie

1 Systemen en signalen: Oefeningenlessen Sven Rogge 00-0

2 Inhoudsopgave Oefeningen 8 oktober 00 Oefeningen 5 oktober Oefeningen oktober Oefeningen 9 oktober Oefeningen 5 november Oefeningen 6 november Oefeningen 9 november Oefeningen 3 december Oefeningen 3 december Oefeningen 7 december 00 7 Oefeningen 0 december 00 30

3 Oefeningen 8 oktober 00 Voorbereidende opgave We beschouwen het analoge signaal, t < f : R R; t t, t,, t >. Maak een grafiek van dit signaal. In de volgende deelvragen zullen we het signaal door verscheidene systemen sturen transformeren. Bepaal en teken telkens de uitgangen van deze systemen en bepaal of de uitgangen analoog, digitaal, continu of discreet zijn. a Verschuiving Bepaal D τ f voor τ,. b Tijdsschaling Bepaal T S a f voor a,. c Samenstellen van systemen Bepaal D τ T S a f en T S a D τ f voor τ en a. d Samplen Samplen van f geeft ons f. Sample f met samplepulsatie of samplehoekfrequentie ω s 4π. e Analoog aan de definitie voor continue signalen cfr. p. cursus, kan je ook een verschuivingsoperator D τ definiëren voor discrete signalen. τ kan in dit geval enkel gehele waarden aannemen. Leg uit waarom. Bereken D τ f voor τ. f Je kan ook een tijdsschalingsoperator T S a invoeren voor discrete signalen mits een lichte aanpassing van de definitie op p. van de cursus. Voor welke waarden van a uit deelvraag b kan je de operator toepassen op het signaal f? Bereken telkens de uitgang van dat systeem. De grafiek van het signaal f wordt gegeven door:

4 a We vinden dat D ft ft +, of dus:, t < D ft t +, t 0,, t > 0. Anderzijds is D ft f t, declaratief:, t < D ft t, t 3,, t > 3. Hierbij wordt het signaal dus een tijdseenheid versneld, respectievelijk een halve tijdseenheid vertraagd. Vermits de tijd een continue grootheid is, is dit een continu signaal; aangezien ook het codomein continu is, is de uitgang bovendien een analoog signaal. b Er geldt dat T S ft f T S ft, t < t, t,, t >. T S ft ft wordt gegeven door:, t < T S ft t, t,, t >. t, en dus gegeven wordt door: Hierbij wordt het signaal uitgerokken, respectievelijk ingekrompen met een factor. Net zoals in a is dit signaal zowel continu als analoog. Grafieken van de nieuwe signalen uit a en b zijn hieronder weergegeven. 3

5 c Er geldt dat D T S ft T S ft f t, en dus gegeven wordt door: D T S ft, t < t, t 3,, t > 3. T S D ft D f t f t wordt gegeven door: T S D ft, t < 0 t, 0 t 4,, t > 4. Ook hier is het signaal continu en analoog; het resultaat is te zien in onderstaande grafiek: d Er geldt: ω πf f ω π. Om de halve tijdseenheid zal dus de waarde van f aangenomen worden in dat punt:, n < n fn, n,, n >. Vermits het domein bestaat uit gehele getallen, is dit signaal discreet. De grafische voorstelling is hieronder gegeven: 4

6 e Indien τ niet geheel zou zijn, zou men ook een niet-gehele waarde voor n verkrijgen, wat in tegenspraak is met n Z. Nu geldt er dat D fn fn + :, n < 3 D fn n +, 3 n,, n >. Vermits het domein bestaat uit gehele getallen, is dit signaal discreet. De grafische voorstelling is hieronder gegeven: f a moet uiteraard geheel zijn, anders zal ook n niet langer geheel zijn. 5

7 Het kan dus enkel voor a, men krijgt dan:, n < T S fn n, n,, n >. Vermits het domein bestaat uit gehele getallen, is dit signaal discreet. De grafische voorstelling is hieronder gegeven: Voorbereidende opgave Een sinusoïdaal continue-tijd-signaal x 3T S 00 D π 6 cos wordt gestuurd door het kwadraterend systeem Kw : [R R] [R R] : x y, waarbij yt xt, t R. Toon aan dat de uitgang y bestaat uit de som van een sinusoïdale term en een constante term. Geef deze uitgang y. Expliciet wordt dit: xt 3 cos 00t + π 6. Kwadrateren levert dan: yt xt 9 cos 00t + π 6 Via de goniometrische gelijkheid cos x cosx + zich tot: yt xt cos 400t + π 3 herschrijft dit 6

8 Aldus vinden we ten slotte: y T S 400D π 3 cos Dit is inderdaad de som van een constante term en een sinusoïdale term. Opgave Beschouw het continue-tijd-signaal A T S α+iω exp met A, α, ω R >0. Geef het reële en het imaginaire deel van dit complexe signaal. Laten we dit signaal inwerken op de veranderlijke t: A T S α+iω expt A expαt + iωt We vinden dus: Re A T S α exp T S ω cos Im A T S α exp T S ω sin A expαt expiωt A expαt cosωt + i sinωt Opgave Beschouw het signaal 0, t < x : R Z; t, t 0, t > Indien τ, a en K, bepaal dan de uitgang y : R Z van de volgende systemen: a Cascade of Serieschakeling x D τ y T S a 7

9 b Parallelschakeling x D τ T S a + + y c Terugkoppeling Beschouw nu echter x, y : R R. x y K + In de figuren stelt het cirkeltje een sommatie- of een verschilblokje voor afhankelijk van de tekens aan de ingangen. Het driehoekje stelt een versterker voor. De uitgang ervan is de ingang vermenigvuldigd met de versterkingsfactor. a We vinden: yt T S a D τ x t D τ x at xat τ x Het expliciet functievoorschrift luidt: 0, t < y : R Z; t, t 6 0, t > 6 t b Stellen we x het signaal verkregen uit de bovenste tak, en x het signaal verkregen uit de onderste tak. Dan geldt: 0, t < 0, t < x : R Z; t, t 3 x : R Z; t, t 0, t > 3 0, t > 8

10 Nu geldt er: y x + x, of, expliciet: 0, t <, t < y : R Z; t, t, < t 3 0, t > 3 c We weten dat de ingang van de versterker x y is, en de uitgang ervan dus Kx y. Echter, dit laatste is ook gelijk aan y, aldus moet gelden: Kx y y y K K + x 3 x Het functievoorschrift is dus: 0, t < x : R R; t 3, t 0, t > Opgave 3 Beschouw het signaal x : R R: a Gegeven zijn de definities: D τ wt wt τ, w [R R], t R, τ R T S a wt wat, Teken het signaal z T S D 5 x. w [R R], t R, a R b Bepaal alle mogelijke koppels α, β R waarvoor het signaal y D α T S β x gelijk is aan z. 9

11 a We vinden: zt T S D 5 x t D 5 x t x t + 5 Aldus wordt de functie: b Bepalen we het algemeen voorschrift na inwerking van dit systeem: D α T S β x t T S β x t α xβt αβ Nu moet xβt αβ x t + 5, aldus is α, β 5,. Echter, de grafiek is ook symmetrisch. Aldus kunnen we ook dezelfde figuur bekomen zonder te spiegelen; in dit geval is β. Nu moet het maximum van z bereikt worden bij 0,75, aldus moet er gelden: z 3 4 x 34 α x 3 α x α α Een tweede koppel wordt dus gegeven door α, β,. Opgave 4 Gegeven zijn de discrete-tijd-signalen x en x, gedefinieerd door de onderstaande figuren en het feit dat ze buiten het gegeven interval identisch nul zijn. 0

12 Gevraagd: a Teken de autocorrelatiefuncties R e x en R e x. b Teken de kruiscorrelatiefuncties R e x,x en R e x,x. a De discrete correlatiefunctie wordt gegeven door: Aldus is: R e x R e x,y + m + m xm + nym x m+nx m 3 x m+nx m x +n+x +n+x 3+n m Dus wordt het voorschrift:, n of n Rx e, n of n : Z Z; n 3, n 0 0, elders En de grafiek: Analoog vinden we: R e x + x m+nx m x m+nx m x n x n+x n+ x n+ m m

13 Dus wordt het voorschrift:, n 3 of n 3, n of n Rx e : Z Z; n 3, n of n 4, n 0 0, elders De grafiek wordt gegeven door: b Men krijgt: R e x,x + m x m+nx m 3 x m+nx m x n x n+x n+ x n+ m Dus wordt het voorschrift:, n of n Rx e,x : Z Z; n, n of n 4 0, elders Met grafiek:

