DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
|
|
- Frieda Hermans
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1
2 Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties - Definities en basiseigenschappen m.b.v. Laplace-transformaties Verdere eigenschappen Convolutie De Dirac-delta-functie De Fourier-transformatie Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 467
3 veel problemen in de ingenieurs-wetenschappen = mechanische of elektrische systemen waarop discontinue of impulsieve aandrijvende krachten inwerken methoden hfdst 3 & 4 vaak niet of moeilijk te gebruiken Laplace-transformatie = alternatieve methode die bijzonder geschikt is voor dit soort problemen (ook nuttig voor meer algemene problemen) hier: beschrijving werking + illustratie met typische toepassingen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 468
4 (vervolg) Fouriertransformatie = andere belangrijke integraaltransformatie - generalisatie van de complexe Fourierreeks (Hfdst 9) - bv. tijddomein naar frequentiedomein transformeren, d.w.z. input signaal beschrijven met andere basiseenheden (vb. cm - inch) een signaal kan op veel verschillende manieren beschreven ( getransformeerd ) worden door het kiezen van basisvectoren, afhankelijk van het doel - pulsen : geschikt om de temporele ontwikkeling van het signaal nauwkeurig te volgen - sinus- en cosinusfuncties : geschikt voor periodieke signalen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 469
5 Definitie Def.: Een integraaltransformatie transformeert een gegeven functie in een nieuwe functie met behulp van een integraal. In het bijzonder, zij K(s, t) een functie van twee (reële) veranderlijken s en t. We definiëren een nieuwe functie F (s) door F : R R : s F (s) = b a K(s, t)f (t)dt. NB: we veronderstellen hierbij dat K(s, t) en f (t) gedefinieerd zijn voor alle t [a, b] en dat de integraal bestaat Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 470
6 Definitie de transformatie f (t) F (s) noemen we een lineaire integraaltransformatie is dus een afbeelding met K : F F : f K[f ] K[f ](s) = b a K(s, t)f (t)dt functie K(s, t) wordt de kern van K genoemd (niet te verwarren met de kern van een lineaire afbeelding) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 471
7 Eigenschap Hulpstelling 7.1 : De afbeelding K is een lineaire afbeelding. Bewijs: stel dat λ en µ reële getallen zijn en f en g functies dan is K[λf + µg] = = λ b a b a K(s, t)(λf (t) + µg(t))dt b K(s, t)f (t)dt + µ K(s, t)g(t)dt a = λk[f ] + µk[g] Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 472
8 Gebruik integraaltransformaties worden gebruikt om in een bepaald probleem functies te transformeren naar andere functies die betere eigenschappen hebben dan de oorspronkelijke functies, gemakkelijker te manipuleren of bepaalde kenmerken duidelijker maken vb.: als f (t) het resultaat is van bepaalde metingen bevat (meet-)fouten, storingen of ruis geven aanleiding tot kleine pieken in de grafiek (die geen essentiële bijdrage leveren in de integraal) integraaltransformatie zal de fouten afzwakken en bv. een geluidssignaal met ruis omzetten in een signaal waaruit deze ruis is weggefilterd, precies daarvoor werden ze lang geleden ontworpen Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 473
9 Voorbeeld: image processing met FFT (cf. Voor de bewerking is het beeld verstoord door "ruis". Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 474
10 Voorbeeld: image processing met FFT (cf. Een FFT van het beeld. Door de regelmaat wordt het ruispatroon als vier pieken weergegeven. Een van de pieken is gemarkeerd als AOI (Area of Interest) ter voorbereiding van de wegschrapping ervan. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 475
11 Voorbeeld: image processing met FFT (cf. De vier ruispieken, die overeenkomen met het reguliere ruispatroon, werden weggeschrapt in de FFT. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 476
