1. Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal
|
|
- David Vedder
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 . Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal { 0 t u(t) = 0 elders aangelegd wordt, dan is het corresponderende uitgangssignaal t 0 t y(t) = 2 t t 2 0 elders Gevraagd wordt het uitgangssignaal van dit systeem te bepalen wanneer een stap als ingangssignaal wordt aangelegd. Om deze oefening makkelijk op te lossen is het handig om te weten dat de convolutie van 2 blokken een trapezium of driehoek teruggeeft. y = h u, dus h is ook een blok die als volgt gedefinieerd is { 0 t h(t) = 0 elders Een controle levert dan y = h u = 0 = H(t τ) H(t τ) dτ t 0 t 2 t t 2 0 elders Nu nog de uitgang bepalen voor een stap als ingang y = h H = 0 H(t τ) dτ = th (t )H(t )
2 2. Gegeven de differentiaalvergelijking: y + y + y = 2u + u. Via de stelling van Bézout is met een dergelijke vergelijking een signaal l te associëren. Gevraagd wordt naar de uitdrukking voor de afgeleide l van dit signaal. Bovenstaande uitdrukking herschrijven als een integraaluitdrukking geeft D 2 y + D y + y = 2D 2 u + D u De bijhorende canonieke vorm ziet er dan als volgt uit, in dit geval bevindt het signaal l zich onderaan. u x x 2 y l 2 Figuur : Canonieke vorm Hiermee kunnen de volgende vergelijkingen worden opgesteld. y = x 2 + 2l l = x 2 x 2 = x x = u x 2 l Als we verderwerken met de laatste wordt dit x = u x 2 l y 2l = u x 2 l y 2l = u l y l 2 l = 2 3 u + 3 y y 2
3 3. Gegeven een filtersysteem beschreven door de differentiaalvergelijking τy + y = u, met τ een nader te bepalen reële parameter. Gevraagd wordt de waarden van de parameter τ te bepalen zodat voldaan is aan de conditie: H(50) = 2 H(0). Indien we het signaal e iωt toevoeren aan het systeem verkrijgen we H(ω) = + iωτ Uitdrukken dat H(50) = 2 H(0), is hetzelfde als Waaruit volgt dat τ = = + (50τ) 2 4. Beschouw het toestandsmodel [A, B, C, D] die een continue tijd, niet BIBO stabiel systeem beschijft. Veronderstel nu dat ditzelfde model een discrete tijdsysteem beschrijft en noem de overeenkomstige transferfunctie H. Wat is niet mogelijk Alle polen van H liggen buiten de eenheidscirkel Alle polen van H liggen in het gesloten linkerhalfvlak De graad van de teller is strikt groter dan die van de noemer Het systeem is BIBO stabiel Voor een continue tijd, niet BIBO stabiel systeem geldt er dat de imaginaire as niet gelegen is in het convergentiegebied. Merk echter op dat er staat, het gesloten linkerhalfvlak, aldus kunnen alle polen gelegen zijn op de imaginaire as, zonder BIBO stabiliteit te impliceren. Hieruit volgt dat enkel de derde mogelijkheid zich niet kan voordoen, doordat bij het ABCD model geldt dat y(n + ) = Cx(n) + Du(n), of de uitgang y hangt dus enkel af van gebeurtenissen uit het verleden causaliteit. 3
4 5. Onderzoek van een nieuw elektronisch element met veelbelovende eigenschappen voor digitale computers gebruikt signalen van de vorm D α T S 2π cos, waarbij α R niet op voorhand gekend is en de afronding naar boven (tot -, 0, of ) voorstelt. De onderzoekers kunnen dit signaal (delta-)samplen met hoekfrequenties k π 4 rad s, met k, 2,..., 8. Verder kunnen ze kiezen uit zero-order hold, lineaire interpolatie of een ideaal laagdoorlaatfilter met afsnijhoekfrequentie instelbaar binnen [ 2, 0]. Er geldt dan voor alle α: (a) Perfecte reconstructie is mogelijk via zero-order hold. (b) Perfecte reconstructie is mogelijk via lineaire interpolatie. (c) Perfecte reconstructie is mogelijk met het ideaal laagdoorlaatfilter. (d) Het signaal kan niet perfect gereconstrueerd worden. Het signaal ziet er als volgt uit Figuur 2: signaal D α T S 2π cos Omwille van de discontinuïteiten in het signaal zal het spectrum hoge harmonischen bevatten. Bijgevolg zal de reconstructie met het laagdoorlaatfilter het signaal vervormen. Indien het signaal via lineaire interpolatie gereconstrueerd wordt zullen de discontinuïteiten nooit meegenomen worden, ook dit is dus geen goeie techniek. Ten slotte zal bij zero-order hold het signaal tussen 2 samples verbonden worden via een rechte lijn. De discontinuïteit heeft geen breedte, dus ook via deze methode kan het signaal niet perfect gereconstrueerd worden. Het juiste antwoord is dus het laatste. 4