14 Analoog vinden we: R e x,x + m x m+nx m 3 x m+nx m x n++x n++x n+3 m Dus wordt het voorschrift:, n of n Rx e : Z Z; n, n 4 of n 0, elders De grafiek wordt gegeven door: Opgave 5 Gegeven is het volgende zwart-wit-beeld een tweedimensionaal signaal Geef een definitie voor verschuiving D τ, tijdsschaling T S a en bemonstering voor signalen met domein R. { f : R, y en x + y en x y > {0, } ; x, y 0, elders a Verschuiving Bepaal D τ f voor τ, en τ,. b Tijdsschaling Bepaal T S a f voor a,. c Bemonsteren Bemonster f met samplepulsatie ω s,x 4π volgens de x-as en ω s,y 8π volgens de y-as. a Een mogelijke definitie voor de verschuiving is: D τ : [R Y ] [R Y ]; w D τ w met D τ wx, y wx τ x, y τ y, w [R Y ], x, y R, τ R 3

15 We krijgen dan: { D,, y 0 en x + y en x y > 3 f fx+, y ; x, y 0, elders en D, f f x, y + {, y 3 ; x, y en x + y en x y > 0 0, elders b Een definitie is: T S a : [R Y ] [R Y ]; w T S a w met T S a wx, y wa x x, a y y, w [R Y ], x, y R, a R Men vindt dan: T S,f f x, y ; x, y {, y 0, elders en x + 4y en x 4y > c Een mogelijke definitie wordt gegeven door: B T : [R Y ] [Z Y ]; w wb T w met wk, l w kt x, lt y, w [R Y ], x, y R, T R Bepalen we nu eerst de samplefrequenties: ω πf f ω π f s,x en f s,y 4 Tekenen we aldus de grenzen van het gebied waar de functiewaarde van f is zie linksonder, en veranderen we nadien de ijk van de assen zodanig, dat er op de x-as tussen elke twee markeringen een extra markering komt zo verdubbelen de markeringen, en er op de y-as tussen elke twee markeringen drie extra markeringen komen zo verviervoudigen de markeringen. We krijgen dan het resultaat rechtsonder. 4

16 We dienen nu enkel nog aan te duiden welke koppels gehele getallen k, l tot het gebied behoren, dit is in de figuur linksonder weergegeven. De groene ronde schijven wijzen op een punt dat tot het gebied hoort, de rode asterisk tot een punt dat er niet tot behoort. Indien we ten slotte de grenzen van het gebied verwijderen, bekomen we de uiteindelijke figuur rechtsonder. Opgave 6 Gegeven zijn drie continue-tijd-systemen gekarakteriseerd door respectievelijk h, h en h 3, waarvan de functievoorschriften hieronder gegeven zijn. h t h t h 3 t, tx [, ] [3, 4], t [0, [ ], 3[ 0, elders, t [0, ], t ], 4] 0, elders, t [, 3], t [0, [ ]3, 4] 0, elders a Bepaal, voor elke i {,, 3}, een signaal x i waarvoor geldt dat: x i t R, t R, x i t 0, t [0, 4], x i t, t [0, 4], en de functiewaarde x i h i 4 zo groot mogelijk is. 5

17 b Bereken voor alle i, j {,, 3} met i j de waarden van x i h j 4. c Het systeem gekarakteriseerd door h i wordt de matched filter voor het signaal x i genoemd. Een matched filter wordt ook nog op een andere manier gedefinieerd: gegeven een continue-tijd-signaal x [R R] waarvoor geldt dat xt 0, t [0, T ]. Bepaal de functie h waarvoor geldt dat D T R e x,x h x. Deze functie h definieert een matched filter voor x. Matched filters worden o.a. toegepast in radartechnologie en digitale communicatie. a Brengen we de definitie van convolutie van reëelwaardige signalen in herinnering: x yt Aldus vinden we: x h xτyt τdτ x τh 4 τdτ x τh 4 τdτ x τh 4 τdτ + 0 x τh 4 τdτ + x τdτ + 4 x τh 4 τdτ 3 x τdτ x τh 4 τdτ 3 x τdτ x τdτ We zien nu gemakkelijk in dat x t, t [0, ] [, 3] en x t, t ], [ ]3, 4]. Merk aldus op dat x τ h t τ h 4 τ. Er geldt zelfs algemeen: x i t h i 4 t. b We vinden: x h x τh 4 τdτ x τh 4 τdτ h 4 τh 4 τdτ 6

18 Dit zal, gezien de voorschriften van de functies h i, steeds zo zijn. c Werken we het linkerlid uit: D T R e x,xt R e x,xt T + T Het rechterlid wordt gegeven door: h xt 0 + T 0 xτxτ t + T dτ xτ t + T xτdτ ht τxτdτ ht τxτdτ We zien dus dat xτ t + T ht τ ht xt t. We vinden aldus: h D T T S x. Extra opgave Vereenvoudig: t D π T S D π sint. a cost b cost c sint d sint Stellen we vooreerst: x sin, f D π sin en g T S D π sin T S f Dan vinden we: gt T S ft ft ft DS π xt x t + π sin t + π Aldus bekomen we: D π T S D π π sint D ft g t π f t π sin t π cost 7

19 Oefeningen 5 oktober 00 Voorbereidende opgave Gegeven is het continue reëelwaardige periodieke continue-tijd-signaal x dat voldoet aan de Dirichletvoorwaarden. De periode van x is 8. De Fourier-coëfficiënten van x die verschillend zijn van nul, zijn gegeven door a a en a 3 a 3 4i. Druk x uit in de volgende vorm: xt k0 A k cosω k t + φ k. We vinden: xt 4i exp 3i π8 t + exp i π8 t 4i cos 3 π8 t 4 sin 3 π8 t π π + cos 8 t + i sin 8 t + 4i cos π 3π 4 cos 4 t 8 sin 4 t π 3π 4 cos 4 t + 8 cos 4 t + π + exp i π8 t π + cos 8 t, t R + 4i exp 3i π8 t π i sin 8 t 3 π8 t 4 sin 3 π8 t Voorbereidende opgave [ De periodieke functie x : R R met periode T wordt over het interval T, T ] als volgt gedefinieerd: {, t T xt 0, T < t < T met T, T R >0. a Teken x. b Bepaal de Fourier-reeks van x. c Bepaal X0, waarbij X het spectrum van x is. 8

20 a We vinden, in het geval T 0 en T 5: b De Fourier-coëfficiënten worden gegeven door: c n T T T T T xt exp in π T exp in π T t T t dt dt Aldus krijgen we, gezien sin een oneven functie is: c 0 T T c n T T T T πn πn sin cos T [ sin n π T t n π T t n T π T Aldus wordt de Fourier-reeks: T n+ T + n n 0 πn sin dt ] tt t T, n 0 n T π T T S in π exp T 9

21 c Er geldt: Opgave X0 c 0 T T Gegeven is een continue-tijd-signaal u: π u : R R : t ut + sin 3 t π π + cos 3 5 t. a Wat is de fundamentele periode van dit signaal? b Bepaal de Fourier-reeks van u. c Verifieer je antwoord uit deelvraag b met behulp van de stelling van Parseval. a De periode van de sinus is p 6, terwijl de periode van de cosinus p 0 is. Aldus zal p kgvp, p 30 zijn. b We kunnen de sinus schrijven tot: π sin 3 t π 3 En op analoge manier de cosinus: π cos 5 t π exp i i 3 t π π exp i 3 3 t π 3 exp i π 3 t i exp exp i π 3 π t 3 i exp π 3 i exp i π exp i π 3 t exp exp i π 3 π t 3 i exp π 3 i exp i 5π 5 t exp exp i 5π 5 5π t 6 i exp 5π 6 i exp i π 5 t exp i 3π 5 t + exp i π 5 t + exp i 3π 5 t De constante term ten slotte geeft aanleiding tot X0. We krijgen dus, samenvattend: ut + exp i 3π + 5 t exp i 3π 5 t +exp 5π6 i exp i 5π 5π 5 t exp 6 i exp i 5π 5 t 0