12 Voorbeeld: image processing met FFT (cf. Wanneer de gecorrigeerde FFT van beeld 3 wordt toegepast, is de ruis verdwenen. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 477
13 de getransformeerde functies kunnen ook betere wiskundige eigenschappen hebben, onder bepaalde voorwaarden geldt bijvoorbeeld df ds F (s + h) F (s) = lim h 0 h ( 1 b = lim K(s + h, t)f (t)dt h 0 h = = b a b a lim h 0 a b K(s + h, t) K(s, t) f (t)dt h K (s, t)f (t)dt s a ) K(s, t)f (t)dt voor brave functies K zal dus de getransformeerde functie F differentieerbaar zijn, zelfs als f dat niet is!!! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 478
14 Gebruik integraaltransformaties bij oplossen Dvgln Dvgl in f (t) STAP 1 integraaltransformaties algebraïsche vgl in F (s) STAP 2 inverse transformaties oplossing f (t) STAP 3 bepaal F (s) Schematische voorstelling van het gebruik van integraaltransformaties voor het oplossing van differentiaalvergelijkingen. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 479
15 Definities en basiseigenschappen Def.: De Laplace-getransformeerde L [f ] van een functie f is gedefinieerd door L [f ] (s) = 0 e st f (t)dt. de kern van de Laplace-transformatie L : F F : f L[f ] is dus de functie met voorschrift e st voor de eenvoud noteren we L [f ] (s) dikwijls door F (s) wanneer f gegeven is door f (t), noteren we L {f (t)} (s) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 480
16 Definities en basiseigenschappen : voorbeeld we berekenen de Laplace-getransformeerde van de constante functie 1 voor s > 0 L {1} (s) = 0 1 = lim A s e st dt = lim A [ e st] A 1 s A 0 e st d(st) 0 = 1 s [0 + 1] = 1 s voor s 0 bestaat de integraal niet, en is L {1} (s) dus niet gedefinieerd Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 481
17 Definities en basiseigenschappen (vervolg) uit dit voorbeeld zien we dat de Laplace-getransformeerde niet altijd overal gedefinieerd is we geven een voldoende voorwaarde die garandeert dat de Laplace-getransformeerde bestaat; eerst een definitie: Def.: We zeggen dat een functie stuksgewijs continu is op een interval [a, b] als f continu is overal in het interval [a, b], behalve in een eindig aantal punten a i [a, b] en er bovendien geldt dat de linkerlimiet lim f (x) en de rechterlimiet lim f (x) bestaan en eindig x a < i x a > i zijn. een functie is stuksgewijs continu als ze slechts een eindig aantal eindige sprongen maakt Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 482
18 Definities en basiseigenschappen (vervolg) Een stuksgewijs continue functie. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 483
19 Definities en basiseigenschappen : voorwaarde Stelling 7.1 : Zij f : R + R een functie die stuksgewijs continu is op elk eindig interval [0, b], en stel dat f (t) Me γt (15) voor alle t 0, voor een zekere M R + en γ R. Dan bestaat L [f ] (s) voor alle s > γ. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 484
20 Definities en basiseigenschappen Bewijs de functie f (t)e st is integreerbaar op elk eindig interval [0, b] bovendien is, voor s > γ L [f ] (s) = e st f (t)dt e st f (t) dt 0 0 = M 1 γ s e st Me γt dt = M [e (γ s)t] = M 1 γ s e (γ s)t dt [0 1] = M 1 s γ wat aantoont dat de oneigenlijke integraal inderdaad bestaat elke stuksgewijs continue functie die niet sneller dan een exponentiële functie naar oneindig gaat, heeft een Laplace-getransformeerde! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 485
21 Definities en basiseigenschappen Voorbeeld we hebben: L {t α } (s) = = = 0 1 e st t α dt s α s α+1 0 e st (st) α d(st) voor s > 0 e u u α du = 1 Γ(α + 1) als α + 1 > 0 sα+1 voor α 1 bestaat L {t α } niet; de problemen stellen zich in s = 0 in het bijzonder zal voor alle n N : L {t n } (s) = n! s n+1 en dus is L {t} (s) = 1 s 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 486
