TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
|
|
- Melissa van de Veen
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: Vrijdag 1 maart 003. Tijd: uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf je naam en studentnummer o elk vel dat je inlevert. Lever je ogaven ersoonlijk bij de surveillanten in. Niet o de tafels laten liggen! Het tentamen bestaat uit 4 vragen. De waardering er onderdeel staat aangegeven in de kantlijn. Geef niet alleen antwoorden, maar laat ook zien hoe je eraan gekomen bent. Het gebruik van dictaat, aantekeningen en calculator is toegestaan. VEEL SUCCES! (5 ) 1. Onderstaande figuur toont een binair beeld ogebouwd uit 16 ixels, waarvan zeven zwarte en negen witte. Een zwart ixel heeft numerieke waarde 0, een wit ixel 1. In je antwoorden o onderstaande vragen hoef je eventuele uitdrukkingen met faculteiten en/of binomiaalcoëfficiënten getalsmatig niet verder uit te werken. a. In dit onderdeel gaan we ervan uit dat beelden een eenduidig gekozen oorsrong en oriëntatie bezitten. Met andere woorden, bovenstaand beeld is onderscheidbaar van dat welk ontstaat wanneer we het een kwart slag draaien. a1. Hoeveel onderscheidbare 4 4 beelden zijn er met recies zeven zwarte en negen witte ixels? a. Beschouw de verzameling van alle binaire 4 4 beelden. Wat is de a riori kans dat je bij aselecte keuze recies bovenstaand beeld aantreft? b. De witte ixels en, aangegeven in onderstaande figuren, heten verbonden ( connected ) indien het mogelijk is ze middels een digitaal ad bestaande uit enkel witte ixels met elkaar 1
2 te verbinden. Oeenvolgende ixels o het ad moeten voldoen aan een goed gedefiniëerd adjacency criterium. In deze ogave beschouwen we 4-adjacency, 8-adjacency en mixedadjacency zoals uitgelegd in 1.5. van het dictaat. Geef in elk van de onderstaande figuren aan of het mogelijk is om een digitaal ad van naar te trekken en zo ja, teken het kortste ad, in geval van achtereenvolgens (zie bijlage aan het eind van dit tentamen): b1. 4-adjacency (linker figuur), b. 8-adjacency (middelste figuur), resectievelijk b3. mixed-adjacency (rechter figuur). c. We definiëren de -norm van een M N (M, N IN) binair beeld f voor 1 en voor = als volgt: 1 f = 1 M N f[i, j] res. f = lim MN f. i=1 j=1 Let o: De definitie wijkt enigszins af van die in het dictaat! Bereken voor bovenstaand binaire beeld achtereenvolgens c1. de 1-norm, c. de -norm, c3. de -norm. d. Bewijs dat voor willekeurige binaire M N beelden f geldt d1. f 1 voor alle 1 en d. f f dan en slechts dan als.
3 (0 ). Beschouw voor gegeven ɛ IR de afbeelding A : C (IR) L 1 (IR) IR gedefiniëerd door A(f) = f(0) + ɛf (0). In deze ogave mag je gebruik maken van de standaardintegraal e x dx = π. a. Toon aan dat A een lineaire afbeelding is. b. We voorzien domein en bereik van de oerator A van een inut- resectievelijk oututnorm, als volgt. Voor het domein, d.i. C (IR) L 1 (IR), kiezen we de gebruikelijke 1-norm: f inut = f(x) dx ( ) f C (IR) L 1 (IR). Het bereik van A, d.i. IR, voorzien we van de gebruikelijke modulus-norm voor reële getallen: z outut = z (z IR). We beschouwen als voorbeeld f(x) = ex [ 1 ] ɛ x met ɛ > 0 een constante. Beaal b1. f inut, evenals b. A(f) outut. c. Bewijs dat de oerator A slecht-gesteld is door aan te tonen dat f inut 0 niet imliceert dat A(f) outut 0. (30 ) 3. Beschouw de veeltermfuncties f 1 : [ 1, 1] IR : x 1, f : [ 1, 1] IR : x x en f 3 : [ 1, 1] IR : x 3x c. Hierin is c IR een constante arameter. We voorzien het osansel van deze functies, V def = San{f 1, f, f 3 }, als volgt van een inrodukt: Als f, g V, dan f g = 1 1 f(x) g(x) dx. a1. Laat zien dat elke tweedegraads functie f : [ 1, 1] IR van de vorm f(x) = Ax +Bx+C geschreven kan worden als lineaire combinatie van de functies f 1, f en f 3, ongeacht de waarde van c. a. Bewijs dat de functies f 1, f en f 3 lineair onafhankelijk zijn ongeacht de waarde van c. b. Toon aan dat {f 1, f, f 3 } orthogonaal is dan en slechts dan als c = 1. c. Neem voortaan c = 1. Stel g 1 = λ 1 f 1, g = λ f en g 3 = λ 3 f 3 voor zekere constanten 3
4 λ 1, λ, λ 3 > 0. Beaal de waarden van deze constanten als gegeven is dat {g 1, g, g 3 } een orthonormaal stelsel vormt. d. Beschouw de differentiaaloerator S : V V : f S(f) gegeven door S(f)(x) = x df(x) dx. d1. Bewijs dat S een lineaire afbeelding is. d. Beaal de matrix S behorende bij de oerator S ten ozichte van de basis {f 1, f, f 3 }. Dat wil zeggen, als = α 1 f 1 + α f + α 3 f 3 en = S() = β 1 f 1 + β f + β 3 f 3, beaal dan de matrix die de coördinatenvectoren van en relateert volgens β 1 α 1 β = S α. β 3 α 3 d3. Bewijs dat S singulier is, dat wil zeggen dat de beeldruimte van S een lagere dimensie heeft dan het domein. d4. Laat zien dat S geen rojectie is, maar dat er een lineaire deelruimte van V bestaat waarbinnen S, beerkt tot die deelruimte, wel een rojectie definiëert. Beaal de maximale deelruimte waarvoor dit het geval is. (5 ) 4. In deze ogave beschouwen we een synthetisch signaal f : IR IR, gedefiniëerd als volgt: 0 als x < 0 1 f(x) = als x = 0 1 als x > 0 Verder definiëren we het zogenaamde Poisson filter φ σ : IR IR voor σ > 0 als φ σ (x) = 1 π σ x + σ. Bij deze ogave mag je gebruik maken van de volgende standaardformules (zie ook onderstaande grafiek): 1 dx = arctan x + c res. lim 1 + x arctan x = ±π x ±. y as Π Π 4 y arctan x x as Π 4 Π 4