22 c We vinden links in de stelling van Parseval: u tdt 4 + sin π t π + 4 cos π 3 5 t dt 4 + 5π 0π + 6π 3π 3. Terwijl de rechtse term wordt: + k Xk Inderdaad hetzelfde als hierboven. Opgave Bepaal voor de volgende spectra de bijhorende continue-tijd-signalen die continu zijn en voldoen aan de Dirichletvoorwaarden: a X : Z C; k Xk iδk iδk + + δk 3 + δk + 3. De bijhorende frequentie is ω 0 π. Teken de grafek van het spectrum X. b X : Z C; k Xk iδk iδk + + δk 3 + δk + 3. De bijhorende frequentie is ω 0 4π c X : Z C; k Xk 3 k. De bijhorende frequentie is ω0. a De grafieken van de amplitude en de fasehoek worden gegeven door:

23 We vinden nu: xt i expiω 0 t i exp iω 0 t + expi3ω 0 t + exp i3ω 0 t i i sinω 0 t + cos3ω 0 t cos6πt sinπt b Analoog als hierboven vinden we: xt i expiω 0 t i exp iω 0 t + expi3ω 0 t + exp i3ω 0 t i i sinω 0 t + cos3ω 0 t cosπt sin4πt c Er komt: xt + k 0 k + k0 3 k expikω 0 t 3 k expikt + 3 expit k + + k0 + k0 3 k expikt 3 expit k + 3 exp it expit cost i sint cost + i sint cos t + 3i sin t cos t 3i sin t 3 + cos t + sin t cos t 0 6 cos t cos t cos t Opgave 3 Over het continue-tijd-signaal x is het volgende geweten: a x is reëelwaardig en oneven, b de periode van x is en het spectrum van x wordt aangeduid met X, c Xk 0 voor k >, d 0 xt dt.

24 Bepaal twee verschillende continue-tijd-signalen die aan de bovenstaande eigenschappen voldoen. Uit a volgt dat X oneven is en zuiver imaginair. Aldus is X0 X0 0. Gecombineerd met c kunnen we zelfs stellen dat Xk 0 als k en k. Vermits uit b volgt dat p, zal ω 0 π. Uit d en de stelling van Parseval volgen bovendien dat X + X X X ± i Aldus worden de oorspronkelijke signalen gegeven door: xt ± i expiπt i exp iπt sinπt Opgave 4 Gegeven zijn de periodieke continue-tijd-signalen x en y, beide met periode T, en met respectievelijke spectra X en Y [Z C]. a Bewijs dat, indien voor alle t R geldt dat yt x t, er voor alle k Z geldt dat Y k X k. b Bewijs dat, indien voor alle t R geldt dat yt xt, er voor alle k Z geldt dat Y k X k. c Bewijs dat, indien voor alle t R geldt dat yt xt α, er voor alle k Z geldt dat Y k Xk exp ikω 0 α met ω 0 π T. a We vinden: Y k y, ϕ k yt exp ikω 0 tdt T T x t exp ikω 0 tdt T T x t exp i kω 0 tdt T T X k. 3

25 b We vinden: Y k y, ϕ k yt exp ikω 0 tdt T T xt exp ikω 0 tdt T T xtexp i kω 0 tdt T T xt exp i kω 0 tdt T T X k c We vinden: Y k y, ϕ k yt exp ikω 0 tdt T T xt α exp ikω 0 tdt T T Stellen we nu t t α, dan is dt dt, en komt er: Y k xt exp ikω 0 t + αdt T T xt exp ikω 0 t exp ikω 0 αdt T T exp ikω 0 α xt exp ikω 0 t dt T T Xk exp ik π T α Opgave 5 Gegeven zijn twee periodieke continue-tijd-signalen x en y, beide met periode T beide zijn continu en voldoen aan de Dirichletvoorwaarden. Veronderstel dat de spectra X van x en Y van y voldoen aan: Xk + 4Xk + Xk + Y k + Y k 0, k Z Geef het verband tussen x en y. 4

26 Gebruikmakend van de eigenschappen gevonden in vraag 4 deel a en deel c, vinden we: Xk + 4Xk + Xk + Y k + Y k 0 xt exp i π T t 4 + exp i π T t yt + y t π xt cos T t 4 yt + y t Opgave 6 xt yt + y t cos π T t Over een continu continue-tijd-signaal x is het volgende geweten: a x is periodiek met periode 6, het spectrum van x is X, b x is reëelwaardig, c Xk 0 voor k >, d xt xt 3, t R. e xt dt. Bepaal alle signalen x die voldoen aan de bovenstaande eigenschappen. Uit a volgt dat ω 0 π 3. b impliceert dat Xk X k, gecombineerd met c is dus Xk 0 voor k < of k >. Drukken we nu d uit voor het spectrum, gebruikmakend van opgave 4, deel c: xt xt 3 Xk Xk exp kπi Invullen van k levert dat X X 0; invullen van k levert dat X X 0, en invullen van k 0 ten slotte levert dat X0 X0 0. Aldus verschillen enkel X en X van nul, en zijn ze aan mekaar gerelateerd volgens X X. Gebruiken we nu de laatste eigenschap, de stelling van Parseval: X + X X + X X X We krijgen dus iets van de vorm: X X exp iφ φ willekeurig 5

27 De signalen worden dan gegeven door: xt exp iφ exp i π 3 t + expiφ exp i π 3 t π i exp 3 t + φ + π exp i 3 t + φ π cos 3 t + φ Extra opgave De Fouriercoëfficiënten van de periodieke functie x worden gegeven door: {, k 0 Xk i k, k Z\{0} De afgeleide van x, genoteerd ẋ, is: a even en reëel b oneven en reëel c even en niet reëel d oneven en niet reëel Construeren we de functie x: xt + k Xk expikω 0 t Afleiden hiervan naar de tijd levert: ẋt + k Xkikω 0 expikω 0 t Aldus worden de Fouriercoëfficiënten van ẋ, genoteerd X, gegeven door: {, k 0 Xk kω k 0, k Z\{0} We zien aldus dat X oneven en reëel is; aldus is ẋ oneven, maar niet reëel. 6

28 3 Oefeningen oktober 00 Voorbereidende opgave Gegeven zijn de Fourier-coëffiënten X0 en X van een discrete-tijd-signaal x met periode. Wat zijn de Fourier-coëfficiënten van x als we dit signaal zouden opvatten als een signaal met periode 0? We kunnen x schrijven als: xt X0 exp i0πt + X exp iπt X0 exp 0π5 t + X exp i 5π5 t We lezen dus meteen af dat X0 X0, X5 X en dat Xk 0 als k {,, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. Voorbereidende opgave Toon aan dat het systeem met ingang u : R R en uitgang y : R R, beschreven door y D 5 u D 3 T S u, lineair en niet causaal is. Bepalen we y expliciet: yt D 5 ut D 3 T S ut ut 5 T S ut 3 ut 5 u3 t. Stellen we nu y t u t 5 u 3 t, t R, en y t u t 5 u 3 t, t R. Bepalen we dan de uitgang van αu + βu, α, β R: y D 5 αu + βu D 3 T S αu + βu αd 5 u + βd 5 u αd 3 T S u βd 3 T S u α D 5 u D 3 T S u + β D 5 u D 3 T S u αy + βy. 7

29 Waarbij van de eerste naar de tweede lijn de lineariteit van de systemen D τ en T S a gebruikt is, en waaruit dus de lineariteit van dit systeem volgt. Gaan we nu de causaliteit na, er geldt: yt ut 5 u3 t, t R Voor t wordt dit bijvoorbeeld: y u 4 u Waarbij de uitgang dus afhankelijk is van een later tijdstip. Aldus is het systeem niet causaal. Opgave Bepaal van de twee onderstaande signalen de fundamentele periode en de Fourierreeks, telkens wanneer dit mogelijk is. a x : Z C : n expπin b x : Z C : n cos πn. a Stel p N, dan moet gelden: expiπn + p expiπn expiπn expiπp expiπnp expiπn expiπp πp kπ, k Z p k, k Z De kleinste p die hieraan voldoet, is p, de fundamentele periode. We vinden als spectrum: Xk n0 expiπn exp i π kn + expiπ exp iπk + expiπ k We vinden aldus: { 0, k 0 Xk, k 8

