Hoofdstuk 2 De regelkring

Transcriptie

1 Hoofdstuk 2 De regelkring 2. Inleiding De cursus Systeemtheorie beschrijft het gedrag van een systeem. Deze kennins ligt aan de basis voor het regelen van een systeem. Bovendien kan men slechts besluiten trekken indien men het gedrag van het niet geregeld en het geregeld systeem kan vergelijken. In dit hoofdstuk starten we met de kern van de regeltechniek. Dit hoofdstuk licht de belangrijkste eigenschappen en het werkingsprincipe van de regelkring toe. Hierbij worden dezelfde 'rekenmiddelen' gebruikt als in de cursus Systeemtheorie. 2.2 De terugkoppeling Het doel van een terugkoppeling (als onmiskenbaar onderdeel van de regelkring) werd reeds (bondig) in de inleiding besproken. Het opzet van een terugkoppeling is heel eenvoudig. Indien men wil weten hoe de uitgang van een bepaald systeem evolueert, dan moet men deze uitgang meten. Zo meet men bijvoorbeeld het waterniveau in een watertoren, de positie van een toestel, de concentratie van een bepaald produkt in een mengvat of de vochtigheidsgraad en de temperatuur in een ruimte. Telkens zal men een ideale, gewenste waarde vooropstellen. Indien de gemeten waarde niet overeenstemt met de gewenste waarde is er dus een fout. Ofwel reageert het systeem niet zoals verwacht ofwel voldoet het systeem zelf niet aan onze wensen. In beide gevallen dienen we 'eigenhandig' in te grijpen zodanig dat de beschouwde te regelen grootheid naar de gewenste waarde toe evolueert. En het liefst van al willen we dit 'regelproces' automatisch laten verlopen, dit wil zeggen zonder enige menselijke tussenkomst. Dit is de basisgedachte achter elke regelkring. Wie tussen de regels kan lezen weet nu dan ook het nut van de terugkoppeling: de tergkoppelketen moet de mogelijkheid scheppen om de werkelijk waarde van de te regelen grootheid te vergelijken met de gewenste waarde (ook wel setwaarde genoemd). Het verschil tussen deze twee waarden wordt het foutsignaal genoemd (meestal aangeduid met de variabele e). De regelaar zal dan gebruik maken van dit foutsignaal om een stuursignaal (aangeduid met de variabele u) te genereren als ingangssingaal voor het systeem. Hierdoor zal weerom de uitgang van het systeem veranderen en zo is de regellus rond. Zie figuur

2 Voorwaartse of rechtstreekse keten Setwaarde Foutsignaal Stuursignaal x + e u Regelaar - Systeem Uitgang y Meetorgaan Figuur 2. : De regelkring. Terugkoppelketen 2.3 De standaardregelkring Voor de algemeenheid van de behandeling gaan we de regelkring uit figuur 2. beknopt neerschrijven m.b.v. de transfertfuncties (TF's) van de verschillende onderdelen. We gebruiken de volgende notatie: G(p) is de volledige TF in de voorwaartse keten. Ze bevat de TF van de regelaar en van het systeem eventueel op een bepaalde versterkingsfactor K na. G(p) wordt de rechtstreekse TF genoemd. H(p) is de volledige TF van de terugkoppelketen of de terugkoppel TF. Ze beschrijft meestal het meetorgaan. Hieruit afgeleid krijgen we: G(p)H(p) de open-lus-tf of de TF van het open systeem. Dit is alles wat in de voorwaartse en in de terugkoppelketen staat (zonder de terugkoppeling te sluiten). Het werkelijk verband tussen de ingang x(p) en de uitgang y(p) wordt tenslotte gegeven door de gesloten-lus-tf of de TF van het gesloten systeem (bij negatieve terugkoppeling): y(p) x(p) = K G(p) + K G(p) H(p) Deze laatste vergelijking vormt de kern van alle volgende afleidingen. Met de zojuist ingevoerde notaties kunnen we elke (enkelvoudige) regelkring herleiden tot het schema uit figuur

3 X + - E Z K G ( p) H ( p) Y X KG ( p) + KG ( p ) H ( p) Y Figuur 2.2 : De standaard regellus en de equivalent gesloten TF. K stelt een vrij instelbare versterkingsfactor voor. In feite komt dit (zoals we later nog zullen zien) overeen met een proportionele regelaar of P-regelaar. De regellus uit figuur 2.2 kan als volgt herleid worden tot één enkele TF: E = X Z X= E + Z Y = KG E E = Y KG Z = H y Z= H Y X = Y G + H Y X = Y + KGH KG Uiteindelijk vinden we dus als gesloten transfertfunctie: Y(p) X(p) = KG(p) + KG(p)H(p) In het bijzondere geval van een éénheidsterugkoppeling waarbij H(p) =, kunnen we de gesloten TF op een andere wijze schrijven. Hiervoor schrijven we eerst G(p) als T(p)/N(p), zijnde de verhouding van de teller T(p) op de noemer N(p). Zo krijgen we: Y(p) X(p) = KT(p) KT(p)+N(p) (Ga dit na!)