5 Verder hanteren we in deze ogave de volgende Fourierconventie: û(ω) = F(u)(ω) = e iωx u(x) dx en dus u(x) = F 1 (û)(x) = 1 e iωx û(ω) dω. π a. Toon aan dat φ σ(x) dx = 1 ongeacht de waarde van σ. b1. Bewijs dat voor willekeurige, voldoende gladde, integreerbare filters φ geldt: (f φ)(x) = x φ(ξ) dξ. b. Laat door exliciete berekening zien dat het convolutierodukt f φ σ gegeven wordt door (f φ σ ) (x) = π arctan x σ. c. Toon aan dat de Fouriergetransformeerde f = F(f) van f gegeven wordt door f(ω) = 1 iω. Hint: Uit onderdeel b1 volgt dat d dx (f φ) (x) = φ(x). Pas hier Fouriertransformatie o toe. d. Zonder bewijs geven we hier de Fouriergetransformeerde φ σ = F(φ σ ) van φ σ : φ σ (ω) = e σ ω. d1. Verklaar het gedrag van φ σ (ω) voor ω 0 in termen van eigenschaen van het bijbeho- rende satiële filter φ σ (x). Hint: Vergelijk onderdeel a. d. Verklaar het gedrag van f(ω) voor ω 0 in termen van eigenschaen van het bijbeho- rende satiële signaal f(x). e. Beaal het functievoorschrift van de functie F(f φ σ ). f. Toon aan dat lim σ 0 f φ σ = f. Hint: Neem de Fourierroute. EINDE 5
6 BIJLAGE BIJ OPGAVE 1 Naam: Studentnummer: Figuur 1: Kortste ad van naar middels 4-adjacency. Figuur : Kortste ad van naar middels 8-adjacency. Figuur 3: Kortste ad van naar middels mixed-adjacency. 6
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 2 maart 2003. Tijd: 4.00 7.00 uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: vrijdag 17 maart 2006. Tijd: 14:00 17:00. Plaats: SC C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D Datum: Vrijdag 6 maart 4 Tijd: 4 7 uur Plaats: MA 4 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: woensdag 28 juni 26. Tijd: 4: 7:. Plaats: HG. C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam
Nadere informatie(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.
Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: woensdag 17 januari 2007. Tijd: 09:00 12:00. Plaats: HG 10.01. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D Datu: Dinsdag 4 juni 5 Tijd: 9 uur Plaats: Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel Schrijf je naa en studentnuer op
Nadere informatieAanwijzingen bij vraagstukken distributies
Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Vraagstuk 9.7 Voor het eerste deel, test x x + iε 1 met een testfunctie. Voor het laatste deel: vind eerst bijzondere oplosssingen door de gesuggereerde procedure
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieTentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieStudent number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten.
Naam (voornaam, achternaam): Student number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten. Zet je antwoorden op dit examenpapier, direct na de vraag is ruimte daaarvoor. Gebruik
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieOpgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieUitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB51) Maak één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelijk je naam en studentnummer. Laat duidelijk zien hoe je aan de antwoorden komt. Onderstaande formules mag je
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieOefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =
Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieTentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30
Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatieRelevante vragen , eerste examenperiode
Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieTuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieWiskunde voor informatici 2 Oefeningen
Wiskunde voor informatici Oefeningen Reinout Stevens resteven@vub.ac.be Prof: Ann Dooms Assistent: Arnout Van Messem 5 Juni 8 Gedachtenstroom In dit document staan de meeste oplossingen van de cursus Wiskunde
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieOptelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)
5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke
Nadere informatieWeek 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht
Week 22: De macht van het spoor en het spoor van de macht Een belangrijke invariant van een lineaire afbeelding is het spoor. Als we een basis kiezen dan is het spoor simpelweg de som van de elementen
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatie18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieRelevante examenvragen , eerste examenperiode
Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieHertentamen Topologie, Najaar 2009
Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen
Nadere informatieProeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)
Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Nadere informatieHoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie
Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieTentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312
Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13
Nadere informatie