30 De gezochte Fourierreeks is dus: expiπn. b Stellen we opnieuw dat p N de periode is, dan moet gelden: cos πn + p cos πn πp kπ, k Z p k, k Z Hieruit volgt dat p N, aldus is x niet periodiek. Opgave Gegeven is het discrete-tijd-signaal x : {0,,, 3} C met x0 x 0, x x3. a Bepaal de complexe Fouriercoëfficiënten van x. b Beschouw nu het orthonormale stel {ϕ 0, ϕ, ϕ, ϕ 3 } met ϕ k gedefinieerd door formule.7 uit de cursus. Bepaal voor iedere ϕ k de fundamentele periode met k {0,,, 3}. c Teken voor iedere ϕ k met k {0,,, 3} de functiewaarden ϕ k n in het complexe vlak. Doe dit ook voor ϕ. Wat merk je op? d Bereken ϕ k n + ϕ k n, n, k Z en controleer je resultaat met de figuren bekomen in het vorige puntje. a Vermits de periode p 4, wordt het spectrum bepaald als: Xk 4 3 xn exp iω 0 kn n0 4 exp iω 0k + exp iω 0 3k exp iπk + exp i 3π 4 k k + i k 4 En dus wordt het spectrum gegeven door:, k 0 Xk 4 i, k 0, k 4 + i, k 3 9

31 b Voor p 4 geldt er : ϕ k n exp ik πp n exp ik π n Aldus is de fundamentele periode van ϕ 0, van ϕ 4, van ϕ en van ϕ 3 4. c Schrijven we deze functies eerst uit: ϕ 0 n exp0 ϕ n exp i π n ϕ n exp i π n ϕ 3 n exp i 3π n Er geldt dan: n ϕ ϕ 0 ϕ ϕ ϕ 3 0 i i i 3 i i i We merken op dat ϕ en ϕ 3 samenvallen. d Er geldt: ϕ k n + ϕ k n exp in + π exp in π k exp in π exp i k π k exp i π k Samengevat komt er: 0, k 0 ϕ k n + ϕ k n, k of k 3, k Dit stemt overeen met de afstand in het complexe vlak tussen opeenvolgende punten van deze functies. 30

32 Opgave 3 Over het periodieke discrete-tijd-signaal x is het volgende geweten: a x is reëelwaardig en even, b de periode van x is gelijk aan 0, het spectrum van x is X, c X 5, d 0 9 n0 xn 50. Toon aan dat xn kan geschreven worden als A cosbn + C en bepaal de reële getallen A, B en C. Uit a volgt dat ook X even en reëel is, aldus is, gebruikmakend van b en c, X X9 X 5. Uit puntje d geldt volgens de stelling van Parseval: 9 Xk n0 Aldus komt er: 8 Xk + X + X9 n0 n 8 Xk 0 n0 n Of nog: Xk { 5, k {, 9} 0, k {0,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Aldus wordt xn gegeven door: xn 9 k0 Xk exp ik π 5 n 5 exp i π 5 n + 5 exp i 9π5 n 5 exp i π 5 n + 5 exp i π 5 n π 0 cos 5 n 8 Xk n0 n 3

33 Opgave 4 Gegeven is het LTI continue-tijd-systeem met impulsantwoord h rect, gedefinieerd als volgt: rectt, t [, ], rectt 0, elders a Bepaal de uitgang van dit systeem die hoort bij de ingang u rect. b Bepaal de uitgang van dit systeem die hoort bij de ingang u T S rect. a We vinden: Sut h ut hτut τdτ rectτrectt τdτ rectt τdτ Voeren we nu de substitutie door: τ t τ, dan is dτ dτ, en komt er: Sut + t+ t rectt τdτ rectτ dτ Indien nu enerzijds de bovengrens kleiner is dan, dus t + < t <, of anderzijds de ondergrens groter is dan, dus t > t >, dan wordt enkel geïntegreerd over een gebied waar rect 0 is. Indien < t <, dan wordt de integraal die kan gezien worden als gedeelde oppervlakte van twee rechthoeken, een vaste rechthoek tussen en, en een andere, variabele rechthoek tussen t en t + : t. Aldus komt er: { 0, t [, ] Sut t, t [, ] 3

34 b Analoog vinden we: Sut h ut hτu t τ dτ rectτrect rect t τ t τ dτ dτ Voeren we nu de substitutie door: τ t τ, dan is dτ dτ, en komt er: Sut + t+ 4 t 4 rect t τ dτ rectτ dτ Indien nu enerzijds de bovengrens kleiner is dan, dus t + 4 < t < 3, of anderzijds de ondergrens groter is dan, dus t 4 > t > 3, dan wordt enkel geïntegreerd over een gebied waar rect 0 is. Indien 3 < t < 3, dan kan de integraal gezien worden als het dubbele van de gedeelde oppervlakte van twee rechthoeken, een vaste rechthoek tussen en, en een andere, variabele rechthoek tussen t 4 en t + 4. Aldus komt er: 0, t [ 3, 3 Sut, t [, ] ] 3 t, t [ 3, [ ], 3 Een grafiek van beide uitgangen is hieronder weergegeven. ] 33

35 Opgave 5 De uitgang y van een continue-tijd-systeem hangt af van de ingang u als volgt: yt t exp t + τuτ dτ, t R a Toon aan dat het systeem lineair is. b Toon aan dat het systeem tijdsinvariant is. c Geef het impulsantwoord h. Is het systeem BIBO-stabiel? d Bereken en schets de uitgang voor de volgende ingang: { 0, als t [, ] ut, als t [, ] a Stel dat y Su en y Su, dan geldt voor alle α, β R met u αu + βu : Su α t t t exp t + τuτ dτ exp t + τ αu τ + βu τ dτ αy t + βy t Aldus is het systeem lineair. t exp t + τu τ dτ + β exp t + τu τ dτ b Stel dat y Su en u D T u, T R. Dan geldt er: Su t t exp t + τuτ dτ exp t + τu τ T dτ 34

36 Stel nu τ τ T, dan is dτ dτ en komt er: Su t t T t T y t T exp t + τu τ T dτ exp t + τ + T u τ dτ exp t T + τ u τ dτ Aldus is het systeem ook tijdsinvariant. c Stellen we u δ, dan komt er: ht t We weten nu dat er geldt: a+ε a ε exp t + τδτ dτ δt aφtdt φa Proberen we nu de bovenste integraal om te vormen tot een integraal zoals bovenstaande. Stel daartoe τ τ t, dan is dτ dτ en er komt: ht 0 expτ δτ tdτ Gebruikmakend van de bovenstaande eigenschap vinden we dat, indien a t < 0 t >, ht exp t, terwijl ht 0 als t : { exp t, t > ht 0, t Gaan we dan BIBO-stabiliteit na, aan de hand van het criterium voor het impulsantwoord: + ht dt + Zodoende is het systeem BIBO-stabiel. d Er komt: yt h ut + exp t 0 < + ht τuτdτ ht τdτ 35

37 Voeren we nu de substitutie τ t τ door, met dτ dτ : yt t+ t ht τdτ hτ dτ We weten nu dat h gegeven wordt door: { exp t, t > ht 0, t Indien de bovengrens van de integraal nu kleiner is dan, of dus t + < t <, dan valt het integratiegebied binnen het gebied waar h nul is. Zij de ondergrens van de integraal groter dan, of dus t > t > 4, dan is ht exp t en komt er: yt t+ t exp τdτ exp t exp t+ exp4 t exp t Indien nu t 4, dan is h nul voor het gebied waar t <, en exp t elders. Aldus komt er: yt t+ exp τdτ exp t exp exp t Samenvattend krijgen we dus: 0, als t < yt exp t, als t 4 exp4 t exp t, als t > 4 We kunnen dit grafisch als volgt voorstellen: 36

38 Extra opgave Beschouw het volgend systeem: S : [R R] [R R] u y y T S u u Er geldt dan dat S: a lineair en tijdsinvariant is b tijdsinvariant maar niet lineair is c lineair maar niet tijdsinvariant is d lineair noch tijdsinvariant is. Stellen we y Su en y Su, en zij α, β R, dan geldt er: yt + αu τ + βu ταu t τ + βu t τdτ We zien hier dat er meer termen zijn dan er in het geval αy t + βy t zouden zijn. Aldus is het systeem niet lineair. Gaan we nu de tijdsinvariantie na. Zij daarvoor y Su, en u D T u met T R. Dan geldt er: yt + + uτut τdτ u τ T u t τ T dτ Stellen we nu τ τ T, dan is dτ dτ, en er geldt: yt y t T u τ T u t τ T dτ u τ u t τ T dτ u τ u t T τ Aldus is het systeem wel tijdsinvariant. Het correcte antwoord is dus optie c. 37

