Regeltechniek. Les 6: Het wortellijnendiagram. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
|
|
- Marcella Pieters
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Regeltechniek Les 6: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium
2 Regeltechniek: Vakinhoud Deel 1: Systeemtheorie Les 1: Inleiding en modelvorming Les 2: Signaaltransformaties Les 3: Systemen van eerste orde Les 4: Systemen van tweede & hogere orde en met dode tijd Deel 2: Analoge regeltechniek Les 5: De regelkring Les 6: Het wortellijnendiagram Les 7: De klassieke regelaars Les 8: Voorbeelden en toepassingen Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Les 10: Speciale regelstructuren Les 11: Niet-lineaire regeltechniek & aan-uit regelaars
3 Les 6: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*] Inleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] voorbeeldoefening oefeningen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, URL:
4 Inleiding Transiënt gedrag: bepaald door ligging polen van geslotenlussysteem (= wortels van karakteristieke vergelijking) Wortellijnenmethode = grafische procedure die verloop van polen van geslotenlussysteem i.f.v. versterkingsfactor K weergeeft Zelfde als stabiliteit van een P-regelaar bestuderen Polen die dicht bij de imaginaire as liggen zijn belangrijk (= dominante polen)
5 Les 6: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*] Inleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] voorbeeldoefening oefeningen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, URL:
6 Voorbeeld: analytische berekening polen Concept: polen van geslotenlus TF berekenen en tekenen als functie van versterkingsfactor K Haalbaar voor 2 e orde systemen, niet voor hogere orde! Voorbeeld: 2 e orde systeem X ( p) + - e P-regelaar K u Systeem 1 Y ( p) ( p+a ) p G(p) = K p(p + a) = T (p) N(p) p 1 =0, p 2 = a (openlus TF) (openlus polen)
7 Voorbeeld: analytische berekening polen Geslotenlus TF: Q(p) = Y (p) X(p) = K p 2 + pa + K = Karakteristieke vergelijking: Polen geslotenlussysteem = wortels karakteristieke vgl: p 1,2 = a ± p a 2 4K = a r a ± K 2 P-regelaar Systeem X ( p) + - e K u 1 Y ( p) ( p+a ) p T (p) T (p)+n(p) T (p)+n(p) = 0 of p 2 + pa + K =0
8 Voorbeeld: analytische berekening polen Wortellijnendiagram: a constant, p 1,2 = a ± p K =0!1 a 2 4K = a r a ± 2 geval 1: P-vlak a 2 0 apple K< 2 K = K I geval 2: a 2 K = 2 geval 3: a 2 <K<1 2 K = 0 K = 0 -a -a/2 0 K = (a/2)² K = R
9 Voorbeeld: analytische berekening polen Wortellijnendiagram: conclusies? geslotenlussysteem altijd absoluut stabiel geslotenlussysteem relatief onstabiel bij hoge versterking P-vlak K = I K = 0 K = 0 -a -a/2 0 R K = (a/2)² K =
10 Les 6: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*] Inleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] voorbeeldoefening oefeningen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, URL:
11 Constructieregels: Concept Meest algemene vorm van karakteristieke vergelijking: Hier is de openlus TF 1+G(p)H(p) =0 G(p)H(p) = K RL(p + z 1 )(p + z 2 )...(p + z m ) (p + p 1 )(p + p 2 )...(p + p n ) met z i de nulpunten en p j de polen van de open-lus TF Concept grafische methode: teken wortellijnendiagram op basis van openlus nulpunten en polen ipv op basis van geslotenluspolen (veel moeilijker te berekenen)
12 Constructieregels: Definities Vermenigvuldigingsfactor K RL (RL-gain) Gelijkspanningsversterking K D K D = K RLz 1 z 2...z m p 1 p 2...p n Voorbeeld:
13 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden Karakteristieke vergelijking van systeem (met versterkingsfactor K): 1 + KG(p)H(p) = 0 of KG(p)H(p) = 1 Hieruit kunnen we twee voorwaarden halen: modulusvoorwaarde: K = 1 G(p)H(p) hoekvoorwaarde: \KG(p)H(p) = k360
14 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden We zoeken nu alle complexe getallen beide voorwaarden voldoen: die aan de hoekvoorwaarde heeft een oplossing p die voldoet aan: k360 = \KG(p)H(p) = \G(p)H(p) p = pe j = \ K RL(p + z 1 )(p + z 2 )...(p + z m ) (p + p 1 )(p + p 2 )...(p + p n ) = \(p + z 1 )+\(p + z 2 )+...+ \(p + z m ) \(p + p 1 ) \(p + p 2 )... \(p + p n ) deze oplossing kan grafisch bepaald worden (zie verder) deze oplossing is onafhankelijk van de versterkingsfactor K
