WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies

Transcriptie

1 WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 11 - Dynamica van lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies

2 Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke methoden Oplossingen DVs Convergentie numerieke methoden Dynamica Scalaire dynamica Dynamica op R d Lineaire dynamica op R 2 Bijzondere gevallen Lineaire kansmodellen (Markovketens) Niet-autonome systemen (Resonantie) Hogere orde numerieke methoden

3 d = det spiraal 1 = 2 2 C knoop centrumpunt d = s 2 /4 1,2 2 R s = spoor zadelpunt

4 1 = 1.5, 2 =.8 v 1 = 1, v 2 = 1 Vector Field Phase portrait Stable node

5 1 =1.5, 2 =.8 v 1 = 1, v 2 = 1 Vector Field Phase portrait Unstable node

6 1 = 1.5, 2 =.8 v 1 = 1, v 2 = 1 1 Vector Field Phase portrait Stable node

8 1 = 1.5, 2 =.8 v 1 = 1, v 2 = 1 Vector Field Phase portrait Saddle point

9 1 = 1.5, 2 =.8 v 1 = 1, v 2 = 1 1 Vector Field Phase portrait Saddle point

11 1,2 = ±2i Vector Field Phase portrait Center point

12 1,2 = ±2i Vector Field Phase portrait Center point

14 1,2 =.5 ± 1. i Vector Field Phase portrait Stable spiral (focus)

15 1,2 =.5 ± 1. i Vector Field Phase portrait Stable spiral (focus)

17 O φ l Ft Fl Massa m slingert aan een gewichtsloos touw van lengte. Snelheid massa: v = φ. Versnelling: a = φ. EÆect zwaartekracht (in bewegingsrichting): F t = mg sin(φ). mg Wrijving: F w = cφ. Grootte afremming evenredig snelheid. Newton. F = ma mg sin(φ) cφ = mφ

18 Slinger φ = c m φ g φ q c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν g φ(t) = Re γe iνt = γ cos(νt+ δ) voor zekere constante γ C. Omdat γ C is γ = γ e iδ voor zekere δ [, 2 π). Schrijf C γ. Dan C R.

19 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π).

20 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). De oplossing φ is een harmonische oscillatie met frequentie ν, fase δ en amplitude C.

21 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). C en δ hangen af van de begin voorwaarden. Voorbeeld. Als φ() = α en φ () = dan φ(t) =α cos(νt).

22 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = c 2 m ± r c 2 4 m 2 ν2 = ρ ± met ρ c 2 m = Re(λ 1) en ν q g. λ 1 en λ 2 zijn de nulpunten van p(λ) λ 2 +2ρλ+ ν 2. q ρ 2 ν 2

23 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: γ = γ e iδ = Ce iδ. q ρ 2 ν 2 met ρ c q q ρ 2 ν 2 = i ν 2 ρ 2 en µ q φ(t) = Re γ exp( ρt+ i ν 2 ρ 2 t) 2 m,ν q g.

24 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: q ρ 2 ν 2 met ρ c 2 m,ν q g. q φ(t) =C exp( ρt) cos( ν 2 ρ 2 t + δ) Demping ρ>: Oscillerende demping als ρ<ν Amplitude verkleint in de tijd met de factor e ρt q De frequentie verschuift van ν naar ν 2 ρ 2.

25 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: q ρ 2 ν 2 met ρ c q φ(t) =C exp( ρt) cos( Opmerking. λ 1 = λ 2 = ν. Als ρ ν dan 2 m,ν q g. ν 2 ρ 2 t + δ) q ν 2 ρ 2 ν.

26 2.5 2 In het complexe vlak, λ 1 en λ 2 met ρ=re(λ 1 )< en λ 1 =ν iν ζ zodat ζ =ν iν λ 1 and λ ρ

27 2.5 2 In het complexe vlak, λ 1 en λ 2 met ρ=re(λ 1 )< en λ 1 =ν iν ζ zodat ζ =ν iν λ 1 and λ ρ

28 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: q ρ 2 ν 2 met ρ c q φ(t) =C exp( ρt) cos( Opmerking. λ 1 = λ 2 = ν. Als ρ ν dan 2 m,ν q g. ν 2 ρ 2 t + δ) q ν 2 ρ 2 ν. Conclusie. Demping is sterker dan frequentieverschuiving. Vb. ν = 1, c m =.1. Dan p ρ 2 ν 2 = i.9975 = i φ(t) =C exp(.5 t) cos(.9987 t + δ).

29 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: ρ ν: q ρ 2 ν 2 met ρ c 2 m,ν q g. q φ(t) =C exp( ρt) cos( ν 2 ρ 2 t + δ) q ρ 2 ν 2 R q φ(t) =C 1 exp([ ρ + ρ 2 ν 2 q ]t)+c 2 exp([ ρ ρ 2 ν 2 ]t) q φ(t) C 1 exp([ ρ + ρ 2 ν 2 ]t) voor t

30 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: ρ ν: q ρ 2 ν 2 met ρ c q φ(t) =C exp( ρt) cos( φ(t) C 1 exp µ [ ρ + q ρ 2 ν 2 ]t 2 m,ν q g. ν 2 ρ 2 t + δ) voor t Demping ρ>: Kritische demping als ρ = ν. Overdemping als ρ>ν

31 Slinger φ = c m φ g φ c = : λ 1 = λ 2 = iν met ν q g φ(t) =C cos(νt + δ) voor zekere constanten C [, ) en δ [, 2 π). c>: λ 1,2 = ρ ± ρ<ν: q ρ 2 ν 2 met ρ c 2 m,ν q g. q φ(t) =C exp( ρt) cos( ν 2 ρ 2 t + δ) Demping ρ>: oscillerende demping als ρ<ν kritische demping als ρ = ν overdemping als ρ>ν Kritische demping: snelst terug naar de rust situatie