39 4 Oefeningen 9 oktober 00 Voorbereidende opgave Beschouw een LTI continue-tijd-systeem met als impulsantwoord ht δt + δt, t R waarbij δ de Dirac-deltafunctie is. a Bepaal een eenvoudige vergelijking die de relatie tussen de ingang u en de uitgang y van het systeem uitdrukt. b Bepaal het frequentieantwoord van het systeem. c Bereken de uitgang y bij ingang ut expiωt, t R, gebruikmakend van a enerzijds en b anderzijds. a Er geldt: yt h ut b We vinden: Hω uτht τdτ uτδt τ dτ + uτδτ t + dτ + uτδτ t dτ + ut + ut, t R c We vinden + + hτ exp iωτdτ δτ exp iωτdτ + uτδt τ dτ uτδτ t + dτ uτδτ t dτ + exp iω + exp iω, ω R δτ exp iωτdτ yt expiωt +expiωt expiωt exp iω + exp iω, t R 38

40 Voorbereidende opgave Onderstel dat het frequentieantwoord van een LTI discrete-tijd-systeem S gegeven is door Hω sinω, ω R. Onderstel dat de ingang u gegeven is door un, n Z. Bepaal de uitdrukking voor de uitgang y Su. We kunnen u herschrijven: un expiωn met ω 0 Aldus kan de uitgang als volgt gevonden worden: yn H0un 0, n Z Opgave Beschouw een LTI systeem in continue tijd met een frequentieantwoord H : R C : ω Hω dat voldoet aan: { expiω, als ω < 4; ω R, Hω 0, als ω > 4. a Bepaal voor dit systeem de uitgang indien de ingang gegeven wordt door π u : R C : t ut : + cosπt + expiπt + cos 3 t. b Bepaal voor dit systeem de uitgang wanneer de ingang gegeven wordt door π u : R C : t ut 3 sin 5 t π. Maak nu expliciet gebruik van fasornotatie complexe voorstelling. a We weten dat yt Hkω 0 uk indien de ingang u kan geschreven worden als een som van exponentiëlen. Dit is hier het geval: ut expi0t+ expiπt+ exp iπt+expπt+ exp i π 3 t + exp i π 3 t 39

41 Met elk van deze exponentiëlen correspondeert nu een voorfactor Hω, deze is voor allen expiω, behalve voor ω π, waarvoor Hω 0. Bepalen we nu dus de uitgang, gebruikmakend van yt Hkω 0 uk : yt Hkω 0 uk expi0 expi0t + expiπ expiπt + exp iπ exp iπt + 0. expπt + exp i π exp i π 3 3 t + exp i π exp i π 3 3 t expiπt exp iπt + exp i π 3 t + + exp i π 3 t + π cosπt + cos 3 t + b Schrijven de de ingang als een cosinus: π π ut 3 sin 5 t π 3 cos π 5 t + π π 3 cos 5 t 3 π Aldus kunnen we rechtstreeks overschakelen naar fasornotatie: U A expiϕ 3 exp i 3 π Aldus wordt de fasornotatie van de uitgang gegeven door: Y HωU exp i π 3 exp i 3 5 π 3 exp i 3 0 π Hieruit kunnen we dus de uitgang bepalen: yt Re Y exp i π π 5 t 3 cos 5 t 3 0 π Opgave π 3 cos 5 t π Bepaal het frequentieantwoord H f en de overdrachtsfunctie H o van de volgende differentiaalvergelijkingen: a ẏ u y b ẏ u + y c ÿ + 5ẏ + y... u + 7u a Leggen we de ingang expiωt aan, dan is yt H f ω expiωt, en dus: iωh f ω expiωt expiωt H f ω expiωt H f ω + iω 40

42 Stellen we nu de ingang expst, dan is yt H o s expst, en dus: sh o s expst expst H o s expst H o s + s b Leggen we de ingang expiωt aan, dan is yt H f ω expiωt, en dus: iωh f ω expiωt expiωt + H f ω expiωt H f ω iω Stellen we nu de ingang expst, dan is yt H o s expst, en dus: sh o s expst expst + H o s expst H o s s c Leggen we de ingang expiωt aan, dan is yt H f ω expiωt, en dus: iω H f ω expiωt+5iωh f ω expiωt+h f ω expiωt iω 3 expiωt+7 expiωt H f ω 7 iω 3 + 5iω ω Stellen we nu de ingang expst, dan is yt H o s expst, en dus: s H o s expst+5sh o s expst+h o s expst s 3 expst+7 expst Opgave 3 H o s 7 + s3 + 5s + s Bepaal het frequentieantwoord H f van de volgende differentievergelijkingen en leid ook telkens de overdrachtsfunctie H o af: a y D k u, b y 3u + D y k N c 4D y + y D 5 u 9D 3 u + D u 6u a Leggen we de ingang expiωn aan, dan is yn H f ω expiωn, en dus: H f ω expiωn expiωn k H f ω exp iωk, ω R 4

43 Stellen we nu de ingang z n, dan is yn H o zz n, en dus: H o zz n z n k H o z z k, z C \ {0} b Leggen we de ingang expiωn aan, dan is yn H f ω expiωn, en dus: H f ω expiωn 3 expiωn + H f ω expiωn H f ω 3, ω R \ {kπ k Z} exp iω Stellen we nu de ingang z n, dan is yn H o zz n, en dus: H o zz n 3z n + H o zz n H o z 3, z C \ {} + z c Leggen we de ingang expiωn aan, dan is yn H f ω expiωn, en dus: 4H f ω expiωn + H f ω expiωn expiωn 5 9 expiωn 3 + expiωn 6 expiωn H f ω 6 + exp iω 9 exp 3iω + exp 5iω, ω R + 4 exp iω Stellen we nu de ingang z n, dan is yn H o zz n, en dus: 4H o zz n + H o zz n z n 5 9z n 3 + z n 6z n H o z 6 + z 9z 3 + z 5 + 4z, z C \ { i, i} Opgave 4 Beschouw een LTI systeem in discrete tijd met frequentieantwoord H : R C met Hω ω, ω [ π, π] Merk op dat het frequentieantwoord volledig bepaald wordt door deze uitdrukkin, aangezien het frequentieantwoord van een systeem in discrete tijd periodiek is met periode π. Bepaal voor dit systeem de uitgang indien de ingang u : Z R gegeven wordt door: a un cos π n voor alle n Z b un 5 voor alle n Z c un n voor alle n Z 4

44 a We weten dat yn Hkωun als u een som van exponentiëlen is. Nu geldt er: π un cos n i exp π n + i exp π n Aldus komt er: yn π exp i π n + π exp i π n π π cos n b Ook hier schrijven we u als een som van exponentiëlen is. Nu geldt er: un 5 5 exp i0n Aldus komt er: yn 0.5 exp i0n 0 c En opnieuw: un n exp iπn Aldus komt er: yn π exp iπn π n Opgave 5 Gegeven zijn twee IIR-filters, bepaald door hun differentievergelijkingen: y + D 3 y u, y D 3 y u + D u a Bepalen we de overdrachtsfunctie, en leggen we dus de ingang un z n aan: Hzz n + Hzz n 3 z n Hz Een canonieke realisatie kan hieruit afgeleid worden: 43 + z 3 z C \ {z z 3 }

45 u + D D D y Schrijven we dit nu als product van ten hoogste tweedegraadstermen om zo een cascade te realiseren: Hz Dit levert + z 3 + z z + z u + D + y + D D Om de parallelrealisatie te vinden zullen we moeten splitsen in partieelbreuken. Dit levert: Hz + z z + z z + z 44

46 Dit geeft ons dan: u y + D / D D /3 /3 + b Bepalen we de overdrachtsfunctie, en leggen we dus de ingang un z n aan: Hzz n Hzz n 3 z n +z n Hz + z z 3 z C\{z z 3 } Een canonieke realisatie kan hieruit afgeleid worden: u + D y + D D Schrijven we dit nu als product van ten hoogste tweedegraadstermen om zo een cascade te realiseren: Hz + z + z z 3 z + z + z 45

47 Dit levert u y D D + D Om de parallelrealisatie te vinden zullen we moeten splitsen in partieelbreuken. Dit levert: Hz + z z z z + z + z Dit geeft ons dan: u + D /3 y D D /3 /3 + 46