22 Definities en basiseigenschappen Opmerking uit dit voorbeeld zien we dat de voorwaarden van Stelling 7.1 geen nodige voorwaarden zijn: de functie f (t) = t 1 2 is niet gedefinieerd in 0, maar { } ( ) L t (s) = Γ s wat duidelijk bestaat voor s > 0 men kan aantonen dat Γ( 1 2 ) = π (zie Appendix), dus is { } L t 1 π 2 (s) = s Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 487
23 Definities en basiseigenschappen Nog een voorbeeld zij a R, dan is { L e at} (s) = = = = = 0 0 e st e at dt e (a s)t dt 1 [e (a s)t] a s 0 1 [0 1] a s als s > a 1 s a Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 488
24 Definities en basiseigenschappen Laplace-getransformeerden: lijst f (t) F (s) = L {f (t)} (s) 1 1 s t 1 s 2 t n (n N) n! s n+1 t α (α > 1) Γ(α + 1) s α+1 e at 1 s a Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 489
25 Definities en basiseigenschappen f (t) F (s) = L {f (t)} (s) t n 1 e at Γ(n) (n > 0) 1 (s a) n sinat a cosat e bt sinat a e bt cosat 1 s 2 + a 2 s s 2 + a 2 1 (s b) 2 + a 2 s b (s b) 2 + a 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 490
26 Definities en basiseigenschappen f (t) sinh at a cosh at e bt sinh at a e bt cosh at F (s) = L {f (t)} (s) 1 s 2 a 2 s s 2 a 2 1 (s b) 2 a 2 s b (s b) 2 a 2 e bt e at b a (a b) 1 (s a)(s b) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 491
27 Definities en basiseigenschappen f (t) F (s) = L {f (t)} (s) be bt ae at b a (a b) s (s a)(s b) sinat atcosat 2a 3 1 (s 2 + a 2 ) 2 tsinat 2a sinat + atcosat 2a s (s 2 + a 2 ) 2 s 2 (s 2 + a 2 ) 2 cosat 1 2 atsinat s 3 (s 2 + a 2 ) 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 492
28 Definities en basiseigenschappen f (t) F (s) = L {f (t)} (s) tcosat s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 at cosh at sinh at 2a 3 1 (s 2 a 2 ) 2 t sinh at 2a sinh at + at cosh at 2a s (s 2 a 2 ) 2 s 2 (s 2 a 2 ) 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 493
29 Definities en basiseigenschappen f (t) F (s) = L {f (t)} (s) cosh at atsinat s 3 (s 2 a 2 ) 2 t cosh at s 2 + a 2 (s 2 a 2 ) 2 lnt (γ + lns) s (γ = constante van Euler = 0, ) ln 2 t π 2 6s + (γ + lns)2 s Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 494
30 Definities en basiseigenschappen Opgave toon aan dat de Laplace-getransformeerde van f (t) = 5e 2t 3sin4t 5 voor t 0 gelijk is aan s s 2 (s > 0) + 16 we hebben wegens de lineariteit L { 5e 2t 3sin4t } (s) = 5 L { e 2t} (s) 3 L {sin4t} (s) = 1 5 s s = 5 s s Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 495
31 Definities en basiseigenschappen Inverse transformatie als we in een bepaald probleem de Laplace-transformatie hebben toegepast, is het wellicht nodig om ook te kunnen terugkeren naar de oorspronkelijke functies, m.a.w. 1) als we F (s) hebben, kunnen we dan f vinden zodat L [f ] = F? 2) is deze functie bovendien uniek? het antwoord op beide vragen is negatief tegenvoorbeeld vraag 1): als F = 1, bestaat er geen enkele functie f zodat L [f ] = F = 1 (we zullen verder zien dat we hiervoor het functiebegrip moeten uitbreiden) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 496
32 Definities en basiseigenschappen Inverse transformatie ook uniciteit is er niet: definieer immers de volgende functie { 1, als t N, g(t) = 0, als t N, dan zal L {g(t)} = L {1} logisch want in een integraal leveren de sprongpunten die we kunstmatig hebben toegevoegd, geen bijdrage OPM: men kan aantonen dat dit de enige problemen zijn die kunnen opduiken aangaande de uniciteit Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 497
33 Definities en basiseigenschappen Inverse transformatie : uniciteit Stelling 7.2 : [Uniciteit van de inverse Laplace-getransformeerde] Stel dat f, g : R + R functies zijn die continu zijn op een open interval (a, b). Als L [f ] = L [g], dan is f = g op (a, b). m.a.w.: als L [f ] = L [g], dan is f = g, behalve in de sprongpunten we noteren: L [f ] = F f = L 1 [F ] ondanks het feit dat L 1 [F ] niet uniek bepaald is Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 498