15 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden p = pe j We zoeken nu alle complexe getallen die aan beide voorwaarden voldoen: de hoeken \(p + z i ) en \(p + p j ) tussen een willekeurig punt p en de nullen en polen van de openlus TF G(p)H(p) kunnen grafisch bepaald worden:
16 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden We zoeken nu alle complexe getallen beide voorwaarden voldoen: p = pe j die aan gegeven een oplossing p voor de hoekvoorwaarde, dan kan aan de modulusvoorwaarde altijd voldaan worden door een gepaste versterkingsfactor K te kiezen: K = 1 G(p)H(p)
17 Constructieregels: overzicht We overlopen nu een aantal eigenschappen en regels die het tekenen van een wortellijnendiagram vergemakkelijken: aantal takken beginpunten eindpunten takken op de reële as asymptotische richting breekpunten bij samenvallende polen of nulpunten hoek van vertrek
18 Constructieregels: aantal takken Het aantal takken van het wortellijnendiagram is gelijk aan het aantal polen van de openlus TF G(p)H(p) Voorbeelden:
19 Constructieregels: beginpunten De beginpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden bepaald door de polen van de geslotenlus TF bij een versterkingsfactor K = 0. In dit geval komen de polen van de geslotenlus TF overeen met de polen van de openlus TF. Modulusvoorwaarde: K =0 ) G(p)H(p) = 1 ) p = pool van G(p)H(p) Conclusie: de beginpunten zijn de polen van de openlus TF G(p)H(p)
20 Constructieregels: eindpunten De eindpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden bepaald door de polen van de geslotenlus TF bij een versterkingsfactor K =. In dit geval komen de polen van de geslotenlus TF overeen met de nulpunten van de openlus TF. Modulusvoorwaarde: K = 1 ) G(p)H(p) =0 ) p = nulpt van G(p)H(p) Indien de openlus TF minder nulpunten (m) dan polen (n) heeft dan ligger er n-m eindpunten op oneindig. Conclusie: de eindpunten zijn de nulpunten van de openlus TF G(p)H(p) er zijn n-m asymptoten naar eindpunten op
21 Constructieregels: takken op de reële as Een punt p op de reële as maakt altijd een hoek van 0 of 180 met een reële pool of nulpunt van de openlus TF. Een punt p op de reële as maakt altijd tegengestelde hoeken van -a en +a met een complex paar polen of nulpunten van de openlus TF. I I Complex toegevoegde -a I Pool of nulpunt R Pool of nulpunt R polen of nulpunten a R Conclusie: alle punten op de reële as die links gelegen zijn van een oneven aantal nulpunten of polen van de openlus TF G(p)H(p) behoren tot het wortellijnendiagram.
22 Constructieregels: asymptotische richting Als openlus TF meer polen dan nulpunten heeft (n > m) dan lopen n-m takken naar oneindig met asymptotische richting: k360 = n m De asymptoten snijden de reële as in het zwaartepunt van de polen en nulpunten van de openlus TF: P m i=1 z i = Voorbeelden: P n j=1 p j n m n-m=1 180 I n-m=2 90 I n-m= I n-m= I R -90 R -60 R R
23 Constructieregels: breekpunten Wortellijnen verlaten of bereiken reële as altijd onder hoek van 90. Het punt waar dit gebeurt is breakaway/entry point en komt overeen met dubbele pool van geslotenlus TF: Voorbeeld: d dp 1+G(p)H(p) = d dp Breekpunt Samenvallende pool Wortellijnendiagram I G(p)H(p) =0 GH= 1 (p+a)p x x -a 0 1 R
24 Constructieregels: hoek van vertrek Hoek l waarmee wortellijn vertrekt vanuit complex nulpunt z l of pool p l kan berekend worden uit hoekvoorwaarde: mx nx nulpunt: l = k360 \(z i z l )+ \(p j z l ) pool: Pool Willekeurig punt l = 180 k360 + Φ hoek? Beschouwde complexe pool 45-4+j j4 116,6 i=1 i6=l mx \(z i p l ) i=1 I GH = 3 R 3(p+2) (p+8)(p²+8p+32) j=1 nx \(p j p l ) j=1 j6=l
25 Constructieregels: voorbeelden
26 Les 6: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*] Inleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] voorbeeldoefening oefeningen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, URL:
27 Eigenschappen Wat kunnen we leren uit het wortellijnendiagram? absolute stabiliteit relatieve stabiliteit natuurlijke eigenpulsatie gedempte eigenpulsatie settling time
28 Eigenschappen: absolute stabiliteit Regelsysteem is absoluut stabiel voor versterkingsfactoren die overeenkomen met wortellijnen in linkerhalfvlak Marginale stabiliteit wordt bereikt wanneer wortellijnen imaginaire as snijden: K rand stabiliteit G(j!)H(j!) = 1 Twee vergelijkingen in twee onbekenden: oplossing geeft versterkingsfactor K(!) waarvoor regelsysteem marginaal stabiel is op frequentie!