48 Opgave 6 Een discrete-tijd-signaal u, periodiek met periode 4, wordt aangelegd aan een LTI discrete-tijd-systeem met frequentieantwoord H : R R : ω Hω cosω + cosω. De bijbehorende uitgang y wordt gegeven door yn n sin n π, n Z Bepaal het signaal u. Schrijven we eerst het frequentieantwoord als een som van exponentiëlen: Hkω 0 coskω 0 + coskω 0 expikω 0 + exp ikω 0 + expikω 0 + exp ikω 0 Doen we nu hetzelfde met de uitgang y yn n sin n π exp 0i π n exp i π n + i exp i π n exp 0i π n exp i π π n + exp i exp i π n exp 0i π n + exp i π n + exp i π n exp i exp i π n π exp i 3i π n exp 3i π n De uitgang bestaat dus uit vier termen, waarvan de frequentie telkens kω 0 is, met k 0,,, 3 in deze volgorde. De ingang u, als periodieke functie, kan ook geschreven worden als exponentiëlen, waarvan de hoekfrequentie overeenstemt met de hoekfrequentie van de uitgang. Bijvoorbeeld, voor k 0 is H0 3, yn en dus xn 3, vermits er geldt dat yk Hkω 0 xk. Analoog vinden we: k : Hω 0 H π en yn exp i π n +, en dus xn exp i π n + k : Hω 0 H π en yn exp i π n, en dus xn exp i π n k 3: H3ω 0 H 3π en yn exp 3i π n, en dus xn exp 3i π n 47

49 Aldus komt er: xn 3 exp i π n + + exp i π n 3 + n exp i π exp i π n + exp + exp 3i π n i π 3 + n + i exp i π n i exp i π n 3 + n + sin π n, n Z exp i π n Opgave 7 Bepaal het frequentieantwoord van het volgende geïnterconnecteerde systeem: S u + S + S 3 + y S 4 S 5 De subsystemen worden beschreven door de volgende differentiaalvergelijkingen: S : ẏ + y u, S : ẏ u, S 3 : y u, S 4 : ẏ u, S 5 : y u. 48

50 Tekenen we het systeem opnieuw, met invoering van extra variabelen: S a a a u + S b + S 3 c + y d e d S 4 e S 5 Er geldt dan, met behulp van de frequentieantwoorden: y a + c S u + S 3 a + b + e S u + S 3 S u + S u + d + S 5 y S u + S 3 S u + S u + S 4 e + S 5 y S u + S 3 S u + S u + S 4 S 5 y + S 5 y Hωu H ωu + H 3 ω H ωu + H ω u + H 4 ωh 5 ωhωu + H 5 ωhωu Herwerken en delen door u levert: Hω H 3 ωh ωh 4 ωh 5 ωhω H 3 ωh 5 ωhω H ω + H 3 ωh ω + H ω Hω H ω + H 3 ω + H 3 ωh ω H 3 ωh 5 ωh ωh 4 ω + Nu is: H ω + iω H ω iω H 3 ω iω H 4 ω iω H 5 ω iω Substitutie hiervan in de bovenstaande vergelijking levert: Hω ω 49

51 5 Oefeningen 5 november 00 Voorbereidende opgave a Gegeven W R >0. Schets de functie f : R R : t ft HW t en bepaal de Fouriergetransformeerde F van f. b Bepaal de energie van het volgende continue-tijd-signaal: { 0, t 0 x : R R; t sin t t, t > 0. a De grafiek van deze functie wordt, voor W, gegeven door: Nu komt er: F ω + W W W 0 HW t exp iωtdt cos ωt i sin ωtdt cos ωtdt ] W [ sin ωt ω 0 sin ωw ω W sinc ωw b De energie wordt als volgt bepaald: E x ft dt sin t t dt 50

52 Deze integraal is echter niet gemakkelijk uit te rekenen, waardoor we dus op de Fouriergetransformeerde van f willen overgaan. Hiervoor merken we op dat er in a geldt: t HW t ω W sinc ωw Via dualiteit geldt er dan ook: t W sinc tw ω πhw ω Stellen we W en delen we door, dan komt er dus: t sin t t ω πh ω De Fouriergetransformeerde van sin t t is aldus πh ω. Bepalen we dan nu de energie van dit signaal: E x, π pi π + dω πh ω dω We merken hierbij op dat f maar verschillend is van nul voor t > 0. Bovendien is de functie sinc t even, aldus zal de energie van tot + het dubbele zijn van de energie bevat in het signaal van 0 tot +. De gezochte energie is dus de helft van E x, : E x π. Voorbereidende opgave Gegeven is een signaal u: π t ut + sin 3 t π π + cos 3 5 t, t R Bepaal de CTFT van u. Er komt meteen: F ω π + sin 3 t π π + cos 3 5 t exp iωtdt exp iωtdt + + π cos 5 t exp iωtdt 5 π sin 3 t π exp iωtdt 3

53 En dus: F ω 4πδω + i i exp exp + exp i π 3 t exp iωtdt i π 3 t exp iωtdt i π 5 t exp iωtdt + + i 4πδω + i exp i π + exp 3 i exp i π + exp i ω + π exp i ω π t dt πδω + i exp i π πδ ω π 3 3 +πδ ω π + πδ ω + π 5 5 4πδω + π exp i 5π δ ω π 6 3 +πδ ω π + πδ ω + π 5 5 exp i π 5 t exp iωtdt ω π 3 t dt t dt exp i ω + π t dt 5 i exp i π 3 π exp i 5π 6, ω R πδ ω + π 3 δ ω + π 3 Opgave Beschouw een LTI systeem in continue tijd met een frequentieantwoord H : R C : ω Hω dat voldoet aan: { expiω, als ω 4; ω R, Hω 0, als ω > 4. Bepaal voor dit systeem de uitgang indien de ingang gegeven wordt door π u : R C : t ut : + cosπt + expiπt + cos 3 t. Maak gebruik van de Fouriertransformatie CTFT. Schrijven we de ingang als een som van exponentiëlen: ut expi0t+ expiπt+ exp iπt+expπt+ exp i π 3 t + exp i π 3 t 5

54 Er geldt nu dat: t expiat ω πδω a En bovendien dat Hωδω a Haδω a. Dit geeft dan, toegepast op u: Yω HωUω πδω + π expiπδω π + π exp iπδω + π + 0 +π exp i π δ ω π + π exp i π δ ω + π πδω πδω π πδω + π + 0 +π exp i π δ ω π + π exp i π δ ω + π Passen we nu de inverse Fouriertransformatie toe op Yω om y te bekomen: yt expiπt + exp iπt + + π exp i 3 + π 3 t cosπt + cos π 3 t + π 3, t R π exp i 3 + π 3 t Opgave Gegeven is een LTI systeem met impulsantwoord h: t ht exp atht, t R, a > 0 en het ingangssignaal u: t ut exp btht, t R, b > 0 a Bepaal het frequentieantwoord van het systeem. b Bepaal de CTFT van het ingangssignaal. c Beschouw het geval a b. Bepaal het uitgangssignaal dat hoort bij u, zonder de convolutie-integraal h u te berekenen. Maak hiertoe gebruik van je antwoorden op de vorige twee deelvragen. 53

55 a We vinden: Hω iω + a ht exp iωtdt exp a + iωtdt b Analoog met b a geldt er: Uω iω + b c We weten dat: Yω HωUω iω + aiω + b /b a /a b + a + iω b + iω Dit laatste kunnen we gemakkelijk inverteren, gegeven de Fouriergetransformeerden uit a en b: yt Ht exp at exp bt, b a t R Opgave 3 De uitgang y van een BIBO-stabiel causaal LTI systeem is gerelateerd aan de ingang u via de vergelijking dy t + 0yt dt + uτzt τdτ ut, t R waarbij zt exp tht + 3δt, t R. a Bepaal het frequentieantwoord H van dit systeem. b Bepaal het impulsantwoord h van dit systeem. 54

56 a De convolutie-integraal indachtig, gaan we over naar de Fouriergetransformeerden van u, y en z. Er geldt immers dat u z UZ en Y HU. Nu vinden we, aangezien er geldt: t δt ω en gebruikmakend van opgave, dat: Zω iω De gegeven vergelijking herschrijft zich dan tot: iωhωuω + 0HωUω ZωUω Uω Hωiω + 0 Zω Hωiω + 0 iω Hω iω iω0 + iω, ω R b Om hieruit het impulsantwoord te halen moeten we de inverse Fouriertransformatie uitvoeren. We zullen hiertoe het frequentieantwoord dienen te herschrijven in een gekendere vorm: iω + 3 Hω + iω0 + iω + iω + 0 iω + iω /9 iω + /9 iω iω iω + We zien dat dit opnieuw de Fouriergetransformeerden zijn van opgave a; de inverse wordt dus gegeven door: 7 ht 9 exp 0t + 9 exp t Ht, t R Opgave 4 Gegeven zijn de continue-tijd-signalen u, v, w en x, allen Fouriertransformeerbaar. De functies w en x zijn gedefinieerd als volgt: w : R R : t u3t 55