32 Geen demping, harmonische oscillatie ( = ρ) Gedempte slinger, ν=1, c/l= 1 t φ(t)

33 Oscillerende demping ( <ρ<ν) Gedempte slinger, ν=1, c/l=.1 1 t φ(t)

34 Kritische demping (ρ = ν) Gedempte slinger, ν=1, c/l=1 1 t φ(t)

35 Overdemping (ρ >ν) Gedempte slinger, ν=1, c/l=1.1 1 t φ(t)

36 Slinger φ = c m φ g φ Wiskunde: λ i eigenwaarden (van A = " c m g # 1 ). Dagelijks taalgebruik: Im(λ i ) eigenfrequentie van het systeem. p(λ) λ 2 + c m λ + g = s =spoor= c m = 2ρ en d = det = g = ν2. c verhogen (= wrijving verhogen = demping verhogen) betekent spoor verlagen.

37 4 De Slinger: s en d bij oplopende wrijving (demping) 3 stabiele spiraal centrumpunt instabiele spiraal 2 overdemping kritische demping gedempt oscillatie d harmonische oscillatie 4d=s 2 1 s=2ρ, d=ν 2 stabiele knoop instabiele knoop s 1 2 zadelpunt zadelpunt Horizontaal: s=spoor. Verticaal: d=det

38 Slinger φ = c m φ g φ Opmerkingen. In de bovenstaande analyse hebben we aangenomen dat φ(t) voor iedere t zo klein is dat sin(φ(t)) φ(t). (In een volgende les laten we deze aanname vallen.) Verder hebben we aangenomen dat de grootte van de wrijving evenredig is met de grootte van de snelheid. In geval van luchtweerstand is dit maar alleen correct bij lage snelheden (de wet van Stokes). Bij grotere snelheden is de wrijving door luchtweerstand evenredig met de snelheid in het kwadraat (wet van Rayleigh).

39 Vast spoor, oplopende determinant A = " 1 1 ε 1 # s =spoor= 2, d = det = 1 ε

40 4 s en d bij oplopende d 3 stabiele spiraal centrumpunt instabiele spiraal 2 d 4d=s 2 1 kritische demping stabiele knoop instabiele knoop kam s 1 zadelpunt 2 zadelpunt zadelpunt Horizontaal: s=spoor. Verticaal: d=det

41 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε= 2, s= 2, d= 1

42 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 =.48888, λ 2 = ε= 1.1, s= 2, d=.1

43 1.6 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε= 1.1, s= 2, d=.1: r tijd t

44 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 2, λ 2 = ε= 1, s= 2, d=

45 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 2, λ 2 = ε= 1, s= 2, d=

46 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 2, λ 2 =.7.6 ε= 1, s= 2, d=: r tijd t

48 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε=.9, s= 2, d=.1

49 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε=.9, s= 2, d=.1: r tijd t

50 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε=.1, s= 2, d=.9

51 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε=.1, s= 2, d=.9: r tijd t

52 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1, λ 2 = ε=, s= 2, d=1

53 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1, λ 2 = ε=, s= 2, d=1: r tijd t

55 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε=.1, s= 2, d=1.1

56 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε=.1, s= 2, d=1.1: r tijd t

57 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1+1 i, λ 2 = 1 1 i ε= 1, s= 2, d=2

58 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1 1 i, λ 2 = 1+1 i.8.6 ε= 1, s= 2, d=2: r tijd t

59 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε= 8, s= 2, d=9

60 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i.5 ε= 8, s= 2, d=9: r tijd t

61 Vast determinant, aflopende spoor A = " # ε 1 1 s =spoor=ε, d = det = 1 Voorbeeld. Slinger. Met y = φ, x = φ φ = c m φ g φ " x (t) y (t) # = " c m g #" # x(t) 1 y(t)

62 4 s en d bij aflopende s 3 stabiele spiraal centrumpunt instabiele spiraal 2 d 4d=s 2 1 stabiele knoop kritische demping centrumpunt instabiele knoop s 1 2 zadelpunt zadelpunt Horizontaal: s=spoor. Verticaal: d=det

63 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε=.1, s=.1, d=1

64 3 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i 2 1 ε=.1, s=.1, d=1: r tijd t

65 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 =1 i, λ 2 = 1 i ε=, s=, d=1

66 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1 i, λ 2 =1 i ε=, s=, d=1: r tijd t

68 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε=.1, s=.1, d=1

69 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i.6.4 ε=.1, s=.1, d=1: r tijd t

70 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε= 1, s= 1, d=1

71 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i.8.6 ε= 1, s= 1, d=1: r tijd t

72 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i ε= 1.9, s= 1.9, d=1

73 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = i, λ 2 = i.8.6 ε= 1.9, s= 1.9, d=1: r tijd t

74 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1, λ 2 = ε= 2, s= 2, d=1

75 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = 1, λ 2 = ε= 2, s= 2, d=1: r tijd t

77 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε= 2.1, s= 2.1, d=1

78 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε= 2.1, s= 2.1, d=1: r tijd t

79 1 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε= 4, s= 4, d=1

80 .8 2 d Lineaire differentiaal vergelijking met λ 1 = , λ 2 = ε= 4, s= 4, d=1: r tijd t

81 Werkcollege voor vandaag Geen opdrachten - je mag te tijd gebruiken om aan het tweede verslag te werken, en eventuele vragen aan de werkcollege begeleiding te stellen