5 6. Gegeven, een LTI systeem met volgend impulsantwoord Figuur 3: Impulsantwoord h Indien H de overeenkomstige transferfunctie is, dan geldt er Het gebied van absolute convergentie bevat 0 niet H is een rationale functie H is een continue functie Hoeveel van bovenstaande uitspraken zijn waar? Een eerste mogelijkheid om deze vraag op te lossen is door de transferfunctie rechtstreeks te berekenen. Anderzijds heb je opnieuw de trapeziumvorm, dus weet je dat h geschreven kan worden als de convolutie van 2 blokfuncties. In dit geval geldt er h(x) = 2 H ( ) 4 x H ( ) 3 4 x Zodat { H(s) = 2 L = H ( )} { ( )} 3 4 x L H 4 x 2 es/4 e s/4 s e3s/4 e 3s/4 s 6 4 s 0 s = 0 Waaruit volgt dat enkel de laatste uitspraak correct is. Het voordeel van deze werkwijze boven het expliciet uitrekenen van de overdrachtsfunctie door h uit te schrijven als combinaties van H is dat de convergentie direct in orde is. 5
6 7. Gegeven is een causaal BIBO stabiel continue tijd LTI-systeem met volgende eigenschappen: De toestandsmatrix A R 3 3 van het betrokken systeem is diagonaliseerbaar. Het systeem is in rust op t = 0. De regime respons voor signalen van de vorm e st H(t) is 0, s C. Figuur 4: Uitgangssignaal We beweren dat de ingang die bij deze uitgang hoort Een impuls kan zijn H kan zijn sin H kan zijn Hoeveel beweringen zijn correct? Er geldt voor een continue tijd systeem in rust dat zijn overdrachtsfunctie gegeven wordt door H(s) = c(si A) b + d, De polen van H komen voor als det(si A) = 0, dit is als s σ(a). Bijgevolg kunnen we H(s) ontbinden als H(s) = a + b + c + d s λ s λ 2 s λ 3 Omwille van de BIBO stabiliteit en de causaliteit liggen λ,2,3 in het linkherhalfvlak. Het uitgangssignaal bevat een niet gedempte trilling, dus in de uitgang Y komen termen van de vorm voor. De polen van deze term liggen op de imaginaire as, maar de polen s ± i van H liggen er links van. Bijgevolg kan er enkel een niet gedempte trilling voorkomen als deze al in het ingangssignaal zit. Verder wordt er ook nog een constante opgeteld bij het uitgangssignaal. Aldus heb je ook nog een pool in de oorsprong nodig. Deze zit niet in het in- of uitgangssignaal, dus geen enkele van de gegeven signalen voldoet. 6
7 8. S x is het vermogenspectrum van een signaal x, dan geldt er S x is reëlwaardig voor alle x Als x reëlwaardig is, dan is S x reëlwaardig Als R v x reëlwaardig is, dan is S x reëlwaardig Hoeveel uitspraken zijn correct? Het vermogenspectrum van een signaal x is de Fourier getransformeerde van de vermogenautocorrelatie van x, of dus Maar ook Rx(t) v T/2 = lim x(t + τ)x(τ) dτ S x T T T/2 X T 2 S x (f) = lim T T Zodat S x reël is over zijn hele domein. In het geval je dit laatste vergeten zou zijn, kon je het ook afleiden uit de volgende redenering, stel R v x(t) = u + iv, dan geldt er dat u even en v oneven is. De Fouriergetransformeerden leveren hierbij respectievelijk een reël even en oneven signaal op. Concreet gaat dit als volgt. Stel R v x(t) = u(t) met u reël, dan is Rx( t) v T/2 = lim T T = lim T T = lim T T T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 x( t + τ)x(τ) dτ x(u)x(u + t) du x(u + t)x(u) du = R v x(t) Of R v x is dus even. Verder geldt er dan voor de spectraalcomponenten X(k) = X( k) = X( k) Zodat S x reëlwaardig is. De redenering loopt volkomen analoog voor het zuiver imaginair component v. Alles samen zijn alle uitspraken dus correct. 7