57 x : R R : t v3t Eveneens gegeven is dat y u v en g w x Toon aan, met behulp van de eigenschappen van de Fouriertransformatie, dat gt AyBt, t R, en bepaal de waarden van A en B. We vinden meteen: Wω ω 3 U 3 X ω ω 3 V 3 Yω UωVω Gω WωX ω Aldus geldt er: Aldus is Gω WωX ω ω ω 3 U 3 3 V 3 ω 9 Y 3 gt 3 y3t Opgave 5 Een causaal BIBO-stabiel LT discrete-tijd-systeem S heeft de eigenschap dat 4 n 4 n S n Hn n n Hn. 5 5 a Bepaal het frequentieantwoord H van het systeem S. Hint: bewijs eerst dat n inxn ω dxω dω, met X DT F T x. b Stel een differentievergelijking op die een ingang u relateert aan de overeenkomstige uitgang y. 56

58 a Indien x fouriertransformeerbaar is, geldt er: Xω X ω + n + n xn exp iωn X ω F[ inxn]ω Nu vinden we hier: Yω i + n + n n ix ω inxn exp iωn 4 n Hn exp iωn 5 4 n in Hn exp iωn 5 We zullen aldus X ω en X ω dienen te bepalen: X ω + n + n0 4 n Hn exp iωn exp iω 4 5 exp iω exp iω n En dus: X ω 5 4i exp iω 5 4 exp iω 0i exp iω 5 4 exp iω Yω ix ω 0 exp iω 5 4 exp iω 57

59 Nu is bovendien Yω HωX ω, en dus: Hω Yω X ω 0 exp iω 5 4 exp iω exp iω 4 exp iω 5 4 exp iω, ω R b Een differentievoorstelling wordt dan meteen gevonden: 5y 4Dy 4Dx Opgave 6 Gegeven is het signaal { exp t, t 0 x : R R : t 0, t < 0 Bepaal ω 0 waarvoor geldt dat het frequentie-interval [ ω 0, ω 0 ] de helft van de totale energie van x bevat. Zoeken we eerst de totale energie van x: E tot xt dt exp tdt Om de het frequentie-interval te vinden dat een energie van /4 bevat, zullen we moeten overgaan op de Fouriergetransformeerde van deze functie. Deze wordt, zoals in opgave berekend, gegeven door: X ω + iω, ω R 58

60 Er komt dan: E x [ ω 0, ω 0 ] 4 ω0 π π ω 0 ω0 + iω ω 0 + ω dω π [arctan ω]ω 0 ω 0 π [arctan ω]ω 0 0 π arctan ω 0 ω 0 tan π 4 dω Opgave 7 Bepaal de Fouriergetransformeerde van x : R R : t xt sin t π t Je kan hiertoe gebruikmaken van de eigenschappen van de Fouriertransformatie en van je resultaten uit de basiskennisoefeningen van deze reeks. Er geldt: xt sin t sinc t π π Stellen we nu at sin t π en bt sinc t π En maken we gebruik van het feit dat: t xtyt ω X ω Yω π Nu werd in de voorbereidende opgave b bepaald dat: bt sinc t π Bω H ω 59

61 En geldt er: at sin t π Aldus komt er: Aω iδω + iδω + X ω Aω Bω π + iδω τ + iδω + τh τ dτ π iπ δω τ iδω + τdτ Stellen we nu τ τ + ω, dan is dτ dτ en komt er: En dus: X ω iπ ω+ ω δτ iδτ + dτ Hω Hω Hω + + Hω iπ Hω Hω Hω + iπ X H D H D H iπ 60

62 6 Oefeningen 6 november 00 Voorbereidende opgave Beschouw het signaal x : R R : t cosπt en de onderstaande figuur. x Sampler ynx n π ωs y Impulsgenerator wt k ykδ t k π ωs w Hω ˆx a Teken het met ω s 3π gesamplede signaal y : Z R. b Teken de met zero-order hold en first-order hold gereconstrueerde signalen. c Teken X CT F T x en W CT F T w, waarbij w : R R gevormd wordt door y door de impulsgenerator te sturen. d Het signaal w wordt door een ideale laagdoorlaatfilter gestuurd, de bijbehorende uitgang noemen we ˆx. De filter is gedefinieerd door het frequentieantwoord H: { π Hω ω s ; ω < 5π, 0, elders Wat zie je als je de reconstructie ˆx : R R vergelijkt met x? a Met ω s 3π komt er: 4 yn x 3 n cos 3 πn, n Z En bijbehorende grafiek: 6

63 b De zero-order hold en first-order hold worden hieronder weergegeven: c Er komt: X CT F T x π D π δ + D π δ Nu geldt er: wt + k ykδ t 3 k + k Dit is een kamfunctie, met Fouriergetransformeerde: 4 cos 3 πk δ t 3 k, t R W CT F T w 3 + k D 3πk X 3π + k D 3k+π δ + D 3k π δ Beide Fouriergetransformeerden zijn hieronder weergegeven: 6

64 d Sturen we W door de filter; dan komen enkel de frequenties ω {±π, ±π} door deze filter, versterkt met een factor /3; de Fouriergetranformeerde van de reconstructie is dan: En dus: ˆX CT F T ˆx πd π δ + D π δ + D π δ + D π δ ˆxt cosπt + cosπt t R Dit gereconstrueerde signaal is dus niet het originele signaal: het originele signaal wordt opgeteld bij een extra cosinus. Voorbereidende opgave Gegeven het signaal x : t xt exp i5πt + expiπt. Dit signaal wordt gesampled met een samplefrequentie ω s R >0. Het gesamplede signaal wordt daarna door een impulsgenerator en een ideale laagdoorlaatfilter gestuurd. De uitgang van de filter is ˆx en de filter zelfs is gedefinieerd door zijn frequentieantwoord: { π Hω ω s ; ω [ ω c, ω c ], 0, elders a Waaraan moeten ω s en ω c voldoen opdat de uitgang ˆx gelijk zou zijn aan de gegeven ingang x d.w.z. ˆxt exp 5πt + expiπt, t R? b Bepaal ˆx, indien ω s ω c 3π. a Vermits ω M 5π, moet ω s > 0π en dus 5π < ω c < ω s 5π. b Er komt achtereenvolgens: yn x n π x 3 n wt ω s k ykδ exp i 03 πn + exp i 43 πn, n Z t 3 k, t R X CT F T x π D 5π δ + D π δ W CT F T w 3 + k D 3πk X 3π + k ˆX CT F T ˆx π D π δ + D π δ + D π δ + D π δ En dus ten slotte: ˆxt cosπt + cosπt, t R D 3k 5π δ + D 3k+π δ 63

65 Opgave Gegeven het signaal x : R R : t xt cos6πt + cos8πt. Zoals aangeduid in de onderstaande figuur wordt dit signaal gesampled met een samplefrequentie ω s R >0, en daarna door een impulsgenerator T met T π ω s gestuurd. Het uitgangssignaal van deze impulsgenerator noemen we w. Het signaal w wordt door een ideale laagdoorlaatfilter gestuurd. De uitgang van de filter is ˆx en de filter zelf is gedefinieerd door het frequentieantwoord: { π Hω ω s ; ω < ω c, ω c R >0, 0, elders x Sampler ynx n π ωs y Impulsgenerator wt k ykδ t k π ωs w Hω ˆx a i. Teken het spectrum van x. ii. Voor welke waarden van ω s en ω c geldt dat ˆxt xt, t R? b Beschouw het geval ω c 3π. i. De samplefrequentie ω s is nu zodanig dat het spectrum W : R C : ω W ω van het signaal w een frequentiecomponent behorend bij ω 0 bevat, i.e. W 0 0. Geef alle waarden van ω s die hieraan voldoen. ii. We bekijken nu alle waarden voor ω s dit voldoen aan punten bi. Welke samplefrequenties ω s geven als uitgang ˆx van de laagdoorlaatfilter een constant signaal? Hint: het aantal waarden voor ω s die voldoen aan het gevraagde, is 4. iii. Geef bij elke waarde voor ω s, die voldoet aan de voorwaarde uit puntje bii, de overeenkomstige uitgang ˆx. a i. We vinden meteen: Xω πδω 6π+πδω +6π+πδω 8π+πδω +8π, ω R Dit geeft de figuur op de volgende pagina. a ii. Uit de figuur op de volgende pagina halen we meteen dat ω M 8π. Aldus moet ω s > 6π opdat x ˆx, en 8π < ω c < ω s 8π. 64