29 Eigenschappen: relatieve stabiliteit Om relatieve stabiliteit te onderzoeken benaderen we regelsysteem door 2e orde systeem: TF 2eorde = K! 2 n p 2 +2! n p +! 2 n Relatieve stabiliteit en dempingsfactor worden dan bepaald door ligging van dominante polen: Reële as: p 1,2 = Stijgende demping ζ waarden 1 0,8 0,9 0,97! n ± j p 1 0,5 0,3 0,1 I 2 Imaginaire as: ζ = 0 R cos φ = ζ X ω n ζ X I φ K ω n 1 ζ 2 R
30 Eigenschappen: eigenpulsaties De natuurlijke eigenpulsatie is evenredig met de reactiesnelheid van het systeem De gedempte eigenpulsatie is imaginair deel van pool die oscillerend gedrag van overgangsverschijnsel weergeeft Stijgende natuurlijke eigenpulsatie ω n I Stijgende gedempte eigenpulsatie ω p I R R
31 Eigenschappen: Settling time Reële deel van pool geeft snelheid waarmee systeem naar eindwaarde gaat, bv. voor zuiver 1e orde systeem: 1 p + a! e at Settling time bepaalt grens van ±1% rond eindwaarde: 0, 01 = e at s ) t s = 4, 6/ a 1-4,6/ t s 2 3 I 1. Gebied met polen met een een 'settling' tijd < 2. Lijn met polen met een een 'settling' tijd = t s t s R 3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd > t s
32 Les 6: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*] Inleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] voorbeeldoefening oefeningen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, URL:
33 Voorbeeldoefening Oefening B.1) [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] Opgave: B.1) Teken het wortellijnendiagram van het volgende systeem: KGH = K(p + 1)(p 1) (p + 2)(p + 3) Voor welke K-waarde ligt de pool van het gesloten systeem in nul? Voor welke K-waarden krijgen we samenvallende polen?
34 Voorbeeldoefening Oplossingen Wortellijnendiagram Oefening B.1) [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] Oplossing: nulpunten : 1, -1 polen: -2, -3 n-m = 0, dus geen asymptoten of polen op oneindig. Ligging van de samenvallende polen: (p + 2)(p + 3) K = (p 1)(p + 1) dk dp = (p2 1)(2p + 5) (p 2 + 5p + 6)(2p) = 0 (p 2 1) 2 2 5p p + 5 = 0 p 1,2 = 0, 42 of p 1,2 = 2, 38 K-waarde voor p = 0: 1 + GH p=0 = K( 1)(+1) (2)(3) = 0 K = 6 Imaginaire As GH = (p+1)(p 1) (p+2)(p+3) Κ = 4,9 bij p1 = p2 = -0,42 Κ = 6 bij p = 0 Κ = 0 Κ = 0 Κ = Κ = 1-1 (p+1)(p 1) (p+2)(p+3) Reële As
35 Les 6: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, REG1, Hoofdstuk 3] [*] Inleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Oefeningen [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel] voorbeeldoefening oefeningen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, URL:
36 Oefeningen Oefening B.2) 7) [Baeten, Regeltechniek Oefeningenbundel]
Meet- en Regeltechniek
Meet- en egeltechniek Les 5: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit ndustriële ngenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en egeltechniek:
Nadere informatieHoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram
Hoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram 3. nleiding Het transiënt gedrag van een systeem wordt bepaald door de ligging van de wortels van de karakteristieke vergelijking (of door de polen van het gesloten
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 2: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 4: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieRegeltechniek. Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek:
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium
Nadere informatieRegeltechniek Oefeningenbundel
KATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG Departement Industriële wetenschappen en technologie Regeltechniek Oefeningenbundel REG- REG Dr ir J. Baeten 3 jaar Academische Bachelor Elektronica 3 jaar Academische Bachelor
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 7: De klassieke regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 11: Niet-lineaire regeltechniek en aan-uit regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven,
Nadere informatie0.1. INVLOED VAN DE K-WAARDE OP DE STABILITEIT VAN GESLOTEN KETENS Invloed van de K-waarde op de stabiliteit van gesloten ketens
0.1. INVLOED VAN DE K-WAARDE OP DE STABILITEIT VAN GESLOTEN KETENS1 Addendum 2 0.1 Invloed van de K-waarde op de stabiliteit van gesloten ketens We laten de K-waarde veranderen en kijken naar de stabiliteit.