8 9. Gegeven een terugkoppelring in discrete tijd met systeem S, met bijhorend toestandsmodel [A, B, C, D ] en systeem S 2 met bijhorend toestandsmodel [A 2, B 2, C 2, D 2 ]. Gegeven de conditie h (0) = 0 voor de impulsresponsie van systeem S. De systemen S en S 2 zijn asymptotisch stabiel verondersteld. u S y S 2 Figuur 5: Terugkoppelring Hoeveel van onderstaande uitspraken zijn correct S is asymptotisch stabiel als C = 0 S is asymptotisch stabiel als B 2 = 0 S is asymptotisch stabiel als D 2 = 0 De overdrachtsfunctie van bovenstaand systeem wordt gegeven door Voor H,2 geldt er H H(z) = H H 2 H,2 = C,2 (zi A,2 ) B,2 + D,2 Verder is een systeem volgens het ABCD model steeds causaal, er geldt immers y(n + ) = Cx(n) + Du(n), of de uitgang hangt dus enkel af van de ingang uit het verleden. Aldus volgt er voor H (z) Want h (0) = 0. Hierdoor is ook H (z) = 0 = lim z H (z) n= h (n) z n = lim z C (zi A ) B + D = D Want in de noemer van (zi A ) komt een n e graads polynoom te staan, terwijl in de teller enkel lineaire termen voorkomen. Hieruit volgt de algemene vorm voor H(z) H(z) = C (zi A ) B (C (zi A ) B ) (C 2 (zi A 2 ) B 2 + D 2 ) 8
9 Beschouw nu de volgende differentievergelijking a 0 y + a Dy + a 2 D 2 y a n D n y = b 0 u + b Du b m D m u a(d)y = b(d)u Dan geldt er voor de matrix A dat de eigenwaarden gevonden kunnen worden uit a ( z ) = 0. Voor de overdrachtsfunctie geldt er H(z) = b 0 + b z +... b m z m a 0 + a z a n z n Of met andere woorden, de polen zijn een deelverzameling van de eigenwaarden van H. Hieruit volgt dan: causaal en asymptotisch stabiel BIBO stabiel. BIBO stabiliteit is verder gelijk aan h(n) < n= Zodat BIBO stabiel H() <. Deze 2 implicaties samenbrengen geeft dan H() niet asymptotisch stabiel (en causaal) De causaliteit is sowieso vervult vanwege het gebruik van het ABCD model, waardoor de implicatie een nodige voorwaarde geeft voor het asymptotisch stabiel zijn. De waarde H() is verder C (I A ) B H() = (C (I A ) B ) (C 2 (I A 2 ) B 2 + D 2 ) Merk hierbij op dat de matrices steeds kunnen geïnverteerd worden. De afzonderlijke systemen zijn asymptotisch stabiel zodat det(zi A) = 0 als z σ(a) waarbij z <. Indien B 2 = 0 kan D 2 zodanig gewijzigd worden zodat je in een pool terechtkomt en H() =. Analoog voor D 2 = 0 kan er met de matrices C en B voor gezorgd worden dat je opnieuw in een pool terechtkomt. Stel als laatste dat C = 0, dan is H() = 0. De eerder afgeleide implicatie kan je hier dus niet gebruiken. Merk echter op dat als C = 0, dat H(z) 0 of y(n) = 0, n. De definitie van asymptotische stabiliteit zegt dat als alle ingangen wegvallen dat y(n) = 0 voor n, aldus is voldaan aan deze vereiste waardoor de eerste uitspraak correct is. 9
10 0. Gegeven de differentievergelijking y Dy = Du + αd 2 u die een causaal LTI-systeem beschrijft. Voor hoeveel mogelijke waarden van de reële parameter α kan een waarneembare canonieke vorm (Directe Filterrealisatie) met slechts delay-element opgesteld worden. De overdrachtsfunctie wordt gegeven door H(z) = z + αz 2 z Wat na het splitsen in partieelbreuken overeenkomt met H(z) = z + αz z αz Om slechts delay-element over te houden moet van de 2 termen wegvallen. Dus de enige 2 mogelijkheden zijn α = 0 en α =. 0
1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1
1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ỹ (b) x Y 2π (c) 2π X ỹ (d) X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (1a). x X 2π x f g 1 2π F G x Y X ỹ 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag
Nadere informatie= a x(au)y(at au)du. = a(ts a x TS a y) 2. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1
1. TS a (x y is gelijk aan (a a(x TS a (y (b x TS a(y a (c TS a x TS a y (d a(ts a x TS a y Het gevraagde uitwerken levert TS a (x y = x(τy(at τdτ = a x(auy(at audu = a(ts a x TS a y. Gegeven x Y, waaraan
Nadere informatieSamenvatting Systeem & Signaal Analyse
Samenvatting Systeem & Signaal Analyse Wieland Wuyts AJ 2008-2009 Inhoud H1. Signalen en Systemen... 4 De correlatiefunctie... 4 H2. Lineaire Systemen: het toestandsmodel... 5 Discrete stap systemen...
Nadere informatieSystemen en signalen 6SP: 22 augustus 2017 Oplossingen