66 Xω π π 8π 6π 4π π 0 π 4π 6π 8π b i. Er komt voor W, het spectrum van w: ω W ω ω s π + k Xω kω s, ω R Aldus is voor ω 0: W 0 ω s π ω s + k + k X kω s δ kω s 6π + δ kω s + 6π + δ kω s 8π + δ kω s + 8π Opdat deze uitdrukking verschillend van nul zou zijn, moet minstens een van de vier argumenten van de δ-functie gelijk zijn aan nul: kω s 6π of kω s 6π of kω s 8π of kω s 8π Rekeninghoudend met ω s > 0 komt er dus: { } { } 6π 8π ω s n : n N n : n N b ii. Indien x een constante functie is, wordt X gegeven door cδ. We vonden nu voor W : W ω ω s π ω s + k + k Xω kω s δω kω s 6π + δω kω s + 6π + δω kω s 8π + δω kω s + 8π, We dienen dus uit voorgaande verzameling de ω s te selecteren waarvoor elke k-waarde ofwel aanleiding geeft tot ω in het argument van de δ-functie, ofwel zorgt dat het argument van de δ-functie buiten het interval 65

67 [ ω c, ω c ] valt. Dit legt een beperking op de mogelijke waarden van ω s op: enkel de volgende voldoen: ω s {π, 4π, 6π, 8π} b iii. Voor ω s π komt er: Xω HωW ω Hω ω s + k δω πk δω πk 3 +δω πk δω πk 4 π δω + δω + δω + δω 6πδω, ω R Hieruit volgt meteen dat ˆxt 3, t R. Voor ω s 4π komt er: Xω HωW ω Hω ω s + k δω 4πk 6π + δω 4πk + 6π +δω 4πk 8π + δω 4πk + 8π π δω + δω πδω, ω R Hieruit volgt meteen dat ˆxt, t R. Voor ω s 6π komt er: Xω HωW ω Hω ω s + k δω 6πk 6π + δω 6πk + 6π +δω 6πk 8π + δω 6πk + 8π π δω + δω 4πδω, ω R Hieruit volgt meteen dat ˆxt, t R. 66

68 Voor ω s 8π ten slotte komt er: Xω HωW ω Hω ω s + k δω 8πk 6π + δω 8πk + 6π +δω 8πk 8π + δω 8πk + 8π π δω + δω πδω, ω R Hieruit volgt meteen dat ˆxt, t R. Opgave Gegeven is een even periodiek continue-tijdsgianaal x met fundamentele periode π 5. De gemiddelde waarde van x over een periode is nul. Het CTFT-spectrum van x bevat frequentiecomponenten met strikt positieve frequentie en geen frequentiecomponenten met frequentie groter dan 4 radialen per tijdseenheid. Dit signaal x wordt gedeltasampled met een sampleperiode T s. Men verkrijgt een signaal w. Het spectrum van w bevat precies één frequentiecomponent in het open interval 0, 5 radialen per tijdseenheid. Welke waarden van T s voldoen aan de gegevens? Vermits x even en periodiek is, kunnen we x schrijven als een eindige som van cosinussen. Vermits er precies twee frequentiecomponenten met strikt positieve frequentie voorkomen, zijn er dus ook maar twee cosinussen. We kunnen dus stellen: xt a cosω t + b cosω t, t R, a, b R Nu geldt er dat ω s π T s. Gezien de periodiciteit van de functie zullen ook de cosinussen periodiek moeten zijn, met periode π 5k, met k een geheel getal. Aldus kunnen we x herschrijven tot: xt a cos 5k t + b cos 5k, t R, k, k N, a, b R Er is ook gegeven dat zowel ω 5k als ω 5k kleiner zijn dan 4. Aldus moet k, k {, } daarenboven kunnen ze niet beide gelijk zijn, vermits dan beide cosinussen aanleiding geven tot eenzelfde frequentiepiek. Stellen we dus willekeurig k en k, dan vinden we als uiteindelijke voorstelling van x: xt a cos 5t + b cos 0t, t R, a, b R 67

69 Het spectrum van x wordt dan weergegeven in volgende figuur: b Xω a ω Het spectrum van W wordt bekomen door het spectrum van X te verplaatsen over kω s, k Z. Nu geldt er: ω s 5: geen enkele frequentiecomponent ligt in 0, 5 0 < ω s < 5: enkel de meest linkse frequentiecomponent ligt in 0, 5 en voldoet dus 7, 5 ω s 0: over het algemeen zijn er twee frequentiecomponenten in 0, 5, namelijk de linkse behorend bij ω 5 en de uiterst rechtse behorend bij ω 0. Deze vallen echter samen voor ω s 7, 5, deze laatste vormt dus ook een oplossing 5 ω s < 7, 5: alle frequentiecomponenten buiten die behorend bij ω 5 liggen in 0, 5 en vallen nooit alle drie samen 0 ω s < 5: alle frequentiecomponenten vallen in 0, 5; enkel voor ω s, 5 vallen ze allen samen, en voldoen ze aan het gevraagde We kunnen dus besluiten dat volgende waarden voor ω s voldoen: { } { } 5 5 ω s 0, 5 Vermits T s π ω s komt er dus als beperking op T s : π T s 5, π { } { } 4π 4π Opgave 3 Gegeven zijn twee bandbeperkte signalen x en x waarvoor geldt dat X ω 0, ω ω 68

70 X ω 0, ω ω waarbij X i CT F T x i, i, en ω, ω > 0. Het signaal w : R R : t x tx t wordt uniform gedeltasampled om zo het signaal w p te bekomen. De grootte van het sample-interval noemen we T. Hoe groot mag dit sample-interval hoogstens zijn om de reconstrueerbaarheid van het signaal w door middel van het toepassen van een ideale laagdoorlaatfilter op het signaal w p te verzekeren? Bepalen we eerst het spectrum van w: W ω CT F T x tx t + ω x ω τx τdτ ω x ω τdτ, ω R Nu is deze integraal nul als ω ω + ω en als ω ω ω. Aldus is ω M ω + ω, en moet ω s > ω + ω. Hierbij is ω s π T s, en dus komt er: π T s < ω + ω Opgave 4 Gegeven het signaal x : R C : t xt exp3it exp it. Zoals aangeduid in de onderstaande figuur wordt dit signaal gesampled met een samplefrequentie ω s R >0, en daarna door een impulsgenerator gestuurd. Het uitgangssignaal van deze impulsgenerator noemen we w. Het signaal w wordt door een ideale laagdoorlaatfilter gestuurd. De uitgang van de filter is ˆx en de filter zelf is gedefinieerd door het frequentieantwoord: { π Hω ω s ; ω < ω c, ω c R >0, 0, ω ω c x Sampler ynx n π ωs y Impulsgenerator wt k ykδ t k π ωs w Hω ˆx a Voor welke waarden ω s en ω c geldt dat ˆxt xt, t R b Beschouw het geval ω s 3 en ω c 9. Bepaal de bijbehorende uitgang ˆx. 69

71 c Beschouw het geval ω c 5. Voor welke samplefrequenties strikt groter dan is het bijbehorende signaal ˆx reëelwaardig? Bepaal telkens ook de bijbehorende uitgang ˆx. a Uit het functievoorschrift valt meteen af te leiden dat ω m 3. Aldus moet ω s > 6, en 3 < ω c < ω s 3. b Er komt achtereenvolgens: Xω 4πδω 3 πδω +, ω R W ω 3 π + k 4πδω 3 3k πδω + 3k, ω R ˆXω 4πδω + 4πδω 3 + 4πδω + 3 πδω πδω + πδω 4, ω R En dus: ˆxt + 4 cos3t expit exp it exp4it + 4 cos3t expit + exp 3it + exp3it + 4 cos3t expit + cos3t expit + cos3t, t R c Tekenen we eerst het spectrum van x: Xω 4π π ω π 70