4 2.4 Eigenschappen van de regellus Nu dat we het wiskundig formalisme van de regelkring kennen, kunnen we aan de hand hiervan een aantal eigenschappen van de regellus bestuderen. Het is duidelijk dat door de terugkoppeling de TF van in- naar uitgang veranderd is. Zonder terugkoppeling wordt het verband eenvoudig gegeven door G(p) of KG(p). Met terugkoppeling verandert dit verband in KG(p)/+KG(p)H(p). Hierdoor creëren we als het ware een volledig nieuw systeem met veranderde eigenschappen. De belangrijkste eigenschappen zijn hierbij: de stabiliteit, de snelheid en de nauwkeurigheid van het gesloten systeem. Deze laatste eigenschap wordt verder opgedeeld in de statische en de dynamische nauwkeurigheid. De statische nauwkeurigheid houdt verband met de statische fout of standfout, de dynamische nauwkeurigheid weerspiegelt het vermogen tot ruisonderdrukking in het gesloten systeem. De vermelde eigenschappen komen overeen met de eisen die vaak aan een regelkring gesteld worden. Bijvoorbeeld: We wensen een systeem op een zodanige wijze te regelen dat het geheel stabiel is (hetgeen steeds de voornaamste en eerste eis is), dat de uitgang (d.i. de te regelen grootheid) elke verandering van de setwaarde nauwkeurig volgt en dit liefst op een zo snel mogelijke wijze en dat het geregeld systeem een inherent vermogen heeft om eventuele toevallige invloeden van buiten af (met name ruis) te onderdrukken. Dit laatste wil zeggen dat het geregeld systeem een zekere robuustheid bezit zodat kleine veranderingen van het open systeem of storingen op het systeem geen invloed hebben op de waarde van de te regelen grootheid. Bovenstaande 'eisen' geven in feite het doel weer van de regeling. De keuze en instelling van de regelaar zal hierdoor bepaald worden. Maar vooreerst zullen we de verschillende eigenschapen afzonderlijk bespreken. 2.5 De (absolute) stabiliteit Een systeem is (absoluut) stabiel indien dit systeem bij het aanleggen van een bepaald (vast) signaal (een stap of een impuls) convergeert naar een bepaalde (eindige) waarde toe. Indien het daarentegen naar oneindig divergeert, dan is het systeem instabiel. (In feite gaat het hier om het overgangsverschijnsel dat al dan niet uitsterft.) Nu weten we reeds uit de beschrijving van het eerste en het tweede orde systeem, die de basisbouwstenen vormen van elk willekeurig systeem, dat de reactie van de uitgang op het aangelegde ingangssignaal bepaald wordt door de polen van het systeem. Elke reële pool a geeft een reactie van de vorm e at. (Zie Cursus Systeemtheorie) Elke complexe pool a + jb geeft een reactie van de vorm e at sin(bt). (Zie Cursus Systeemtheorie) Indien a positief is dan zal het uitgangssignaal naar oneindig divergeren. Het systeem is instabiel. Voor systemen met meerdere polen is het voldoende dat er één pool positief is om het systeem instabiel te maken. De totale reactie van het systeem is immers een combinatie van de afzonderlijke reacties t.g.v. de verschillende polen. Indien één van deze

5 reacties naar oneindig gaat, dan zal ook de som oneindig worden. Indien a = 0 dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Het systeem is marginaal stabiel. Bij het aanleggen van een stap (bij bv. een zuivere integrator) zal de uitgang langzaam naar oneindig toe evolueren. Bij het aanleggen van een impuls zal de uitgang een vaste waarde krijgen en niet terug naar haar evenwichtstoestand (0) gaan. In het bijzondere geval dat we complex toegevoegde polen hebben (tweede orde systeem) met het reëel deel gelijk aan nul (a = 0), zal de uitgang bij het aanleggen van een impuls gaan oscilleren ( sin(bt) ). -Dit alles om aan te geven wat juist de rand van de stabiliteit betekent.- Indien a negatief is, dan is het systeem (absoluut) stabiel. Naar mate dat a meer negatief is, wordt het systeem om zo te zeggen als maar meer stabiel. Uit de evaluatie van het nulpunten-polen diagram weten we dat de reactie van het systeem sneller wordt bij meer negatieve waarden van a. Door het toepassen van een terugkoppeling is de TF van het systeem veranderd. Bijgevolg zijn ook de polen van het systeem veranderd. De nieuwe polen vinden we als wortels van de noemer van de gesloten TF: + KG(p)H(p)=0 Bovenstaande vergelijking is per definitie de karakteristieke vergelijking van het gesloten systeem. De waarden van p die voldoen aan de karakteristieke vergelijking, zijn de polen van het gesloten systeem. Merk op dat G(p) bestaat uit de TF van het open systeem zelf en uit de TF van de regelaar op de versterkingsfactor K na. Door de juiste keuze van de regelaar en door de juiste keuze van de versterkingsfactor K, kunnen we er meestal voor zorgen dat alle polen van het gesloten systeem negatieve reële delen bezitten. De stabiliteit zoals hierboven beschreven, wordt ook absolute stabiliteit genoemd. Dit suggereert natuurlijk onmiddellijk het bestaan van een andere vorm van stabiliteit, namelijk de relatieve stabiliteit. Een systeem is relatief stabiel indien het overgangsverschijnsel voldoende snel verdwijnt of indien er voldoende demping is in het systeem. Hiervoor moeten de polen niet enkel in het linker halfvlak, maar ook ver genoeg van de imaginaire as liggen. Figuur 2.3 verduidelijkt dit. De polen in gebied 2 geven een te hevig oscillerende en te langzame reactie. 2 I 3 φ φ R : Absoluut instabiel 2 : Relatief instabiel (Absoluut stabiel) 3 : Absoluut en relatief stabiel φ = Figuur 2.3 : Relatieve en absolute stabiliteit i.f.v. de ligging van de polen. 2.6 Stabiliteit in het frequentiedomein