Nadere informatieRegeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Tijdschema
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 januari 2008 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB227) 31 januari 28 van 9: tot 12: uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 29 januari 2009 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatieV: Identificatie en regelaarsinstelling
1 Identificatie - algemeen Om een proces te kunnen regelen of te kunnen simuleren is het nodig de transfertfunctie te kennen. Deze transfertfunctie kan exact worden berekend indien alle onderdelen met
Nadere informatieKATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG. Automatisering. Regeltechniek. Deel I. Basis Regeltechniek. Dr ir J. Baeten. cursus gedoceerd aan
KATHOLIEKE HOGESCHOOL LIMBURG Departement Industriële wetenschappen en technologie Automatisering Regeltechniek Deel I Basis Regeltechniek Dr ir J. Baeten cursus gedoceerd aan 3 jaar Academische Bachelor
Nadere informatieHoofdstuk 6 Systeemidentificatie en Regelaarsinstelling
Hoofdstuk 6 Systeemidentificatie en Regelaarsinstelling 6. Inleiding -- in aanmaak -- 6.2 Identificatie volgens Ziegler/Nichols, Instelling volgens Chien, Hrones en Reswick -- in aanmaak -- 6.3 Identificatie
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 26 oktober 2010 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 26 oktober 2010 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 1: Inleiding en modelvorming Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Onderzoeksafdeling
Nadere informatieRegeltechniek. Les 1: Inleiding en modelvorming. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 1: Inleiding en modelvorming Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Onderzoeksafdeling STADIUS
Nadere informatieAutomatisering. Wat is een regelsysteem
Automatisering Analoge Regeltechniek: inleiding en modelvorming Wat is een regelsysteem In zijn eenvoudigste vorm geeft een regelsysteem een uitgangssignaal (responsie) voor een gegeven ingangssignaal
Nadere informatieSchriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur
Schriftelijke zitting Regeltechniek (WB2207) 3 november 2011 van 9:00 tot 12:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en opleiding in. Dit
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 1: Inleiding en modelvorming Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Onderzoeksafdeling
Nadere informatieDeeltentamen Meet en Regeltechniek 14 juni 1996
Deeltentamen Meet en Regeltechniek 14 juni 1996 R0281 C:\Job\MC-word\Tentamens\Tent9606.doc 1 Gegeven: Van een verwarmingssysteem van een kamer zijn de volgende gegevens bekend: t 'Tkamer K1 Q0dW Q0 Qin
Nadere informatieBerekenen van regelaars
Hoofdstuk 4 Berekenen van regelaars Doelstellingen 1. Regelaars kunnen berekenen voor stap- en sinusresponsies 2. Basiseigenschappen van een aantal regelaars kennen 4.1 Eigenschappen van een regelkring
Nadere informatieII: De proportionele regelaar
II: De proportionele regelaar Theoretische grondslagen. Inleiding Het algemeen schema van een proportionele regelaar die in de rechtstreekse tak staat is: X ( p) E ( p) G ( p) Y ( p ) Figuur II.: Proportionele
Nadere informatie1. Een magnetische levitatie systeem is schematisch weergegeven in figuur 1. r-- ~ rail
1. Een magnetische levitatie systeem is schematisch weergegeven in figuur 1. r-- ~ rail I FR.ir~.P Y D I ti t. I ~- ji ti! Fdist I I I I I magnat Fgray current i Figuur 1: Een schematische weergave van
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 oktober 2006 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 31 oktober 2006 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieGevorderde onderwerpen
Hoofdstuk 5 Gevorderde onderwerpen Doelstellingen 1. Weten wat M-cirkels voorstellen en de functie ervan begrijpen 2. Bodediagram van een algemene transfertfunctie kunnen tekenen 3. Begrijpen dat een regelaar
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) Oefententamen
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) Oefententamen Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters en studienummer in. Dit tentamen bestaat uit
Nadere informatieHoofdstuk 2 De regelkring
Hoofdstuk 2 De regelkring 2. Inleiding De cursus Systeemtheorie beschrijft het gedrag van een systeem. Deze kennins ligt aan de basis voor het regelen van een systeem. Bovendien kan men slechts besluiten
Nadere informatieDigitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar
Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar
Nadere informatiePROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism
KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr.