34 Definities en basiseigenschappen Inverse transformatie : bepaling we noemen L 1 [F ] de inverse Laplace-getransformeerde van F indien mogelijk kiezen we L 1 [F ] continu er bestaan formules die, onder bepaalde voorwaarden op F, L 1 [F ] uitdrukken meestal is het voldoende om, na het toepassen van een aantal standaardtechnieken, de inverse Laplace-getransformeerde op te zoeken in de tabel: Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 499
35 Definities en basiseigenschappen Inverse transformatie : voorbeeld zoek L 1 [F ] als F (s) = 1 s 2 (staat in de tabel, maar we illustreren 1 de technieken op dit eenvoudig voorbeeld) we splitsen F (s) = 1 s 2 in partieelbreuken: 1 1 F (s) = s 2 1 = 1 ( 1 2 s 1 1 ) s + 1 en vinden in de tabel dat dit gelijk is aan = 1 ( { L e t} { L e t}) { 1 = L 2 2 (et e t } ) en dus is L 1 {F (s)} = 1 2 (et e t ) = sinh t Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 500
36 Definities en basiseigenschappen Opmerking men kan ook de Laplace-getransformeerde van complexe functies van één reële veranderlijke definiëren algemeen : in een integraaltransformatie mag de kern K een complexe functie van twee reële veranderlijken zijn we moeten dan wel de integraal van een complexe functie definiëren: zij f (t) = f 1 (t) + if 2 (t) een complexe functie, dan zeggen we dat f integreerbaar is op een interval [a, b] als f 1 en f 2 dat zijn en b a b b f (t)dt def = f 1 (t)dt + i f 2 (t)dt a a deze integraal heeft alle eigenschappen die je verwacht van een integraal Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 501
37 Definities en basiseigenschappen Opmerking zo geldt bijvoorbeeld de fundamentele eigenschap b a f (t)dt = b a b f 1(t)dt + i f 2(t)dt a = [f 1 (t)] b a + i [f 2(t)] b a = [f (t)] b a Stelling 7.1 blijft geldig voor complexe functies, als we de modulus gebruiken i.p.v. de absolute waarde Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 502
38 Definities en basiseigenschappen PAUZE Logic, like whiskey, loses its beneficial effect when taken in too large quantities. [Lord Dunsany (In J.R. Newman (ed.), The World of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1956.)] Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 503
39 Definities en basiseigenschappen Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties - Definities en basiseigenschappen m.b.v. Laplace-transformaties Verdere eigenschappen Convolutie De Dirac-delta-functie De Fourier-transformatie Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 504
40 Definities en basiseigenschappen Def.: De Laplace-getransformeerde L [f ] van een functie f is gedefinieerd door L [f ] (s) = 0 e st f (t)dt. de kern van de Laplace-transformatie is dus de functie e st voor de eenvoud noteren we L [f ] (s) dikwijls door F (s) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 505
41 Definities en basiseigenschappen : voldoende voorwaarde Stelling 7.1 : Zij f : R + R een functie die stuksgewijs continu is op elk eindig interval [0, b], en stel dat f (t) Me γt (16) voor alle t 0, voor een zekere M R + en γ R. Dan bestaat L [f ] (s) voor alle s > γ. we zullen ons bijna uitsluitend beperken tot functies die aan deze twee voorwaarden voldoen: 1) stuksgewijs continu 2) van exponentiële orde in de limiet t Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 506
42 Definities en basiseigenschappen Laplace-getransformeerden: lijst f (t) F (s) = L {f (t)} (s) 1 1 s t 1 s 2 t n (n N) n! s n+1 t α (α > 1) Γ(α + 1) s α+1 e at 1 s a Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 507
43 Definities en basiseigenschappen Inverse transformatie : uniciteit Stelling 7.2 : [Uniciteit van de inverse Laplace-getransformeerde] Stel dat f, g : R + R functies zijn die continu zijn op een open interval (a, b). Als L [f ] = L [g], dan is f = g op (a, b). m.a.w.: als L [f ] = L [g], dan is f = g, behalve in de sprongpunten we noteren: L [f ] = F f = L 1 [F ] ondanks het feit dat L 1 [F ] niet uniek bepaald is Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 508