6 Naast het stabiliteitsonderzoek aan de hand van de ligging van de polen van het gesloten systeem, kan men de grens van de stabiliteit ook zoeken aan de hand van de frequentieafhankelijke versterking. Bij een sinus als ingangssignaal zal het systeem reageren door de aangelegde sinus in fase te verschuiven en te versterken of te verzwakken. De grootte van de versterking wordt gegeven door de absolute waarde van de TF, waarin we p vervangen door jω. ω stelt dan de pulsatie voor van de aangelegde sinus. Indien de versterking voor een bepaalde pulsatie oneindig groot wordt, dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Het is dan marginaal stabiel. In dit geval zal het overgangsverschijnsel niet meer 'overgaan', maar blijft zichzelf versterken en onderhouden. Concreet kunnen we het voorgaande toepassen op de gesloten TF: y(p) x(p) = KG(p) + KG(p)H(p) y(jω) x(jω) = KG(jω) + KG(jω)H(jω) De versterking wordt oneindig indien de noemer van de gesloten TF nul wordt: + KG(jω)H(jω) = 0 Hierbij zijn G(jω) en H(jω) complexe getallen. Het geheel is dus een complexe vergelijking of voor een bepaalde waarde van ω een complex getal. Eenvoudigheidshalve herschrijven we deze vergelijking als: KG(jω)H(jω) =. Indien KG(jω)H(jω) = - dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Dit is zo wanneer de absolute waarde van KG(jω)H(jω) = en de hoek van KG(jω)H(jω) = 80 of KG(jω)H(jω) = KG(jω)H(jω) = 80. Dit zijn twee zeer belangrijke en steeds terugkerende vergelijkingen bij het stabiliteitsonderzoek. Om het verband te zien met de vorige paragraaf wijzen we erop dat indien aan de bovenstaande vergelijkingen voldaan is, het gesloten systeem zuiver complex toegevoegde polen heeft. Deze polen zijn gelijk aan ± jω en liggen op de imaginaire as in het nulpuntenpolendiagram. Uit de beschrijving van het tweede orde proces weten we dat zulk een systeem als respons op een (eenmalige) impuls een altijd blijvende oscillatie vertoont. De oscillatiefrequentie is juist gelijk aan ω/2π en is eveneens gelijk aan de natuurlijke eigenfrequentie f n van het gesloten tweede orde systeem

7 Dat een systeem waarvoor KG(jω)H(jω) gelijk is aan -, marginaal stabiel is kunnen we ook aan de hand van de regelkring zelf uitleggen. Zie figuur 2.4. a + - c b K G ( p) H ( p) Figuur 2.4 : De regelkring als oscillator. Veronderstel dat we een sinus (a) aanleggen met een pulsatie ω die voldoet aan de vergelijking KG(jω)H(jω) = -. Dit doen we slechts heel kortstondig. Deze sinus zal zich doorheen de kring voortplanten. Dit wil zeggen dat de sinus begint als het signaal (b) en vervolgens door KG(jω)H(jω) wordt omgezet in een fase verschoven sinus met een 'andere' amplitude. Indien we naar de fase kijken van KG(jω )H(jω ) dan is deze 80. Wanneer de sinus in (c) aankomt (in feite gebeurt dit ogenblikkelijk), is zij dus 80 verschoven. Omdat de absolute waarde van KG(jω )H(jω ) =, zal de sinus noch versterkt, noch verzwakt zijn. In het punt (a) is het signaal ondertussen terug weggenomen. Hoe zal het signaal (b) er nu uitzien? Eenvoudig - (minteken bij het sommatie punt) maal het signaal (c). Dit wil zeggen gelijk aan het signaal (c) maar 80 verschoven omwille van het minteken of terug identiek gelijk aan het signaal waarmee we vertrokken waren. De éénmalig aangelegde sinus (weliswaar met de juiste pulsatie), blijft in de regelkring 'circuleren'. Zij onderhoudt als het ware zichzelf. Zo hebben we dus een oscillator: een mechanisme dat (aan de uitgang) steeds een sinus met een vaste frequentie (de oscillatiefrequentie) afgeeft. Hierbij kunnen we opmerken dat in de elektronica oscillatoren vaak gewenst zijn. Dit wil zeggen dat men met opzet de rand van de stabiliteit gaat zoeken. In dit geval is de naam 'rand van de stabiliteit' wel slecht gekozen. Het suggereert dat het systeem elk moment instabiel kan worden hetgeen een ongewenste situatie zou zijn. Dit is niet zo. Oscillatoren zijn wel degelijk gewenst! Voor mechanische systemen kan men algemeen zeggen dat men meestal zo ver mogelijk weg wil blijven van zulke 'resonantie-effecten' zoals een oscillatie er een is. Resonantie is een van de hoofdoorzaken voor vermoeiingsbreuk en dus voor het sneuvelen van de hele (mechanische) constructie. Een mooi voorbeeld van een instabiele regelkring wordt gegeven in figuur 2.5. Met behulp van een microfoon, een versterker en luidsprekers wordt bijvoorbeeld een toespraak of een muziekstuk versterkt weergegeven. Indien het door de boxen uitgestraalde geluid terug opgenomen wordt door de microfoon ontstaat een gesloten kring. Door het vergroten van de versterking kunnen we het systeem gemakkelijk instabiel maken. (Let wel op: het gaat hier niet om een regelkring met negatieve maar met positieve terugkoppeling die veel gemakkelijker instabiel wordt.)

8 2 3 4 o o o Figuur 2.5 : Voorbeeld instabiele kring (meekoppeling). Bij instabiliteit beginnen de luidsprekers te fluiten op één welbepaalde frequentie. Men kan deze frequentie zien als de waarde van ω waarvoor aan de instabiliteitsvergelijkingen voldaan wordt. De enige oplossing is hier de kring te onderbreken of de versterking drastisch te verkleinen. De meeste fysische systemen zijn van naturen uit stabiel. Anders zouden ze immers zichzelf vernietigen en dus ophouden te bestaan. Door de regelkring kan het echter gebeuren dat het gesloten systeem instabiel wordt. Dit kan beschouwd worden als het grote nadeel van terugkoppelen (afgezien van de systemen waar de permanente oscillatie gewenst is). Natuurlijk biedt de techniek van het terugkoppelen of dus eenvoudig de regeltechniek, ook verschillende voordelen. Men kan bijvoorbeeld het gedrag van het te regelen systeem aanpassen door de ligging van de polen van het gesloten systeem. (Zie vorige paragrafen). Andere voordelen zijn bijvoorbeeld de aanpassing van de reactiesnelheid en het verbeteren van de nauwkeurigheid. Deze komen in de paragrafen 2.8 tot 2.0 aan bod. Eerst zullen we echter twee 'parameters' aangeven om de maat van de stabiliteit van een systeem te kunnen bepalen