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieEen snelheid (dimensie m/s) wordt gegeven door de formule v(t) = A (t-3). Teken deze snelheid in functie van de tijd. Welke dimensie heeft A?
Examen 6-Syteemtheorie juni 05, 3.30u, D45 Naam:... Het examen i chriftelijk. De tudent krijgt 3 uur tijd, du afgeven ten laatte om 6.30u. Er ijn 8 vragen, gepreid over 3 bladen (voor- en achterkant).
Nadere informatie6) Kegelsneden. K, zodat de componenten zijn r y. K : 5 4 4, zodat de componenten zijn 1. K : , zodat de componenten zijn 2 2
6) egelsneden x xy y x y xy : 5 4 4, zodat de componenten zijn r x4y 0 en r xy 0 : 4y 4yx y y x 4y 4, zodat de componenten zijn r y 0 en E x 4y 4 x y x y x y x y :, zodat de componenten zijn C x y en C
Nadere informatieFiguur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm K B(s) A( s
1. Een blok-schema van een DC motor is gegeven in figuur 1. Vis) 1 m 1 Ls+R Js+b (0(5) K, Figuur 1: Blok-schema van een DC motor, a) Geef de overdrachtsfuntie G(s) = T(s)/V(s). Schrijf G(s) in de vorm
Nadere informatieLeereenheid 5. Diagnostische toets: Parallelschakeling. Let op!
Leereenheid 5 Diagnostische toets: Parallelschakeling Let op! Bij meerkeuzevragen: Duid met een kringetje rond de letter het juiste antwoord of de juiste antwoorden aan. Vragen gemerkt met: J O. Sommige
Nadere informatieSchriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 18 januari 2010 van 14:00 tot 17:00 uur
Schriftelijke zitting Systeem- en regeltechniek 2 (WB2207) 18 januari 2010 van 14:00 tot 17:00 uur Onderstaande aanwijzingen nauwkeurig lezen. Vul op het voorblad uw naam, voorletters, studienummer en
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieOvergangsverschijnselen
Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of
Nadere informatieEE 2521: Digitale Signaalbewerking
EE 2521: Digitale Signaalbewerking 6. Programma: Week 1: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties)
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieAsymptoten. Hoofdstuk Basis. 1.2 Verdieping. 1. Bepaal alle asymptoten van de volgende functies:
Hoofdstuk 1 Asymptoten 1.1 Basis 1. Bepaal alle asymptoten van de volgende functies: a) f) 5 + 6 5 + 1 b) f) + 5 c) f) 5 + d) f) + + e) f) + + f) f) + 1 + + 4 g) f) 5 + h) f) + 1 i) f) cos 1 1. Verdieping
Nadere informatieEXAMENFOLDER maandag 26 januari 2015 OPLOSSINGEN. Vraag 1: Een gelijkstroomnetwerk (20 minuten - 2 punten)
Universiteit Gent naam: Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur voornaam: de Bachelor Ingenieurswetenschappen richting: Opties C,, TN en W prof. Kristiaan Neyts Academiejaar 4-5 erste xamenperiode
Nadere informatieKWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET GULDEN ZADELVLAK, EN DE REGELMATIGE VIJFHOEK.
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut,
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieHertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur
Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatieOplossing. Vraag 1. De hoogte h(t) van het waterniveau wordt gegeven door. A met D(t) in [m³/s], h in [m] en A = 2m². Gegeven: D(t) = 6 (t-3)
Eamen -Systeemtheorie januari 7, 8.3u, 9 Het eamen is schriftelijk. De student krijgt 3 uur tijd, dus afgeven ten laatste om.3u. Er ijn 8 vragen, gespreid over bladen. Op elke vraag staan evenveel punten.