44 Definities en basiseigenschappen Bepaling inverse transformatie : voorbeeld zoek L 1 [F ] als F (s) = 1 s 2 (staat in de tabel, maar we illustreren 1 de technieken op dit eenvoudig voorbeeld) we splitsen F (s) = 1 s 2 in partieelbreuken: 1 1 F (s) = s 2 1 = 1 ( 1 2 s 1 1 ) s + 1 en vinden in de tabel dat dit gelijk is aan = 1 ( { L e t} { L e t}) { 1 = L 2 2 (et e t } ) en dus is L 1 {F (s)} = 1 2 (et e t ) = sinh t Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 509
45 Toepassing van Laplace-transformaties belangrijkste toepassing = oplossen van lineaire Dvgln deze techniek is gebaseerd op de volgende stelling: Stelling 7.3 : Als f, f,..., f (n 1) en f (n) continu zijn en L [f ], L [f ],..., L [ f (n 1)] en L [ f (n)] bestaan, dan geldt [ L f (n)] (s) = s n L [f ] (s) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f (n 1) (0). Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 510
46 Bewijs (door volledige inductie) Basis (n = 1): L [ f ] = PI = 0 f (t)e st dt = [f (t)e st] = 0 f (0) = f (0) + s = f (0) + s L [f ] (s) 0 e st df (t) f (t)de st f (t)( s)e st dt f (t)e st dt Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 511
47 Bewijs (door volledige inductie) Inductiestap (k k + 1): veronderstel dat de formule waar is voor k, en bewijs ze voor k + 1 we gebruiken hierbij de formule voor n = 1 die we juist bewezen hebben, toegepast op de functie f (k) : [ L f (k+1)] [ (s) = f (k) (0) + s L f (k)] (s) ( = f (k) (0) + s s k L [f ] (s) s k 1 f (0) f (k 1) (0) = s k+1 L [f ] (s) s k f (0) sf (k 1) (0) f (k) (0) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 512
48 Opmerking de formule in St 7.3 is ook geldig als f, f,..., f (n 1) continu zijn en f (n) enkel stuksgewijs continu is we zullen de formule vooral gebruiken als n = 1 en n = 2, dus L [ f ] = sl [f ] f (0) L [ f ] = s 2 L [f ] sf (0) f (0) voorbeeld : pas formule toe om een inhomogene lineaire Dvgl van de 2de orde op te lossen met gegeven BVWn Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 513
49 Voorbeeld we lossen y (t) y(t) = t op met BVWn y(0) = 1 en y (0) = 1 we noteren Y = L [y] : L [ y ] L [y] = L {t} = 1 s 2 s 2 Y sy(0) y (0) Y = 1 s 2 s 2 Y s 1 Y = 1 s 2 (s 2 1)Y = s s 2 Y = s + 1 s s 2 (s 2 1) = 1 s s 2 (s 2 1) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 514
50 Voorbeeld vereenvoudiging en splitsing in partieelbreuken geeft dan 1 L [y] = Y = s s { s 2 = L e t} + L {sinh t} L {t} lineariteit en uniciteit geeft dan y = e t + sinh t t voordeel: gevonden oplossing voldoet meteen aan de BVWn (zonder eerst de algemene oplossing te moeten zoeken dus!) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 515
51 Opmerking de belangrijkste elementaire toepassingen van de Laplace-getransformeerde zitten in de studie van mechanische trillingen en de analyse van elektrische circuits cf. Hfdst 3: mu (t) + γu (t) + ku(t) = F (t) LI (t) + RI (t) + 1 C I (t) = E (t) mathematisch equivalent (en zo nog vele andere toepassingen!) éénmaal opgelost vele interpretaties van oplossing! Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 516
52 Verdere eigenschappen Verdere eigenschappen als f : R R een functie is en a R, dan kunnen we een nieuwe functie f a definiëren door f a : R R : x f a (x) := f (x a) De grafiek van (a) y = f (t) en (b) y = f (t a). Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 517
53 Verdere eigenschappen Verdere eigenschappen als f : R R een functie is en a R, dan kunnen we een nieuwe functie f a definiëren door verschuiving in de variabele x f a : R R : x f a (x) := f (x a) graf f a = horizontale verschuiving graf f - naar rechts over een afstand a als a > 0 - naar links over een afstand a als a < 0 OPM: f hoeft niet overal gedefinieerd te zijn, f a (x) = f (x a) is dan enkel gedefinieerd als f gedefinieerd is in x a Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 518