9 2.7 De graad van de stabiliteit: Amplitude- en Fasemarge Aan de hand van het Nyquist-diagram en het Bode-diagram kan men gemakkelijk nagaan of een systeem bij sluiten van de regelkring instabiel is. Deze twee diagrammen geven immers de versterking en de faseverschuiving weer van de beschouwde TF voor alle mogelijke pulsaties. Indien voor één bepaalde pulsatie de versterking gelijk is aan en de faseverschuiving (voor die zelfde pulsatie) gelijk is aan -80, dan is het gesloten systeem met de beschouwde TF als open systeem, marginaal stabiel. Let op: we zullen de diagrammen tekenen voor het open systeem KGH, terwijl de besluiten die we trekken i.v.m. de stabiliteit gelden voor het gesloten systeem. Uiteindelijk doen we niets anders dan de vergelijking KG(jω)H(jω) = - te vertalen voor de diagrammen. Indien we bijvoorbeeld het Nyquist-diagram van de functie KG(jω)H(jω) kennen, dan moeten we enkel controleren of de Nyquist-kromme samenvalt met het punt - voor een bepaalde pulsatie. Dit is zo in figuur 2.6. Het gesloten systeem [KG(jω)/ +KG(jω)H(jω)] zal marginaal stabiel zijn. Bedenk hierbij dat K een bepaalde waarde heeft, namelijk die waarde die het gesloten systeem marginaal stabiel maakt: K M. (Versterking M) (Fazeverschuiving ϕ) I m ω = ϕ M Nyquist-vlak Κ ω = 0 R e Nyquist-kromme van KGH Figuur 2.6 : Nyquist-kromme van open systeem voor een marginaal stabiel gesloten systeem. Indien we de waarde van K kleiner maken dan K M krijgen we figuur 2.7 (a). Alle vectoren zijn verkleind, hetgeen betekent dat voor alle frequenties de versterking verkleint. Indien we K vergroten krijgen we net het omgekeerde. Zie figuur 2.7 (b). Een van de twee Nyquist-krommen uit figuur 2.7 geeft aanleiding tot een instabiel gesloten systeem. Intuïtief kunnen we zeggen dat figuur 2.7 (b) overeenstemt met het instabiel gesloten systeem. Uit het 'micro-versterker-luidspreker' systeem weten we immers dat we de versterking sterk moeten reduceren om het geheel stabiel te maken. Op het ogenblik dat de faseverschuiving -80 is moet de (kring-) versterking kleiner zijn dan. (Figuur 2.7 (a)). Indien dit niet zo is, dan zal het aangelegd signaal na elke rondgang in de regelkring terug aan de ingang van het open systeem verschijnen (met dezelfde fase omdat het minteken de 80 faseverschuiving opheft), maar telkens met een factor groter dan één versterkt. Het rondlopend signaal wordt dus alsmaar groter en gaat in amplitude naar oneindig toe. Indien de versterking daarentegen kleiner is dan één (bij de vector met fase -80 ), dan zal het rondlopend signaal keer op keer verzwakt worden en bijgevolg uiteindelijk nul worden. Dit laatste is per definitie een stabiel gedrag

10 Nyquist-vlak I m I m ω = K < K ω = 0 M R e ω = ω = 0 K >K 2 R e M (a) stabiel Nyquistkromme van KGH (b) instabiel Figuur 2.7 : Nyquist-kromme voor een stabiel (a) en een instabiel (b) gesloten systeem. De stabiliteit hangt bijgevolg af van de waarde van K. Meestal geldt: Hoe kleiner K, hoe stabieler het systeem. Dit suggereert dat er een soort graad van stabiliteit bestaat. Deze graad van stabiliteit wordt weergegeven door de amplitudemarge en de fasemarge als volgt gedefinieerd: De amplitudemarge (AM) is de extra in te stellen (open-kring) versterking waardoor het gesloten systeem op de rand van de stabiliteit komt te liggen. De amplitudemarge is bijgevolg de factor waarmee we de vector met fase -80 moeten vermenigvuldigen om lengte te krijgen. De fasemarge (FM) is het verschil in graden tussen het punt - en de vector met lengte. Het punt - heeft natuurlijk een hoek van -80. De fasemarge geeft dus aan hoeveel de fase van KG(jω)H(jω) bij een modulus van nog mag afnemen voordat de waarde -80 bereikt wordt. Voor een extra versterking K gelijk aan de amplitudemarge gaat de Nyquist-kromme van KGH door het punt - (zoals figuur 2.6 toont). I m Nyquist-vlak Vector onder lengte M - M R e FM I m Vector met lengte hoek ϕ ϕ R e AM = /M Nyquist-kromme van KGH. FM = 80 - ϕ Figuur 2.8 : Bepaling van amplitude- en fasemarge in het Nyquist-diagram