Systemen en signalen 6SP: augustus 7 Oplossingen Gegeven volgende cascade met x en y continue-tijdsignalen. x D 3 TS 5 D α TS y β Voor welk koppel (α,β) geldt altijd dat y = x? J. (α,β) = ( 3/5,/5) F.
Nadere informatieSystemen en signalen 6SP: 14 januari 2016 Antwoorden en uitwerkingen
Systemen en signalen 6SP: 4 januari 06 Antwoorden en uitwerkingen Gegeven onderstaande cascade met u, v en y continue-tijdsignalen en z een discrete-tijdsignaal: u TS a v j y B g z e sampler B g (met g
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatieopgave 1. (2 pt) kies het juiste antwoord; motiveer kort je antwoord s b) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) =
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE ECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E8) gehouden op maandag 3 oktober van 9:-: (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen gebruik maken
Nadere informatiez-transformatie José Lagerberg November, 2018 Universiteit van Amsterdam José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51
z-transformatie José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2018 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, 2018 1 / 51 1 z-transformatie Eigenfuncties van LTI systeem Definitie z-transformatie
Nadere informatieSystemen en signalen 6SP: 21 augustus 2018 Permutatiecode 6
Sstemen en signalen 6SP: 1 agsts 018 Permtatiecode 6 Opmerkingen bij deze opgavenbndel Controleer of je opgavenbndel 0 vragen bevat. Schrijf naam, voornaam en stdentennmmer onderaan deze pagina. Ho de
Nadere informatieSysteem 2 wordt beschreven door de differentiaalvergelijking y y x
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE TECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E080) gehouden op maandag 3 oktober 0 van 4:00-7:00 (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieInleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Laplace transformatie éénzijdige Laplace-transformatie:
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieDigitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar
Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatiez 1 Dit tentamen bestaat uit zes opgaven (50 punten) Opgave 1 (8 punten) Gegeven het volgende systeem:
ELEKTRONISCHE SIGNAALBEWERKING ET 245 D: digitale signaalbewerking 24 augustus 2, 4: 7: Open boek tentamen, alle studiematerialen en aantekeningen toegelaten Dit tentamen bestaat uit zes opgaven (5 punten)
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieNetwerkanalyse, Vak code Toets 2
Netwerkanalyse, Vak code 11005 Toets Datum : Vrijdag 30 januari 009 Plaats : Spiegel Tijd : 9:00h - 1:00h Algemeen Denk eraan je naam op ieder blad in te vullen! Voorzie, indien van toepassing, je uitwerking
Nadere informatieUitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP)
Uitwerking studie stimulerende toets Embedded Signal Processing (ESP) Cursus code 259, Dinsdag 7 maart 29, 3:3h 7:h. U mag gebruiken: uw eigen aantekeningen, de uitgeprinte college sheets van Teletop en
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatieTentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur
Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatiex(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )
97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Signalen en Transformaties 5608 op maandag 9 oktober 007, 9.00.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieEE 2521: Digitale Signaalbewerking
EE 2521: Digitale Signaalbewerking 6. Programma: Week 1: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties)
Nadere informatieCalculus I, 19/10/2015
Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieSchriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding in. Dit
Nadere informatieHoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten Vakcode 8E020 22 april 2009, 9.00-12.00 uur
Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E april 9, 9. -. uur Dit tentamen bestaat uit opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel van de punten opleveren.
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 januari 2008 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB227) 31 januari 28 van 9: tot 12: uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding
Nadere informatieToepassingen op discrete dynamische systemen
Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieStelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieFourier transformatie
Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies met periode gekeken. De reden hiervoor was,
Nadere informatieSymmetrische matrices
Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie
Nadere informatieSysteemtheorie. De Brabanter Jos
Systeemtheorie De Brabanter Jos Deel I Inleiding 1 Hoofdstuk 1 Signalen en Systemen 1.1 Signalen en classificatie van signalen Een signaal wordt mathematisch voorgesteld als een functie van een onafhankelijke
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatieLineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten
Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatiemaplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
Nadere informatie1. Opgave. We gebruiken de bilineaire transformatie om een digitaal laagdoorlaatfilter H(z) te ontwerpen met de volgende parameters:
ees Signals and Systems Oefeningen analoog/digitaal filterontwerp. Opgave We gebruiken de bilineaire transformatie om een digitaal laagdoorlaatfilter H(z) te ontwerpen met de volgende parameters: Doorlaatband:
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieToepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Nadere informatieOefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M van 16:00 tot 18:00u
Oefeningentoets Differentiaalvergelijkingen, deel 1 dinsdag 6 november 2018 in lokaal 200M 00.07 van 16:00 tot 18:00u Beste student, Deze oefeningentoets bevat twee oefeningen betreffende het tweede deel
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieWiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatie(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.
Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen
Nadere informatieDerde serie opdrachten systeemtheorie
Derde serie opdrachten systeemtheorie Opdracht 1. We bekijken een helicopter die ongeveer stilhangt in de lucht. Bij benadering kan zo n helicopter beschreven worden door het volgende stelsel vergelijkingen
Nadere informatieEE 2521: Digitale Signaalbewerking
EE 2521: Digitale Signaalbewerking 12. Week 1: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties) Week
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 7. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 7 Han Hoogeveen, Utrecht University Sommatiefactor methode (niet in boek) Doel: oplossen van RBs als Basisidee: f n a n = g n a n 1 + c n ; 1 Vermenigvuldig de RB met een factor
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieNiet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit. Lorenz-attractor
Niet lineaire stelsels differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Lorenz-attractor Vraag Gegeven zijn een stelsel differentiaalvergelijkingen: = F (x, y) (1) = G(x, y) met als kritiek punt (x 0, y 0) en
Nadere informatieIn dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het
Nadere informatieResultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 1 september Nummer vragenreeks: 1
Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 Nummer vragenreeks: Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 - p. / Aan de KU Leuven namen in totaal 8 aspirant-studenten deel aan de ijkingstoets
Nadere informatieInfi A oefententamen ψ
Infi A oefententamen ψ Aanwijzingen Motiveer alle antwoorden. Werk rustig, netjes en duidelijk. Zorg dat je uitwerking maar één interpretatie toelaat. Alle informatie op dit opgavenblad mag bij alle (deel)opgaven
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren in R n
Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatieDe Laplace-transformatie
De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi23wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi23wbmt 1 / 12 Fourierreeksen van even en oneven functies a 2 + (
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieTentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C Juni uur
Tentamen Simulaties van biochemische systemen - 8C110 8 Juni 010-900-100 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 7 opgaven verdeeld over 3 pagina s Op pagina 3 staat voor iedere opgave
Nadere informatie