54 Verdere eigenschappen s-verschuiving Stelling 7.4 : Als F = L [f ] en a R, dan geldt { F a (s) = F (s a) = L e at } f (t) (s) voor alle s waarvoor F (s a) bestaat. Bewijs: F (s a) = 0 f (t)e (s a)t dt = 0 f (t)e at e st { dt = L f (t)e at} (s) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 519
55 Verdere eigenschappen s-verschuiving : toepassing Opmerking: we passen deze stelling vooral toe in de volgende vorm: L 1 {F (s a)} (t) = e at f (t) we geven hiervan nu een voorbeeld... Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 520
56 Verdere eigenschappen s-verschuiving : voorbeeld { } zoeken L 1 1 (s a) 2 pas s-verschuiving toe voor F (s) = 1 s 2 : { } 1 f (t) = L 1 s 2 (t) = t zodat { } L 1 1 (s a) 2 (t) = e at f (t) = te at zo kunnen heel wat formules uit de lijst geverifieerd worden Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 521
57 Verdere eigenschappen f (t) F (s) = L {f (t)} (s) t n 1 e at Γ(n) (n > 0) 1 (s a) n sinat a cosat e bt sinat a e bt cosat 1 s 2 + a 2 s s 2 + a 2 1 (s b) 2 + a 2 s b (s b) 2 + a 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 522
58 Verdere eigenschappen f (t) F (s) = L {f (t)} (s) t n 1 e at Γ(n) (n > 0) 1 (s a) n sinat a cosat e bt sinat a e bt cosat 1 s 2 + a 2 s s 2 + a 2 1 (s b) 2 + a 2 s b (s b) 2 + a 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 523
59 Verdere eigenschappen Reflectie St 7.4 geeft aan wat er gebeurt als we een verschuiving uitvoeren in de parameter s van de Laplace-getransformeerde Wat gebeurt er als we een verschuiving uitvoeren in de parameter t van de functie zelf? berekening Laplace-getransformeerde van f a geeft problemen wanneer a 0 én wanneer a 0 we bespreken hier enkel het geval a 0 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 524
60 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie eerst voeren we voor willekeurige a R de Heaviside-functie u a in (ook trapfunctie of unit-step-functie genoemd) Def.: u a : R R : { t 1, als t a, t 0, als t < a. De grafiek van u a. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 525
61 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie eerst voeren we voor willekeurige a R de Heaviside-functie u a in (ook trapfunctie of unit-step-functie genoemd) Def.: u a : R R : { t 1, als t a, t 0, als t < a. De grafiek van y = 1 u a. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 526
62 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie eerst voeren we voor willekeurige a R de Heaviside-functie u a in (ook trapfunctie of unit-step-functie genoemd) Def.: u a : R R : { t 1, als t a, t 0, als t < a. De grafiek van y = u a u 2a. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 527
63 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie eerst voeren we voor willekeurige a R de Heaviside-functie u a in (ook trapfunctie of unit-step-functie genoemd) Def.: u a : R R : { t 1, als t a, t 0, als t < a. De grafiek van y(t) = 1 + k=1 ( 1)k u k (t), een vierkante golf. Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 528
64 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie: opmerking als a = 0, dan noteren we u 0 (t) = u(t), en we hebben dan dat u a (t) = u(t a) m.a.w. u a is gewoon een verschuiving van u! stel nu a 0 en beschouw een f : R + R berekening L {f a (t)} geeft problemen omdat f a (t) = f (t a) niet gedefinieerd is voor 0 t < a oplossing: definieer een functie f a : R + R door { t 0, als t < a t f a (t) = f (t a), als t a Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 529
65 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie: notatie we noteren ook dat f a (t) = u a (t)f a (t) = u(t a)f (t a) alhoewel strikt genomen f (t a) niet gedefinieerd is voor t < a, maar omdat toch u(t a) = 0 voor t < a, kunnen we u(t a)f (t a) := 0 stellen voor t < a De grafiek van (a) y = f (t) en (b) y = u a(t)f (t a). Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 530