11 De amplitudemarge (Eng. Gain Margin) wordt ook vaak de versterkingsmarge, de winstmarge of de winstspeling genoemd. Ze kan uitgedrukt worden als een factor (dimensieloos) of in db. De decibel-waarde is gelijk 20 maal het logaritme van de factor-waarde. De fasemarge wordt ook wel een fasespeling genoemd. Figuur 2.8 geeft aan hoe we de amplitude- en fasemarge in het Nyquist-diagram kunnen terug vinden. De meest geëiste waarden voor amplitude- en fasemarge zijn:,8 < AM < 0 of 5 db < AM < 20 db en 30 < FM < 70 Analoog aan de bespreking van de stabiliteit in het Nyquist-vlak, gaan we nu het Bode-diagram gebruiken om de stabiliteit van het gesloten systeem te bepalen (en dit zoals steeds aan de hand van de TF van het open systeem!!!) We zoeken de pulsatie ω s die voldoet aan de (complexe) vergelijking KG(jω)H(jω) = -. Figuur 2.9 geeft een mogelijk Bode-diagram van de functie KG(jω)H(jω). Het Bode-diagram geeft de versterking in db en de fase in graden weer i.f.v de pulsatie ω. Amplitude [db] KGH 0 db ω s ω [r/s] Fase [ ] KGH ω [r/s] Figuur 2.9 : Bode-diagram overeenkomstig een marginaal stabiel gesloten systeem. Voor de pulsatie ω s = 00 r/s, is de functie KG(jω)H(jω) in absolute waarde gelijk aan, hetgeen overeenkomt met een versterking van 0 db en is de hoek van KG(jω)H(jω) gelijk aan -80. Dit zijn de voorwaarden waaraan voldaan moet zijn opdat het gesloten systeem waarvan KG(jω)H(jω) de open TF vormt, marginaal stabiel is. Bij het aanleggen van een impuls zal in het gesloten systeem een permanente oscillatie ontstaan met een pulsatie van 00 r/s. In het voorgaande had K één welbepaalde waarde. Stel dat we de waarde van K verkleinen naar K. Uit de bespreking van de stabiliteit aan de hand van het Nyquist-diagram en aan de hand van het 'micro-versterker-luidspreker' voorbeeld weten we reeds dat een marginaal stabiel systeem bij het verkleinen van de versterkingsfactor (kringversterking) stabiel wordt (op enkele zeer uitzonderlijke gevallen na). Wat gebeurt er echter met het Bode-diagram indien we K verkleinen? Het faseverloop zal niet veranderen omdat de versterkingsfactor geen invloed heeft op de fase. Het amplitude verloop zal echter lager komen te liggen of m.a.w. de frequentieafhankelijke versterking daalt. Dit geeft dan bijvoorbeeld figuur

12 Amplitude [db] K < K M K GH 0 db AM ω [r/s] Fase [ ] K GH FM ω[r/s] Figuur 2.0 : Bode-diagram overeenkomstig een stabiel gesloten systeem. In het Bode-diagram uit figuur 2.0 zien we: op het ogenblik dat de versterking 0 db is, is de faseverschuiving nog kleiner dan -80. Het verschil tussen de huidige fase en -80 is de fasemarge (FM). op het ogenblik dat de fase -80 wordt, is de versterking kleiner dan of dus kleiner dan 0 db. De afstand tussen de huidige versterking (in db) en de 0 db-lijn is gelijk aan de amplitudemarge AM. Beide AM en FM zijn positief. Indien K daarentegen vergroot zal het gesloten systeem volledig instabiel zijn. Fguur 2. geeft het Bode-diagram weer. Amplitude [db] K 2 > K M K 2 GH 0 db AM negatief ω [r/s] Fase [ ] K 2 GH negatief FM ω [r/s] Figuur 2. : Bode-diagram overeenkomstig een instabiel gesloten systeem. We stellen vast: op het ogenblik dat de fase -80 wordt, is de amplitude nog groter dan 0 db. op het ogenblik dat de amplitude 0 db is, is de fase reeds voorbij de -80. AM en FM moeten beide negatief gerekend worden. Het gesloten systeem overeenkomstig de open TF K 2 GH is instabiel

13 2.8 De statische nauwkeurigheid De statische nauwkeurigheid van een systeem wordt bepaald door de 'statische fout': d.i. de standfout, de volgfout of de versnellingsfout. Hoe kleiner de 'statische fout', hoe nauwkeuriger het systeem. De achter liggende redenering is de volgende: veronderstel dat we een bepaald signaal (uitgangsgrootheid) willen regelen m.b.v. een bepaalde setwaarde, dan is het natuurlijk de bedoeling dat de uitgang de ingang zo nauwkeurig mogelijk volgt. Indien wij bij een motor aangeven dat het gewenste toerental 3000 tr/min bedraagt, dan verwachten we natuurlijk ook dat dit toerental bereikt wordt. Misschien moeten we hier lang genoeg voor wachten, in de limiet zelfs tot oneindig. Zolang de gewenste, aangelegde waarde aan de uitgang bereikt wordt, is de statische fout nul. Er zijn drie soorten van statische fouten: de standfout, de volgfout en de versnellingsfout. De standfout is de uiteindelijke fout wanneer we als ingang een stap aanleggen. Voor de volgfout moet de ingang een ramp-functie zijn en bij de versnellingsfout is de ingang parabolisch. De standfout Indien we een stap aanleggen van grootte en het uitgangssignaal volgt deze stap niet volledig, dan spreken we van een standfout. De standfout ( ε ss ) is het verschil tussen het aangelegde stapsignaal met grootte en de uiteindelijke waarde van het uitgangssignaal (ingang - uitgang). Indien de aangelegde stap in grootte niet gelijk is aan dan is de standfout gelijk aan: ε ss = de grootte van de aangelegde stap - de uiteindelijke waarde van de uitgang de grootte van de aangelegde stap De standfout is dus de blijvende afwijking van de uitgang t.o.v. de stapvormige ingang en wordt procentueel uitgedrukt. stap Uitgang tijd +p tijd stap /2 Uitgang Standfout tijd + - +p tijd Figuur 2.2 : Voorbeeld standfout

14 Neem als voorbeeld de regelkring uit figuur 2.2. Het systeem bestaat uit een eenvoudig eerste orde proces (bijvoorbeeld een RC keten). Indien er geen terugkoppeling is, zal bij het aanleggen van V, de uitgang (de spanning over de condensator) uiteindelijk ook V (volt) worden. Indien we een eenheidsterugkoppeling toepassen, wordt de gesloten TF: +p + +p = 2 + p = 2 + p 2 Dit is terug de TF van een eerste orde proces maar met een verkleinde tijdconstante en een verkleinde versterkingsfactor. De uiteindelijke waarde van dit gesloten systeem bij het aanleggen van een eenheidsstap vinden we door de frequentie 'nul' in te vullen in de TF. In feite geeft dit de versterking van een signaal met frequentie nul, hetgeen een stap is. We vinden als eindwaarde voor het gesloten systeem 0,5. Indien de terugkoppeling er niet was, dan was de eindwaarde van de uitgang gelijk aan (en gelijk aan het aangelegde signaal). De fout tussen beide eindwaarden is - 0,5 = 0,5. Dit wil zeggen dat de standfout gelijk is aan 0,5. Indien we een systeem hebben dat de ingang perfect volgt, dan kan er door de terugkoppeling toch een standfout ontstaan, of m.a.w. de uitgang van het gesloten systeem volgt de ingang niet meer perfect. Dit is een tweede nadeel van een terugkoppeling. (We zullen echter zien dat we dit nadeel volledig kunnen opheffen door gebruik te maken van een I-regelaar). Hoofdstuk 4 zal nog een rekenvoorbeeld geven omtrent de standfout. In de volgende paragrafen leiden we algemeen af hoe groot de standfout is en wanneer een standfout al dan niet optreedt. We nemen hiervoor het algemeen regelschema uit figuur 2.3. Hierbij is G bijvoorbeeld een perfect volgsysteem G(0) =, d.w.z. de uitgang Y van G wordt uiteindelijk altijd gelijk aan de aangelegde stap X op voorwaarde dat de versterkingsfactor K =, maar G mag ook een ander gedrag vertonen. X + - E KG ( p ) Y Figuur 2.3 : Afleiding van de standfout. Indien we de terugkoppeling sluiten, is de uiteindelijke waarde van Y niet noodzakelijk gelijk aan X. Het verschil X -Y wordt op elk ogenblik gegeven door E. Het uiteindelijk verschil, de standfout, is bijgevolg gelijk aan de uiteindelijke waarde van E. We zoeken derhalve de TF E/X en vullen dan p = 0 in om de eindwaarde van E t.g.v. een stap te kennen. Uit figuur 2.3 kunnen we bepalen dat: E(p) X(p) = + KG(p) ε ss lim e(t)= t + KG(0)

15 G(0) geeft in feite de statische versterking weer van het open systeem (met K = ). Meestal is G(0) =, zodat de standfout gelijk is aan /+K. Hieruit kunnen we besluiten dat de standfout verkleint, naar mate K vergroot. De kringversterking KG(0) moet dus zo groot mogelijk gekozen worden om de standfout zo klein mogelijk te maken. KG(0) wordt ook de standfoutconstante K p genoemd. In het geval dat G(0) =, zal de standfout nul zijn. Hiervoor moet G(p) minstens één factor van de vorm /p bevatten. Zoals we reeds gezien hebben, is /p de TF van een integrator. We kunnen dus besluiten dat de standfout van het gesloten systeem nul zal zijn indien het open systeem een integrator bevat. De uiteindelijke waarde van Y voor het gesloten systeem bij het aanleggen van een éénheidsstap, is gelijk aan minus de standfout of, gegeven dat H(0)=, levert dit: lim y(t)= ε ss = t + KG(0) = KG(0) + KG(0) Opmerking: In wat vooraf ging hebben we intuïtief geredeneerd met de statische versterking om de eindwaarde te bekomen. Algemeen kan de eindwaarde bekomen worden met het eindwaarde theorema van Laplace: lim y(t)= lim py(p) t p 0 Y(p) is de Laplace-formule voor het uitgangssignaal dat we vinden als het produkt van de Laplace-formules van het ingangssignaal en de TF. G(p) Y(p)=X(p) + G(p) = p G(p) + G(p) Indien we deze waarde invullen in het eindwaarde theorema, dan valt de factor /p weg tegen de factor p uit het eindwaarde theorema en bekomen we het zelfde resultaat als voorheen, namelijk: gewoon p = 0 invullen in de TF

16 De volgfout Indien het ingangssignaal een talud-functie is, dan is de blijvende fout tussen uitgang en ingang per definitie de volgfout. De uiteindelijke waarde van het signaal e uit figuur 2.3 kunnen we als volgt berekenen: lim e(t)= lim pe(p)= lim t p 0 p 0 m p p 2 = lim m + KG(p) p 0 p + pkg(p) Hierin is m/p² de Laplace voorstelling van een ramp- of talud-functie. Indien G(p) geen enkele integrerende factor /p bezit, is de bovenstaande limiet oneindig. Dit wil zeggen dat het verschil tussen het aangelegd en het gemeten signaal uiteindelijk oneindig groot zal worden. Indien G(p) juist eenmaal een integrerende factor /p bezit dan vinden we voor de volgfout een eindige waarde: lim e(t)= m t K v,k v noemen we de snelheidsfoutconstante = lim pg(p) p 0 Indien G(p) twee of meer integrerende factoren /p bezit, dan is de volgfout nul: Neem bijvoorbeeld G(p)=, dan is lim e(t)= lim m = 0. p 2 ( +τp) t p 0 p + K p( +τp) De versnellingsfout Indien het ingangssignaal een parabolische functie is, dan wordt de blijvende fout tussen uitgang en ingang de versnellingsfout genoemd. De uiteindelijke waarde van het signaal e uit figuur 2.3 kunnen we nu als volgt berekenen: lim e(t)= lim pe(p)= lim t p 0 p 0 a p p 3 = lim a + KG(p) p 0 p 2 + p 2 KG(p) waarbij a/p³ de Laplace voorstelling van een parabolische functie is. Op een analoge wijze als voorheen kunnen we afleiden dat de versnellingsfout oneindig is indien G(p) geen enkele of slechts één integrerende factor /p bezit, de versnellingsfout oneindig is. Indien G(p) twee integrerende factoren /p bezit, dan is de versnellingsfout eindig: lim e(t)= a t K a,k a noemen we de versnellingsfoutconstante lim p 2 G(p). = p

17 Samenvatting Algemeen is TF(p) steeds te schrijven als: TF(p)= K( +τ a p)( +τ b p)( +τ c p)... p n ( +τ p)( +τ 2 p)( +τ 3 p)... Indien n = 0, dan spreken we van een type nul systeem. Indien n =, dan hebben we een type één systeem, n = 2 geeft een type twee systeem enz. Afhankelijk van het type van het systeem en het ingangssignaal kunnen we nu de statische fout aangeven. Figuur 2.4 geeft een overzicht. Statische fout Ingang E p m p² a p³ Systeemtype Stap Ramp Parabolisch 0 eindig = + K p 0 eindig = K v eindig = K a met K p K v K a de standfoutconstante de snelheidsfoutconstante de versnellingsfoutconstante lim TF(p) p 0 lim p.tf(p) p 0 lim p².tf(p) p 0 Figuur 2.4 : Grootte van de statische fout i.f.v. het systeemtype en het ingangssignaal

18 2.9 Ruisonderdrukking (dynamische nauwkeurigheid) Het grote voordeel van een regelkring is het vermogen om willekeurige fouten ten gevolge van allerlei ongekende storingen te onderdrukken of zelfs te elimineren. Elk signaal is onderhevig aan storingen, waarop we meestal maar weinig vat hebben. Denk aan capacitieve koppelingen, aan magnetische stormen, parasitaire signalen of gewoon ruis in het algemeen. Indien de storing éénmalig en blijvend is, spreken we van een statische storing en kan de storing een standfout veroorzaken. De grootte van de blijvende fout hangt af van de TF's uit de regelkring, zoals beschreven in de vorige paragraaf. Een mooi voorbeeld is een motor, die in vrijloop tegen 3000 tr/min draait, maar bij belasting (wrijving) bijvoorbeeld nog maar 2000 tr/min haalt. De standfout bedraagt hier dan 000 tr/min. Tegenover de statische storingen heeft men ook wisselende of dynamische storingen zoals bv. ruis. Ruis is een stoorsignaal dat gemiddeld gelijk is aan nul, maar willekeurige positieve en negatieve afwijkingen heeft. Om na te gaan hoe de regelkring of meer in het bijzonder hoe de uitgang reageert op wisselende storingen, nemen we het schema uit figuur 2.5. Bij de eigenlijke uitgang van het systeem (het punt na G) treedt een stroring op. Het ongekende stoorsignaal wordt aangeduid met het symbool S. De gemeten uitgang y is gelijk aan de som van de eigenlijke uitgang van het systeem G en het stoorsignaal S. Dit wil zeggen dat we de eigenlijke uitgang of de uitgangswaarde zonder storing niet kennen. De vraag stelt zich daarom: 'in welke mate komt de huidige uitgang Y nog overeen met de uitgang zonder stoorsignaal?' Hiervoor berekenen we de TF van het volledige systeem met stoorsignaal en vergelijken dit met hetzelfde systeem maar dan zonder storing of met S = 0. X + E + K G ( p) - H ( p) + storing S Y Figuur 2.5 : Regelkring met stoorsignaal. Uit figuur 2.5 kunnen we volgende vergelijkingen afleiden: E(p)=X(p) H(p)Y(p) Y(p)=S(p)+KG(p)E(p) Y(p)=S(p)+KG(p)[X(p) H(p)Y(p)] Uiteindelijk vinden we Y i.f.v. de twee ingangssignalen X en S: Y(p)= KG(p) + KG(p)H(p) X(p)+ + KG(p)H(p) S(p)

19 We zien dus dat de uitgang Y bepaald wordt door de ingang X en door het stoorsignaal S telkens via een bepaalde TF. Indien we het stoorsignaal S gelijk aan nul stellen vinden we de gekende standaard TF van het gesloten systeem. Het verschil tussen de huidige uitgang Y en de uitgang Y zonder de storing wordt gegeven door: + KG(p)H(p) S(p)=F(p) F geeft de fout op de uitgang t.g.v. het stoorsignaal S. De fout op de uitgang is dus niet gelijk aan de storing!! De grootte van de fout hangt af van de TF = /+KGH. De absolute waarde van deze TF geeft voor elke frequentie weer in welke mate de storing versterkt of onderdrukt wordt. Indien de noemer +KGH groot is, dan wordt de storing zonder meer weggedeeld. Indien de noemer klein is dan wordt de storing (overeenkomstig de frequenties waarvoor de noemer klein is) versterkt. Indien de noemer +KGH ongeveer gelijk is aan, dan wordt de storing zonder versterking of verzwakking doorgegeven naar de uitgang. Men dient er dus voor te zorgen dat de absolute waarde van /+KGH zo klein mogelijk is, en dat dit zo lang mogelijk blijft, zonder de voorwaarden i.v.m. de stabiliteit in het gedrang te brengen. Figuur 2.6 vat het bovenstaande samen. We zien hier al dat een grote versterking K goed van pas kan komen. Merk op dat de fout op Y bij een statische storing zoals beschreven in paragraaf 2.8 ook hier gevonden kan worden door p = 0 in te vullen (ga dit na). A [db] 20log + KGH 0 ω Storing onderdrukt Storing versterkt Regelkring zonder effect op storing Figuur 2.6 : Verband tussen de TF /+KGH en de ruisonderdrukking. De storingsonderdrukking bij een regllus kan ook rechtstreekts uit het Nyquist-diagram afgeleid worden. Een storing op een gegeven pulsatie ω, wordt immers onderdrukt met een factor gelijk aan de absolute waarde van +KG(jω)H(jω). Dit is de lengte van een vector vanuit het punt - naar het punt KG(jω)H(jω) op de Nyquist-kromme. Figuur 2.7 geeft een voorbeeld voor een klassieke Nyquist-kromme. Bij lage frequenties is de lengte van [+KG(jω)H(jω)] veel groter dan. Storingen op deze frequentie worden goed onderdrukt. In de buurt van ω s is ook de lengte van [+KG(jω s )H(jω s )] ongeveer gelijk aan. Storingen rond deze frequentie worden door de regellus zonder meer doorgelaten. Voor nog grotere frequenties is de lengte van [+KG(jω)H(jω)] kleiner dan. Storingen in dit frequentiebereik worden door de regellus zelfs versterkt. Deze besluiten stemmen volledig overeen met figuur

20 I m + KGH ω = KGH ω = 0 Κ R e ω s Nyquist-kromme van KGH Figuur 2.7 : Bepaling van de storingsonderdrukking van de regellus op basis van de Nyquist-kromme. 2.0 Snelheid van de regeling Een belangrijk voordeel van een regelkring kan erin bestaan de snelheid van het te regelen systeem te vergroten. We tonen dit aan aan de hand van een eerste orde systeem met tijdconstante τ en versterkingsfactor K. Indien we rond dit systeem een terugkoppeling plaatsen (zie figuur 2.8), krijgen we volgend gesloten systeem: TF gesloten = K K+ + τ K+ p Dit wil zeggen dat de tijdconstante van het gesloten eerste orde systeem altijd kleiner is dan de oorspronkelijke tijdconstante. Een kleinere tijdconstante betekent eveneens een sneller systeem. Door de terugkoppeling hebben we dus een sneller systeem gemaakt. In de limiet wanneer K oneindig is, krijgen we een perfect volgsysteem, zonder standfout en oneindig snel. Een oneindige versterkingsfactor is fysisch gezien echter nooit mogelijk en bovendien is een te hevige reactie van het systeem meestal ook niet gewenst. + K + τ p Figuur 2.8 : Eenheidsterugkoppeling bij een eerste orde systeem. De snelheidseigenschap van een systeem wordt ook wel eens de velociteit genoemd. Deze laatste geeft ook aan tot welke frequentie een goede ruisonderdrukking plaats vindt. Beide eigenschappen kunnen in verband gebracht worden met de snijpulsatie ω s (snijding met de 0-decibel lijn) van het open systeem. Hoe groter ω s, hoe sneller het gesloten systeem en hoe beter de ruisonderdrukking bij hogere frequenties. Om de snelheid van het gesloten systeem in verband te brengen met de snijpulsatie maken we volgende denkoefening: Uit bovenstaande formule volgt dat de snelheid van het gesloten systeem vergroot indien de tijdconstante τ verkleint of indien de versterking K vergoot. Neem het amplitede verloop van het eerste orde systeem, weergegeven in figuur 2.9. Bij stijgende

21 versterking K vesrchuift ω s naar rechts, dit is naar grotere waarden. Dit zal ook gebeuren bij vekleinde τ. Een grotere waarde voor ω s is bijgevolg een indicatie van een sneller (gesloten) systeem. A [db] Snijpulsatie 0,/τ /τ 0/τ ω Oorspronkelijk systeem A [db] Grotere snijpulsatie A [db] Grotere snijpulsatie Kleinere tijdconstante ω Grotere versterking ω Figuur 2.9 : De snelheid van het gesloten systeem wordt aangegeven door de snijpulsatie ω s. Voor het standaard tweede orde systeem kunnen we volledig analoge afleidingen en besluiten trekken (Doe dit!). 2. Besluit De regelkring is een onmisbaar onderdeel bij elke stap tot automatisatie. Bij een automatisch proces is het immers van belang de procesgrootheden (in- en uitgangssignalen) te meten en te controleren. Indien de gemeten toestand niet overeenstemt met de gewenste toestand is een ingrijpen door het terugkoppelen van de gemeten informatie noodzakelijk. Hiermee is de basis gelegd van de regelkring. Dit hoofdstuk bespreekt de eigenschappen van de regelkring. Hierbij valt onmiddellijk op dat het toepassen van een terugkoppeling niet enkel voordelen met zich meebrengt. Elke regelkring dient qua stabiliteit onderzocht te worden omdat de inherente 'natuurlijk' stabiliteit van het open systeem door de terugkoppeling niet meer verzekerd is. Bij het stabiliteits- onderzoek zijn de amplitude- en fasemarge een goed middel om de graad van de stabiliteit te bepalen. Bovendien kan door terugkoppeling een ongewenste standfout ontstaan. Door de gepaste keuze van de regelaar, van de versterkingsfactor en van de instelparameters, zoals ook hoofdstuk 3 nog zal aangeven, wordt het gedrag van het gesloten systeem niet enkel stabiel, maar kan de ontwerper bovendien het systeemgedrag, bijvoorbeeld qua reactiesnelheid en nauwkeurigheid, volledig naar de hand zetten. Tenslotte dient het grote voordeel van een regelkring nogmaals onderlijnd te worden: elke goede regelkring onderdrukt (tot op een bepaalde hoogte) ongekende, (wisselende) storingen op het uitgangssignaal, waardoor het gesloten systeem een zekere robuustheid krijgt tegenover veranderingen of storingen vanuit de omgeving en zelfs tegen veranderingen van zichzelf