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieDe dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieFiguur 1: Laag-doorlaat. /j Res +1. b) Veronderstel de tijdsconstante van 2 seconden. Ret inputsignaal U1 (t), in Volt, is de functie:
1. Gegeven is het volgende laagdoorlaat filter Figuur 1: Laagdoorlaat filter. beschreven met de differentiaal vergelijking: met de capaciteit C = 1. 104 F en een nog te bepalen weerstand R. a) Geef de
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieSysteemtheorie. Hoofdstuk 3. 3.1 Signalen aan de ingang
Hoofdstuk 3 Systeemtheorie Doelstellingen. Weten welke signalen men aan de ingang kan aanleggen om de reactie van een systeem te bestuderen 2. Weten wat een Bode en Nyquistdiagram voorstellen en deze diagramma
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieHoofdstuk 29 Electromagnetische Inductie en de wet van Faraday. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.
Hoofdstuk 29 Electromagnetische Inductie en de wet van Faraday Onderwerpen van H 29 Geinduceerde EMF Faraday s Inductie wet; de wet van Lenz EMF Geinduceerd in een Bewegende Geleider Electrische Generatoren
Nadere informatieElektronische basisschakelingen Oefenzitting 3.
Elektronische basisschakelingen Oefenzitting 3 Pieter.Gijsenbergh@esat.kuleuven.be Doelstellingen Frequentiegedrag van ideale opampschakelingen in feedback Invloed van reële opamps op dit frequentiegedrag
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieUitslag Instaptoets Analyse ( ) 1 d 12 c 2 b 13 b 3 c 14 c 4 a 15 a 5 d 16 a 6 b 17 b 7 b 18 d 8 c 19 d 9 c 20 a 10 a 21 a 11 d 22 c September
Uitslag Instaptoets Analyse (2009-2010) 1 d 12 c 2 b 13 b 3 c 14 c 4 a 15 a 5 d 16 a 6 b 17 b 7 b 18 d 8 c 19 d 9 c 20 a 10 a 21 a 11 d 22 c September 11, 2009 2 Stelling (formule) van de Moivre Uit de
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieDe Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Nadere informatieWISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie5 Lineaire differentiaalvergelijkingen
5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatieBijlage 2: Eerste orde systemen
Bijlage 2: Eerste orde systemen 1: Een RC-kring 1.1: Het frequentiegedrag Een eerste orde systeem kan bijvoorbeeld opgebouwd zijn uit de serieschakeling van een weerstand R en een condensator C. Veronderstel
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatieFamilies parabolen en fonteinen met de TI-Nspire
Families parabolen en fonteinen met de TI-Nspire Dr Didier Deses Samenvatting We bestuderen 1-parameterfamilies van parabolen. De klassieke families (bijv.: y = ax 2 ) komen aan bod alsook de parabolen
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch
Nadere informatieOverzicht en doelstellingen van de cursus
Overzicht en doelstellingen van de cursus Jan Swevers, Joris De Schutter 2006 0-0 Overzicht en doelstellingen van de cursus 1 Overzicht Doelstellingen van de cursus: kennis, vaardigheden, attitude Overzicht
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatie1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING 1.1 HARMONISCHE OSCILLATOREN. 1.1.1 het massa-veersysteem. Hoofdstuk 1 - Vrije trillingen
1 VRIJE TRILLINGEN 1.0 INLEIDING Veel fysische systemen, van groot tot klein, mechanisch en elektrisch, kunnen trillingen uitvoeren. Daarom is in de natuurkunde het bestuderen van trillingen van groot
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieSAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN
II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieHOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse
HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer
Nadere informatieTentamen Modellen en Simulatie (WISB134)
Tentamen Modellen en Simulatie (WISB4) Vrijdag, 7 april 5, :-6:, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatieLeereenheid 2. Diagnostische toets: De sinusvormige wisselspanning. Let op!
Leereenheid 2 Diagnostische toets: De sinusvormige wisselspanning Let op! Bij meerkeuzevragen: Duid met een kringetje rond de letter het juiste antwoord of de juiste antwoorden aan. Vragen gemerkt met:
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieMathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatie