= a x(au)y(at au)du. = a(ts a x TS a y) 2. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1

Transcriptie

1 1. TS a (x y is gelijk aan (a a(x TS a (y (b x TS a(y a (c TS a x TS a y (d a(ts a x TS a y Het gevraagde uitwerken levert TS a (x y = x(τy(at τdτ = a x(auy(at audu = a(ts a x TS a y. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a X ỹ (b x Y (c X ỹ (d X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (a. x X x f g 1 F G x Y X ỹ 1

2 . Bepaal de energie van sinc (t. Merk op dat Zodat vanwege dualiteit H(1 t sinc(ω Waarbij via Parseval volgt dat sinc (t H(1 t H(1 t sinc (t = 1 = 0 H(1 t H(1 t t dt = Waarbij de laatste stap volgt uit de observatie dat de convolutie van gelijke blokgolven een driehoek teruggeeft, met als maximale hoogte de oppervlakte van het blok en als basis de dubbele breedte van het blok.. Gegeven ( x(t = exp t X(ω = exp ( ω ( Gevraagd: bepaal Y (w van y(t = t exp t Uit het gegeven kunnen we het fourierbeeld halen van de eerste en tweede afgeleide van x(t x (t = t ( exp t X(ω = iω exp ( ω x (t = 1 ( exp t + t ( exp t X(ω = ω exp ( ω Zodat uit de tweede afgeleide van x(t volgt dat y(t = x(t + x (t Y (ω = exp ( ω (1 ω

3 . Gegeven een netwerk van systemen H G H en G zijn te kiezen uit volgende verzameling {exp(iω, exp(iω/, 1, 1}. Hoeveel mogelijkheden voor H en G zijn er zodat y = 1/ als u = exp(it/? De transferfunctie van bovenstaand netwerk wordt gegeven door T = H (1 H(1 G Waaruit volgt dat enkel H = G = exp(iω voldoet (y = T (/. 6. Gegeven ( y t = x(t exp( it X(ω = 1 10 ω Waaraan is Y (1 gelijk? (a /9 (b -/9 (c /1 (d -/1 Geen idee hoe het bij jullie zit, maar ik vergeet altijd hoe het zat met de translatie- en schalingsregels. Vandaar een expliciete berekening. Y (ω = x( te i6t e iωt dt = 1 6 ω it x(te dt = 1 ( 6 ω X Y (1 = 1

4 7. S : y u. Gegeven is dat voor een vaste waarde t element van R, y(t = u(t voor alle t die behoren tot R. Hoeveel uitspraken zijn waar? S is causaal S is niet-lineair S is stationair Neem een t < t, dan volgt uit y(t = u(t, dat het systeem niet causaal is. Verder is y(t een constante functie, dus lineair en stationair. Alles samen is dus enkel de laatste uitspraak waar. 8. Gegeven a 0 n N a x(n = 1 n N + 1 a n N + 1 n N + X( = 0 en X( = 1 + i, waaraan is a gelijk? (a a (b 0 < a < (c < a < 0 (d a Uit de gegevens omtrent X( en X( volgt a 0 a 1 + a 1 = 0 a 0 + i a 1 a i = ( 1 + i Ervan uitgaande dat a n reëel is stelt bovenstaande een x stelsel voor, waarvan de oplossing luidt a 0 = 10 a 1 = 1 a = 1

5 9. Gegeven de signalen x : R R : H(1 t n en y : R R met FR spectrum Y (k = 1 sin(k/. Neem z = x + y met Z(k het FR spectrum van z. Bepaal de waarde van Z(1 Z(0. 1 n Z x(t t Figuur 1: Signaal x De fouriercoëfficiënten X(k worden gegeven door Met X(0 =. Bijgevolg is 1 X(k = 1 e ik t dt 1 = sin ( k k Z(1 Z(0 = X(1 + Y (1 X(0 Y (0 = cos(6t samplen (met H = ω s /, ω s > 0 en ω c =. Voor hoeveel mogelijke ω s (dit aantal=n verkrijg je de uitgang y = α cos(t/ met α 0. { } { 6 / De waarden die voldoen zijn: ω s = 6 + / n n = 1,..., n }. n = 1,..., Of dus 7 mogelijke waarden.

6 11. Hoeveel van deze stellingen zijn juist Er bestaan periodieke, niet constante signalen die na sampling perfect gereconstrueerd kunnen worden d.m.v. zowel first en zero order hold. Het is niet noodzakelijk dat ω bandbegrensd is om een perfecte reconstructie te verkrijgen via zero order hold of lineaire interpolatie Er bestaan continue-tijd, niet constante signalen die na sampling perfect gereconstrueerd kunnen worden d.m.v. zowel first order hold als de lineaire interpolatie. De eerste uitspraak is vals. zero order hold zal discontinuïteiten vertonen die je via lineaire interpolatie enkel kan verkrijgen als de sampling punten oneindig dicht tegen elkaar liggen. De tweede uitspraak is waar, neem bv. een zaagtand die perfect gereconstrueerd kan worden via first order hold, of een blokgolf via zero order hold. De derde uitspraak is ook vals omwille van hetzelfde argument als bij de eerste uitspraak. 1. Gegeven systemen die als volgt geschakeld worden: u T Sa v Bk w Bγ y Zodat v = u(at w = v(kn y = w(γn we leggen nu een ingangssignaal u(t = cos aan, voor hoeveel van de volgende gegeven waarden voor k, γ en a is de uitgang periodiek en niet constant? k =, γ=, a = / k =, γ=10, a = / k =, γ=, a = Het uitgangssignaal, nadat het door het systeem is gelopen, wordt gegeven door y(n = cos(akγn In het eerste geval verkrijgen we de reeks Voor het tweede geval wordt de constante 1 bekomen, en de derde is periodiek als 1n = m met m, n Z, maar is irrationaal, dus geen oplossing, of dus aperiodiek. Enkel de eerste voldoet dus. 6

7 1. Gegeven Waarbij y( = 66 en h(n = n+1 H(n. Gevraagd: y(. (a 10 (b 197 (c 01 u(0 = u(1 = 1 u( = 1 u( = 1 u( = (d Je hebt te weinig gegevens om dit te berekenen Uit y( = 66 volgt y( = = h( nu(n n+ u(n = u(0 + u(1 + u( + = 66 1 n+ u(n Zodat Hieruit volgt voor y( 1 n+ u(n = 0 y( = h( nu(n = h( nu(n n=0 = 01 7

8 1. De functie u(t : t sin ( (t + 1 wordt door een systeem geperst met overdrachtsfunctie H(ω : ω ω exp (i ( ω. Waaraan is de uitgangsfasor Y gelijk? Hint: de functie A cos(ωt + φ wordt geschreven als A exp(iφ. (a 18 exp(i/ (b 18 exp( i/6 (c exp(i/ (d 18 exp(i/6 Het ingangssignaal kan herschreven worden als u(t = ei (t+1 e i (t+1 i Het uitgangssignaal wordt dan y(t = ei (t+1 H ( e i (t+1 H ( ( i = 18 sin (t + 1 Of met behulp van de hint in fasornotatie 1. Welke uitspraak is NIET correct Y = 18e i e i = 18e i 6 D 1 T S (H( 1/ = T S D 1 (H( / D 1 T S (H( / = T S D 1 (H( 1/ D 1 T S (H(1/ = T S D 1 (H(/ D 1 T S (H(/ = T S D 1 (H(1/ Merk op dat D a T S b u(t = u(b(t a T S b D a u(t = u(bt a Waardoor enkel de derde uitspraak verkeerd is. 8

9 16. Onderstaand signaal ( u = TS a (cos t + ( + sin t + wordt gesampled met ω c =. Onder welke voorwaarde op a > 0 en ω s geldt ˆx = 0. (a ω s willekeurig en a > 1 (b ω s willekeurig en a < 1 (c geen oplossingen (d 1 unieke oplossing Stel a = 1, dan is u gelijk aan u = 1 ( ( ( ( ( ( cos t sin t + cos sin t + sin cos t Met bijhorend spectrum ( ( R(u sin sin / ( cos / I(u / / ( cos Hierbij moeten de spectraalcomponenten van zowel het reëel als imaginair deel elkaar kunnen opheffen, maar aangezien de cosinus enkel pieken naar boven heeft kan dit nooit gebeuren. Vandaar zal ˆx onder de gestelde voorwaarden nooit = 0. 9