66 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie: notatie we noteren ook dat f a (t) = u a (t)f a (t) = u(t a)f (t a) alhoewel strikt genomen f (t a) niet gedefinieerd is voor t < a, maar omdat toch u(t a) = 0 voor t < a, kunnen we u(t a)f (t a) := 0 stellen voor t < a om niet teveel notaties te moeten gebruiken zullen we i.p.v. f a (t) steeds u(t a)f (t a) gebruiken Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 531
67 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie: toepassing Stelling 7.5 : Als a R + 0 en F = L [f ], dan geldt L {u(t a)f (t a)} (s) = e as F (s). Bewijs: L {u(t a)f (t a)} = De substitutie v = t a geeft dan = 0 a e st u(t a)f (t a)dt e st f (t a)dt Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 532
68 Verdere eigenschappen De Heaviside-functie: toepassing Bewijs: L {u(t a)f (t a)} = De substitutie v = t a geeft dan = 0 a e st u(t a)f (t a)dt e st f (t a)dt L {u(t a)f (t a)} = 0 e s(v + a) f (v)dv = e sa e sv f (v)dv 0 = e sa F (s) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 533
69 Verdere eigenschappen Gevolg en opmerking gevolg van Stelling 7.5 : L {u a (t)} (s) = L {u(t a)} (s) = L {1}e as = 1 s e as ook hier gaan we de stelling vaak toepassen in de volgende vorm: { L 1 e as } F (s) = u(t a)f (t a) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 534
70 Verdere eigenschappen Voorbeeld omdat { } t 2 L 2 = 1 s 3 geldt door L {e 1 as } F (s) = u(t a)f (t a) dat { L 1 e 3s 1 } (t 3)2 s 3 = u(t 3) 2 Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 535
71 Verdere eigenschappen Voorbeeld : opl Dvgl met discontinu rechterlid! we lossen de volgende vergelijking op y + y = u(t 2) beschrijft de beweging van een trillend deeltje waarop we eerst geen uitwendige kracht uitoefenen, en vervolgens vanaf tijdstip t = 2 een constante kracht we passen L toe: s 2 Y y(0)s y (0) + Y = 1 s e 2s we vinden Y = y(0)s 1 + s 2 + y (0) 1 + s 2 + e 2s s(1 + s 2 ) { } { s 1 y(t) = L s 2 y(0)+l s 2 en dus } y (0)+L 1 { } 1 s(1 + s 2 ) e 2s Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 536
72 Verdere eigenschappen Voorbeeld : opl Dvgl met discontinu rechterlid! door gebruik te maken van de tabel, splitsing in partieelbreuken en t-verschuiving vinden we { } s L s 2 = cost { } 1 L s 2 = sint { } { L s(1 + s 2 = L 1 ) s s } 1 + s 2 = 1 cost { } L 1 1 s(1 + s 2 ) e 2s = u(t 2)(1 cos(t 2)) en dus is y(t) = y(0)cost + y (0)sint + u(t 2)(1 cos(t 2)) Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 537
De Laplace-transformatie
De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Laplace transformatie éénzijdige Laplace-transformatie:
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie
Nadere informatieRegeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Tijdschema
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek
Differentiaalvergelijkingen voor WbMT wi25wbmt Dr Roelof Koekoek Het boek William E Boyce & Richard C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Tenth Edition, Wiley, 22, ISBN
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieFourier transformatie
Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies met periode gekeken. De reden hiervoor was,
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieReëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken
Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel
Nadere informatieNotatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm
college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 4 november 2013
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 4 november 0 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato): 4pt pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
Nadere informatieExtra opgaven bij Functies en Reeksen
Extra opgaven bij Functies en Reeksen E.P. van den Ban Najaar 2011 Opgave 1 We beschouwen de functie f W R 2! R gedefinieerd door f.0; 0/ D 0 en door f.x; y/ D p jxjxy als.x; y/.0; 0/: x 2 C y 2 (a) Toon
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatieSamenvatting Systeem & Signaal Analyse
Samenvatting Systeem & Signaal Analyse Wieland Wuyts AJ 2008-2009 Inhoud H1. Signalen en Systemen... 4 De correlatiefunctie... 4 H2. Lineaire Systemen: het toestandsmodel... 5 Discrete stap systemen...
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: vrijdag 17 maart 2006. Tijd: 14:00 17:00. Plaats: SC C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieHoofdstuk 6: De Laplace transformatie
Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(,
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieTentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C120 7 april 2010, uur. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan.
Tentamen Inleiding Meten en Modelleren Vakcode 8C1 7 april 1, 9. - 1. uur Dit tentamen bestaat uit 4 opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieResultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 1 september Nummer vragenreeks: 1
Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 Nummer vragenreeks: Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur september 8 - p. / Aan de KU Leuven namen in totaal 8 aspirant-studenten deel aan de ijkingstoets
Nadere informatieVeronderstel dat we dit niet kunnen voor een zekere kleuring en beschouw er zo e e n.
Antwoorden Getallen kleuren Veronderstel dat we dit niet kunnen voor een zekere kleuring en beschouw er zo e e n. Beschouwen we a = 0. Dan geldt wegens de veronderstelling op de kleuring: b > : b = 0 +
Nadere informatieHoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie
Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatie(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},
Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieCALCULUS & ANALYSE. Stefaan Poedts. CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven
CALCULUS & ANALYSE Stefaan Poedts CmPA, Dept. Wiskunde, KU Leuven Monitoraat Kaat Zeeuwts (Kaatje.Zeeuwts@wet.kuleuven.be) Annouk Van Vlierden (Annouk.VanVlierden@wet.kuleuven.be) Oefeningen Berdien, Dina,
Nadere informatieFourier transformatie
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieStudent number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten.
Naam (voornaam, achternaam): Student number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten. Zet je antwoorden op dit examenpapier, direct na de vraag is ruimte daaarvoor. Gebruik
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieAnalyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieInverse functies en limieten
Inverse functies en limieten Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x
Nadere informatieHet vinden van een particuliere oplossing
Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden
Nadere informatie(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.
Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Signalen en Transformaties 5608 op maandag 9 oktober 007, 9.00.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 200009 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Convolutie.f g/.t/ D Z f./g.t / d Goed gedefinieerd als f.t/
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatieFaculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde. Baire ruimten. Bachelor Project I. Wouter Van Den Haute. Prof. Eva Colebunders
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Baire ruimten Bachelor Project I Wouter Van Den Haute Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Ruimten van eerste en
Nadere informatieComplexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 24 oktober 22, 3.45 6.45 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen
Tentamen Wiskundige Technieken Ma 6 nov 207 Uitwerkingen Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieExamenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y
Nadere informatieOntwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder thk@science.uva.nl Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieCalculus I, 19/10/2015
Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatie